2016-2017学年高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第1章2 直观图 Word版含解析
2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章章末检测 Word版含解析
第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4C．3：2：4 D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32 3πB．48π，4 3πC．12π，4 3πD．12π，32 3π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m β，且α⊥β，则m ⊥αD ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：C9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )A ．[4 2－52，4 2＋52]B ．[2 2－2,2 2＋2]C ．[3－2 22，3＋2 22]D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：由题意，直线BC 与动点O 的空间关系： 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]． 二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案： 212．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．答案：1313．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积为________．答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋32×2＝5.15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.其中正确结论的序号为________． 答案：①④解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积． 解：(1)连接PO ，∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .(1)求证：PC ⊥平面BDE ；(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，∴PC ⊥平面BDE .(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝33＝13AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝13AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平面BDQ .19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高． 解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5， 所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ， 所以CP ⊥平面ABP .(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ， 所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高． 由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ， 所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝3412.设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝412h .又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×12×CP ×BP ×AB ＝10，而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NBEF∴MG ∥NH ，∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC∵BG ＝x2，BH ＝2a －x 2∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋x 2－22ax ＋2a 22＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )＝⎝⎛⎭⎫x －22a 2＋a 22≤22a当且仅当x ＝22a 时，等号成立；∴当x ＝22a 时，MN 取最小值22a .。
(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.2.2直线方程的两点式和一般式(含答案)
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课时提升作业(十七)直线方程的两点式和一般式一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是( )A.=B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C.=D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，所以不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它可以表示所有情况下的直线，C，D显然不合题意，所以选B.2.(2018·佛山高一检测)直线+=1过一、二、三象限，则( )A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，所以a<0，b>0.3.(2018·焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).令y=0得x=，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=-或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为+=1，把点P(4，-3)的坐标代入方程得a=1.所以所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45°，则a-b的值为( )A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45°，斜率为1，得a=1，所以a-b=2.5.(2018·驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2-5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则( )A.C=0，B>0B.C=0，A>0，B>0C.C=0，AB>0D.C=0，AB<0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，所以-<0，所以AB>0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y=x-2，所以k=，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为________. 【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，所以x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+=1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2018·南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a≠0)，所以方程为+=1，代入点A，得-=1，即a2-3a+2=0，所以a=2或a=1，所以方程为：+y=1或+=1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+=1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+=1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，所以方程为y=6x+b.令x=0，所以y=b，与y轴的交点为(0，b)；令y=0，所以x=-，与x轴的交点为.根据勾股定理得+b2=37，所以b=±6.因此直线l的方程为6x-y±6=0.【变式训练】一条直线经过点A(-2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程. 【解析】设所求直线的方程为+=1，因为A(-2，2)在直线上，所以-+=1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，所以|a|·|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2018·日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x∈(-1，1)时，y>0恒成立，求a的取值范围.(2)a∈时，恒有y>0，求x的取值范围.【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y 的一次式，于是可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x∈(-1，1)时，y>0.只需即解得即a≥-.(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a∈时，y>0，只需即解得所以-3≤x≤4.一、选择题(每小题4分，共16分)1.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.abB.|ab|C.D.【解析】选D.令x=0，得y=；令y=0，得x=；S==.2.(2018·合肥高一检测)直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( ) A.， B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.把方程化为斜截式：y=-x-，则斜率k=-，b=-.3.(2018·济源高一检测)若k∈R，直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(2，-1)【解析】选D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，-1).4.(2018·渭南高一检测)过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为( )A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】选C.设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为-a.若a=0，则直线过原点，其方程为2x-5y=0.若a≠0，则设其方程为+=1，又点(5，2)在直线上，所以+=1，所以a=3.所以直线方程为x-y-3=0.综上直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2018·南昌高一检测)有下列说法：①平面内的所有直线均可写成两点式；②直线方程的斜截式均可化为截距式；③点斜式直线方程可表示任一直线；④平面上的直线最多可通过三个象限.其中不正确的是________.【解析】对于①，由两点式方程的定义知，当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程，故①错误.由于直线的截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即两个非零的截距，所以说截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴垂直的直线，而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线，故②错误.由点斜式的定义可知，如果直线与x轴垂直，此时直线的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程就不能用点斜式表示，因此③的说法也是错误的.④显然是正确的.答案：①②③6.(2018·榆林高一检测)已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________________.【解析】因为点A(2，1)在直线a1x+b1y+1=0上，所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1 (a1，b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2，1)在直线a2x+b2y+1=0上，所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2，b2)的坐标也满足2x+y+1=0.所以过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x+y+1=0.答案：2x+y+1=0【变式训练】已知2x1-3y1=4，2x2-3y2=4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是( )A.2x-3y=4B.2x-3y=0C.3x-2y=4D.3x-2y=0【解析】选A.因为(x1，y1)满足方程2x1-3y1=4，则(x1，y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2，y2)也在直线2x-3y=4上.由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x-3y=4.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·九江高一检测)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程.【解析】因为点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，-2)，所以由两点式可得直线A′B的方程为=，即2x+y-4=0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(-1，-6)，由两点式可得直线AB′的方程为=，即2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.【变式训练】(2018·宜春高一检测)已知A(-1，4)，B(2，2)，点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P 的坐标.【解析】如图，点B关于x轴的对称点B′(2，-2)，连接PB′，则|AP|+|PB|=|AP|+|PB′|≥|AB′|，|AB′|=3，当点A，P，B′三点共线时，|AP|+|PB|取最小值3.直线AB′的方程为=，即2x+y-2=0.令y=0，得x=1.所以点P的坐标为(1，0).【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程.(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程.(5)不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线.8.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m)【解题指南】本题的实质是在直线AB上找出恰当的点，因此，可以先建系，由截距式方程写出直线，再由矩形面积公式写出目标函数，求函数的最大值来确定点的位置.【解析】以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A(0，60)，B(90，0).所以AB所在直线方程为+=1.即y=60-x，从而可设线段AB上一点P，其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)=-x2+20x+54000=-(x-15)2+54150(0≤x≤90).所以当x=15，y=60-×15=50时，S max=54150(m2).因此点P距直线AE15m，距直线BC50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2.【拓展延伸】用代数法解决几何问题(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法.(2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系，且让尽可能多的元素落在坐标轴上.关闭Word文档返回原板块。
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件 北师大版必修2
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以 是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.
(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个 顶点均可作为棱锥的顶点.
(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一 个棱锥和一个棱台.
4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和 上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记 作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是 全等的等腰梯形.
锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故命题④
为真命题.故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列说法中正确的是
.
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4
个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:解答本题可先根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行详细
分析,再结合已知的各个命题具体条件进行具体分析.显然命题① ②③均是真命题.对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原
高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)第1章单元测试三 Word版含解析
单元测试三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分，考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线的方程为( )．－＝．＋＝．－＝．＋＝答案：解析：解方程组(\\(－＋＝，＋＋＝，))得(\\(＝－()，＝().))∴＝－.又过原点，∴直线方程为＋＝.．已知点(＋)，(－)，直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线的斜率为( )．．不存在答案：解析：＝，∴直线的倾斜角为°.∴的倾斜角为°，＝°＝.．已知点()(>)到直线：－＋＝的距离为，则＝( )．－－＋答案：解析：由＝得＝－，＝－－(舍去)．．三条直线：－＝，：＋－＝，：－－＝构成一个三角形，则的范围是( )．∈．∈且≠±，≠．∈且≠±，≠－．∈且≠±，≠答案：．若点()和点(，)关于直线－－＝对称，则( )．＝，＝－．＝，＝－．＝，＝．＝，＝答案：解析：由题意，知(\\((－－)＝－,(＋)－(＋)－＝))，解得(\\(＝＝))，故选.．和直线－＋＝关于轴对称的直线方程是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋－＝．－－＝答案：解析：设对称直线上任一点坐标为(，)它关于轴对称的点的坐标为(，－)．(，－)在直线－＋＝上∴有－(－)＋＝即＋＋＝即所求直线方程为＋＋＝.．直线过原点()，且不过第三象限，那么的倾斜角α的取值范围是( )．[°，°] ．[°，°]．[°，°)或α＝°．[°，°]答案：解析：画图知的倾斜角应是钝角或坐标轴上的角，中含锐角不正确，中°不在其倾斜角的范围内应被排除，中含的角不全面．．设直线与轴的交点为，且倾斜角为α，若将其绕点按逆时针方向旋转°，得到直线的倾斜角为α＋°，则( )．°≤α<°．°≤α<°．°<α≤°．°<α<°答案：解析：解答本题应紧扣直线的倾斜角的取值范围，还要注意到与轴相交的直线的倾斜角不为°.从而有(\\(°<α<°，°≤α＋°<°))，所以°<α<°，故选.．直线过点()，且与点(－)的距离最远，则的方程为( )．－－＝．－＋＝．＋＋＝．＋－＝答案：解析：当⊥时符合要求，∵＝＝，∴的斜率为－.∴的方程为－＝－(－)，即＋－＝.．一条直线被两条直线＋＋＝和－－＝截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是( )．＋＝．－＝．＋＝．－＝答案：解析：设与＋＋＝交于(，－－)，与直线－－＝，交于点(，)，由()为的中点，故可得(－，)，由，两点确定.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．已知直线：(＋)＋－－＝(∈)在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的值为．答案：－或解析：当直线：(＋)＋－－＝(∈)过原点，即－－＝时，解得＝－，此时该直线在两坐标轴上的截距都为，所以在轴上的截距是在轴上的截距的倍，即＝－符合题意；当直线：(＋)＋－－＝(∈)不过原点，即－－≠，即≠－时，易知≠－，该直线在轴上的截距是＋，在轴上的截距是，所以由直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，得×＝＋，解得＝.综上所述，的值为－或.．直线经过()，(，)(∈)两点，则直线的倾斜角的取值范围为．答案：[°，°]∪(°，°)解析：直线的斜率＝＝－≤.若直线的倾斜角为α，则α≠°，且α≤.又°＝，且°≤α<°，∴°≤α≤°或°<α<°.．已知直线：(＋)＋(－)＝与：(－)＋(＋)＋＝互相垂直，则的值为．答案：－或解析：①若的斜率不存在，此时＝，的方程为＝，的方程为＝－，显然⊥，符合条件；若的斜率不存在，此时＝－，易知与不垂直．②当，的斜率都存在时，直线的斜率＝－，直线的斜率＝－，∵⊥，∴·＝－，即·＝－，所以＝－.综上可知＝－或＝.．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点(，)在直线＋＋＝上，则＋的最小值为．答案：解析：求＋的最小值就是在直线＋＋＝上求一点，使这点到原点的距离的平方最小，因而其最小值为原点到直线＋＋＝的距离．由题意得到＋≥＝＝＝，∴＋的最小值为.．已知直线过点()，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．答案：。
高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章7.3 球的表面积和体积 Word版含解析
7．3 球的表面积和体积时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案：C解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．．．．答案：A解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，∵r 1∶r 2＝1∶3，∴S 1∶S 2＝4πr 21∶4πr 22＝r 21∶r 22＝1∶9.故选A.3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A ．V 正方体＝V 圆柱＝V 球B ．V 正方体<V 圆柱<V 球C ．V 正方体>V 圆柱>V 球D ．V 圆柱>V 正方体>V 球 答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a ，R ，r ，则S 正方体＝6a 2，S 球＝4πR 2，S 圆柱＝6πr 2，由题意，知S 正方体＝S 球＝S 圆柱，所以a ＝πr ，R ＝32r ，所以V 正方体＝a 3＝ππr 3，V 球＝43πR 3＝6πr 3，V 圆柱＝2πr 3，显然可知V 正方体<V 圆柱<V 球．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.499πB.73πC.283πD.289π答案：C解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r ，则r ＝⎝⎛⎭⎫23×32＋12＝73，所以该球的表面积为4πr 2＝283π. 5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．4：3 答案：C解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r ，则圆柱的底面圆半径为r ，圆柱的高为2r ，于是圆柱的全面积为S 1＝2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，球的表面积为S 2＝4πr 2.∵S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32. 6．球O 的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3 D ．4 3π 答案：C解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案：100π解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案：6解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＋43π×⎝⎛⎭⎫823＋43π×⎝⎛⎭⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为__________．答案：9π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V 1和V 2之比．解：△ABO 旋转成圆锥，扇形ABO 旋转成半球，设OB ＝R .V半球＝23πR 3，V 锥＝π3·R ·R 2＝π3R 3， ∴(V 半球－V 锥V 锥＝ 11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为r ，高为h .∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2.h ＝102－22＝4 6.∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π·1025＋2π·22＝28π(cm 2)．体积V ＝1 3π·22×4 6＋23π·23＝163(6＋1)π(cm 3)．12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2， 因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r ＝1242＋42＋22＝3，因此外接球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。
高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章2 直观图 Word版含解析
2直观图时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．水平放置的梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.2．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④答案：A解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是()A．16 B．64C．16或64 D．以上都不对答案：C解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积是64.5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且长度为10 cmB ．平行于z ′轴且长度为5 cmC ．与z ′轴成45°且长度为10 cmD ．与z ′轴成45°且长度为5 cm 答案：A解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( )A.2＋22B.1＋22C ．2＋ 2D ．1＋ 2 答案：C解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋ 2.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．一条边在x 轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．答案： 2解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22，故面积为 2.8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．答案：4＋22解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22＋1，高为2，故面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋22＋1×2＝2＋22.9．给出下列各命题：(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形； (3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形； (4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同； (6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形． 其中正确的命题序号为____________．答案：(1)(2)(5)三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解：11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．解：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′∥y ′轴，取M ′A ′＝12MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图． 12．画正六棱柱的直观图． 解：画法如下：(1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°； (2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF (O ′为正六边形的中心)；(3)画侧棱：过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝EE ′＝FF ′；(4)连线成图：连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图所示．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。
高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第2章2.1 圆的标准方程 Word版含解析
2．1圆的标准方程时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4答案：C解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.2．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2πC．4π D．8π答案：C解析：由圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4，知半径r＝4＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.3．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝()A．3 B．2C．5 D．1答案：A解析：由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.4．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是()A．(－4,3) B．(－5,4)C．(－5,5) D．(－6,4)答案：A解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是() A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案：A解析：利用平面几何知识得r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(5,1) B．(4,1)C．(2＋2，2－3) D．(3，－2)答案：D解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y＝x－5，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －5(x －2)2＋(y ＋3)2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－4，经检验点(3，－2)符合题意． 二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.8．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第______象限．答案：四解析：(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．9．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．答案：5＋ 2解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)， 则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.11．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径． 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3， 则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2， 即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2(－1－a )2＋(4－b )2＝R22a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.12．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．解：设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。
高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章4.1 空间图形基本关系的认识 Word版含解析
4．1空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是()A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．l⊂αB．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是()A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，P A≠PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴P A＝PB，与题设P A≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵P A≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。
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2直观图
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．水平放置的梯形的直观图是()
A．梯形B．矩形
C．三角形D．任意四边形
答案：A
解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.
2．利用斜二测画法可以得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是正方形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是()
A．①②B．①
C．③④D．①②③④
答案：A
解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．
3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()
答案：A
解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.
4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是()
A．16 B．64
C．16或64 D．以上都不对
答案：C
解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的
一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积是64.
5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )
A ．平行于z ′轴且长度为10 cm
B ．平行于z ′轴且长度为5 cm
C ．与z ′轴成45°且长度为10 cm
D ．与z ′轴成45°且长度为5 cm
答案：A
解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.
6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如
图所示，则原平面图形的面积是( ) A.2＋22 B.1＋22
C ．2＋ 2
D ．1＋ 2
答案：C
解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋ 2.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．一条边在x 轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．
答案： 2 解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22
，故面积为 2.
8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB
＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．
答案：4＋22
解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22
＋1，高为2，故面积为12×⎝⎛⎭
⎫1＋22＋1×2＝2＋22. 9．给出下列各命题：
(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；
(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形；
(3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形；
(4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；
(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；
(6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形．
其中正确的命题序号为____________．
答案：(1)(2)(5)
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
解：
11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．
解：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′
∥y ′轴，取M ′A ′＝12
MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.
(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图．
12．画正六棱柱的直观图．
解：画法如下：
(1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°；
(2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF (O ′为正六边形的中心)；
(3)画侧棱：过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝EE ′＝FF ′；
(4)连线成图：连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图所示．。