2019年试题同步优化探究文数北师大版第二章第四节二次函数的再研究与幂函数

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北师大版高中数学第二章第4节二次函数性质的再研究与幂函数

北师大版高中数学第二章第4节二次函数性质的再研究与幂函数二次函数是高中数学中的重要内容，其性质和应用极其广泛。

在第二章第4节中，我们对二次函数的性质进行了初步的研究，如函数的图像、对称轴、顶点等。

本文将对这些性质进行再研究，并且结合幂函数进行探讨。

首先，我们再次回顾二次函数的图像特点。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数确定。

当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。

在图像上，我们可以找到抛物线的对称轴，它是函数图像的对称轴，对称轴的方程式为x=-b/(2a)。

使用这个公式，我们可以很方便地求出对称轴。

其次，我们再次研究二次函数图像的顶点。

顶点是二次函数图像的最高点或者最低点，它的横坐标即为对称轴的横坐标。

对于开口向上的二次函数，顶点是最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是最高点。

我们可以使用求解对称轴的横坐标的公式，将对称轴的横坐标代入函数中，求得对应的纵坐标，从而求得顶点的坐标。

接下来，我们将对幂函数进行讨论。

幂函数是一种特殊的函数形式，其函数公式为f(x)=x^a，其中a是实数。

我们可以通过调整a的值，得到不同形态的幂函数。

当a>0时，幂函数的图像在原点右侧递增，而在原点左侧递减。

实际上，我们可以通过描绘a>0时幂函数图像的几个特殊点，来把握其大致形态。

当x=-1时，f(-1)=(-1)^a，即横坐标为-1的点在图像上。

当x=0时，f(0)=0^a=0，即函数图像经过原点。

当x=1时，f(1)=1^a=1，即横坐标为1的点在图像上。

根据这些特殊点，我们可以准确绘制出a>0时幂函数的图像。

当a<0时，幂函数的图像在整个定义域上都是递减的，在x轴正方向无穷远处趋于0，而在x轴负方向无穷远处趋于无穷小。

同样地，我们可以根据特殊点（x=-1，x=0，x=1）来绘制出a<0时幂函数的图像。

总结一下，二次函数和幂函数分别是一次函数和常函数的扩展形式。

高中数学第二章函数 2.4 二次函数性质的再研究学案北师大版

2。

4 二次函数性质的再研究第1课时二次函数的图像[核心必知]二次函数图像间的变换（1)y＝x2与y＝ax2（a≠0)图像间的变换:二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的｜a｜倍得到．(2）y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）图像间的变换：函数y＝a(x＋h)2＋k（a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0）的图像变换得到．其中a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h负右移”;k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．（3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c（a≠0)图像间的变换．一般地,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等形式y＝a（x＋h)2＋k,从而知道,由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像．[问题思考］1．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么?提示:顶点坐标为（－h,k)，对称轴是x＝－h.2．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？提示：当a>0时，图像开口向上,a值越大,开口越小;当a〈0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．3．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数图像的变换有何影响？提示：h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．讲一讲1．在同一坐标系中作出下列函数的图像．(1）y ＝x 2; (2）y ＝x 2－2；（3）y ＝2x 2－4x .并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像．[尝试解答］（1)列表：（2）描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．由图像可知由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．法一：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1）2的图像，然后把y ＝(x －1）2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1）2的图像，最后把y ＝2（x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2x 2－4x 的图像．法二：先把y ＝x 2的图像向下平移1个单位长度得到y ＝x 2－1的图像，然后再把y ＝x 2－1的图像向右平移一个单位长度得到y ＝(x －1)2－1的图像，最后把y ＝(x －1)2－1的图像横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍，便可得到y ＝2（x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．本例中如何把y ＝2x 2－4x 的图像变换成y ＝x 2的图像?解：∵y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故可先把y ＝2x 2－4x 的图像向上平移2个单位长度得到y ＝2(x －1)2的图像，然后再把y ＝2（x －1)2的图像向左平移1个单位长度，得到y ＝2x 2的图像，最后把y ＝2x 2的图像纵坐标变为原来的错误!，便可得到y ＝x 2的图像．二次函数图像的作法(1）描点法：在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．(2）图像变换法：所有二次函数的图像均可以由函数f （x )＝x 2的图像经过变换得到．变换前,先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．练一练1．画出y ＝错误!x 2－6x ＋21的图像，并说明由y ＝x 2的图像如何变换得到y ＝错误!x 2－6x ＋21的图像？解：y ＝错误!x 2－6x ＋21＝错误!(x －6)2＋3，顶点坐标为(6，3）,对称轴为x ＝6。

学高中数学第二章二次函数性质的再研究讲解与例题北师大版必修1

4 二次函数性质的再研究(1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图像也有区别，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图像开口向上，当a ＜0时，图像开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图像开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图像开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h ＞0)或向右(h＜0)平移|h |个单位，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．对于二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a ≠0)，二次项系数a 决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线2b x a=-，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例1－1】(1)由y ＝－2x 2的图像，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像？(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图像是由y ＝4x 2 的图像经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图像．(2)把y ＝2x 2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图像．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝22111341441644x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 把y ＝4x 2的图像向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图像．【例1－2】在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像．(1)y ＝x 2；(2)y ＝x 2－2；(3)y ＝2x 2－4x .分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图像之间的关系．解：(2)y ＝2x 2－4x＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1)＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像，然后把y ＝2x 2的图像向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图像，最后把y ＝2x 2－2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．方法二：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图像，然后把y ＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图像，最后把y ＝2(x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．析规律 y ＝x 2与其他二次函数的关系所有二次函数的图像均可以由函数y ＝x 2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------→横不变纵变为原来的a 倍y ＝ax 2------------→k >0，上移k <0，下移y ＝ax 2＋k ------------------→h >0，左移h <0，右移y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例1－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数2112y x x =-+有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )． (2)由y ＝x 2的图像能得到f (x )的图像吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图像影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由2112y x x =-+确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图像得f (x )的图像要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数2112y x x =-+有相同的对称轴14x =，∴124b a -=. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)，∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 将函数y ＝x 2图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图像；将函数y ＝－2x 2的图像向右平移14个单位，再向下平移78个单位得到函数217248y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的图像，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图像．谈重点由y ＝x 2的图像得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的基本要求解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．2．二次函数图像的草图画法画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图像更精确．【例2】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，∴x ＝－1或x ＝3，故函数图像与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．3．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)(a ≠0)．【例3】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图像上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图像与x 轴的交点，利用对称性即可求出图像与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得3,420,1,2a b c a b c b a⎧⎪++=-⎪++=⎨⎪⎪-=⎩解得3,6,0.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，由图像经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x .(方法3)∵二次函数的图像的顶点坐标为(1，－3)，∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图像与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图像与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)．∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)．∵图像的顶点坐标是(1，－3)，∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)，即y ＝3x 2－6x .析规律二次函数图像对称性的一个用途若二次函数y ＝f (x )的图像与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为122x x x +=，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标． 4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图像观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值．(1)y ＝x 2－4x ＋9；(2)y ＝－2x 2＋4x －3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图像研究其性质．解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，由于x 2的系数是正数，所以函数图像开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；函数在区间(－∞，2]上是减少的，在区间[2，＋∞)上是增加的；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，由于x 2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(1，－1)；对称轴方程为x ＝1；函数在区间(－∞，1]上是增加的，在区间[1，＋∞)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1.【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，∴其顶点的纵坐标248(7)(1)48m m ⨯⨯--+⨯＝0，即m 2－30m ＋225＝0，∴(m －15)2＝0，∴m ＝15. 答案：15析规律抛物线顶点的用途抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b 2a＝0. 【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图像的开口向上，对称轴是直线x＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减少的，若函数在(－∞，4]上是减函数，则区间(－∞，4]是(－∞，1－a ]的子区间，故1－a ≥4，∴a ≤－3.答案：A求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图像的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图像确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．谈重点 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间[p ，q ]上的最值一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：(1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是增加的，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q 2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (q )． (3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )． (4)当－b 2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是减少的，则f min max ＝f【例5】已知函数f (x )＝x 22，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图像知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论； (3)切入点是单调函数，结合图像可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，其图像如图①，由图可知，当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1.当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图像如图②所示，由图可知，f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；③当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，函数图像如图③所示，由图可知，f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，则有a≤－5或a≥5.析规律利用二次函数图像的对称性求最值当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论．讨论时要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．6．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时的自变量x的值，从图像上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标．谈重点二次函数与一元二次方程的联系当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴没有交点．当a＞0时，它们之间的关系如下图所示：方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数及图像，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图像解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图像(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图像与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －1，f ，由此可解得a ＜－23.布问题，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图像处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例6－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )．A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根，∴f (m )＝f (n )＝0.由f (x )的图像可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)．答案：A【例6－2】若方程232x x k -=在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围．分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图像解决该问题，或将其转化为二次函数232k x x =-在区间(－1,1)上的值域问题．解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图像开口向上，对称轴为直线34x =. 若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有两实根，则函数f (x )的图像如图甲所示，故即()()()()222340,231110,231110,2k f k f k ⎧⎛⎫∆=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎪⎩9,16191,.21625,2k k k k ⎧≥-⎪⎪⎪<-∴-≤<-⎨⎪⎪<⎪⎩. 若方程232x x k -=在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图像如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ∴1522k -≤<.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎭. (方法2)方程22x x k -=可以看作是k 关于x 的二次函数232k x x =-，配方得239416k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为34x =，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减少的，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增加的(图像如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f ⎫⎛⎫- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∵233339442416f ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， f (－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52， ∴实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢. 在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销根据题表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为：480－40(x －1)＝520－40x (桶)．由于x ＞0，且520－40x ＞0，即0＜x ＜13，于是可得y ＝(520－40x )·x －200＝－40x 2＋520x－200＝－40(x －6.5)2＋1 490,0＜x ＜13.易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润，最大利润为1 490元．【例7】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R (x )＝21400,0400,280000,400,x x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩ 其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)由于总收益＝总成本＋利润，则利润＝总收益－总成本，总收益是R (x )，总成本＝固定成本＋可变成本＝20 000＋100x ，因此利润＝R (x )－(20 000＋100x )；(2)由于R (x )是分段函数，则利润关于月产量也是分段函数，求出各“段”上的最大值，研卷知古今；藏书教子孙。

同步优化探究理数(北师大版)课件：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数

1 1 log32 1 ∴f( )＝( ) ＝ . 9 9 4
2．(2018· 宜昌模拟)函数 f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是 ( A．[－20,4] 9 C．[－20， ] 2 B．(－20,4) 9 D．(－20， ) 2 )
解析：由函数 f(x)＝－2x2＋6x 可知，二次函数 f(x)的图像开口 3 3 向下，对称轴为 x＝，当－2≤x＜时，函数 f(x)单调递增， 2 2 3 3 9 当 ≤x≤2 时，函数 f(x)单调递减，∴f(x)max＝f( )＝－2× ＋ 2 2 4 3 9 6× ＝，f(x)min＝f(－2)＝－8－12＝－20，∴函数 f(x)的值域 2 2 9 为[－20， ]，故选 C. 2
－4
.
解析：由于 f(x)＝－x2＋4x＋t＝－(x－2)2＋t＋4 图像的顶点在 x 轴上，所以 f(2)＝t＋4＝0，所以 t＝－4.
由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．
[小题纠偏] 若(a＋1)－2＞(3－2a)－2，则 a 的取值范围是
b －∞，－ 2a 在
上递减，单调性在
b －，＋∞ 2a
上递增，
b 在－2a，＋∞
上递增
上递减
f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0) 奇偶性
a＞ 0
a＜0
b＝0 时为偶函数，b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴：x＝－； 2a
∵幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数， ∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1 或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x) ＝x2 为偶函数，满足条件．当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为奇函数，不满足条件．故选 A.

高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究课时跟踪训练含解析北师大版必修1

二次函数性质的再研究[A 组学业达标]1．设点(3,1)及(1,3)为二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋b 的图像上的两个点，则( )A ．a ＝12，b ＝52B ．a ＝12，b ＝－52C ．a ＝－12，b ＝52D ．a ＝－12，b ＝－52 解析：由题知⎩⎨⎧ f (3)＝9a －6a ＋b ＝1，f (1)＝a －2a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝52.答案：C2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )解析：由一次函数特点知a ＜0，b ＜0，所以对二次函数y ＝ax 2＋bx 而言，开口向下，且对称轴x ＝－b 2a ＜0在y 轴的左边，故C 选项正确．答案：C3．(2019·天津市七校高一模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax 在x ∈[－2,1]上有最小值－1，则a 的值为( )A ．－1或1B 、54C 、54或－ 1D 、54或1或－1解析：函数的对称轴是x ＝－a ，当函数的最小值是－1时，有⎩⎨⎧ －a ≤－2，f (－2)＝4－4a ＝－1或⎩⎨⎧ －2＜－a ＜1，f (－a )＝－a 2＝－1或⎩⎨⎧－a ≥1，f (1)＝1＋2a ＝－1，解得a ＝±1，故选A 、答案：A 4．(2019·天津一中高一模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－2x －4在区间[－2，a ]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－2,4]C ．[1,4]D ．[1，＋∞)解析：在f (x )＝x 2－2x －4中，f (－2)＝f (4)＝4，f (1)＝－5，所以当y ∈[－5,4]时，a ∈[1,4]．答案：C5．若函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，故由题知，a ≤1或a ≥2、答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)6．若顶点坐标为(2，－2)的二次函数f (x )的图像与g (x )＝－3(x ＋1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可得函数f (x )的顶点式f (x )＝3(x －2)2－2，即f (x )＝3x 2－12x ＋10、答案：f (x )＝3x 2－12x ＋107．已知二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]，且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．解析：结合函数图像(图略)由题意知，[2，a ]⊆(－∞，3]，∴2＜a ≤3、答案：(2,3]8．已知二次函数y ＝12x 2＋2x ＋1、(1)写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值，并指出它可由y ＝x 2的图像怎样变化得到;(2)求函数图像与y 轴、x 轴的交点;(3)作出函数的图像;(4)求函数的单调区间;(5)观察图像：当x 为何值时，y ＞0？当x 为何值时，y ＝0？当x 为何值时，y ＜0?解析：(1)∵y＝12x 2＋2x ＋1＝12(x ＋2)2－1，∴函数图像的开口向上，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是直线x ＝－2、∵a ＝12＞0，函数没有最大值，有最小值，当x ＝－2时，y min ＝－1、(2)令x ＝0，则y ＝1，∴函数图像与y 轴交于(0,1)．令y ＝0，则12x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝－2－2，x 2＝－2＋2、∴函数图像与x 轴交于点(－2－2，0)，(－2＋2，0)．(3)∴函数图像如图：(4)由图像可知，函数的单调递减区间是(－∞，－2]，单调递增区间是[－2，＋∞)．(5)由图像知，当x ＜－2－2或x ＞－2＋2时，y ＞0;当x＝－2－2或x ＝－2＋2时，y ＝0;当－2－2＜x ＜－2＋2时，y ＜0、9．已知二次函数f (x )的图像的对称轴是直线x ＝1，且f (1)＝4，f (4)＝－5、(1)求函数f (x )的解析式，并画出f (x )的图像;(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间，并指明在该区间上的单调性;(3)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1，a ＋b ＋c ＝4，16a ＋4b ＋c ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝2，c ＝3，所以函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，f (x )的图像如图所示．(2)由图像可得函数f(x)的单调区间是(－∞，1]和[1，＋∞)，其中函数f(x)在区间(－∞，1]上是递增的，在区间[1，＋∞)上是递减的．(3)由(2)知函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数，那么(－∞，m]⊆(－∞，1]，则有m≤1、[B组能力提升]10．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为() A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2、故a＝1、答案：B11．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2，2]解析：要求函数y＝2－－x2＋4x的值域，只需求t＝－x2＋4x(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝f(x)，所以t的值域是[0,2]．所以－t的值域是[－2,0]．故函数y＝2－－x2＋4x的值域是[0,2]．故选C、答案：C12．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2、作出函数图像如图所示，由图像知，m的取值范围是1≤m≤2、答案：[1,2]13．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．解析：由题意知，f(x)在区间[1,5]上为减函数．∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2，∴－(a－1)≥5，即a≤－4、答案：(－∞，－4]14．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知：这种服装每天的销售量t(t＞0，t∈N)(件)与每件的销售价x(x＞42，x∈N)(元)之间可以看成是一次函数关系t＝－3x＋204、(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解析：(1)由题意得，每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y＝(x－42)(－3x＋204)＝－3x2＋330x－8 568(42＜x＜68，x∈N)．(2)由(1)得y＝－3(x－55)2＋507(42＜x＜68，x∈N)，则当x＝55时，y max＝507、即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．15．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数;(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在区间[－4,2]上是递减的，在区间[2,6]上是递增的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35、f(6)＝15，故f(x)的最大值是35、(2)∵函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，∴要使f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4、故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练α1 2 ，则 k ＋ α＝ ()1．已知幂函数 f(x)＝k ·x 的图像过点 2， 2 1 B ．1A. 23C.2D ．21 2 1 α2 1分析：由幂函数的定义知 k ＝1.又 f 2 ＝ 2 ，因此 2＝2 ，解得 α＝2，进而 k 3＋ α＝ 2.答案： C2．已知幂函数 f(x)＝x n，n ∈{ －2，－ 1,1,3} 的图像对于 y 轴对称，则以下选项正确的是 ()A ． f(－ 2)>f(1)B ．f(－2)<f(1)C ． f(2)＝ f(1)D ．f(－2)>f(－1)分析：因为幂函数 f(x)＝x n 的图像对于 y 轴对称，可知 f(x)＝x n 为偶函数，因此 n ＝－ 2，即 f(x)＝ x－2，则有 f(－ 2)＝f(2)＝14，f(－1)＝f(1)＝1，因此 f( －2)<f(－1)，应选 B. 答案： B3．若幂函数 y ＝ (m 2－ 3m ＋ 3) ·xm 2－m － 2 的图像可是原点，则 m 的取值是 ()A ．－ 1≤ m ≤2B ．m ＝1 或 m ＝2C ． m ＝ 2D ．m ＝1分析：由幂函数性质可知 m 2－＋＝，∴＝ 2 或＝又幂函数图像可是原3m 3 1 mm 1.点，∴m 2－m － 2≤ 0，即－ 1≤m ≤2，∴m ＝2 或 m ＝1.答案： B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，假如 a ＞ b ＞c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则它的图像是 ()。

《二次函数性质的再研究》(北师大版必修)

教案、学案用纸例1 由函数22y x =的图像如何平移得到函数2243y x x =-+的图像？练一练函数的图像可由下列（）的图像向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到A 2(1)1y x =-+B 2(+1)1y x =+C 2(1)3y x =--D 2(+1)3y x =+例2二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）通过配方可以得到2()y a x h R =++，那么函数2y ax =如何平移得到2y ax bx c =++练一练1.如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1…………………………( )A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位2二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点(a ，c)在…………………………………( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为…………………………………( )A.y ＝－x 2＋＝x 2＋1 C.y ＝－x 2－＝x 2－12.二次函数y ＝x 2＋ax ＋b ，若a ＋b ＝0，则它的图象必经过点…………( )A.(－1，－1)B.(1，－1)C.(1,1) －1,1)3.函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(a ≤x ≤b)的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝ .4.设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋b 的图象上的两个点，则f(x)的解析式为 .5.函数2y x =的图象平移个单位长度，得到函数2(2)y x =+的图象，再平移个单位长度，得到函数2(2)1y x =+-的图象.若想要变回原来的函数，则需平移个单位长度，再平移个单位长度.6如何平移抛物线22y x =可得到抛物线22(4)y x k =++?。

数学高考总复习同步优化探究文数(北师大版)练习第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图像关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)<f (1) C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图像关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B.答案：B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1. 答案：B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D. 答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图像的对称轴为直线x ＝12，图像开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0. 答案：A6．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：A7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图像如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图像知a >1，由g (x )的图像知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知0<a <1，相符，故选D. 答案：D9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，9a ＋3b ＋c ＝0.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B12．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1 B ．－13C ．－19D.19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝19f (x＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19(x 2＋6x ＋8)＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C.答案：C13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图像如图所示，要使f (x )≤4只需x 13≤4，∴x ≤64.答案：(－∞，64]14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图像，由图像易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)16．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：a ＜1B 组——能力提升练1．(2018·福州市质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，则( )A ．f (α)＞f (β)＞f (γ)B ．f (α)＞f (γ)＞f (β)C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)解析：因为sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜π6或 5π6＜α＜π，π4＜β＜π3，π2＜γ＜2π3，因为函数f (x )＝x 2－πx 的图像的对称轴为x ＝π2，其图像如图所示，由图易知，f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.答案：A2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)．答案：A5．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．下列选项正确的是( ) A ．0.20.2>0.30.2 B ．2－13<3－13C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B 中，∵函数y ＝x －13在(0，＋∞)上为减函数，∴2－13>3－13；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f (－1)f ′(0)的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04ac b2≥1，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)＝－⎝⎛⎭⎫1＋a ＋c b ，因为⎝⎛⎭⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4ac b 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)＝－⎝⎛⎭⎫1＋a ＋c b ≤－2. 答案：B8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4c a ＝b 2－4ac －a. 由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a，解得a ＝－4. ∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图像的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D10．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点 (2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎨⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3. 答案：[2,3]12．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1.答案：⎝⎛⎭⎫14，113．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，x ＞0，则|P A |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x ＞0，得t ≥2.所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|P A |取得最小值得⎩⎨⎧ a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝(22)2，解得a ＝－1或a ＝10. 答案：－1，1014．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0, 3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，. 当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当x ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。

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课时作业 A 组——基础对点练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图像关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)<f (1) C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图像关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B.答案：B3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1. 答案：B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D. 答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图像的对称轴为直线x ＝12，图像开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0. 答案：A6．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：A7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图像如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图像知a >1，由g (x )的图像知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图像知0<a <1，由g (x )的图像知0<a <1，相符，故选D. 答案：D9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，9a ＋3b ＋c ＝0.7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B. 答案：B12．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1 B ．－13C ．－19D.19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝19f (x＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19(x 2＋6x ＋8)＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C. 答案：C13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图像如图所示，要使f (x )≤4只需x 13≤4，∴x ≤64.答案：(－∞，64]14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图像，由图像易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)16．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：a ＜1B 组——能力提升练1．(2018·福州市质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，则( )A ．f (α)＞f (β)＞f (γ)B ．f (α)＞f (γ)＞f (β)C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)解析：因为sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜π6或 5π6＜α＜π，π4＜β＜π3，π2＜γ＜2π3，因为函数f (x )＝x 2－πx 的图像的对称轴为x ＝π2，其图像如图所示，由图易知，f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.答案：A2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)．答案：A5．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．下列选项正确的是( ) A ．0.20.2>0.30.2 B ．2－13<3－13C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B 中，∵函数y ＝x －13在(0，＋∞)上为减函数，∴2－13>3－13；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f (－1)f ′(0)的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04ac b2≥1，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋c b ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4ac b 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋c b ≤－2.答案：B8．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac－a. 由题意可知4ac －b 24a＝b 2－4ac－a，解得a ＝－4. ∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图像的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.答案：D10．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点 (2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b24a ＝3， ③由①②得⎩⎨⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]12．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域(图略)，可知14<b －2a －1<1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，113．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x ＞0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，x ＞0，则|P A |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x ＞0，得t ≥2. 所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|P A |取得最小值得⎩⎨⎧ a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2a 2－2＝(22)2，解得a ＝－1或a ＝10.答案：－1，1014．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0, 3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当x ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。