电荷和电场

本章主要内容
电荷和电场 电流和磁场 麦克斯韦方程组 介质的电磁性质 电磁场边值关系 电磁场的能量和能流
§1.1 电荷和电场
Electric Charge and Electric Field
1.库仑定律（ 1.库仑定律（Coulomb’s law) 库仑定律 ) Coulomb’s law是描写真空中两个静止的点电荷q’ 和q之间相互作用力的定律。其数学表达式为
1
∫
ρ(x′)
dV′
1 r ∇ =− 3 r r 1 1 E(x) = −∇ ∫′ ρ(x′) r dV′ 4πε0 V
∇ × ∇ϕ ( x ) = 0
∇× E(x) =∇×[ −∇ϕ(x)] = 0
= −∇ϕ(x)
∇× E(x) = 0
静电场的旋度另外一种证明方法 静电场的旋度另外一种证明方法P6，自己看 另外一种证明方法
ρ ( x′ ) r Ε=∫ dV ′ 3 4πε0 r
dQ = ρ ( x′ ) dV ′
若已知 ρ ( x′) ，原则上可求出 E ( x) 。若不能积分,可 近似求解或数值积分。但是在许多实际情况 ρ ( x′) 不 总是已知的。例如，空间存在导体介质，导体上 会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分 布，这些电荷分布一般是不知道或不可测的，它 们产生一个附加场 E′ ，总场为 E总=E + E′ 。因此要 确定空间电场，在许多情况下不能用上式，而需 用其他方法。
第一章 电磁现象的普遍规律
Universal Law of Electromagnetic Phenomenon Phenomenon
本章将从基本的电磁实验定律出发建立真空 中的Maxwell’s equations。并从微观角度论证了 存在介质时的Maxwell’s equations 的形式及其电 磁性质的本构关系。继而给出Maxwell’s equations在边界上的形式，及其电磁场的能量 和能流.
∇× E(x) = 0
• 讨论： 1) 电场强度的旋度是个矢量。 2) 物理意义
∫ E ⋅ dl = ∫∫ (∇× E来自 ⋅ dS = 0l s
3) 电场的物理图象 静电场没有涡旋状结构，是无旋场。 4) 不适用于一般的电场。
静电场的两个方程
1 ∇ ⋅ E ( x ) = ε ρ ( x ) 0 ∇ × E ( x ) = 0
i
c) 电荷守恒定律 电荷守恒定律(Conservation of Charge) 通过界面流出的总电流应该等于V内电荷的减小率 通过界面流出的总电流应该等于 内电荷的减小率
∫∫
S
∂ρ J ⋅ dS = − ∫ dV ∂t V
------电荷守恒定律的积分形式 电荷守恒定律的积分形式
∫∫ J ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ JdV
S V
∂ρ ∇⋅ J + =0 ∂t
------电荷守恒定律的微分形式。 电荷守恒定律的微分形式。 电荷守恒定律的微分形式
讨论： 讨论：
∂ρ ∇⋅ J + =0 ∂t
∫∫
S
∂ρ J ⋅ dS = − ∫ dV ∂t V
1）当V是全空间，S为无穷远界面，由于在 上没有电流流出，则 ） 是全空间， 为无穷远界面 由于在S上没有电流流出 为无穷远界面， 上没有电流流出， 是全空间 有 d ——全空间的总电荷守恒 全空间的总电荷守恒
1、电流、电荷守恒定律 、电流、 (electric current, conservation law of electric charge)
电流强度I对电流的描述比较粗糙：如对横截面不等的导体，I不能 反映不同截面处及同一截面不同位置处电流流动的情 况。
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 的金属导线
故有
这就是静电场中电势ϕ 满足的泊松方程，而
ϕ=
∫ 4πε 0 V ′
1
ρ ( x′)
r
dV ′ 是泊松方程的特解。
§1.2 电流和磁场
Electric Current and Magnetic Field
本节主要讨论磁场的基本规律，因为磁场是与 电流相互作用的，而Ampere’s law在静磁学中的地位 同Coulomb’s law 在静电学中的地位相当，所以，这 节中的电流元相当于上节中的点电荷，在讨论磁场 规律之前，先讨论电流分布的基本规律。
Qr E= 4πε 0 a 3
(r < a)
Qr E= (r > a) 3 4πε0r
电场的散度 当r>a时 时 当r<a时 时
Qr E= 3 4πε 0 a
(r < a)
r ∇⋅E = ∇⋅ 3 = 0 4πε 0 r
∇⋅E = Q 4πε 0 a ∇⋅r = 3 3Q ρ = 3 4πε 0 a ε0
只在恒定电流 条件下成立
∫ dt dt
V
ρ dV = 0
2.当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化， 当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化， 当电流为恒定电流时 即有 因此， 因此，
∂ρ =0 ∂t
∇⋅ J = 0
——恒定电流的连续性 恒定电流的连续性
毕奥–萨伐尔定律 ２． 毕奥 萨伐尔定律 1). 磁场 电流之间存在作用力 这种作用力是通过一种物 磁场: 电流之间存在作用力,这种作用力是通过一种物 质作为媒介来传递,这种特殊物质称为磁场 质作为媒介来传递 这种特殊物质称为磁场. 这种特殊物质称为磁场 2). 恒定电流激发磁场的规律由毕奥 萨伐尔定律给出。 恒定电流激发磁场的规律由毕奥–萨伐尔定律给出 萨伐尔定律给出。
电磁场
电场：电荷周围的空间存在着一个特殊的物质， 电场：电荷周围的空间存在着一个特殊的物质，电荷在其 中会受到作用力。 中会受到作用力。 电场强度：在点x上一个单位试验电荷在场中所受的力 电场强度：在点 上一个单位试验电荷在场中所受的力
F = Q′E
由库仑定律，一个静止电荷 所激发的电场强度为 由库仑定律，一个静止电荷Q所激发的电场强度为
2. 高斯定理和电场的散度
(1) 高斯定理 Gauss’ theorem (证明过程自己看，P5） 证明过程自己看， 证明过程自己看
∫
S
E ⋅ dS =
V
Q
ε0
dS
θ
n
E
Q = ∫ ρ ( x′)dV′
• 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比 值。 • 它适用求解对称性很高情况下的静电场。 它适用求解对称性很高情况下的静电场。 • 它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内的关系 ， 不反应电 它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内的关系， 场的点与点间的关系。 场的点与点间的关系。 • 电场是有源场，源为电荷。 电场是有源场，源为电荷。
V
1
ε0
ρ =0
1
∫∇⋅ EdV =
V
1
ε0 V
∫ ρdV
∇⋅ E =
ε0
ρ
∇⋅ E =
• 讨论：
1
ε0
ρ
1) 电场强度的散度是个标量。 2)严格说来： ∇⋅ E(x) =
1
ε0
ρ(x)
3) 空间任一点 E (x ) 的散度仅仅决定于该点的电荷密度， 而 ⋅ E (x ) 描述场源的性质（有检源作用）。 ∇ 4) Gauss’ theorem反映了电荷激发电场通量的基本规律， ) E(x) E( x) ρ( 是因， x ) 是果。而 与 ρ ( x是同一点上，作用 不需要时间，即瞬间作用。
Q
散度的局域性质： 散度的局域性质：虽然对任一个包围着电荷的曲面都有 电通量， 散度只存在于有电荷分布的区域内， 电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内，在没
有电荷分布的空间电场的散度为零。 有电荷分布的空间电场的散度为零。
3.静电场的旋度（rotation of electrostatic field） 静电场的旋度（ 静电场的旋度 ）
例题(课本 例题 课本P7) 课本
电荷Q均匀分布于半径为 的球体内， 电荷 均匀分布于半径为a的球体内， 均匀分布于半径为 的球体内
求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。 求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。 作半径为r的球 与电荷球体同心）。由对称性， 的球（ ）。由对称性 解：作半径为 的球（与电荷球体同心）。由对称性， 在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。 在球面上各点的电场强度有相同的数值 ，并沿径向。 1）当 r>a时，球面所围的总电荷为 ，由高斯定理得 ） 时 球面所围的总电荷为Q，
可知： a) 静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正 电荷出发到负电荷终止，有头有尾。 b) 静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即
E ( x ) = −∇ϕ 因此，它是保守场，电荷在场中沿闭合曲
线运动一周电场力做功为零。
c) 因为 E ( x ) = −∇ϕ , ∇ ⋅ E = 1 ρ . ε0 1 2 ∇ ϕ =− ρ ε0
dI = JdS cos θ = J ⋅ dS
通过任一曲面S的总电流强度 为 通过任一曲面 的总电流强度I为 的总电流强度
I = ∫ J ⋅dS
s
讨论： 讨论：
1. 电流由一种运动带电粒子构成
∆S
j
J = ρv
2. 电流由几种带电粒子构成， 电流由几种带电粒子构成，
I
∆ I = ρ v ∆S
J = ∑ ρ i vi
为源点x’上的电流密度 为由x’点到场点 的距离， 设J(x’)为源点 上的电流密度，r为由 点到场点 的距离，则场点 为源点 上的电流密度， 为由 点到场点x的距离 上的磁感应强度为
µ0 J ( x′) ×r B( x ) = dV′ 3 4π ∫ r