第五章傅里叶变换应用于通信系统
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第五章傅立叶变换应用于通信系统
V2 ( ) H ( ) V1( )
H ( ) e j( ) j ( 0 ) ( 0 )
H( ) 为偶函数，( ) 为奇函数
V2() H (0 ) j ( 0 )e j(0 ) ( 0 )e j(0 )
利用频移特性 e j0t 2( 0 ) e j0t 2( 0 )
R( j)
r ( j)
H ( j) H ( j) e j( j) 的求解方 法？
❖ 方法一： h(t)的傅立叶变换 ❖ 方法二： 系统微分方程两边求傅立叶变
换
❖ 方法三：利用输入为 e(t) e jt
时的系统响应 r(t) e jt H ( j )
方法一： h(t)的傅立叶变换
e(t) (t)
1)系统零状态响应r(t) :
2）物理意义：
系统功能——对信号各频率分量进行加权，
( ) H ( j)—加权函数 E( j)激励 H( j) R( j)
即任意激励信号 F e jt信号（或正弦分量）
分量单独作用于系统 各响应 取和 完整响应信号
在线性时不变系统的分析中, 无论时域,频域,复频域 的方法都可按信号分解,求响应再叠加的原则来处理.
一、信号失真原因
一般情况下,系统响应波形与激励波形不相同. 即信号在传输过程中产生失真.
线性系统引起的信号失真有两方面因素:
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真.
信号失真原因
系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比,
2 0
x
其中引入x w(t t0 )
统对信号的处理效果。
2. 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应 波形的差异，系统对信号的加权作用改变了
傅里叶变换应用于通信系统
第五章傅里叶变换应用于通信系统第二讲无失真传输和希尔伯特变换123通信系统的一个主要任务就是有效而可靠地传输信号。
从信号的角度来看，希望所要传送的信号能够毫无阻碍地、毫无畸变地按照一定的方式通过传输系统。
例如信息传输系统，总希望在接受端获得和发送信号（语音、图像和数据信号等）完全一样的信号，即实现所谓波形的无失真传输；但是另一个方面，从传输系统的角度看，却要求在最经济的条件下达到传送信号的目的，这包括了功率的节省、设备的简易性、频带的压缩和作用的有效性等。
因此，信号通过系统的传输过程，实质上就是限制传输（有效性）和反限制传输（可靠性）之间取得最佳匹配的过程。
一般情况下，传输系统的响应波形与激励波形不相同，也就是说信号在传输过程中将产生失真。
信号无失真传输和处理的条件所谓无失真传输，是指输出信号是输入信号的准确复制品，这个复制品可以有不同的幅度和出现时间，但是要求其波形形状相同。
图5-2-1 无失真传输系统假设输入信号为,输出信号为,则信号的无失真传输条件在时域表示为：。
式中，是一个常数，是滞后时间。
当此条件满足时，输出波形就是输入波形滞后时间的复制品，虽然其幅度变为原来的倍，但是其波形形状保持不变。
如果从频域来看，无失真传输就是对系统的转移函数提出约束条件：由此我们可以得出，要使任意波形的信号通过线性系统不产生波形失真，系统必须满足的两个条件是：1. 系统的幅频特性在整个频率范围内为常数，即系统有无限带宽的通频带。
2. 系统的相频特性是经过原点的直线。
这两个条件的物理意义是不难理解的。
因为在每点上都比大倍，所以的每个频率分量都应当比的相应分量大倍，从而有，即对所有的频率都是常数。
另外，因为较滞后一段时间，所以的每个频率分量都要比的相应分量滞后时间，在角频率上，对应的是各个点的相位滞后了，即。
群延时和相位延时描述系统相移特性的另一种方法是群延时（或称群时延）特性来表示。
群延时定义为相移特性的微分：。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
傅里叶变换应用
傅里叶变换应用傅里叶变换是一种重要的数学工具，无论在理论研究还是工程应用方面都有广泛的应用，特别是在信号分析和处理中。
而在中国的文化传承中，也存在一些与傅里叶变换相似的思想和方法。
在本文中，将介绍傅里叶变换的应用，并探讨它符合中国文化的一些特点。
一、傅里叶变换的应用1. 信号处理：傅里叶变换可以将信号从时域变换到频域，对信号进行频率分析和滤波处理。
在音频和图像处理中有广泛的应用。
2. 通信系统：傅里叶变换可以用于频域信号的传输和检测。
例如，在OFDM系统中，傅里叶变换被用于将并行数据转换为串行数据，从而提高传输效率。
3. 数学物理：傅里叶变换在数学和物理领域也有重要的应用。
在微积分和偏微分方程中，傅里叶变换可以将函数从时域变换到频域，从而提供一种处理和求解问题的方法。
二、傅里叶变换符合中国文化的特点1. 阴阳五行：中国传统文化中的阴阳五行概念与傅里叶变换的频域分析有一定的相似性。
阴阳五行代表了宇宙的生命能量和运动规律，而傅里叶变换可以将信号分解成不同的频率分量。
两者都将复杂的信息进行了分解和提取，从而更好地理解和运用。
2. 整体观念：中国文化中的整体观念强调了个体的归属感和社会的协同性，而傅里叶变换也是从整体到局部的分解和重构。
傅里叶变换将信号从时域转换为频域，将复杂、多元的信息进行整合和分类，从而更好地展现整体性和协同性。
3. 变通性：中国文化中的变通概念指的是根据实际情况来灵活处理问题，而傅里叶变换也体现了这种变通性。
傅里叶变换可以对不同类型的信号进行分析和处理，而且对于不同的应用场景也可以进行调整和优化，实现最佳的效果。
四、结论傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在工程应用和理论研究中有广泛的应用。
同时，傅里叶变换符合中国文化的一些特点，如阴阳五行、整体观念和变通性。
尤其是在数字信号处理和通信系统中，傅里叶变换更是发挥了重要的作用。
通过进一步的研究和应用，傅里叶变换可以为社会的发展和进步带来更多的便利和创新。
第5章傅里叶变换应用于通信系统滤波调制与抽样课件
xlabel('角频率w(rad/s)'); ylabel('相位(度)');
程序运行结果如图所示。
• 用MATLAB画出的幅频和相频特性图
截止频率
当
rad/s时
当
rad/s时
所以，系统响应为
• 用MATLAB画出的输入和输出波形
例
某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图
所示。若激励
h(t)
lim c
π c
sin[c (t t0 )] c (t t0 )
lim c
π c
Sa[c (t
t0 )]
(t
t0)
欲使h(t)不失真，理想低通滤波器的带宽必须为无
！ 限宽，即应满足无失真传输的条件。理想低通滤
波器为一非因果系统，实际中是不可实现的，但
在分析和设计滤波器时仍具有理论指导意义。
理想低通滤波器的频率响应为
|H(jω)|
() t0 K
H
(
j)
Ke
jt0
,
c
t
0,
c
c 0
c
滤波器的 截止频率
通带 c 阻带 c
通带 阻带
使信号通过的频率范围。 阻止信号通过的频率范围。
1. 理想低通滤波器的冲激响应为
h(t) F 1[H ( j)] 1 H ( j)e jtd 1 e e d c jt0 jt
例
右图是常见的用RLC元件 构成的某系统电路。设
，
，
试用MATLAB的freqs()函数 求解该系统频率响应并绘图。 RLC二阶低通滤波器电路图
解 根据原理图，容易写出系统的频率响应为：
傅里叶变换应用于通信系统
(2）无失真传输条件2（时域角度)
设 h(t ) H ( j )
F
则 h(t ) K (t t0 ) 即要求系统的冲激响应仍为冲激函数
5.3 理想低通滤波器
一、理想低通滤波器频域特性
理想低通滤波器：具有矩形幅度特性和线性相移特性 （实际不可实现）
频域特性：低于c的所有信号——无失真传送； 高于c的所有信号——完全衰减； 相移特性也满足无任何失真传输的要求。
幅度可以比例增加 波形形状不变
e t
h (t)
r t
r t
可以有时移
e t
r (t ) Ke(t t0 ) jt0 R( j) KE( j)e
因 为 R ( j ) E ( j ) H ( j )
R ( j ) 所 以 H ( j ) K e j t 0 E ( j ) t
E F 1 j 又 (1 e ) E u (t ) u (t ) j
E F1 Ee t u (t ) j
t ( t ) u2 (t ) E u (t ) u (t ) E e u ( t ) e u (t )
E(j) 响应：H(j)· j h( ) j ( ) H ( j ) H (j ) e 假设E(j ) E(j ) e
e
E ( )的 幅 度
由 H ( ) 加 权
R(j ) E(j ) H (j )
r( ) e( ) h( )
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。
傅里叶变换应用于通信系统PPT115页
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
115
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
傅里叶变换应用于通信系统 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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E(s)
R(s) E(s)H(s)
• 频域
H (s)
（傅立叶变换域）E( j)
R( j) E( j)H( j)
H ( j)
前提：系统稳定
E( j)
E( j)
R( j) E( j)H( j)
H( j)
各
分
量
被 加
H( j)
权
e ( j)
各
分
量
被
( j)
相 移
R( j)
r ( j)
系统：信号处理器
H ( j) Yzs ( j) X ( j)
若n阶连续LTI系统的微分方程为
FT
d
nf dt
(t
n
)
(
j
)n
F
(
)
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t)
bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x' (t) b0 x(t)
系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
R
R
+
x(t)
-
+
C
y(t)
-
+
X(j)
-
1/jC
+
Y(j)
-
解： RC电路的频域(相量)模型如图，由电路的基本原理有 1
H ( j)
Y ( j) X ( j)
jC
R 1
jC
1/ RC
j 1/ RC
由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为
h(t) 1 e(1/ RC)t u(t) RC
H ( j) Yzs ( j) F[h(t)] F[h(t)] X ( j) F[ (t)]
H(j)一般可以表示为幅度与相位的形式 H ( j) | H ( j) | e j()
幅度响应
相位响应
若h(t)是实信号时，则
|H(j)|是的偶函数，()是的奇函数。
连续时间LTI系统的频率响应
H( j) H( j) e j( j) 的求解方法？
求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，并判断系统
是否为无失真传输系统。
解：因为 H ( j) e j2arctan()
所以系统的幅度响应和相位响应分别为
H ( j) 1 () 2 arctan()
方法一： h(t)的傅立叶变换 方法二： 系统微分方程两边求傅立叶变换
方法三：利用输入为 e(t) e jt 时
的系统响应 r(t) e jt H ( j )
方法四：由频域等效模型求
R R L jL
C 1
jC
例 图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t)
为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求
时的输出为多少？
• 解： H () 1
1 2
() tg 1
所以 sin t :
1 sin(t 45o) 2
sin2t :
1 sin(2t 63o) 5
系统可以看作是一个信号处理器： H(ω)是一个加权函数，对信号各频率分量进行加权。
信号的幅度由∣H(ω0)∣加权，信号的相位由Φ(ω0)修正。
则连续系统的频率响应可表示为
H ( j) Yzs ( j) bm ( j) m bm1 ( j) m1 b1 ( j) b0 X ( j) an ( j) n an1 ( j) n1 a1 ( j) a0
连续时间LTI系统的频率响应
频率响应H(j)与冲激响应h(t) 的关系
即
H ( j) K
K
() t0
无失真传输系统应满足如下两个条件：
（1）系统的幅频特性在整个频率范 围内为常数,即系统的带宽为无穷大
（2）系统的相频特性在整个频率范 与信号带宽
围内应与 成正比变化。
匹配即可
H( j)
() t0
例1 已知一LTI系统的频率响应为 H ( j) 1 j
1 j
( j
3( j) 4 1)( j 2)(
j
3)
yzs
(t)
F 1[Yzs
( j)]
[1 2
et
2e2t
5 2
e3t
]u(t)
例5-2 +
U1 _
R C
+
v1 (t )
U2
1
_
H ( j ) U 2 1 . 1
U1 RC s 1 RC
s j j
V1( j) E
e
j
2
Sa(
2
)
E (1 e j )
1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程 度的衰减，引起幅度失真。
2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不 与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。
对于一延时系统，由延时特性知：
f (t t0 ) F( j)e jt0 () t0 相移与频率成正比
f (t) 1 Fe j t d
2
f
(t)
0
F
d cos
t
无穷多个振幅为无穷小 的连续余弦信号之和。
f t 1
j
F
s
es tds
2πj j
Rzs (s) F (s)H (s)
信号分解成无穷多项 es t 的线性组合
虚指数信号e j t通过LTI系统的零状态响应
yzs (t ) e jt h(t )
§5.2 利用系统函数H(j)求
响应
• 非周期信号激励下的系统响应
• 正弦周期信号激励下的系统响应
非周期信号激励下的系统 响应
E( j)
H ( j)
R( j) E( j)H( j)
r(t) FT 1[R( j)]
例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入 激励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失 真进行波形变换,有时希望传输过程中使信号失 真最小。
无失真传输条件
信号无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度 大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。
1. 时域条件
r(t) Ke(t t0 )
其中： K ------- 常数， e(t )
(1)
对于不同的频率ω，有不同的加权作用，
这也是信号分解，求响应再叠加的过程。
二、连续周期信号通过LTI系 统
响应的频域分析
2. 任意周期信号通过系统的响应
将周期为T1的周期信号 fT (t) 用Fourier级数展开为
fT (t) Fne jn1t (1 2π / T1)
n
利用虚指数信号ejt作用在系统上响应的特点及
e j (t )h( )d
e jt e j h( )d
e jt H ( j )
e jt
H(j)
e jt t)的FT存在，则可由虚指数信号ejt(
<t<)的线性组合表示，即 f (t) 1 F( j)ejtd 2π 由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于
1. 正弦信号通过系统的响应
x(t) sin0t , t
由Euler公式可得
x(t) 1 (e j(0t ) e ) j(0t ) 2j
利用虚指数信号ejt作用在系统上响应的特点及
系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为
y(t)
1 2j
H ( j0 )e( j0t )
H ( j0 )e( j0t )
j
V2 ( j) H ( j)V1( j)
[ ESa(
)] e
j
2
arc
tg
(
)
2 2
2
V2 ( j )
j
E (1 e j )
j
E (1 e j ) E (1 e j )
j
j
v2(t) E[u(t) u(t )] E[etu(t) e(t)u(t )
E(1 et )u(t) E(1 e(t ))u(t )
（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频 域 分析法。
（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。
§5.3 无失真传输(2012.11.28)
e(t )
2
0
u0 (t )
2
R
e(t )
C
u0 (t )
0
t
失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过 程中 产生了失真。
一.线性系统引起信号失真的原因
yzs (t) f (t) * h(t) F Yzs ( j) F ( j)H ( j)
✓ 系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系： 两种分析方法实质相同，只不过是表达信号的
基本信号不同。 Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。
连续时间LTI系统的频率响应
连续系统的频率响应定义为
T{cos(0t )} H ( j0 ) cos(0t (0 ) )
可以求出信号x(t)作用在系统上的稳态响应为
T{x(t)} 5H ( j0) 3H ( j2) cos2t H ( j4) cos4t
5 cos2t t
【例题】若H
1
1 j
，当输入分s别in t为,sin 2t
H ( j0 ) sin(0t (0 ) )
二、连续周期信号通过LTI系 统
响应的频域分析
1. 正弦信号通过系统的响应