4.3 角 能力培优练习(含答案)

4.3 角专题一角的个数与表示1. 下列说法中正确的个数是（）①由两条射线组成的图形叫做角，②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，③角的两边是两条射线，④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．A．1个B．2个C．3个D．4个2.下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角，求画n条射线所得的角的个数．专题二钟面上的角度问题3. 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对4.如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是时分．5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？专题三 角的折叠与拼接6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（ ） A ．75° B ．105° C ．120° D ．125°7．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE=35025′则∠ACB=_________.8.如图，先找到长方形纸的宽DC 的中点E ，将∠C 过E 点折起任意一个角，折痕是EF ，再将∠D 过E 点折起，使DE 和C′E 重合，折痕是GE ，你得到的∠GEF 是直角吗？为什么？专题四 角的和、差、倍、分 9.已知α、β是两个钝角,计算()16αβ+的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不 同的答案分别为24°、48°、76°、86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（ ）．A ．86°B ．76°C ．48°D ．24°10.计算：11.已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°， 求∠AOC 的度数.12. 已知∠AOB=21∠BOC ，∠COD=∠AOD=3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数.13. 已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC. （1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数;（2）在如图①中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）; （3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.①探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC 的内部有一条射线OF,满足：∠AOC －4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由.专题五 余角、补角、方位角14．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．180° 15. 如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50度． （1）若∠AOC=∠AOB ，则OC 的方向是 ；（2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是 ；（3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD ，作∠BOD 的平分线OE ，OE 的方向是 ；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE= ．16.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．17.如图所示：点O 是直线AB 上的一点，OE 平分AOC ∠，OD 平分BOC ∠。

求：(1) DOE ∠的度数；（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）知识要点：1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360°.3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.4.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.温馨提示：1.与角有关的注意事项：（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.（2）角的大小与边的长短粗细无关．（3）放大镜不能改变角的度数.（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”．2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″；（3）度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60″就相当于1′, 60′就相当于1°.（4）度分秒除法：余1°就相当于60′，余1′就相当于60″．3.余角与补角中的注意事项：（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角. （4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）×°”．方法技巧：1.在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=(1)(2)2n n++.2.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．3.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.参考答案1. B 解析:①角是有公共端点．．．．．的两条射线所构成的图形,故①错误；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故②正确；③角的两边是两条射线，故③正确；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故④错误．2. 解：因为在已知角内画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角；在已知角内画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角；在已知角内画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角所以在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=(1)(2)2n n++.3. B 解析：因为4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动41060×30°=125°，所以4点10分时，分针与时针的夹角是125°－60°=65°.4. 9时12分解析：由图可知，时针过1个大格线，走过15×60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．5. 解：设8点x分时针与分针重合，则：6x－0.5x=180+60，解得：x=7 4311．所以约8点43分时莉莉出门去姥姥家．设2点y分时，时针与分针方向相反．则：6x－0.5x=180+60，解得：y=7 4311．所以约2点43分时莉莉回家.所以共用了6个小时．6. D 解：一副三角板的度数分别为：30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．7. 144°35′解析：因为∠ACD=∠BCE=90°,故∠ACE=∠ACD－∠DCE=90°－ 35025′=54035′.所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+54035′=144°35′.8. 解析：∠GEF是直角.理由如下：由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800， 所以∠1+∠2=900，所以∠GEF 是直角．9. C 解析: 因为α、β是两个钝角，所以90°＜α＜180°, 90°＜α＜180°． 所以180°＜α＋β＜360°，所以30°＜()16αβ+＜60°．所以C 选项符合要求． 10.（4）176°52′÷3=58°+172′÷3=58°+57′+60〞÷3=58°57′20〞.11. 解析 ：若OC 在∠AOB 的内部，如图1，则∠AOC=∠AOB －∠BOC=60°－20°=40°;若OC 在∠AOB 的外部，如图2，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°.所以∠AOC 的度数为40°或80°.图1 图212. 解析：设∠AOB=x°，所以∠COD=∠AOD=3∠AOB=3x°. 因为∠AOB=21∠BOC ，所以∠BOC=2x°.因为∠BOC+∠COD+∠AOD+∠AOB=360°， 所以3x+3x+2x+x=360. 解得x=40.所以∠AOB=40°，∠COD=120°. 13. 解析：（1）因为∠AOC=30°，所以∠BOC=180°－30°=150°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=∠EOB=150°÷2=75°.因为∠COD 是直角，所以∠DOE=∠COD －∠EOC=90°－75°=15°. （2）12α. （3）①∠DOE =12∠AOC . 设∠DOE=x,则∠COE=90°－x ，∠AOC=180－2∠COE=180－2(90－x)=2x. 所以∠DOE =12∠AOC. ②4∠DOE －5∠AOF=180°，设∠DOE=x,∠AOF=y.则∠AOC=2x ，∠BOE=90－x. 因为∠AOC －4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,所以2x －4y=2(90－x)+y ，所以4x －5y=180. 所以4∠DOE －5∠AOF=180°.14. C 解析：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β－∠γ=90°．故选C ．15. 解：（1）∠AOC=∠AOB=90°－50°+15°=55°，OC 的方向是北偏东15°+55°=70°； （2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是南偏东40°；（3）OE 是∠BOD 的平分线，∠BOE=90°；OE 的方向是南偏西50°； （4）∠COE=90°+50°+20°=160°．16. 解：设这个角的度数是x ，则（180°－x ）－3（90°－x ）=10°，解得x=50°．答：这个角的度数为50°.17．解析:（1）DOE ∠=90°.因为O 是直线AB 上的一点，所以 A O C +B O C =18︒∠∠ ,1AOE EOC=AOC∠=∠∠因为 OE 平分AOC ∠,所以因为 OD 平分BOC ∠，所以 1BOD DOC=BOC 2∠=∠∠, 所以111EOC+DOC=AOC+BOC=AOB=90222︒∠∠∠∠∠ ，即EOD=90︒∠. （2）图中互余的角有4对.BOD EOC,BOD AOE,COD EOC,COD AOE∠∠∠∠∠∠∠∠与与与与。