广东省普宁市华美实验学校2017-2018学年高二下学期第一次月考数学理试题 精品

考试时间：120分钟；满分：150分；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）． 1．在ABC ∆中，已知4345,22,3B c b ===，则C =（ ） A. 60 B. 30 C. 60或120 D. 1202．等差数列{}n a 中， 6916a a += ， 41a = ，则11a = （ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 64 3．已知()()'1ln f x f x x =+，则()f e =（ ） A. 1e + B.e C. 2e + D. 34．ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 5．已知函数()321132f x ax bx x =+-（0a >， 0b >）在1x =处取得极小值，则14a b +的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 10 6．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得 到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示． 现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新 正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10，则()1022S -= （ ） A.3164a B. 6164a C. 3132a D. 61128a7．过点()11M ， 的直线与椭圆22143x y += 交于A ， B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为（ ）2017-2018学年度第二学期第一次月考高二级理科数学试题卷A. 3470x y +-=B. 3410x y -+=C. 4370x y +-=D. 4310x y --= 8．“1x m <-或1x m >+”是“2230x x -->”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围（ ） A. []0,2 B. ()0,2 C. [)0,2 D. (]0,2 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A. 2或－23 B. －2 C. －2或－23 D. 2310．点 P 是棱长为 1 的正方体 1111ABCD A B C D - 的底面ABCD 上一点，则 1PA PC ⋅ 的 取值范围是 ( )A. 11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. []1,0- D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时， ()()'0f x xf x +<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. {|2002}x x x -<<<<或B. {|22}x x x <->或C. {|202}x x x -<<>或D. {|202}x x x <-<<或12．已知函数()()()31,0,1,0xx x f x x e x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 211,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ()2,1e -- D. (),1-∞- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．221169x y -=，则此双曲线的离心率为__________． 14．已知,x y 满足02 0x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2y z x =+的最大值为__________．15．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是____________ 16．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，给出下列命题：①()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ②2-是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在区间()2,2-上单调递减. ； ④1不是函数()y f x =的极值点．则正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =， ABC ∆的面积为3，求该三角形的周长.18．已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围. 19．设数列{a n }的前n 项和S n . 已知a 1=1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *. (Ⅰ) 求a 2的值； (Ⅱ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ) 证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 20．如图，四棱锥 P ABCD - 底面为正方形，已知 PD ABCD ⊥平面， PD AD =，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且 PM DN =． （1）求证： MN PCD 直线平面； （2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB与平面 AMN 所成的角的余弦值．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别是()12,0F -， ()22,0F ，且点61,2P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为D ，过点2,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线m 与椭圆C 相交于异于D 的不同两点A ，B ， 求ABD 的面积S 的最大值.22．已知函数()()2,ln f x x g x ax b x =-=+（a 、b 为常数）.若函数()f x 与()g x 的图象在()11f （，）处相切， （Ⅰ）求()g x 的解析式； （Ⅱ）设函数()()2g x x m h x x+=+()1m e ＜＜，若()h x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数m 的值; （Ⅲ）设函数()()()()22x t x t g x t R ϕ=--+-∈，若()x x ϕ>在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求实数t 的取值范围.高二级理科数学一次月考 答案1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．A 13．54 14．1315．(－∞，－1] 16．②④17．(1) 3C π=;(2)6.【解析】（1）由()2cos cos a b C c B -⋅=⋅得2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+ ∴2sin cos sin A C A =∴1cos 2C = ∵0C π<< ∴3C π= （2）∵1sin 32ABC S ab C ∆== ∴4ab =又()222223c a b abcosC a b ab =+-=+- ∴()216a b += ∴4a b +=∴周长为6.18．(1) 52a =-；(2) 11732m -<<-. 【解析】（1）由()321613f x x ax x =++-，则()226f x x ax =++'因在2x =时， ()f x 取到极值所以()204460f a =⇒++='解得， 52a =- （2）由（1）得()32156132f x x x x =-+-且13x ≤≤ 则()()()25623f x x x x x =-+=--'由()0f x '=，解得2x =或3x =；()0f x '>，解得3x >或2x <；()0f x '<，解得23x <<∴()f x 的递增区间为： (),2-∞和()3,+∞；()f x 递减区间为： ()2,3 又()1123f =， ()732f =故答案为11732m -<<- 19．（1）24a =；（2）2n a n =；（3）见解析. 【解析】(Ⅰ) 1121222133S a a ==---，解得24a =. (Ⅱ) 32112233n n S na n n n +=---()()1123n n n n na +++=- ()()()()1112123n n n n n S n a n --+=--≥两式相减得()()111n n na n a n n +=+-+， 111n na a n n+-=+ ()2n ≥，当1n =时，符合此式， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， n a n n =， 2n a n =. (Ⅲ)证明：因为()2111111n n n n n<=---，所以222111123n ++++1111114231n n <++-++--71744n =-<.20．（1）见解析（2）223【解析】（1） 延长 AN ，交 CD 于点 G ，连接 PG ， 由相似知AN BN AMNG ND MP==，可得： MN PG ， MN PCD ⊄平面， PG PCD ⊂平面， 则 MN PCD 直线平面．（2） 由于 DA ， DC ， DP 两两垂直，以 DA ， DC ， DP 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， 设 ()1,0,0A ，则 ()1,1,0B ， ()0,1,0C ， ()0,0,1P ， 11,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， 11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则 ()1,1,1PB =-，平面 AMN 的法向量为 ()1,1,1m =， 设向量 PB 与 m 的夹角为 θ，则 1sin 3θ=， 则 PB 与平面 AMN 夹角的余弦值为223． 21．（1）22142x y +=；（2）169S =.【解析】(1)由题意，焦距222c =，∴2c =，∴椭圆()22222:122x y C a a a +=>-. 又椭圆C 经过点61,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()2216142a a +=-， 解得24a =或212a = (舍)，∴22b =.∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=. (2)由(1)，得点()2,0D -，由题意，直线m 的斜率不等于0，设直线m 的方程为23x ty =-， ()11,A x y ， ()22,B x y ，联立222{ 3240x ty x y =-+-=，消去x ，得()2291812320t y ty +--=， ∴()()22124329180t t ∆=+⨯⨯+>，12212918ty y t +=+， 12232918y y t =-+， ∵()()()()2222212122124329181918t tAB x x y y t t +⨯⨯+=-+-=+⋅+，化简，得222916121918t AB t t +=+⋅+， 又点D 到直线m 的距离为2431d t=+，∴ABD 的面积12S = 228916918t AB d t +⋅⋅=+， 令()29164t λλ=+≥，则28822S λλλλ==++， 而函数2u λλ=+在[)4,λ∈+∞时单调递增，∴S 在[)4,λ∈+∞时单调递减， ∴当4λ=时即0t =时， ABD 的面积S 有最大值169S =. 22．(Ⅰ) ()2ln g x x x =-+；(Ⅱ) m e =；(Ⅲ) [)24ln2-+∞，. 【解析】（Ⅰ）由已知得()0,bg x a x x='+>（）函数()()f x g x 与的图象在()11f （，）处相切，所以()()()11,{ 111,g f g ===-'即1{ 1a b a +==-，解得1,2a b =-=，故()2ln g x x x =-+（Ⅱ）()ln (0)mh x x x x=+>得，()221'.m x m h x x x x -=-=当1x m <<时， ()'0h x <，即()h x 在()1,m 上为减函数； 当m x e <<时， ()'0h x >，即()h x 在(),m e 上为增函数； 所以x m =是函数()h x 在[]1,e 上的极小值点，也就是它的最小值点， 因此()h x 的最小值为()3ln 12h m m =+=∴m e = （Ⅲ）()()()()222ln 212ln 0x t x t x x x t x x ϕ=--++->⇒--->在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2ln 21x t x >--恒成立， 令()2ln 21xR x x =--，则()()222ln 21x x R x x +--'=， 再令()212ln 2,0,2u x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220,x u x x x x -=-=-<' 故()u x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，于是()122ln202u x u ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 从而()0,R x '>所以()R x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数， ()124ln22R x R ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要2ln 21xt x >--恒成立，只要24ln2t ≥-， 所以实数t 的取值范围为[24ln2-+∞，）.。