2.1.1合情推理(2)
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
人教新课标A版 数学选修2-2
乐
复习
1.什么是归纳推理? 部分
特殊 2.归纳推理的一般模式:
整体 一般
S1具有P, S2 具有P, …
所以A类对象具有P
Sn 具有P（S1，S2， n 是A类事物的对象） …S
二、除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
' ' ' ' ' '
所以B类对象具有性质d
'
类比推理
类比推理基础 类比推理的作用
由特殊到特殊的推理
以已知的、旧的知识为基础
注意
推测新的结果，具有发现 的功能． 类比推理的结论不一定成立
比较两个推理： 1、归纳推理
合 情 推 理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
变式练习：在三角形ABC中有结论： AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中 有 . P B C S1 Ｃ S2 S3 △PAB的面积为S
A
Ａ
Ｂ
S1 S2 S3 S
练习2. （2004广东，15）
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之 间在某些方面的相似或相同,推演出它们在 其它方面也相似或相同,像这样的推理通常 称为类比推理.(简称:类比法)
注：（1）类比推理是由一类对象特征到另一类对象特 征的推理。 （2）类比推理的一般模式为:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a ,b ,c , (a,b,c与a ,b ,c 相似或相同)
和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
3、火星上是否存在生命？
3、火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
P
C
A
P
图(1)
A 图(2)
A
练习3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的 高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为 pb pc pa,pb,pc,我们可以得到结论: pa
例题4：类比平面内直角三角形的勾股定理，
B
P
s2
M
试给出空间中四面体性质的猜想。
c
a
C
分析：
c
b
A
s1 a
D s3
E
b
△PEF的面积为S
2 2 ？ 1 2 2
F
2 3
c两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° ∠C＝90° 2条直角边a，b和1条斜边c 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
单位元
a+0=a
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
----------------------------------------------------------------.
方程.
五、课堂小结：
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：
原问题
原问题解法
类比
类比问题
类比问题的解法
猜想
2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。
c
S1
P
S2
下面证明猜想是否成立：
a SD
3
b
s s s s
2
E
M
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 2 ac 1 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 1 2 2 a 2c 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 (a c ) ( 2 2 b ) a c a b b c s 2 s 2 s 2 1 2 3 4 a c 4 4 4
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
附加题(2001上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例,推广的命题为：---------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
2、类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
几何中常见的类比对象
平面几何 点 线 圆 三角形
立体几何
线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等
数
有限
相等
例题解析：
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
ha
平面上 图 形 结 论
B A P pb pc pa
hb
A
hc
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
P B C C D
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
2.1.1合情推理-类比推理2
例3、试将平面上的圆类比空间的球. 1.定义的类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合. 2.圆的元素 类比 得出球的元素
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
3.圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
类比推理
一.复习:
1.归纳推理是从 个别 事实中概括出 一般 结论 的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶 奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但 是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。 C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好， 若是陌生人喂，怎么也不吃。
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半 径的圆的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
原创4：2.1.1合情推理
这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是不是袋里都是玻璃球？”
但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会
有第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续
加以检验
• 在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对
鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的;
狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；
由此我们猜想:
所有的动物都是有骨骼的。
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
前提 当=0时，2-+11=11
当=1时，2-+11=11
当=2时，2-+11=13
当=3时，2-+11=17
当=4时，2-+11=23
２
３
４
５
６
７
十六进位
８
９
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
十进位
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（
Ａ．６E Ｂ．７２
Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
Ａ
）
例4:已知两个圆①2+2=1:与②2+(-3)2=1,则由①式减去②
式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆
的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命
3
球的体积
S =πR 2
球心与不过球心的截面(圆面)的
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直
圆点的连线垂直于截面
于弦
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
2.1.1合情推理(2)
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等, 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x 为圆心, r为半径 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x (x+(y的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x 为球心, r为半 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x (x+(y径的球的方程为(x-x0)2+(y+(zy0)2+(z-z0)2 = r2
:(2001年上海) 2001年上海 =1:与 例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 +(y②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程. 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广, 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题, 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例, 一个特例,推广的命题为------------------------(x- +(y(x- +(y(x -----a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 则由①式减去② b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 --------------------------------------------------------- 方程. 方程. ----------------------------------------------------------------. --------.
十六进位 十进位 十六进位 十进位
2.1.1合情推理
2.1.1合情推理预习案一、【教材知识梳理】1．合情推理包括 和 ．2．归纳推理：（1）概念：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理叫做归纳推理。
（2）特点：归纳推理是从 到 的过程。
（3）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．类比推理：（1）概念：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的推理，叫做类比推理． （2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 二、【预习检测】 1、从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 ． 2．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理 3．球心到球面上每一点的距离相等。
类比到平面，有_______________ _____ ４．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为________________探究案一、【典例解析】例1 已知数列{}n a 的第1项11a =，且()11,2,1n n na a n a +==+…，试归纳出这个数列的通项公式．例2．观察下面几个算式，找出规律：1+2+1=4； 1+2+3+2+1=9； 1+2+3+4+3+2+1=16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…利用上面的规律，请你算出1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
2.1.1合情推理(第2课时)类比推理 学案(含答案)
2.1.1合情推理（第2课时）类比推理学案（含答案）第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义.特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征1火星也是绕太阳公转.绕轴自转的行星；2有大气层，在一年中也有季节更替；3火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理答案类比推理梳理1类比推理的定义根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法2类比推理的思维过程大致如图3特征由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系答案区别归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗答案不一定正确梳理1合情推理的含义合情推理是根据已有的事实.正确的结论.实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的2合情推理必须有前提有结论3类比推理不能猜想类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，，，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*等差数列等比数列定义anan1dn2anan1qn2通项公式ana1n1dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列；类比上述性质，相应地若数列cnnN*是等比数列，且cn0，则有数列dn______________nN*也是等比数列答案解析数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列类比猜想若数列cnnN*是各项均为正数的等比数列，则当dnnN*时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目.位置关系.度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2中学阶段常见的类比知识点等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，，，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢1类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；2探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；3在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列2由1知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等3当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1abaabaab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kkabab所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则“mnnm”类比得到“abba”；“mntmtnt”类比得到“abcacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn||m||n|”类比得到“|ab||a||b|”以上类比得到的正确结论的序号是________答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________填序号三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为________________答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为Sabcr，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________答案S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以VS1S2S3S4r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧1类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些2这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性3这些共同相似属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.。
第2章 2.1.1(二)合情推理(二)
可得 b1b2„bn＝b1b2„b17－n(n≤17，n∈N*)．
答案 b1 b2„bn＝b1b2„b17－n(n<17，n∈N*)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1（二）
小结
(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用
等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．
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答
问题 1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？
这两个推理实例都是根据两类不同事物之间具有某些 类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似 (或相同)的性质．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1（二）
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问题 2 猜想正确吗？
答 不一定正确．
研一研· 问题探究、课堂更高效
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数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各 u a1a2„an 时，数列 项均为正数的等比数列，则当 bn＝_________ {bn}也是等比数列．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.1.1（二）
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4． 对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比 猜想： “正四面体的内切球切于四面各正三角形的
填一填· 知识要点、记下疑难点
2.1.1（二）
1．类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类
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对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理(简称类比)． 2．类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的 相似性或一致性 ； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个 明确的命题(猜想) .
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理 第2课时 类比推理学案 苏教版选修1-2(20
2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理第2课时类比推理学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.1.1 合情推理第2课时类比推理学案苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时类比推理1。
结合实例,理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.(重点、难点）2.区别归纳推理与类比推理,了解合情推理的合理性.（易混点）[基础·初探］教材整理1 类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法。
其思维过程为：错误!→错误!→错误!1。
判断正误：（1)类比推理是特殊到特殊的推理。
( )(2)类比推理的结论一定正确。
（)【答案】(1)√（2)×2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________。
【导学号:97220011】【解析】“边的中点"类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2 合情推理阅读教材P35“练习”以上部分,完成下列问题。
1。
合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2。
河南师大附中2013-2014学年高中数学 2.1.1 合情推理学案(2)新人教A版选修1-2
2013-2014学年高中数学 2.1.1 合情推理学案（2）新人教A 版选修1-2【学习目标】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2. 用归纳和类比进行推理，作出猜想.【自主学习】1. 类比推理的含义？2. 类比推理的特点是什么？3. 类比推理的一般步骤？4. 合情推理的含义?【自主检测】1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④【典型例题】例1. 找出圆与球的相似性质，并类比球的有关性质：（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长C d π=（d 是直径） （4）圆的面积2S R π=解：通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质 圆的性质球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的周长C d π=（d 是直径）圆的面积2S R π=例2.半径为R 的圆的面积()2S R R π= ,周长()2C R R π=.若将R 看作()0,+∞上的变量，则()2'2R R ππ= ① ,①可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_ ___②,可用语言叙述为：_____________.【课堂检测】1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； “ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) A.5＋12 B.5－12 C.5－1 D.5＋1 【总结提升】归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.。
高中数学《2.1.1合情推理》导学案2 新人教A版选修1-2
§2.1.1 合情推理（2）1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.30381.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯ 的通项公式是 .二、新课导学 ※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※ 动手试试练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练 2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 ※ 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※ 知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A. 苹果∶水果B. 手指∶身体C. 菜肴∶萝卜D. 食品∶巧克力※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x = '1()()n n f x f x +=，n ∈N，则2007()f x = （ ）. A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈ 成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S。