一个剖分问题分类研究的补充
考点透析22 分类讨论问题的答案策略doc
考点透析22 解决分类讨论问题的思维策略分类讨论思想是数学思维的重要思想，而分类讨论思想是人们解决问题的最高思想境界，分类思想在历年的数学高考中都有所考查，解决分类讨论问题的思维策略如下：①明确题意，确定级别；②确定标准，逐级分类；③逐类比较，归纳结论。
例1.已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-试讨论曲线y=f(x)与x 轴的公共点的个数。
第一级分类:曲线类型,标准0a =二次抛物线, 0a ≠三次抛物线;第二级分类:开口方向,标准0a >开口向上, 0a <开口向下第三级分类:根的大小比较,标准2221;1;1a a a =>< 解: 22()33(2)63[(2)2]f x ax a x ax a x '=-++=-++当0a =时, 2()3(1)0f x x =--≤,()0f x =有且仅有一解; 当0a <时, 2()3()(1)f x a x x a '=--,21a<,222364()0,(1)02a a a f f f f a a -+-∴==<==->极小极大 所以,此时()0f x =有三个不同的实数解;当0a >时,10若21a >,即02a <<时,2()(1)02a f f f f a ∴=<==-<极小极大 ()0f x =有且仅有一解; 20. 若21a=,即2a =时, 2()6(1)0f x x '=-≥函数为R 上增函数, (0)30,(2)10f f =-<=>, ()0f x =有且仅有一解;30.若21a <,即2a >时, 2223640()(1)2a a a f f f f a a -+-∴>==>==-极大极小, ()0f x =有且仅有一解;综上所述: 0a ≥时, 曲线y=f(x)与x 轴有且只有一个公共点, 0a <曲线y=f(x)与x 轴有三个公共点. 例2．（2005江苏改编）已知,a R ∈函数2().f x x x a =-求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值. 解：设此最小值为m ①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m ③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -= )32(332)('2x a x x ax x f -=-= 若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以)1(-==a f m若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=371372)2(421011a a a a a a a m例3．（2006年上海高考题改编）设数列 1121n n b k -=+-(n=1,2,…,2k).求满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值． 解: 设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是 当n≤k 时, b n <23；3322n n b b -=- 当n≥k+1时, b n >23.3322n n b b -=- 原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23) =(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k ) =]12)10(21[]12)12(21[k k k k k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.例4．已知()(0)a f x x a x =+>，且当[1,3]x ∈时，min max ();()f x n f x m == ，求m n -的最小值． 解：∵()(0)a f x x a x=+>， ︒1若01a <<，33a m =+，1n a =+，24233m n a -=-+> ︒2若13a ≤<，∴f （x ）在[1,3],n=max{(3),(1)}33a m f f==+，∴333a m n -=->+︒3若39a ≤<，∴f （x ）在[1,3],n=max{(3),(1)}1m ff a ==+，则14m n a -=+--︒4若9a ≥，(1)1m f a =-=+，(3)33a n f =-=+，2243a m n -=-≥ …………（12分）4423433-<<<+min ()4m n -=-a ＝3时取最小值） …………（14分） (考查目标：10检验类似于一元二次函数图象与根的分布问题，20数形结合思想，30分类讨论思想)例5.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()(答案见备备考考指南P 142例3)分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。
拆分数学问题 提高学习效率
拆分数学问题提高学习效率拆分数学问题是指将一个复杂的数学问题分解为几个简单的小问题，逐步解决。
这种方法有助于学生理解和掌握数学知识，提高解题能力。
以下是拆分数学问题的一些具体方法和技巧：1. 引入辅助问题：当遇到一个复杂的数学问题时，可以先引入一个辅助问题，通过解决辅助问题来解决原问题。
辅助问题通常是一个相对简单的问题，能够帮助学生理解原问题的关键思想和解题方法。
2. 分解问题：将一个复杂的数学问题分解为几个小问题，逐个解决。
这样可以减小问题的难度，使学生更好地理解和掌握解题思路。
分解问题时可以根据问题的特点和要求进行，比如分解为多个步骤、分解为多个子问题等。
3. 利用已知条件或已有结论：当遇到一个数学问题时，可以先利用已知条件或已有结论进行推理和分析。
这样可以快速确定问题的解题方向，减少解题的难度和复杂度。
4. 学会归纳总结：在解决一个数学问题后，应该及时总结和归纳所学到的知识和解题方法。
这样可以加深对数学知识的理解和记忆，提高解题的能力和效率。
除了掌握以上拆分数学问题的方法和技巧，学生还应该注重以下几个方面，以提高学习数学的效率：1. 建立扎实的数学基础：数学是一门递进的学科，后续的知识都是建立在基础知识之上的。
学生应该注重巩固和提高基础知识的掌握，以便更好地理解和应用进阶的数学知识。
2. 培养良好的解题习惯：解决一个数学问题需要良好的思维习惯和解题方法。
学生应该培养有条理的思考和解题能力，注重观察和分析问题，运用适当的解题方法进行推理和求解。
3. 多做练习：数学是一门需要反复练习的学科。
学生应该坚持做大量的数学题目，多角度地思考和解决问题，提高解题的速度和准确度。
4. 借助辅助工具：在解决数学问题时，学生可以借助一些辅助工具，比如计算器、几何工具等。
这些工具可以帮助学生更好地理解问题和解决问题，提高学习效率。
拆分数学问题是提高学习效率的重要方法之一。
学生可以通过引入辅助问题、分解问题、利用已知条件或已有结论等方法，将一个复杂的数学问题分解为几个简单的小问题，逐步解决。
初中数学：分而治之（分类讨论法）
初中数学：分而治之（分类讨论法）分而治之【阅读与思考】1.在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法.运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类.正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行.2.初中数学分类讨论问题的常见形式有:(1)一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；(2)题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；(3)一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；(4)一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；(5)对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论.【例题与求解】【解析】1.此题注意两种情况:(1)圆与AB相切时；(2)点A在圆内部，点B 在圆上或圆外时.2.根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解.【点评】本题利用的知识点:勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系.【解析】解此方程首先须脱去方程左边的绝对值符号，这就应对x的取值范围进行分类讨论，分类标准是应使x-2及x+3各自保持正负性不变(即x-2，x+3在分类中都不能既取正值又取负值)，这样才能根据绝对值定义去绝对值符号.【解析】解答本题的关键在于分两种情况讨论:①当k=6或9；②当k≠6且k≠9.【点评】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.【点评】本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大.【A级能力训练】【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题.解题思路：分高AD在△ABC内部或外部两种情况.【解析】画出图形可知有两种情况:∠BAC=∠BAD+∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD.【点评】本题考查的是三角形内角和定理及高线的概念:高线可能在三角形内部，也可能在三角形的外部.注意本题要分两种情况讨论.解法一：【解析】先在直角坐标平面内描出A、B两点,连接AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠P为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程.即可求P的坐标.【点评】本题考查了平面直角坐标系中勾股定理的运用，考查了分类讨论思想，本题中根据勾股定理计算P点的纵坐标x是解题的关键.解法二：【解析】△APB为直角三角形，A，B，P都可为直角点，A，B可各取一个，关键是P可确定几个.画图后求解即可.【点评】本题考查平面直角坐标系内点的位置关系，以及考查了一元二次方程的解的情况.【解析】在使用分类思想解数学题时，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.分类讨论一般应遵循以下原则:(1)对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准；(2)分类要完整，不重复，不遗漏；(3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准一定要统一.【点评】本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解.【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可.【点评】此题考查了相似三角形的判定.【解析】【点评】此题主要考查了利用一元二次方程的判别式判定方程的根的情况，其中判别式若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△<0，则方程没有实数根.【解析】先找出底为2，高为1的所有符合条件的普通平行四边形，注意变换位置；再找出长为2，宽为1的所有矩形；接下来找出边长为√2的正方形，据此即可得到答案.【解析】利用直接开平方法解方程对(1)进行判断；根据因式分解法解方程对(2)进行判断；根据分类讨论和勾股定理对(3)进行判断.【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解.【B级能力训练】【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四边形的性质，是一道综合性较强的题，本题有两解，学生做题时注意不要漏解.【解析】分两种情况进行分析，△DAP~△CBP或△DAP~△PBC，从而可求得点P的个数.【点评】此题主要考查相似三角形的判定及梯形的性质的综合运用.此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.【解析】 (1)结合题意，画出相应图形帮助解答.要分两种情况来求y 关于x 的函数表达式:①点P 在边CA 上运动时y 与x 的函数关系式；②点P 在边AB 上运动时y 与x 的函数关系式；(2)依题意，y=1/4*S△ABC 求出x 的值即可.【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解一元一次方程等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.【解析】(1)首先求出顶点坐标，再代入直线解析式，分析得出二次函数解析式，利用相似△BPE~△BAF，得出m的值；(2)假设△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质分析得出C点的坐标，从而求出解析式.【点评】此题主要考查了中心对称的性质，以及二次函数的对称性和等腰三角形的判定，题目综合性较强，注意从已知入手细心分析.【点评】本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法.【点评】本题主要考查了推理与论证，关键是读懂题意，从中获取有用的信息.【解析】假设出三队人数，由甲队最少，丙队最多得出，甲的取值范围，再结合比赛场数确定符合题意的人数.【点评】此题主要考查了三元一次方程的解法，以及整数解的有关知识，题目比较简单.。
Delaunay三角剖分的快速重建算法
潘 荣 丽
山东省 劳动厅 服务 技Ｘ 学校 山东 济 南 －
【 要 】 文 描述 了一种Ｄ ｌｕａ 角 剖分 的快 速 重建 算 法 ， 以节省 三角 网格 存 储和 传 输 时 摘 本 ｅ ｎｙ ａ 用
间。该算 法 既可 以在 基 于均匀 网格 的Ｄ ｌ ｎｙ 角化过 程 中， ｅａ ａ ｕ 直接 生成 点集序 列 ， 可 以推广 也 到 其他Ｄ ｌｕ ａ ＿ 角剖分 方 法 的输 出结 果 ， ｅ ｎｙ ａ ￣ 在Ｏ（ 的时 间 内生成点集 序 列。 简单遍 历这 个 点 ｎ） 集 序列就 可 以在０（ ） ／ 的时 间 内重建Ｄ ｌｕ ａ 角 剖分 。 与 以前 的算 法相 比． 算法具 有 重建 ＇ ｔ ｅ ｎｙ ａ 该 操 作简 单 、 行速度 快 、 执 拓扑信 息 完全 隐藏在 点集 序列 中、 需要增 量插入 操作 等特 点 。 不
的 一 个 重 要 问 题 。 着 广 泛 的应 用 背 景 ， 虚 拟 有 在 现 实 、 理 信 息 系统 （ Ｉ ） 许 多 方 面都 有 着 很 地 ＧＳ 等 重 要 的 意 义 。 实 际 应 用 中经 常 包 含 几 百 万 个 点
和 三 角 形 ，必 须 进 行 数 据 压 缩 才 能 适 应 现 有 的
④ 如 果Ｐ 属于 “ ” 洞 的情 况 （ Ｐ已经 出现 过 ， 不 但
等 于Ｑ． ｘ￣ ｒｖｏｓ ， ｅ ｔ ． ｅｉｕ ） 则把 Ｑ移 到Ｑ的末 尾 ， ｎ ＮＱ ｐ 输
出标 志
把 数 据点分 布 的平 面区 域划分 成 网格 ， 网格 使
单 元数 和 点数 大致 相 同。根 据点 的坐标 值 ， 把所 有 的点放 进 相应 的 网格 单 元 中。 靠 近 中间的 网格单 在 元 中找到一 个初 始点 ， 然后 找 一个距 离 初 始点最 近 的点 ． 把这 两个 顶点 填加 到一 个链 表Ｑ中
2022年最新京改版九年级数学下册第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题同步练习试卷(含答案解析)
第二十六章综合运用数学知识解决实际问题同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）A．自行车发生故障时离家距离为1000米B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．修车时间为15分钟2、小明有许多个可供贴用的数字0，1，3，4，5，6，7，8，9，但只有14个可供贴用的数字2，他用这些数字将他的剪贴簿的各页编号，最多他能编贴到哪一页？（）A．41 B．99 C．112 D．1193、生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中34x ≤＜组的频率a 满足0.200.30a ≤≤．下面有四个推断：①表中m 的值为20；②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x ≤＜组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④4、由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）A ．9种B ．20种C ．10种D ．72种5、纳米技术和纳米材料的应用几乎涉及各个领域，纳米指的是( )A ．长度单位B ．面积单位C ．体积单位D ．以上都不对6、昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（ ）A．（－2，－3）B．（－2，－2）C．（－3，－3）D．（－3，－4）7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）A．14元B．15元C．16元D．18元8、设三位数n abc，若,,a b c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n有（）个．A．126 B．144 C．165 D．1749、几何中研究物体时不研究它的（）．A．形状B．大小C．位置关系D．颜色10、把3米长的绳子剪7次，剪成相等的长度，则（）A．每段占3米长的17B．每段是1米的38C．每段是全长的38D．B．每段是1米的17第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间t的函数关系．观察这个图象，以下结论正确的有________________．①随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；②输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；③如果储油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟；④输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半．2、设A是方程9191919191xx=所有根的绝对值之和，则2A的值为_____．3、（问题提出）：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个．即：第二行平行四边形共有2×3个．所以如图1，平行四边形共有2×3＋3＝9＝（2＋1）2．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有12个，所以：如图1，菱形共有22＋12＝5＝16×2×3×5个．探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第二行平行四边形共有2×6个．（3）第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个．底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第三行平行四边形共有3×6个．所以如图2，平行四边形共有3×6＋2×6＋6＝（3＋2＋1）×6＝（3＋2＋1）2．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，边长为3的菱形共有12个．所以：如图2，菱形共有32＋22＋12＝14＝16×3×4×7个．探究三：将一个边长为4的菱形的四条边分别4等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？如图3，从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；（2）第二行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个，即：第二行平行四边形共有2×10个．（3）模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有个．（4）按照上边的规律，第四行平行四边形总共有个．所以，如图3，平行四边形总共有个．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22个，边长为4的菱形共有12个．所以：如图3，菱形共有42＋32＋22＋12＝16×个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）（问题解决）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是和菱形个数分别是1 6×．（用含n的代数式表示）（问题应用）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，若得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是441个，则n＝．（拓展延伸）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135∶19时，则n＝．4、下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_____（请填图形下面的代号，答案格式如：“①，②，③，④，⑤”）．5、观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球________个．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动．．．滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ )2、某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)．任务一：两次测量A ，B 之间的距离的平均值是______m ．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH 的高度．(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么?（写出一条即可）3、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一：如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，12A A 为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”）（2）若112231AA A A A A ===，则θ=______度；活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第1根小棒，且121A A AA =．数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ=______，2θ=______，3θ=______（用含θ的式子表示）；（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．4、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1，且d 1＝PB+BA （km ）（其中BP⊥l 于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且d 2＝PA+PB （km ）（其中点A′与点A 关于l 对称，A′B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d 1＝ km （用含a 的式子表示）（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2＝ km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1 d 2（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当a ＝6时，比较大小：d 1 d 2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？5、（阅读理解）用1020cm cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm 的图案．已知长度为10cm 、20cm 、30cm 的所有图案如下：（尝试操作）(1)如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．（归纳发现）(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．-参考答案-一、单选题1、D【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程、时间，作出判断.【详解】A、自行车发生故障时离家距离为1000米，正确；B、学校离家的距离为2000米，正确；C 、到达学校时共用时间20分钟，正确；D 、由图可知，修车时间为15105-=分钟，可知D 错误.故选：D .【点睛】此题考查了学生从图象中获取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.2、A【解析】【分析】首先确定14个2从小到大构成的数．即可求解．【详解】由于只有13个可供贴用的数字2，于是含数字2的数有以下13个：2，12，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，32．由于小明有许多个可供贴用的数字0，1，3，4，5，6，7，8，9，所以还可继续编贴到33，34，35，36，37，38，39，40，41．所以最多他能编贴到41页．故选A ．【点睛】本题是一道探索性实际问题，考查了同学们探索发现和应用数学知识解决实际问题的能力，有利于培养发展思维能力．关键是得到第14个2所在的具体数．3、D【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m 的值；②根据34x ≤＜的频率a 满足0.200.30a ≤≤，可求出该范围的频数，进一步得出b 的值的范围，从而③根据中位数的定义即可求解；④根据加权平均数的计算公式即可求解.【详解】解：①日均可回收物回收量（千吨）为12x ≤＜时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=10.0520÷=，推断合理；②20×0.2=4，20×0.3=6，1+2+6+3=12，故表中b 的值可以为7，是不合理的推断；③1+2+6=9，故这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x ≤＜组，是合理推断；④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断. 故选：D【点睛】本题考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键.4、A【详解】共需制作的车票数为：4+3+2+1，=2×10，=10（种）．故选A ．5、A【解析】【分析】根据长度单位的定义可知纳米指的是长度单位．解：纳米指的是长度单位，故选A.【点睛】此题考查了长度单位，熟记长度单位的定义是解题的关键．6、B【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案．【详解】如图所示：弘文阁所在的点的坐标为：（-2，-2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．7、C【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y 与x 之间的函数关系式，运用公式求最值即可．【详解】设每张床位提高x 个2元，每天收入为y 元．根据题意得：y =（10+2x ）（100﹣10x ）=﹣20x 2+100x +1000．当x =﹣2b a=2.5时，可使y 有最大值． 又x 为整数，则x =2时，y =1120；x =3时，y =1120；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+3×2=16（元）．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，利用二次函数对称性得出是解题的关键．8、C【分析】先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n 有9个，再考虑等腰三角形情况，若a ，b 是腰，则a=b ，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，交换腰和底的位置，求和得到结果．【详解】解：由题意知以a 、b 、c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n 有9个，再考虑等腰三角形情况，若a ，b 是腰，则a=b ，当a=b=1时，c ＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c ＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n 有2个；当a=b=3时，c ＜6，则c=1，2，4，5，此时n 有4个；当a=b=4时，c ＜8，则c=1，2，3，5，6，7，有6个；当a=b=5时，c ＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8个；由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52个同理，若a，c是腰时，c也有52个，b，c是腰时也有52个所以n共有9+3×52=165个．故选：C．【点睛】本题考查了整数问题的综合运用，解答本题的关键是根据所给的条件不重不漏的列举出所有的结果，注意数字要首先能够构成三角形，即满足两边之和大于第三边．9、D【分析】根据数学学科常识即可解答，几何中我们不研究物体的颜色、质量和材质等．【详解】几何中研究物体的形状、大小和位置关系，不研究它的颜色、质量和材质等．故选D．【分析】本题主要考查几何基本知识，理解几何研究的内容是解题关键．10、B【详解】试题分析：把3米长的绳子剪7次后将绳子剪成了相等的8段，所以每段应该是全长的18，即长度为38米，所以是1米的38，故选B二、填空题1、①③④【分析】①根据图象中的信息，可得储油罐内的油量情况；②根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值；③根据函数图象的纵坐标，可得相应的自变量的值；④根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值．【详解】由函数图象知，随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量减少，故①说法正确；由函数图象知，输油管开启10分钟时，储油罐内的油量大于80立方米，故②说法错误；由函数图象知，如果储油罐内至少存油40m 3，那么输油管最多可以开启36分钟，故③说法正确； 由函数图象知，输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半，故④说法正确． ∴结论正确的有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键．2、383【分析】采用序列化方法，设191x x=，2191x x =，3291x x =，4391x x =，491x x ，猜它们都相等并说明，得到91x x =，化为一元二次方程，即可求出结果. 【详解】解：设191x x=，2191x x =，3291x x =，4391x x =，491x x =， 猜想它们都相等， 而1211191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，23121191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 34231191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 4341191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴141191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 若12x x >，由1211191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知，1x x <， 由141191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知，4x x >， 由4341191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知，34x x <， 由34231191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知，23x x >， 由23121191x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知，12x x <，与12x x >矛盾， 同理若12x x >，则可推出12x x <，则猜想成立，即1234x x x x x ==== ,∴91x x =，∴2910x -=，∴2A =()2491-⨯-=383.故答案为：383.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程的形式理解题意.3、探究三：（3）3×（4＋3＋2＋1）；（4）4×（4＋3＋2＋1），（4＋3＋2＋1）2，16×4×5×9个；【问题解决】（n ＋n ﹣1＋n ﹣2＋…＋1）2，16n （n ＋1）（2n ＋1）；【问题应用】6；【拓展延伸】9． 【分析】探究三：通过第一行，第二行，可推出第三行的规律为 3×（4＋3＋2＋1）个，进而推出第四行的规律为 4×（4＋3＋2＋1）个，再通过边长为4求出总个数即可；问题解决：根据边长为4的规律，归纳边长为n 的情形得到平行四边形的总个数（n ＋n ﹣1＋n ﹣2＋…＋1）2，菱形的个数为()()22222112216n n n +-+-+++=n （n ＋1）（2n ＋1）即可； 问题应用：根据平行四边形个数构造方程，解方程即可；拓展延伸：根据规律利用平行四边形的个数与菱形个数的比构造方程，化简整理，解方程 即可得到其他答案．【详解】解：探究三：（3）通过第一行，第二行，可推出第三行平行四边形总共有 3×（4＋3＋2＋1）个．故答案为：3×（4＋3＋2＋1）；（4）按照以上规律，第四行平行四边形共有 4×（4＋3＋2＋1）个，所以，如图 3，平行四边形共有 4×（4＋3＋2＋1）＋3×（4＋3＋2＋1）＋2×（4＋3＋2＋1）＋1×（4＋3＋2＋1）＝（4＋3＋2＋1）×（4＋3＋2＋1）＝（4＋3＋2＋1）2个．我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22个，边长为4的菱形共有12个．所以：如图3，菱形共有42＋32＋22＋12＝（16×4×5×9）个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）故答案为：4×（4＋3＋2＋1），（4＋3＋2＋1）2，4×5×9；问题解决：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是（n＋n﹣1＋n﹣2＋…＋1）2和菱形个数分别是16n（n＋1）（2n＋1）个．（用含n的代数式表示）故答案为：（n＋n﹣1＋n﹣2＋…＋1）2，n（n＋1）（2n＋1）；问题应用：根据题意可得，（n＋n﹣1＋n﹣2＋…＋1）2＝441，n＋n﹣1＋n﹣2＋…＋1＝21，∴n＝6．故答案为：6；拓展延伸：S＝n＋（n﹣1）＋（n﹣2）＋…＋1①，S＝1＋2＋3＋…＋n②，①＋②，得 2S＝n（n＋1），∴S＝(1)2n n+，∴根据题意可得，()()()211121=135:19 26n nn n n⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦：，整理得：219161900n n--=，解得：n＝9，或者n＝﹣1019（舍去），故n的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查是找规律的试题，通过探究，问题解决，应用，拓展使问题逐步加深，培养学生分析问题，研究问题，解决问题，应用拓展能力，仔细观察图形，通过不完全归纳法，得出规律，利用规律构造方程，解一元二次方程是解题关键．4、②【解析】对于①剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，对于②剪开后能拼出三种图形，对于③剪开后能拼出三角形和平行四边形两种，对于④剪开后能拼出平行四边形，对于⑤剪开后能拼出平行四边形和梯形两种，故符合条件的图形为②．故答案为②.5、602【分析】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．【详解】解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○．每个循环节里有3个实心球．我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数．∵2004÷10＝200……4，∴2004个球里有200个循环节，还余4个球．200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球．所以，一共有602个实心球．三、解答题1、B【分析】根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可.【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每90︒循环一次，五边形中心的变化每108︒循环一次，六边形中心的变化每120︒循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为90︒，故该轨迹对应的车轮为正方形的.故答案为B【点睛】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键.2、任务一：5.5；任务二：旗杆GH的高度为14.7m；任务三：答案不唯一，如没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等【分析】任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）．【详解】解：任务一：平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m故答案为：5.5；任务二：由题意可得，四边形ACDB，ACEH都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设EG=xm ，在Rt△DEG 中，∠DEG=90°，∠GDE=31°， ∵tan31°=EG DE， ∴DE=tan 31x ， 在Rt△CEG 中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，∵tan25.7°=EG CE， ∴CE=tan 25.7x ， ∵CD=CE－DE ，∴tan 25.7x －tan 31x =5.5， ∴x=13.2，∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.答：旗杆GH 的高度为14.7m.任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3、（1）能；（2）22.5︒；（3）2θ；3θ；4θ；（4）1822.5θ︒≤︒＜【分析】（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度限制，所以小棒可以无限摆下去；（2）根据直角三角形的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出；（3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出12132A A A θθ=∠=，即可推出，同理即可推出2θ，3θ；（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．【详解】（1）∵角的两边为两条射线，没有长度限制，∴小棒可以无限摆下去；（2）∵112231AA A A A A ===，1223A A A A ⊥，∴12AA A 为等腰三角形，145a ∠=︒， ∴1122.52a θ=∠=︒； （3）∵1212334A A AA A A A A ===，,∴12132312A A A A A A θθ=∠=∠=，∴223123A A A θθθθθ=∠+=+=，∴324334A A A θθθθθ=∠+=+=；（4）∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴590490θθ≥︒⎧⎨︒⎩，＜ 解得，1822.5θ︒≤︒＜．【点睛】本题考查了射线的性质、等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数．4、观察计算：（1）a+2；（2（1）①＜，②＞；（2）当a＞5时，选方案二；当a＝5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一．【分析】观察计算：（1）由题意可得PB＝2，即可得d1的值为a+2；（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B度；探索归纳：（1）①把a＝4代入d1＝a+2和d2a＝6代入d1＝a+2和d2（2）类比题目中所给的方法，分类进行讨论求出a的范围，继而确定选择方案．【详解】（1）由题意可得PB＝2，，d1＝PB+BA＝a+2；故答案为a+2；（2）因为BK2＝a2﹣1，A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24∴d2探索归纳：（1）①当a＝4时，d1＝6，d2，d1＜d2；②当a＝6时，d1＝8，d2d1＞d2；故答案为＜，＞；（2）d12﹣d22＝（a+2）22＝4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20＝0，即a＝5时，d12﹣d22＝0，∴d1﹣d2＝0，∴d1＝d2③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞5时，选方案二；当a＝5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．5、 (1)见解析；(2)5，8，13.【分析】(1)根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个；(2)推出长度为50cm时的所有图案，继而根据已知猜想60cm时所有图案的个数即可.【详解】(1)如图：根据作图可知40cm时，所有图案个数5个；(2)50cm时，如图所示，所有图案个数8个；同理，60cm时，所有图案个数13个，故答案为5，8，13.【点睛】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．。
《大规模三维地形构建的关键技术研究》
《大规模三维地形构建的关键技术研究》一、引言随着科技的不断进步，三维地形构建技术已经成为了众多领域中的关键技术之一。
从虚拟现实到地理信息系统，从军事模拟到城市规划，大规模三维地形的构建都有着广泛的应用。
因此，研究大规模三维地形构建的关键技术，对于推动相关领域的发展具有重要意义。
二、三维地形构建技术概述三维地形构建技术主要是通过获取地表的各种信息，如高程、坡度、坡向等，进而构建出具有真实感的地形模型。
该技术主要涉及到数据获取、数据处理、地形建模等多个环节。
其中，数据获取通常依赖于各种传感器，如激光雷达、卫星遥感等；数据处理则涉及到数据的预处理、滤波、分类等步骤；地形建模则是将处理后的数据转化为三维地形模型的过程。
三、大规模三维地形构建的关键技术1. 高精度数据获取技术高精度数据获取是构建大规模三维地形的关键。
目前，常用的数据获取技术包括激光雷达、卫星遥感等。
其中，激光雷达技术可以获取地表的高程信息，具有较高的精度和分辨率。
而卫星遥感技术则可以获取更大范围的地表信息，但精度相对较低。
因此，在实际应用中，往往需要结合两种技术，以获取更高精度的数据。
2. 数据处理技术数据处理是三维地形构建中的重要环节。
由于获取的数据往往存在噪声、异常值等问题，需要进行预处理、滤波、分类等操作。
其中，滤波技术可以去除数据中的噪声和异常值，提高数据的精度；分类技术则可以将数据按照不同的地表类型进行分类，以便于后续的建模工作。
3. 高效的地形建模技术地形建模是将处理后的数据转化为三维地形模型的过程。
目前，常用的地形建模技术包括数字高程模型（DEM）、三角网模型等。
其中，DEM模型可以较好地表达地形的起伏变化，但难以表达地形的细节信息；而三角网模型则可以较好地表达地形的细节信息，但构建过程较为复杂。
因此，在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的地形建模技术。
4. 优化算法在构建大规模三维地形的过程中，往往需要处理海量的数据。
因此，优化算法的使用对于提高构建效率和精度具有重要意义。
分片实验与有限元法
分片实验与有限元法【摘要】本文主要探讨了分片实验与有限元法在工程领域中的应用及优化方法。
首先介绍了分片实验和有限元法的原理和方法，然后详细分析了它们在工程中的应用情况以及进行了一系列比较分析。
接着提出了优化分片实验和有限元法的结合方法，指出了这种结合的重要性。
展望了分片实验和有限元法在未来的发展前景，并做出了总结。
通过本文的研究，可以更好地理解和应用分片实验与有限元法，促进工程领域的发展与进步。
【关键词】分片实验、有限元法、工程应用、比较分析、结合方法、发展前景、总结与展望1. 引言1.1 分片实验与有限元法的背景分片实验与有限元法是当代工程领域中常用的结构分析方法。
在工程设计与研究中，我们常常需要对各种结构的力学行为进行分析和预测。
传统的试验方法通常需要耗费大量的时间和金钱，并且往往无法完全覆盖所有可能的情况。
人们开始寻求一种更高效、更经济、更精确的结构分析方法。
分片实验是一种通过对结构进行适当的剖分，将结构转化为若干小块，用独立力的作用分析每个小块，最终得到整体结构的力学行为的方法。
有限元法则是一种数学计算方法，将结构离散为有限个单元，通过对每个单元施加适当的边界条件和载荷，最终求解整体结构的力学响应。
这两种方法的应用极大地提高了结构分析的效率和准确性，为工程设计提供了重要的技术支持。
随着计算机技术的不断发展和完善，分片实验与有限元法在工程领域的应用越来越广泛，成为工程师们重要的工具之一。
1.2 分片实验与有限元法的意义分片实验与有限元法作为两种重要的工程分析方法，在工程实践中具有十分重要的意义。
分片实验与有限元法能够帮助工程师更有效地理解和研究结构的受力情况，为工程设计提供依据。
通过模拟和分析结构在不同加载条件下的性能，可以为工程项目提供更可靠的设计方案，提高工程结构的安全性和可靠性。
分片实验与有限元法还能够帮助工程师在设计过程中更好地预测结构的性能，避免设计缺陷和失效。
通过分析结构在不同工况下的响应，工程师可以及早发现潜在的问题，并采取相应的措施进行处理，确保工程项目的顺利进行。
庞加莱猜想
■■圈豳＿庞加莱弓２００６年６月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄国和中国数学家３０多年的共同努力。
两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。
庞加莱猜想的提出庞加莱猜想是２０世纪最伟大的法国数学家庞加莱在１９０４年提出来的一个问题：一个单连通的３维闭流形是否一定同胚于３维球面？流形是曲线、曲面等直观的几何概念的高维推广，虽然可仿照１维球面——圆Ｓ１，２维球面——球面Ｓ２的方程写出３维球面Ｓ３的方程戈２＋，坛２＋￡２＝１，但对它已没有直观形象。
这也是高维几何学和拓扑学的困难所在。
单连通则是指在流形中任何一个圆圈Ｓｔ都可以在流形中连续变形最后缩为一点。
这从２维球面上看得很清楚，而环面（自行车内胎）则不是这样，因此环面是非单连通的。
多年来．庞加莱猜想一直是拓扑学的中心问题之一。
２０００年５月２４日，美国克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所宣布：对７个“千僖年数学难题”的每一个悬赏１００万美元。
这７个大问题中就包括庞加莱猜想。
尽管悬赏金额一样，可数学界对这些问题重要性的评价并不相同；即使在这７个问题中，庞加莱猜想也是相对重要的。
现在看来，这一猜想很可能头一个被破解，剩下的６个当然也都是难啃至极的硬骨头。
拓扑学之父庞加莱虽说在庞加莱之前。
大数学家欧拉、高斯和黎曼都对拓扑学的发展做出贡献，但是，真正把拓扑学建成现胡作玄：研究员。
中国科学院系统科学研究所，北京１０００８０。
ＨｕＺｕｏｘｕ肌：Ｐｒｏｆｅｓ∞ｒ，Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅ０ｆＳｙｓｔｅｍｓＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎｅ∞ＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８０．◆代数学的基础学科则非庞加莱莫属。
可是，庞加莱的贡献决不限于拓扑学。
他和希尔伯特常被认为是最后的两位全才数学家，他们当然也是对２０世纪数学最有影响的数学家。
例如在著名的相对论上庞加莱的工作是举世公认的。
还有当前最热门的非线性科学，包括动力系统理论乃至混沌理论，庞加莱都是当之无愧的先驱。
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76.一个剖分问题分类研究的补充
(西安美术学院临潼校区 陕西省小学教师培训中心 王凯成 710600)
人教版小学数学课标教材五年级上册第87页第7题是：“把一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？你能想出几种方法？”
把一个三角形分成四个面积相等的三角形，这涉及到三角形面积的剖分,能找到多少种小学生能理解的剖分方法呢？笔者在文[1]《一个剖分问题的分类研究》中找到了小学生能理解（利用“等底等高的两个三角形等积”的原理）的106种剖分方法. 实际上,还有2种小学生不易理解的剖分方法,要数形结合,用解析几何的方法.
对于三角形ABC ，不妨设AB BC CA ≥≥，把A 与坐标原点重合即A(0,0)，B 在x 轴正半轴上，C 在第一象限，如图1所示. D 、E 、F 在三角形ABC 内，F 、D 、A 共线，E 、F 、C 共线，D 、E 、B 共线
.
设(,0)(,)(,)4D c
B a
C b c
D x 、、、(,)
E E E x y 、(,)
F F F x y ，ABD BCE CAF S S S ∆∆∆== 8DEF ac S ∆==. 这时已有8ABD ac S ∆=，所以只要8
BCE CAF ac S S ∆∆==就可以推出8
DEF ac S ∆=. 由F 、D 、A 三点共线知：4D F F x y cx ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①
由E 、F 、C 三点共线知：F E F E F F y x x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(-c)=(-b)-c +b ②
由D 、E 、B 三点共线知：E D E cx x a y ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=4(-)+ ③ 由8BCE ac S ∆=即1011=218E E
a ac
b
c x y 的绝对值 知：3)4E E cx a y ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(b-+④ 或 5)4
E E cx a y ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(b-+④′(由④′要么推出E x 为负值，要么推出E y 为负值，所以舍去) 由8CA
F ac S ∆=知: 14
F F cx by ac =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⑤(当4a =，0b =，2c =时，F x =1. 所以14
F F cx by ac =±取“+”号) 由②与④再利用⑤消去E x 、F x 有：34F E F
y y c y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-22c -3c = ⑥ 由③与④消去E x 有：12416E D
a y a
b x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-
c = ⑦ 由⑥与⑦再利用①和⑤消去E y 有：(4D F x ay ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-b)c+4=3 ⑧
由①与⑤消去F x 有: 1(44
D F x y ac =-b), 即为
22(4D F x ay a c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(-b)c)(4)= ⑨
由⑧与⑨知：(4D x -b)c 与F ay 4是22
30x acx a c -+=2的根.
解方程22
30x acx a c -+=2得: x =1,2.
(1). 当(4D x 即84D b x =+时,F ay =4即
8F y =. 再由⑥知: 8
E y =. 再由④知：8E x =+8. 再由①知:
4F a x =.
所以D 、E 、F 的坐标为(,)844
b c D a +、(,)8E a +88、
(,)48
a F +8. 如图1所示.
(2). 当(4D x 即4D b x =+时，F ay =4即
8F y =.再由⑥知:8
E y =.再由④知：8E x a b =+8.再由①
知:4F a x +=8
.
所以D 、E 、F 的坐标为,))44b c D a E ++、、
(,)48
a F +8. 如图2所示. 从上可知：当三角形ABC 的坐标是A(0,0)、B(a ,0)、C(b,c)时，a 、
b 、
c 皆正，若取
(,)(,)(,)444b c a D E a F +++、、888888
,或取
,))()444b c a D E F ++、、，都有：8ABD BCE CAF DEF ac S S S S ∆∆∆∆====. 所以，把一个三角形分成四个面积相等的三角形，一共有108种剖分方法.
注:为研究这一问题,笔者采用了先特殊后一般的研究方法：先研究特殊的直角三角形ABC,A(0,0)、B(4,0)、C(0,2);再研究一般的直角三角形ABC ，A(0,0)、B(4a,0)、C(0,2c)；然后再研究一般的三角形ABC ，A(0,0)、B(4a,0)、C(b,2c)；最后过渡到一般形式的三角形ABC ，A(0,0)、B(a,0)、C(b,c).
最后衷心感谢人民教育出版社《小学数学》杂志编辑部李冰主任的热情指导！ 参考文献
1. 王凯成,一个剖分问题的分类研究,中学数学教学参考初中版,2011年第7期. 本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》初中版2011年第11期。