拉扭耦合振子特性研究
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韦氏耦合摆共振机理探索
本 实验说 明摆锤 的水平 扭转使 韦 氏摆弹簧 竖 直 方 向的平衡 位置发 生 了变化．顺 弹簧 螺旋 方 向
扭转摆 锤 ， 衡位置 上移． 平
然而 ， ２个力 又是 如何此 消彼涨 ， 这 周期重 复
的呢 ？下面试 作分 析．
直位置．实验 数据见表 ｌ 示． 所
维普资讯
３ ６
物 理
实
验
第 ２ 卷 ８
表 ２ 摆 锤 扭 转 与 弹 簧 平 衡 点 位 移 关 系
只要用 １ 根很细 的线 系在 摆 锤 中心 位 置 ， 然后 向
下拉 细线 ， 摆锤 下 移 ， 使 测量 摆锤 的扭 转 角度 ， 由
薄铝板 中央 的小 孔 ， 固定 住 ， 图 ３所 示 ．实 验 如 时， 将其 中 ｌ根滑 杆 当作 指针 ， 针下 的薄铝板 上 指 粘 １ 白纸作为 记 录 面 ， 记 下 弹簧 平衡 时 的 指 张 先 针 位置 ， 同时记下 薄铝板 的垂直位 置 ， 然后 将铝 板
小 心 地 垂 直 向下 拉 ， 下 指 针 位 置 和 薄 铝 板 的 垂 记
许裕 栗 ， 甲生 ， 蒋 朱 勇 ， 水 兔 钱
（ 东理 工 大 学 理 学 院 物 理 系 ， 海 ２ ０ ３ ） 华 上 ０ ２ ７
摘 要 ： 析 了 韦 氏摆 的 共 振 机 理 ．韦 氏摆 可 以看 作 是 扭 摆 和 弹 簧 振 子 的 组 合 ， 者 在 垂 直 方 向上 可 以 达 到 共 振 ， 分 两
测 量弹簧 上下位 移产 生扭转 的方法 很简单 ，
“ 国 高等 学 校 第 八 届 物 理 演 示 实 验 教 学研 讨会 ” 文 全 论 收 稿 日期 ：０ ７０ — １ 修 改 日期 ： ０ ７ １ —８ ２ ０ — ７２ ； ２ ０ — １２ 资助项 目： 东理工大学学生创新实践项 目 华 作 者 简 介 ： 裕 栗 （ ９ ５ ， ， 江 诸 暨人 ， 东理 工 大 学物 理 专 业 ２ ０ 级 本 科 生 ． 许 １８ 一） 男 浙 华 ０４ 通 讯 联 系人 ： 朱 勇 （ ９ １ ， ， 海 人 ， 东 理 工 大学 理 学 院物 理 系副 教 授 ， 事 实验 物 理 方 面 研 究 ． １５ 一） 男 上 华 从
考虑水力和电磁激励的水电机组轴系统的扭转振动
［1 ， 2］
。 尽 管 水 轮 发 电 机 组 转 速 较 低， 但因电磁力的存在及系统的非线性
特性， 仍可能激发轴系扭振和弯扭耦合振动 。 因此， 水电机组转子轴系扭转振动是不容忽视的 。 随着水电机组向
09 26 收稿日期： 201000X903 ） 基金项目： 国家自然科学基金（ 51009116 ） ； 中国博士后科学基金（ 20100481353 ） ； 陕西省重点学科建设专项（ 106 作者简介： 宋志强（ 1981 － ） ， 男， 博士 ． E-mail ： szhiq2004@ 126． com
Abstract ： This paper derives expressions of electromagnetic torque and electromagnetic stiffness with energy method and develops a mechanical-electrical coupling torque vibration model for a hydro generator shaft system under hydraulic and electromagnetic excitations ，focusing on a study on the effects of rotor moment inertia ， spiders' stiffness ，added mass of water and hydraulic excitation frequency． Frequency response curves of shaft torque ，torsional vibration angle and electromagnetic torque are presented ，including the mechanical-electrical coupling resonance to hydraulic excitations of zero and first order frequencies and the influences of excitation electric current and internal active power angle． These results provide a reference for design and stable operation of hydro generator set． Key words ： hydro generator shaft system ； torsional vibration ； mechanical and electrical coupling ； hydraulic torque ； electromagnetic torque
。 尽 管 水 轮 发 电 机 组 转 速 较 低， 但因电磁力的存在及系统的非线性
特性， 仍可能激发轴系扭振和弯扭耦合振动 。 因此， 水电机组转子轴系扭转振动是不容忽视的 。 随着水电机组向
09 26 收稿日期： 201000X903 ） 基金项目： 国家自然科学基金（ 51009116 ） ； 中国博士后科学基金（ 20100481353 ） ； 陕西省重点学科建设专项（ 106 作者简介： 宋志强（ 1981 － ） ， 男， 博士 ． E-mail ： szhiq2004@ 126． com
Abstract ： This paper derives expressions of electromagnetic torque and electromagnetic stiffness with energy method and develops a mechanical-electrical coupling torque vibration model for a hydro generator shaft system under hydraulic and electromagnetic excitations ，focusing on a study on the effects of rotor moment inertia ， spiders' stiffness ，added mass of water and hydraulic excitation frequency． Frequency response curves of shaft torque ，torsional vibration angle and electromagnetic torque are presented ，including the mechanical-electrical coupling resonance to hydraulic excitations of zero and first order frequencies and the influences of excitation electric current and internal active power angle． These results provide a reference for design and stable operation of hydro generator set． Key words ： hydro generator shaft system ； torsional vibration ； mechanical and electrical coupling ； hydraulic torque ； electromagnetic torque
第13章 电力系统的次同步振荡及轴系扭振
M
1
2，定义P
=AKA，则对实际系数P非负定，可设
其特征根对角阵
A ωn2
diag
(
2 n1
,
2 n2
,,
n2N，) 并设P
的特征向量阵为U，从而PU=UA，又由于 PT P对称，
故U可取为正交阵，即 U 1 。U T
若定义线性变换阵Q=AUS，及线性变换
δ Qδ(m)
（9）
右上角标“m”表示解耦模式，S为对角阵，其对角元 的取值使发电机质块 (设为第k质块) 对应的Q阵行元素 (即第k行元素)均等于1。
为 n 的扭转振荡。
若将式 (1)改写为
(用12 作变量)
1 2
K12 M1
12
K12 M2
12
（4）
式中， 12 1 2 为转子两
质块间相对运动角位移增量。则 由式(4)可得
12
K12
1 M1
1 M2
12
def
K M
12
（5）
用12 作变量，系统降为二阶，
则式(5)的特征根为
地区电网经济运行与自动化研究室
2
1 引言
1930s，发现电容会引起发电机自激。当时认为是纯电 气谐振问题，称之为“异步发电机效应”。
1970s，美国Mohave电站发电机大轴2次被扭振破坏。 揭示“机电扭振互作用”现象。
后来发现故障发生时，会出现“暂态力矩放大”现象。
1977年以前，统称为：次同步谐振（SSR）。共同点
N
1, N
K N 1,N N
（8a）
(Mp 2 Dp K )δ Tm Te T
M，D为对角阵，K为三对角阵，K T K 。
高中物理教科书共振实验的纰缪与设计
高中物理教科书共振实验装置的纰谬与设计朱 行 建安徽师范大学物电学院 安徽 芜湖 241000摘要：指出了高中物理教科书共振的演示实验装置的错误，重新设计了演示共振现象的实验装置。
使共振的理论与现象一致。
关键词：教科书 共振 一、问题的提出：高中物理教科书[1]关于共振的演示实验采用的是耦合摆装置，用该装置演示实验时，存在很多问题：“在实践操作中，可以看到摆长相等的球振动振幅较大，但它们步调不一致，较难把握，有时说服力不够”[2]，“作为提供周期性驱动力的摆开始摆动后，其它各摆不仅频率与此摆不同，而且各摆的振幅也在不停地变化，而且这一现象一直持续下去，直到摆动停止，根本无法比较各摆振幅的大小”[3]，“拉开驱动摆释放后，需要等较长时间才能看到，但稍后几个摆的振动情况会发生变化，使教师不得不快速停止演示”[4]。
上述研究均提出了一些在实验操作层面上的现象和解决的办法。
但笔者以为，上述研究均没有涉及该装置是否能说明共振这一概念，换句话说若该装置从本质上不能说明共振现象，则所提出的解决办法也将是毫无意义的。
二、耦合摆的振动分析：1、 共振条件分析：摆长为L ，摆球质量为m 的两个完全相同的单摆是挂在扭转系数B 很小的钢架上构成最简单的耦合摆。
由定轴转动定律得两个摆的振动的微分方程： 2111222()d g B dtL mLθθθθ=---…①2222122()d g B dtLmLθθθθ=---…②式中θ1、θ2分别表示两个单摆偏移平衡位置的微小角位移，扭转系数在数值上等于每单位相对角位移（θ1-θ2）钢架上所产生扭转力矩。
上述方程的解为：θ1=θ0cos 12[(1ω-2ω)t+(1ϕ-2ϕ)]cos12[(1ω+2ω)t+(1ϕ+2ϕ)]…③θ2=θ0cos12[(1ω-2ω)t+(1ϕ-2ϕ)-π]cos 12[(1ω+2ω)t+(1ϕ+2ϕ)+π]…④式中1ω=…⑤，2ω…⑥，θ0为两摆的振幅。
混流式水轮机转轮模态计算及振动特性分析
（Ｚ１５１０４１７）；四川省教育厅科研项目资助（重点项目）（１７２４７０）。 第一作者：史广泰（１９８５—），男，副教授，博士，主要研究方向为流体机械内流动规律。
ＯＲＣＩＤ：００００－０００３－０１５０－８４９０ Ｅｍａｉｌ：ｓｈｉｇｕａｎｇｔａｉ＿１９８５＠１２６．ｃｏｍ
引用格式：史广泰，杨茜，刘宗库，等．混流式水轮机转轮模态计算及振动特性分析［Ｊ］．西华大学学报（自然科学版），２０１９，３８（６）：１－６． ＳＨＩＧｕａｎｇｔａｉ，ＹＡＮＧＸｉ，ＬＩＵＺｏｎｇｋｕ，ｅｔａｌ．Ｍｏｄａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＸｉｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ），２０１９，３８（６）：１－６．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅ；ｆｌｕｉｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ；ｍｏｄａｌａｎａｌｙｓｉｓ；ｐｒｉｎｃｉｐａｌｍｏｄｅ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
收稿日期：２０１９－０５－２４ 基金项目：中国博士后科学基金特别资 助 （２０１７Ｔ１０００７７）；中 国 博 士 后 科 学 基 金 面 上 资 助 （２０１６Ｍ６０００９０）；西 华 大 学 重 点 科 研 基 金 资 助
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｆｕｒｔｈｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｃａｕｓｅｓｏｆｃｒａｃｋｓａｎｄｅｖｅｎｂｒｅａｋｓｉｎｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐ ｅｒａｔｉｏｎ，ａＦｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅｕｓｅｄｉｎａｄｏｍｅｓｔｉｃｐｏｗｅｒｓｔａｔｉｏｎｗａｓａｄｏｐｔｅｄａｓｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｂｊｅｃｔ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｏｎｅｗａｙｆｌｕ ｉｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ＡＮＳＹＳＣＦＸａｎｄｗｏｒｋｂｅｎｃｈｐｌａｔｆｏｒｍｗｅｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｆｕｌｌｆｌｏｗｐａｓｓａｇｅａｎｄ ｍｏｄａｌａｎａｌｙｓｉｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｍｏｄｅｓｈａｐｅｓｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｆｒｅｅｍｏｄｅａｎｄｐｒｅｓ ｔｒｅｓｓｅｄｍｏｄｅｏｆｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｎｄｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｏｃｏｍ ｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙａｎａｌｙｚｅｉｔｓｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ ｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｉｓｍａｉｎｌｙｌｏｃａｔｅｄｉｎｔｈｅｕｐｐｅｒｃｒｏｗｎｏｆｔｈｅｒｕｎｎｅｒ，ｔｈｅｌｏｗｅｒｒｉｎｇａｎｄｔｈｅｍｉｄｄｌｅｏｆｔｈｅｂｌａｄｅｏｕｔｌｅｔ．Ｔｈｅ ｒｕｎｎｅｒｍｏｄｅｓｈａｐｅｉｓｍａｉｎｌｙｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｓｆｏｕｒｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ，ｎａｍｅｌｙ，ｓｗｉｎｇ，ｐｉｖｏｔｉｎｇ，ｂｅｎｄａｎｄｔｈｅｕｐａｎｄｄｏｗｎｖｉｂｒａｔｉｎｇ ｉｎｔｈｅａｘｉａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎ．Ｗｈｅｎｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｉｓｏｐｅｒａｔｅｄａｔｔｈｅｓｐｅｅｄ２７２．７ｒ／ｍｉｎ，ｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｃｌｏｓｅｔｏｔｈｅ ｌｏｗｏｒｄｅｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｔｈｅｕｎｉｔｉｓｐｒｏｎｅｔｏｒｅｓｏｎａｎｃｅ．
ＯＲＣＩＤ：００００－０００３－０１５０－８４９０ Ｅｍａｉｌ：ｓｈｉｇｕａｎｇｔａｉ＿１９８５＠１２６．ｃｏｍ
引用格式：史广泰，杨茜，刘宗库，等．混流式水轮机转轮模态计算及振动特性分析［Ｊ］．西华大学学报（自然科学版），２０１９，３８（６）：１－６． ＳＨＩＧｕａｎｇｔａｉ，ＹＡＮＧＸｉ，ＬＩＵＺｏｎｇｋｕ，ｅｔａｌ．Ｍｏｄａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＸｉｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ），２０１９，３８（６）：１－６．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅ；ｆｌｕｉｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ；ｍｏｄａｌａｎａｌｙｓｉｓ；ｐｒｉｎｃｉｐａｌｍｏｄｅ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
收稿日期：２０１９－０５－２４ 基金项目：中国博士后科学基金特别资 助 （２０１７Ｔ１０００７７）；中 国 博 士 后 科 学 基 金 面 上 资 助 （２０１６Ｍ６０００９０）；西 华 大 学 重 点 科 研 基 金 资 助
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｆｕｒｔｈｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｃａｕｓｅｓｏｆｃｒａｃｋｓａｎｄｅｖｅｎｂｒｅａｋｓｉｎｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐ ｅｒａｔｉｏｎ，ａＦｒａｎｃｉｓｔｕｒｂｉｎｅｕｓｅｄｉｎａｄｏｍｅｓｔｉｃｐｏｗｅｒｓｔａｔｉｏｎｗａｓａｄｏｐｔｅｄａｓｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｂｊｅｃｔ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｏｎｅｗａｙｆｌｕ ｉｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ＡＮＳＹＳＣＦＸａｎｄｗｏｒｋｂｅｎｃｈｐｌａｔｆｏｒｍｗｅｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｆｕｌｌｆｌｏｗｐａｓｓａｇｅａｎｄ ｍｏｄａｌａｎａｌｙｓｉｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｍｏｄｅｓｈａｐｅｓｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｆｒｅｅｍｏｄｅａｎｄｐｒｅｓ ｔｒｅｓｓｅｄｍｏｄｅｏｆｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｎｄｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｏｃｏｍ ｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙａｎａｌｙｚｅｉｔｓｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅ ｔｕｒｂｉｎｅｒｕｎｎｅｒｉｓｍａｉｎｌｙｌｏｃａｔｅｄｉｎｔｈｅｕｐｐｅｒｃｒｏｗｎｏｆｔｈｅｒｕｎｎｅｒ，ｔｈｅｌｏｗｅｒｒｉｎｇａｎｄｔｈｅｍｉｄｄｌｅｏｆｔｈｅｂｌａｄｅｏｕｔｌｅｔ．Ｔｈｅ ｒｕｎｎｅｒｍｏｄｅｓｈａｐｅｉｓｍａｉｎｌｙｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｓｆｏｕｒｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ，ｎａｍｅｌｙ，ｓｗｉｎｇ，ｐｉｖｏｔｉｎｇ，ｂｅｎｄａｎｄｔｈｅｕｐａｎｄｄｏｗｎｖｉｂｒａｔｉｎｇ ｉｎｔｈｅａｘｉａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎ．Ｗｈｅｎｔｈｅｔｕｒｂｉｎｅｉｓｏｐｅｒａｔｅｄａｔｔｈｅｓｐｅｅｄ２７２．７ｒ／ｍｉｎ，ｔｈｅｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｃｌｏｓｅｔｏｔｈｅ ｌｏｗｏｒｄｅｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｔｈｅｕｎｉｔｉｓｐｒｏｎｅｔｏｒｅｓｏｎａｎｃｅ．
考虑流固耦合的典型管段结构振动特性分析
然后 以 Ｄ ｖｄｏ ａｉ ｎ单弯管模型为例 ， ｓ 说明典 型管段结构组合的管道系统 的求解方法 ， 并验证直 管以及 弯管模型 和求解 方法 的正确性 。最后 ， 通过改变 弯管 的弯 曲半径以及角度来对管道 的流固耦合振动特性 的影响 因素进行分 析。结果表明 ， 弯 曲角度 以及弯曲半径越小 ， 频谱 曲线密集程度越低 ， 耦合振动越 弱 ， 反之越强。
收稿 日期 ６ １ ６ ２ １ ０ 一２
第 一作 者 李 艳 华 男 ， 士 生 ，９４年 １ 生 博 １８ ０月 通 讯作 者 柳 贡 民 男 ， 授 ， 士生 导 师 教 博
Ｏ Ａｏ＋警＝ ｔ ｇａ４ 。 ＋ｃ ｓ
Ｄ Ｐ Ｏ
＋
—
（） １
（） ２ （） ３
（ ４）
为一个 直管段 ， 通过传 递 矩 阵用直 管 的 １ 程模 型来 ４方
计算弯 管 。张志勇 把弯 管 划 分为 ４个单 元 ， 与 文 用
献 ［０ 同样 的方 法 对 弯管 进 行 了求 解 。 Ｌ ．Ｄ ｖ — １］ ．Ｃ ａｉ ｄ ｓｎ和 Ｊ ．Ｓ ｉ ｌ］对 弯管进 行 了研 究 ， ｏ ．Ｅ ｍ ｔ １ ， ｈ２ 建立 了 ８方 程传递矩 阵 ， 并设 计 了一个 单弯 管模 型 实 验 ， 行 了实 进
振
第２ ９卷第 ６期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ １ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｓ Ｋ
考 虑 流 固耦 合 的 典 型 管 段 结 构 振 动 特 性 分 析
李 艳 华 ，柳 贡 民 ，马
（ ． 尔 滨 工 程 大 学 动 力 与 能源 工 程 学 院 ， Ｉ哈 哈尔 滨
俊
１５０ ） ２０ ４
[39] 大型风电齿轮箱系统耦合动态特性研究_魏静
![[39] 大型风电齿轮箱系统耦合动态特性研究_魏静](https://img.taocdn.com/s3/m/94800df54afe04a1b071dee3.png)
束条件定义为支撑臂上下 Fig． 5 The finite element model 表面的完全约束。 建立齿 轮 － 传动轴 － 轴承 － 箱体 的非线性耦合有限元模型， 如图 5 所示。
图2 齿轮箱传动系统简图 of gearbox for windturbine
耦合有限元模型
2
风电齿轮箱动态激励模拟
图4 齿轮箱内部传动系统实体模型 Fig． 4 Internal transmission solid model of gearbox 图3 齿轮箱系统实体模型
1
齿轮箱系统耦合非线性动力学模型
把一对齿轮副简化为图 1 所示的振动系统， 则一 ［12 ］ 对齿轮的非线性动力学方程可表示为 ： mx + cx + k（ t） ［ x + x s + e（ t） ］ = F s
18
振 动 与 冲 击
2012 年第 31 卷
［4 ］ 动态激励现象称为齿轮啮合的刚度激励 ， 它是齿轮 。 传动中最主要的动态激励形式 由于齿轮时变啮合刚
入和啮出冲击力， 是齿轮啮合过程的动 态 激 励 之 一。 由于啮入冲击的影响比啮出冲击大， 因此只考虑啮入 冲击的影响。关于啮入冲击的冲击速度和冲击力可用 ［14 ］ 式（ 4 ） 、 式（ 5 ） 进行计算 ： 1 υ s = ω1 r g1 1 + i Fm = υs
图5 风电齿轮箱系统
Fig． 1 Vibration model of Gear system
额定功率为 3 ． 0 MW 的某大型风力发电机增速齿 轮箱传动系统原理图如图 2 所示。 该齿轮传动系统是 由内齿圈驱动星型轮系、 定轴轮系和一级平行轴结构 Z p2 、 组成。第一级为内齿圈 Z r 和三个行星齿轮 Z p1 、 Z p3 组成的输入级齿轮副； 第二级为行星齿轮 Z p4 、 Z p5 、 Z p6 和太阳轮 Z s1 组成的中间级齿轮副； 第三级为大齿轮 Z o1 和小齿轮 Z o2 组成的输出级齿轮副。 输入级为斜齿 中间级与输出级为斜齿轮外啮合传动。 轮内啮合传动， 该齿轮箱系统实体模型及内部齿轮系统实体模型如图 3、 图 4 所示。
车桥系统的耦合振动
357可见耦合振动的影响是巨大的统的振动影响很小由此可知桥面不平度对车桥耦合振动的影响不能忽略同时也说明了不平度的确定对车桥系统振动研究有重要意义是某重车通过桥梁时桥的动态放大因子13760382kg峰值的大小是静挠度的45这是因为重车通过时静挠度比较大对车桥振动的影响则逐步增加通过上述算例可以看到车桥耦合振动与曲线已经下降到较平缓的曲线区域如果不考虑惯性不考虑不平度则桥梁的最大挠度仅为静挠度的可见车桥系统振动的模型对研究结果影响极大本文的研究表明车桥系统模型也不能忽略振型ui则桥的振型对于汽车来说成为随时间变化的位移约束忽略了这一因素的模型只有在很小时才是可行的否则误差极大甚至产生本质性的错误建立了切合实际的车桥系统振动模型考虑了桥面不平及桥梁振型对系统振动的影响究结果表明它们对车桥耦合振动的影响非常大轻型车通过桥梁时桥面不平是系统演变的序参量这是因为方程个峰值即存在共振临界车速和亚临界车速界车速时的最大位移可达最大静位移的279车通过桥梁时桥梁最大变形曲线时最大位移是静位移的45较小不平度对系统演变的影响减弱桥梁振型及其导数对系统演变的影响增加方程变小所致共振临界车速及亚临界车速处的振动应进行控制控制的实现有赖于共振临界参数区域的确定这个参数区域也是确定公路设计行车速度和确定桥梁设计强度的依据忽略桥面不平和桥梁振型的车桥振动模型会引起很大的误差甚至产生本质性的错误zibdestochasicvibraticbearandommovingoadsnddetminisicenginee
胎不离桥面 ,则系统的运动微分方程为
m¨z + m1 ¨z1 + c1 [ y ( vt , t) + z1 - w ] + k1 [ y ( vt , t) + z1 - w ] = 0 ,
(1)
胎不离桥面 ,则系统的运动微分方程为
m¨z + m1 ¨z1 + c1 [ y ( vt , t) + z1 - w ] + k1 [ y ( vt , t) + z1 - w ] = 0 ,
(1)
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＝
ｌ＝ ２Ｄ （ ／－ （ ｔｉ Ｃｔ 一Ａ １ ａｖ ｉＣ ）ｎ Ｃ ） ＋ ）２ｎＯ ｓＱＯ ｓ ｏ ｏ
此 时完 全换 能 （ 即振动 能完全 转换 为扭转 能 ）所需 要 的全 振动次 数 为
（ ５） （ ６）
ｃ＝ ± １ ｏ ） ＋ ／
２ 系统参数 的关 系
从讨论可知 ，系统要求较为苛刻，为满足条件必须逐一进行分析． ２１ 系统 同步振 动 ． 在讨论中默认弹簧的各个部分都是 同步振动的，对于这种情形 ，要求系统满足 ：整个弹簧长度远小于
收稿 日期 ：２ １－ ９ １ ０ ００ — ０ －
ｓ ｃｏｓ
（ ， ）
（） ２ （） ３
引 征常数 ， ＝ ，ｋ 儿＝ ２ ｋ ， ＝Ｏ分别表 入特 ／ ４ ， ２／ ／ ｋ Ｃ 示振动主 转动主 频、 频和换能 率， 频
√ｃ ｏ 瓮（ ｓ ｏ ｓ ｃ
ｋ／１ Ｉｍ ４ｋ＝ ／
（ ４）
其中：Ａ为积分常数 ；０ ＝ ＝ ，且 ９ ０
作者简介 ：孙为民 （ ９ ０ ） １６ － ，男，黑龙江海伦人，副教授 ，从事基础物理、偏振光应用研究．Ｅ ｍ ｉ ｕｗ ｉｉ＠ｑ ｈｕｅｕ ｎ — ａ ：ｓｎ ｅ ｎ ｑｒ． ． ｌ ｍ ｄｃ
高 师 理 科 学 刊
第３ Ｏ卷
半个波长．为了简单起见 ， 仅考虑振动模式 ，此时 Ｌ ＜ ： ． ＜
１ 月 １ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编号 ：１０— ８ ２ １ ０７９３ １（ ００）０ —０ ３ ０ ６ ０５ — ３
拉扭耦合振 子特性研究
孙为 民 ，郝斌政
（ 齐齐哈尔大学 理学院 ，黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ） ６０ ６
摘 要 ：讨论 了拉 扭耦 合振 子 的运 动特 性及 其 解析 解 ，分 析在 系统振 动 能与扭 转 能 完全 交换条件 下
（？ ） ；） ｍ、 ＝（ ） 。）ｔ 一 （ Ｔｏ ｄ ｒ、 ｏ ，
对于一般弹簧满足 ｋｋ ＞ ｋｋ ．若系统可以满足完全换能条件 ，则系统必有两时刻满足 ｌ ＞ ２
ｆ ｃｎｔ ｎ－ １ ｆ１ ０ １ ｏｓ， ７ ＝９ ＝ ＝ ． ｔ ａ ｆ ｔ ＝ ｏｓ， ｒ＝ ｆ＝ ２ ０ ａ２ ｃｎｔ Ｘ２ ２ ａ ＝ ｔ 根据微分方程理论 ，可以解得满足此条件的解
得到 系统 刚度 系数 为
ｄ ￣ Ｅｄ４
—
系统在平衡状态下，重物的质量满足 ） ｋ ， ４ ｕ
—
—Ｚ ， Ｌ 一 ，３２ 足 １ （ 彳 足 一 ， ６— ＤＩ ＋， 譬
ｍ ： ｋ ＝ ６６ ｇ Ｆ＝ ｌ ｋ ｝ Ｅ
（ ９）
（ ０） １
２４ 完全 换 能条件 ．
第３ ０卷 第 ６ 期
２ ０矩 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅａ ｄＵ ｉｅ ｔ ｏＳ Ｔ ｅ ｓ ｙ
Ｖ １ ３ Ｎｏ６ ｏ． Ｏ ． ＮＯ ． Ｖ ２ ０ ０１
Ｏｏ ）
对于弹簧 中的波速 ，根据弹簧弹性波理论可以得到 ｕ （ ７ ． ＝ ／ ） ７ 那么弹簧质量满足
ｏ Ｌ＜ １ ＝ｑ ＜７ｍ ； ２ （ ７）
２２ 弹簧 自重问题 － 对于重弹簧的振动问题较为复杂，由于需要知道在何种条件下可以忽略 自 ，则仅需要考虑一个粗略 重
的模型即可・同样仅考虑振动模式 ，对于重弹簧的频率修正为嘲
对于耦合振子的研究 ，人们主要关注多弹簧耦合 隋形 ，对于拉扭耦合 ，讨论较多的是拉扭耦合条件
下弹簧 中的波动传播 ，实际上对于拉扭 ２ 自由度耦合得到的耦合振子的运动特性也是非常有益的． 个
１ 扭摆振动 的动力学方程
在扭摆系统中，弹簧 的长度为 Ｌ，刚度系数张量为 ｋ，中径为 Ｄ ，簧丝直径为 ｄ，自由长度下螺旋角 为 ，单位长度质量为 ７，弹簧圈数为 Ⅳ ，弹簧材料密度为 Ｐ，杨 氏模量为 Ｅ，泊松 比为 ，重物质量 ７ 为 ｍ ，转动惯量为 ， ．设弹簧伸长为 ｘ，扭转角为 ０，那么在忽略弹簧质量条件下系统的动力学方程满足
４＝
△ 兰± ！ ： （
±
｜ ＋ Ｉ 足ｙ ： （ １
二
±
（ ８）
其 中：七 为当前弹簧螺旋角正切值；ｒ 为弹簧半径 ；Ｒ为簧丝直径．
对于弹簧 ， 螺旋角取值范围为 ＝ 。 ９ ，满足小角度情形 ， ５一 。 在弧度制下 ｋ ５，同时应用式 （ ） ≈ ８ 可以
解的形式和 系统应该满足的条件 ， 从而得到可以出现这种情况的各项实验参数的关系， 这对设计 和 制作 完全换 能拉扭 耦 合振 子 有重要 的指 导 意义 ． 关 键词 ：拉 扭耦 合振 子 ；螺 旋 角 ；泊松 比 ；刚度 系数 ；完全换 能
中图分 类号 ：０ ２ ３１ 文 献标 识码 ：Ａ ｄ ｉ ０３６￣ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ ０ ６ １ ｏ：１．９９ ．ｓ． ７ ９ ３ ． １． ． ９ ｓ ０ ２ ００
弹簧完全可 以忽略 自重． ２３ 重物质 量取 值 ． 在讨论该 问题之前 ，必须引入弹簧的刚度系数表达式Ｈ 拍
ｋ １
・
这样 ，满足式 （ ）的 ７
ｋ ｎ 十。＋） ） Ｅ ［七 １∥ ／ ＝ Ｒ１ （ ｌ △
ｋ＝ ７ ／ Ａ ２ －【 ｋ（ ） 尺 ｒ
ｋ＝ ７Ｅ Ｏ Ｒ／ｒ ／△ ３一ｐＲｋ＋ ）ｒ） ｔ ． ４ （ ４（ ） ２２２（ ） ［ ＋ ＋２ 】 △ ４ １ ＋ Ｒ ｒ／ ４
考虑刚度系数各分量性质及其与各特征主频的关系，可以得到
２ （
）＝ （ 一 ＜ １ １ ）／ ＜ ＋ ｌ
（ １ １）
把式 （ ） （ １ 代人式 （ ） （ ）可以得到 ９， １） ６， ４
（± ≈ｏ １ ） １ ２ ） ｃ（＋ ｏ ｆ＝Ａ ｏ（ｏ ＣＳＣｏ ｃｓＯｔ Ｏ（Ｃｔ Ｃ） ｔ ） Ｏ
ｌ＝ ２Ｄ （ ／－ （ ｔｉ Ｃｔ 一Ａ １ ａｖ ｉＣ ）ｎ Ｃ ） ＋ ）２ｎＯ ｓＱＯ ｓ ｏ ｏ
此 时完 全换 能 （ 即振动 能完全 转换 为扭转 能 ）所需 要 的全 振动次 数 为
（ ５） （ ６）
ｃ＝ ± １ ｏ ） ＋ ／
２ 系统参数 的关 系
从讨论可知 ，系统要求较为苛刻，为满足条件必须逐一进行分析． ２１ 系统 同步振 动 ． 在讨论中默认弹簧的各个部分都是 同步振动的，对于这种情形 ，要求系统满足 ：整个弹簧长度远小于
收稿 日期 ：２ １－ ９ １ ０ ００ — ０ －
ｓ ｃｏｓ
（ ， ）
（） ２ （） ３
引 征常数 ， ＝ ，ｋ 儿＝ ２ ｋ ， ＝Ｏ分别表 入特 ／ ４ ， ２／ ／ ｋ Ｃ 示振动主 转动主 频、 频和换能 率， 频
√ｃ ｏ 瓮（ ｓ ｏ ｓ ｃ
ｋ／１ Ｉｍ ４ｋ＝ ／
（ ４）
其中：Ａ为积分常数 ；０ ＝ ＝ ，且 ９ ０
作者简介 ：孙为民 （ ９ ０ ） １６ － ，男，黑龙江海伦人，副教授 ，从事基础物理、偏振光应用研究．Ｅ ｍ ｉ ｕｗ ｉｉ＠ｑ ｈｕｅｕ ｎ — ａ ：ｓｎ ｅ ｎ ｑｒ． ． ｌ ｍ ｄｃ
高 师 理 科 学 刊
第３ Ｏ卷
半个波长．为了简单起见 ， 仅考虑振动模式 ，此时 Ｌ ＜ ： ． ＜
１ 月 １ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编号 ：１０— ８ ２ １ ０７９３ １（ ００）０ —０ ３ ０ ６ ０５ — ３
拉扭耦合振 子特性研究
孙为 民 ，郝斌政
（ 齐齐哈尔大学 理学院 ，黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ） ６０ ６
摘 要 ：讨论 了拉 扭耦 合振 子 的运 动特 性及 其 解析 解 ，分 析在 系统振 动 能与扭 转 能 完全 交换条件 下
（？ ） ；） ｍ、 ＝（ ） 。）ｔ 一 （ Ｔｏ ｄ ｒ、 ｏ ，
对于一般弹簧满足 ｋｋ ＞ ｋｋ ．若系统可以满足完全换能条件 ，则系统必有两时刻满足 ｌ ＞ ２
ｆ ｃｎｔ ｎ－ １ ｆ１ ０ １ ｏｓ， ７ ＝９ ＝ ＝ ． ｔ ａ ｆ ｔ ＝ ｏｓ， ｒ＝ ｆ＝ ２ ０ ａ２ ｃｎｔ Ｘ２ ２ ａ ＝ ｔ 根据微分方程理论 ，可以解得满足此条件的解
得到 系统 刚度 系数 为
ｄ ￣ Ｅｄ４
—
系统在平衡状态下，重物的质量满足 ） ｋ ， ４ ｕ
—
—Ｚ ， Ｌ 一 ，３２ 足 １ （ 彳 足 一 ， ６— ＤＩ ＋， 譬
ｍ ： ｋ ＝ ６６ ｇ Ｆ＝ ｌ ｋ ｝ Ｅ
（ ９）
（ ０） １
２４ 完全 换 能条件 ．
第３ ０卷 第 ６ 期
２ ０矩 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅａ ｄＵ ｉｅ ｔ ｏＳ Ｔ ｅ ｓ ｙ
Ｖ １ ３ Ｎｏ６ ｏ． Ｏ ． ＮＯ ． Ｖ ２ ０ ０１
Ｏｏ ）
对于弹簧 中的波速 ，根据弹簧弹性波理论可以得到 ｕ （ ７ ． ＝ ／ ） ７ 那么弹簧质量满足
ｏ Ｌ＜ １ ＝ｑ ＜７ｍ ； ２ （ ７）
２２ 弹簧 自重问题 － 对于重弹簧的振动问题较为复杂，由于需要知道在何种条件下可以忽略 自 ，则仅需要考虑一个粗略 重
的模型即可・同样仅考虑振动模式 ，对于重弹簧的频率修正为嘲
对于耦合振子的研究 ，人们主要关注多弹簧耦合 隋形 ，对于拉扭耦合 ，讨论较多的是拉扭耦合条件
下弹簧 中的波动传播 ，实际上对于拉扭 ２ 自由度耦合得到的耦合振子的运动特性也是非常有益的． 个
１ 扭摆振动 的动力学方程
在扭摆系统中，弹簧 的长度为 Ｌ，刚度系数张量为 ｋ，中径为 Ｄ ，簧丝直径为 ｄ，自由长度下螺旋角 为 ，单位长度质量为 ７，弹簧圈数为 Ⅳ ，弹簧材料密度为 Ｐ，杨 氏模量为 Ｅ，泊松 比为 ，重物质量 ７ 为 ｍ ，转动惯量为 ， ．设弹簧伸长为 ｘ，扭转角为 ０，那么在忽略弹簧质量条件下系统的动力学方程满足
４＝
△ 兰± ！ ： （
±
｜ ＋ Ｉ 足ｙ ： （ １
二
±
（ ８）
其 中：七 为当前弹簧螺旋角正切值；ｒ 为弹簧半径 ；Ｒ为簧丝直径．
对于弹簧 ， 螺旋角取值范围为 ＝ 。 ９ ，满足小角度情形 ， ５一 。 在弧度制下 ｋ ５，同时应用式 （ ） ≈ ８ 可以
解的形式和 系统应该满足的条件 ， 从而得到可以出现这种情况的各项实验参数的关系， 这对设计 和 制作 完全换 能拉扭 耦 合振 子 有重要 的指 导 意义 ． 关 键词 ：拉 扭耦 合振 子 ；螺 旋 角 ；泊松 比 ；刚度 系数 ；完全换 能
中图分 类号 ：０ ２ ３１ 文 献标 识码 ：Ａ ｄ ｉ ０３６￣ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ ０ ６ １ ｏ：１．９９ ．ｓ． ７ ９ ３ ． １． ． ９ ｓ ０ ２ ００
弹簧完全可 以忽略 自重． ２３ 重物质 量取 值 ． 在讨论该 问题之前 ，必须引入弹簧的刚度系数表达式Ｈ 拍
ｋ １
・
这样 ，满足式 （ ）的 ７
ｋ ｎ 十。＋） ） Ｅ ［七 １∥ ／ ＝ Ｒ１ （ ｌ △
ｋ＝ ７ ／ Ａ ２ －【 ｋ（ ） 尺 ｒ
ｋ＝ ７Ｅ Ｏ Ｒ／ｒ ／△ ３一ｐＲｋ＋ ）ｒ） ｔ ． ４ （ ４（ ） ２２２（ ） ［ ＋ ＋２ 】 △ ４ １ ＋ Ｒ ｒ／ ４
考虑刚度系数各分量性质及其与各特征主频的关系，可以得到
２ （
）＝ （ 一 ＜ １ １ ）／ ＜ ＋ ｌ
（ １ １）
把式 （ ） （ １ 代人式 （ ） （ ）可以得到 ９， １） ６， ４
（± ≈ｏ １ ） １ ２ ） ｃ（＋ ｏ ｆ＝Ａ ｏ（ｏ ＣＳＣｏ ｃｓＯｔ Ｏ（Ｃｔ Ｃ） ｔ ） Ｏ