2020年北京八中高考数学模拟试卷(3月份)
北京八中2020年中考数学模拟试卷解析版
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）1.2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为6560000m2，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ）A. 6.56×106m2B. 6.56×107m2C. 2×107m2D. 2×108m22.下列运算正确的是（ ）A. 2a+3b=5abB. a1•a4=a6C. （a2b）3=a6b3D. （a+2）2=a2+43.若-1＜x＜0，则-=（ ）A. 2x+1B. 1C. -2x-1D. -2x+14.一个试验室在0：00-4：00的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00-2：00保持恒温，在2：00-4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（ ）A. 5℃B. 10℃C. 20℃D. 40℃5.代数式x2-4x+5的最小值是（ ）A. -1B. 1C. 2D. 56.以方程组的解为坐标，点（x，y）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.如果二次根式有意义，那么x的取值范围是______．8.分解因式：2x2-18=______．9.当a取______时，一次函数y=3x+a+6与y轴的交点在x轴下方．（在横线上填上一个你认为恰当的数即可）10.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且经过（0，2）点．任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是______．11.如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为______．12.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）13.计算：（）-2+|-2|-（3-π）0-3tan30°．14.已知x2-2x-1=0．求代数式（x-1）2+x（x-4）+（x-2）（x+2）的值．15.关于x的一元二次方程mx2-（2m-3）x+（m-1）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）16.解下列方程（组）或不等式组：（1）解方程组（2）解分式方程+1=：（3）求不等式组的整数解．17.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（m，2），与y轴分别交于点B．（1）求m和b的值；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是2，请直接写出点C的坐标．18.抛物线C1：y=+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：过去20年间地球新增植被的面积=6560000×3=19680000m2≈2×107m2故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=a5，不符合题意；C、原式=a6b3，符合题意；D、原式=a2+4a+4，不符合题意，故选C各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵-1＜x＜0，∴-=-x-（x+1）=-x-x-1=-2x-1．故选：C．直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4.【答案】B【解析】解：由函数图象知t=2时，温度T=20℃，当t=4时，温度T=40℃，∴开始升温后试验室每小时升高的温度为=10（℃），故选：B．根据函数图象，用2时至4时升高的温度除以时间即可得．本题考查了函数图象的性质，解决本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5.【答案】B【解析】解：∵x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2+1≥1，∴当x=2时，代数式x2-4x+5的最小值为1．此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．6.【答案】A【解析】解：，①+②得，2y=1，解得，y=．把y=代入①得，=-x+2，解得x=．∵＞0，＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．故选：A．此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：利用代入消元或加减消元求得方程组的解为x=，y=，第一象限横纵坐标都为正；第二象限横坐标为负；纵坐标为正；第三象限横纵坐标都为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负．7.【答案】x≥3【解析】解：∵二次根式有意义，∴x-3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8.【答案】2（x+3）（x-3）【解析】解：原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3），故答案为：2（x+3）（x-3）原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9.【答案】-7【解析】解：一次函数y=3x+a+6中令x=0，解得y=a+6，由于交点在x轴下方，得到a+6＜0，因而横线上填上一个小于-6的数就可以．故本题答案为：-7．一次函数y=3x+a+6与y轴的交点坐标即为x=0时y的值，要使一次函数y=3x+a+6与y 轴的交点在x轴下方，只要此时y＜0即可．本题答案不唯一，在横线上填上一个小于-6的数就可以．10.【答案】y=x+2【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，∵经过（0，2），∴一次函数可以是y=x+2故答案是：y=x+2．由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．11.【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）【解析】解：图1的面积a2-b2，图2的面积（a+b）（a-b）由图形得面积相等，得a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．根据图形的面积相等，可得答案．本题考查了平方差公式，利用面积相等是解题关键．12.【答案】（3，-4）【解析】解：∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，∴抛物线顶点坐标为（3，-4）．故答案为（3，-4）．用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式为y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．也考查了配方法．13.【答案】解：（）-2+|-2|-（3-π）0-3tan30°=4+2--1-3×=5-2【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14.【答案】解：原式=x2-2x+1+x2-4x+x2-4∵x2-2x-1=0∴原式=3（x2-2x-1）=0.【解析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案．15.【答案】解：（1）根据题意得m≠0且△=[-（2m-3）]2-4m（m-1）≥0，解得m≤且m≠0；（2）由（1）可知m≤且m≠0，又∵m为正整数，∴m=1，∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．【解析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：m≠0且△=（2m-3）2-4（m-1）≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即.16.【答案】解：（1），①×3-②得：2x=8，解得：x=4，把x=4代入①得：y=-3，则方程组的解为；（2）去分母得：x-3+x-2=-3，移项合并得：2x=2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；（3），由①得：x＜-1，由②得：x≥-3，∴不等式组的解集为-3≤x＜-1，则不等式组的整数解为-3，-2．【解析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出整数解．此题考查了解分式方程，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算各自的解法是解本题的关键．∴2=，得m=2，∵点A（2，2）直线y=x+b上，∴2=，得b=1，由上可得，m的值是2，b的值是1；（2）∵直线y=x+1与y轴交于点B，∴当x=0时，y=1，即点B的坐标为（0，1），又∵点C在y轴上，且△ABC的面积是2，点A（2，2），∴，得BC=2，∴点C的纵坐标为：1+2=3或1-2=-1，∴点C的坐标为（0，3）或（0，-1）．【解析】（1）根据点A（m，2）在双曲线y=上可以求得m的值，再将点A的坐标代入y=x+b，即可求得b的值；（2）根据题意可以求点B的坐标，然后根据点C在y轴上，且△ABC的面积是2，即可求得点C的坐标．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，此种题型最好是动手画一下，再进行解答比较好．18.【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c=3．∵抛物线的对称轴为x=2，∴，解得b=-2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k=-2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y=x．由，当△=（-2）2-4×1×2k=0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2-2x+1=0，解得x=1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．【解析】（1）根据抛物线与y轴的交点坐标求得c=3；根据对称轴为x=2来求b；（2）抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，即抛物线与线段OB有2个交点时，k 的取值范围．本题考查了二次函数图象与几何变换．解答（2）时，利用了“数形结合”的数学思想，使比较抽象的问题变得直观化，降低了解题的难度．。
2020年北京八中初三3月数学练习题
列方程为___________________________．
13. 如图，已知 Rt△ABC 位于第二象限, 点 A（-1,1）, AB=BC=2, 且两条直角边 AB、BC 分别
平行于 x 轴、y 轴, 写出一个函数 y = k (k 0) , 使它的图象与 ABC 有两个公共点, 这个函数的
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O
x
北京八中 2019-2020 学年度第二学期学习质量自我检测（3 月）
x/cm
26．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = kx +1 (k 0) 经过点 A(2,3) ，与 y 轴交于点 B ，
与抛物线 y = ax2 + bx + a 的对称轴交于点 C(m,2) . （1）求 m 的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3） N(x1, y1) 是线段 AB 上一动点，过点 N 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点 P(x2, y2 ) , Q(x3, y3) （点 P 在点 Q 的左侧）．若 x2 x1 x3 恒成立，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
（2）完成下面的证明．
P
证明：连接 PB，QB，
∵ PA=QB，
∴
_____，
A
O
Bl
∴ ∠PBA=∠QPB（____________________）（填推理的依据），
∴ PQ∥l（____________________）（填推理的依据）．
20．如图, 在四边形 ABCD 中, AB∥CD, AB=BC=2CD, E 为对角线 AC 的中点, F 为边 BC 的中点, 连接 DE, EF． （1）求证：四边形 CDEF 为菱形； （2）连接 DF 交 EC 于 G , 若 DF = 2 , CD = 5 , 求 AD 的长．
北京顺义区第八中学2020年高一数学文模拟试卷含解析
北京顺义区第八中学2020年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则集合N的真子集个数为（）A．3；B．4C．7D．8参考答案：B2. 若，则（）A．1 B．3 C． D．2参考答案：D3. 函数的图象可由的图象（）A.向右平移个单位得到B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到D.向左平移个单位得到参考答案：D4. 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是A. B. C. D.参考答案：A5. 若函数，则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知集合A＝{x|y＝x∈Z}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝_____参考答案：略7. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．[，3] C．[，4] D．[，+∞）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m 的值最小为； 最大为3．m 的取值范围是：≤m≤3． 故答案为：[，3]8. 若，且，则是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角参考答案：C9. 设关于x,y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：C10. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩=( )A ．B ．C ．D ．参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为1%，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数解析式为； 参考答案：12. （4分）若直线mx+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，则m= _________ ．参考答案：-613. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，＝，则当时，＝。
2020年北京八中高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)
2020年北京八中高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则集合A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p：，，那么命题为A. ，B. ，C. ，D. ，4.设a，b，，且，则A. B. C. D.5.已知函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则A. B. C. D.6.已知向量，，若与共线，则实数A. 0B. 1C.D. 37.已知双曲线的离心率为，则A. B. C. D. 28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.B.C. 1D. 29.设，为非零向量，则“，”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A，B，C，D四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A，B，C，D四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，的系数为______用数字作答12.各项均为正数的等比数列中，，，则______．13.抛物线上一点M到焦点的距离等于4，则______；点M的坐标为______．14.在中，，，则______．15.已知函数．的最大值为______；设当时，取得最大值，则______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数，其中．Ⅰ若函数的最小正周期为2，求的值；Ⅱ若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．17.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．如表是高二年级的5名学生的测试数据单位：个分钟：学生编号12345跳绳个数179181168177183踢毽个数8578797280Ⅰ求高一、高二两个年级各有多少人？设某学生跳绳m个分钟，踢毽n个分钟．当，且时，称该学生为“运动达人”．从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望．18.已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；Ⅲ线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．19.已知椭圆C：的两个焦点是，，点在椭圆C上，且Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：为定值．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ求的单调区间；Ⅲ若对于任意，都有，求实数a的取值范围．21.已知由个正整数构成的集合，，记，对于任意不大于的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．Ⅰ求，的值；Ⅱ求证：“，，，成等差数列”的充要条件是“”；Ⅲ若，求n的最小值，并指出n取最小值时的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，．故选：D．进行并集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：，复数对应的点的坐标为，位于底数象限．故选：C．利用复数代数形式的乘法运算求出复数对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：，”的否定命题为：，．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：由，则，，不一定成立，利用函数在R上单调递增，可得：．故选：D．由，利用不等式的基本性质及其函数在R上单调递增即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：根据题意，设，点为函数上任意一点，又由函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则有，故选：A．根据题意，设，点为函数上任意一点，进而分析可得，即可得答案．本题考查函数图象的对称性，涉及函数解析式的求法，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】先求出，再根据向量共线的结论即可求解．本题考查了平面向量共线的坐标表示，属基础题．【解答】解：因为向量，，．；与共线；．故选：B．7.答案：B解析：解：双曲线的，，可得，由离心率为可得，解得，故选：B．由题意可得，求得a，b，c，运用双曲线的离心率公式解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱．如图所示：可以转换角度所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：C解析：解：，为非零向量，则“，”，则，而，，“”反之也成立．“，”是“”的充要条件．故选：C．，为非零向量，则“，”，可得，而，，即可判断出结论．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：因为B、D两处互不相邻，所以B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次相应的可行方案有2种，方案：A调整10给D，B调整5给C，然后C再调整1给D；方案：A调整11给D，B调整1给A，调整4台给C，故选：A．先看互不相邻的两点B、D，B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．11.答案：40解析：解：的展开式中通项公式为，令，解得；展开式中含项是第3项，它的系数是．故答案为：40．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数是多少．本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项式展开式的通项公式，是基础题目．12.答案：9解析：解：各项均为正数的等比数列中，，，公比，．则，故答案为：9．由题意利用等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式，得出结论．本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，前n项和公式，属于基础题．13.答案：2解析：解：抛物线的焦点坐标为，由题意可得，即；抛物线的准线方程为，设，可得，即，可得，即，故答案为：2，由抛物线的焦点坐标为，可得p的值；由抛物线的定义，可得M的横坐标，代入抛物线方程可得M的坐标．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：，，由正弦定理可得，由余弦定理可得．故答案为：．由已知利用正弦定理可求由正弦定理可得，进而根据余弦定理可得cos B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.答案：解析：解：函数，当时，函数的最大值为．由于，所以当时，．故答案为：，直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．利用函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解：Ⅰ因为函数，，因为的最小正周期为2，即，所以．Ⅱ因为，，所以，若在区间上取到最大值，只需，所以．解析：Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．Ⅱ利用正弦型函数的性质的应用和不等式的解法求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.答案：解：Ⅰ设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有，．解得，，所以高一年级有196人，高二年级有140人．从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为．的所有可能取值为1，2，3，，，．123P故的期望．解析：Ⅰ设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有，由此能求出高一、高二两个年级各有多少人．从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”由此能求出从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率．的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和的期望．本题考查概率、离散型随机变量、数学期望的求法，考查分层抽样、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以．又因为平面PAD，平面PAD，所以，，AD，平面ABCD，所以面ABCD；Ⅱ如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，设平面EFG的法向量为，由，得令，则，又平面ABCD的法向量，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以．所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；Ⅲ假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设，由，所以．所以，整理得，无解，所以，不存在这样的点M．解析：因为，又平面PAD，得到，进而证明结论；以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG 的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；假设线段PA上存在点M，设，由直线GM与平面EFG所成角为，得到关于的方程，解方程判断即可．考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题．19.答案：解：Ⅰ由椭圆的定义，得，即分将点的坐标代入，得，解得：分椭圆C的方程是分Ⅱ证明：由Q关于x轴于P对称，得．设，则有，，分直线MP的方程为，分令，得，分丨OE丨丨丨．直线MQ的方程为：，分令，得，分丨OF丨丨丨．丨OE丨丨OF丨丨丨丨丨丨丨丨丨分丨OE丨丨OF丨丨OE丨丨OF丨为定值．分解析：Ⅰ椭圆的定义，得，即，将点的坐标代入，解得：即可求得椭圆C的方程；Ⅱ由题意可知：设，则有，直线MP的方程为，令，得，从而丨OE丨丨丨．，同理即可求得丨OF丨丨丨，则丨OE丨丨OF丨丨丨丨丨．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为函数，所以，，又因为，则所求切线斜率为1，切点坐标为，所以在点处的切线方程为；Ⅱ函数的定义域为，由Ⅰ可知，，由，解得，由，解得，所以的单调递增区间是，的单调递减区间是；Ⅲ当时，恒成立，等价于恒成立，令，，，．当时，，所以在区间单调递减；当时，，所以在区间单调递增．而，．所以在区间上的最大值为，所以当时，对于任意，都有．实数a的取值范围为．解析：本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．Ⅰ求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；Ⅱ求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；Ⅲ问题等价于“”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a的范围即可．21.答案：解：Ⅰ由条件知，必有，又均为整数，，，由的定义及均为整数，必有，；Ⅱ证明：必要性：由“，，，成等差数列”及，，得2，，此时2，3，，满足题目要求，从而；充分性：由条件知，且均为正整数，可得2，3，，，故，当且仅当2，3，，时，上式等号成立．于是当时，2，3，，，从而，，，成等差数列．所以“，，，成等差数列”的充要条件是“”；Ⅲ由于含有n个元素的非空子集个数有，故当时，，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求．而用11个元素的集合2，4，8，16，32，64，128，256，512，的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，，2046，2047共2047个正整数．因此当时，n的最小值为11．记，则并且．事实上若，，则，，所以时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符．于是，得，，所以．当时，2，4，8，16，32，64，128，256，499，满足题意，所以当时，n的最小值为11，此时的最大值1010．解析：Ⅰ考虑元素1，2，结合新定义，可得所求值；Ⅱ从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；Ⅲ由于含有n个元素的非空子集个数有，讨论当时，时，结合条件和新定义，推理可得所求．本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
2020年北京八中高考数学模拟试卷(二)(3月份) (含答案解析)
2020年北京八中高考数学模拟试卷(二)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1} 2. 复数(1+i )21−i 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 命题p ：∀x ≥0，x 2−ax +3>0，则￢p 为( )A. ∀x <0，x 2−ax +3≤0B. ∃x ≥0，x 2−ax +3≤0C. ∀x ≥0，x 2−ax +3<0D. ∃x <0，x 2−ax +3≤04. 已知函数y =f (x )在R 上单调递减，且图象过(2,−1)与(−3,5)点，则不等式|f(2m −1)−2|≤3的解集为( )A. [−1,+∞)B. (−∞,32]C. [−1,32]D. R5. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)=10x ，则当x <0时，f(x)=( )A. (110)xB. −(10)xC. −(110)xD. 不能确定6. 设向量a⃗ =(2,4)与向量b ⃗ =(x,6)共线，则实数x =( ) A. 2B. 3C. 4D. 6 7. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的离心率为√10，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 58. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A. 1B. 2C. 3D. 23 9. 已知向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(2,m)，则“m =−1”是“b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，汉诺塔问题是指有3根杆子A.B.C ，B 杆上有若干碟子，把所有碟子从B 杆移到C 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把B 杆上的4个碟子全部移到C 杆上，最少需要移动( )次．A. 12B. 15C. 17D. 19二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知多项式(2x −3)n 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x 2的系数为_________(用数字作答)．12. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若S 2=34，S 4=154，则a 6=________，a n =________．13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点A(1,a)到焦点的距离为2，则该抛物线的准线方程为________；a =________．14. 在△ABC 中，若asinA +bsinB −csinC =√3asinB.则角C 等于______ ．15. 已知函数f(x)=2sinx +sin2x ，则f(x)的最大值是_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)−2sin 2x +1．(1)求f(x)的最小正周期；]上的最大值和最小值．(2)求f(x)在区间[0,π217.今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：(Ⅰ)求x，y的值；(Ⅱ)若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；(Ⅲ)若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．(1)求直线DC与平面PBD所成角的大小；(2)求二面角E−BD−P的大小的余弦值．19.已知椭圆的标准方程为：x24a2+y23a2=1(a>0)(1)当a=1时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率；(2)过椭圆的右焦点F2的直线与圆C：x2+y2=4a2(常数a>0)交于A，B两点，求|F2A|⋅|F2B|的值．20.已知曲线f(x)=x2+ln x−ax+1．(1)当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；(2)对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0，求实数a的取值范围．21.已知公差不为零的等差数列a n中，a1=1，且a1,a2,a5成等比数列(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+!【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|−5≤x<1}，B={x|x≤2}；∴A∪B={x|x≤2}．故选：A．进行并集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算，直接根据复数的四则运算求解即可．解：(1+i)21−i =2i1−i=2i(1+i)2=−1+i．所以对应的点的坐标为(−1,1)，点在第二象限．故选B．3.答案：B解析：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“：∀x≥0，x2−ax+3>0”的否定是∃x≥0，x2−ax+3≤0．故选：B．4.答案：C解析：本题考查函数的单调性及不等式的解法，属于基础题．解：|f(2m−1)−2|≤3等价于−1≤f(2m−1)≤5，由已知函数y=f(x)在R上单调递减，函数图象过(2,−1)与(−3,5)，则函数f(x)在[−3,2]满足−1≤f(2m−1)≤5，故−3≤2m−1≤2，，解得−1≤m≤32故选C．5.答案：A解析：解：设x<0，则−x>0∴f(−x)=10−x，又∵f(x)是偶函数∴f(x)=f(−x)=10−x，故选A．先设x<0，然后再将x转化到(0,+∞)上，利用奇偶性求解，即可求出对称区间上的解析式．本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，同时考查了转化能力，属于基础题．6.答案：B解析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量a⃗=(x,y)与b⃗ =(m,n)共线，那么xn=ym．解：因为向量a⃗=(2,4)与向量b⃗ =(x,6)共线，所以4x=2×6，解得x=3，故选：B．7.答案：B解析：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√10，可得a=1，c=√10，求出b，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√10，∴a=1，c=√10，∴b=√10−1=3，故选：B．8.答案：A解析：本题考查了由三视图还原原图，并求体积，属于中档题．关键为找出几何体的形状．解：由几何体的三视图，可得几何体为如图所示：为四棱柱P−ABCD，可得体积为V=13((1+2)×22)×1=1．故选A．9.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．10.答案：B解析：本题考查了合情推理，属于基础题．设ℎ(n)是把n个碟子从B柱移到C柱过程中移动碟子之最少次数．当n=1时，从B杆移到C杆上有一种方法B→C，即ℎ(1)=1；当n=2时，从B杆移到C杆上分3步，即B→A，B→C，A→C，最少需要移动3次，即ℎ(2)=3，当n=3时，从B杆移到C杆上分七步，即B→C，B→A，C→A，B→C，A→B，A→C，B→C，最少需要移动7次，即ℎ(3)=7；同理，得ℎ(4)=15．解：设ℎ(n)是把n个碟子从B柱移到C柱过程中移动碟子之最少次数．当n=1时，ℎ(1)=1；n=2时，当n=2时，从B杆移到C杆上分3步，即B→A，B→C，A→C，最少需要移动3次，即ℎ(2)=3，当n=3时，从B杆移到C杆上分七步，即B→C，B→A，C→A，B→C，A→B，A→C，B→C，最少需要移动7次，即ℎ(3)=7；数列{ℎ(n)}的通项公式为ℎ(n)=2n−1，得ℎ(4)=15．故选：B．11.答案：4860解析：本题考查了二项式展开式通项公式与二项式系数和的应用问题，是基础题．根据二项式展开式的二项式系数和求得n的值，再根据展开式的通项公式求出x2的系数．解：二项式(2x−3)n的展开式中二项式系数之和为2n=64，解得n=6；∴(2x−3)6的展开式中通项公式为T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−3)r，令6−r=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数为C64⋅22⋅(−3)4=4860．故答案为：4860．12.答案：8;2n−3解析：本题考查等比数列前n项和公式的应用．【关键点拨】利用等比数列的前n项和公式求和，要先判断公比是否为1．解：由题知数列{a n}为等比数列，公比q>0且q≠1，由{S2=34S4=154，得{a1(1−q2)1−q=34,a1(1−q4)1−q=154,解得{a1=14, q=2,故a6=a1q5=14×25=8，a n=a1q n−1=14×2n−1=2n−3．13.答案：x=−1；±2解析：本题主要考查了抛物线的性质及其几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵抛物线y 2=2px(p>0)上一点A(1,a)到焦点的距离为2，∴该点到准线的距离为2，∵抛物线的准线方程为x=−p2，∴1+p2=2，得p=2，∴抛物线为y2=4x，∴准线方程为x=−1，将A(1,a)代入抛物线可得a2=4，得a=±2，故答案为x=−1；±2．14.答案：π6解析：解：∵asinA+bsinB−csinC=√3asinB．∴由正弦定理可得a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =√32，∵0<C<π，∴C=π6．故答案为：π6．根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数角的求解，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，属于基础题．15.答案：3√32解析：解：由题意知函数f(x)=2sinx+sin2x的周期为2π，只需考虑f(x)在x∈[0,2π)内的最大值即可；计算f′(x)=2cosx+2cos2x，令f′(x)=0，得cosx+cos2x=0，即2cos2x+cosx−1=0，解得cosx=−1或cosx=12，所以在x∈[0,2π)时，有x=π，x=π3或x=5π3；所以f(x)的最大值只能在x=π、π3或5π3和边界点x=0处取到，计算f(0)=0，f(π)=0，f(π3)=3√32，f(5π3)=−3√32；所以f(x)的最大值是3√32．故答案为：3√32．由题意知函数f(x)的周期为2π，考虑f(x)在x∈[0,2π)内的最大值即可；计算f′(x)，利用f′(x)=0求得极值点，再求f(x)在x∈[0,2π)内的最值．本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题．16.答案：解：(1)f(x)=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x =sin(2x +π6)． 所以f(x)的最小正周期为T =2π2=π．(2)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π6∈[π6,7π6]．当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值1；当2x +π6=7π6，即x =π2时，f(x)取得最小值−12．解析：本题考查三角函数的性质，属于基础题型，直接求解即可． (1)利用两角和与差公式和二倍角公式化简函数f(x)，可得最小正周期； (2)由x 的范围结合正弦函数的图象，得出函数的最大值和最小值．17.答案：解：(Ⅰ)由题意可得x 99=y 27=218，所以x =11，y =3．(Ⅱ)设“他们中恰好有1人是高三年级学生”为事件A ，则P(A)=C 142C 21C 163=340．(Ⅲ)X 的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择A 、B 、C 三个学雷锋文明交通宣传点的概率都是13．所以P(X =0)=C 40(13)0(23)4=1681；P(X =1)=C 41(13)1(23)3=3281；P(X =2)=C 42(13)2(23)2=2481=827；P(X =3)=C 43(13)3(23)1=881；P(X =4)=C 44(13)4(23)0=181；随机变量X 的分布列为：EX =0×1681+1×3281+2×2481+3×881+4×181=43．解析：(Ⅰ)利用分层抽样的性质(比例关系)可求x，y；(Ⅱ)列出从高二、高三年级抽取的参加文明交通宣传的5个人中选3个人的所有基本事件，找出其中3人中有2人来自高二年级，1人来自高三年级的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解；(Ⅲ)首先列出X的所有取值，再利用二项分布即可求出X的分布列以及数学期望．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率，以及二项分布概型的分布列以及数学期望，抓住概型是解题的关键，属于基础题．18.答案：解：(1)如图1，连结AC交BD于点O，由ABCD为正方形得AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，则PD⊥AC，且PD∩BD=D，即得，则∠CDO即为所求，易得∠CDO=∠CDB=45°，所以直线DC与平面PBD所成角的大小为45°．(2)由题可以设D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴和z轴建立直角坐标系，如图2，则有A(2,0，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，E(0,1，1)， 由(1)得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)为平面PBD 的一个法向量， 设平面EBD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 又DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .n ⃗ =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .n ⃗ =0，即{2x +2y =0y +z =0, 取y =1，则x =−1，z =−1，所以n ⃗ =(−1,1,−1)， 所以cos <n ⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ .AC⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×√3=√63，如图得二面角E −BD −P 为锐角，设为θ，所以cosθ=√63，即得二面角E −BD −P 的大小的余弦值为√63．解析：本题主要考查了线面垂直的判定定理，直线与平面所成的角的求法，利用空间向量求二面角，属于中等题．(1)连结AC 交BD 于点O ，由ABCD 为正方形， PD ⊥底面ABCD ，可证，即得∠CDO即为所求，由图可得答案．(2) 由题可以设D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线为x 轴，y 轴和z 轴建立直角坐标系，由(1)得AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)为平面PBD 的一个法向量，再求得平面EBD 的法向量为n ⃗ =(−1,1,−1)，即得cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AC |=2√2×√3=√63，如图得二面角E −BD −P 为锐角，即可得答案． 19.答案：解：(1)当a =1时，x 24+y 23=1，a =2，b =√3，c =1，焦点坐标F 1(−1,0)，F 2(1,0)，…(2分)离心率e =ca =12；…(3分)(2)当斜率不存在时，丨F 1A 丨=丨F 1B 丨=√4a 2−a 2=√3a 此时|F 2A|⋅|F 2B|=3a 2； (5分)当斜率不存在时，AB ：y =k(x −a)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −a)x 2+y 2=4a 2，整理得：(1+k 2)x 2−2ak 2x +k 2a 2−4a 2=0，(7分) x 1+x 2=2ak 21+k2，x 1x 2=k 2a 2−4a 21+k 2，(9分)丨F 1A 丨=√(x 1−a)2+y 12=√1+k 2⋅丨x 1−a 丨，丨F 2A 丨=√1+k 2⋅丨x 2−a 丨，∴|F 2A|⋅|F 2B|=(1+k 2)丨x 1x 2−a(x 1+x 2)+a 2丨， =(1+k 2)丨k 2a 2−4a 21+k 2−2a 2k 21+k 2+a 2丨，=3a 2，(11分) ∴|F 2A|⋅|F 2B|为定值3a 2.(12分)解析：(1)当a =1时，x 24+y 23=1，a =2，b =√3，c =1，焦点坐标F 1(−1,0)，F 2(1,0)，离心率e =c a =12； (2)当斜率不存在时，丨F 1A 丨=丨F 1B 丨=√3a ，此时|F 2A|⋅|F 2B|=3a 2；当斜率不存在时，AB ：y =k(x −a)，代入圆方程，由韦达定理及两点之间的距离公式即可|F 2A|⋅|F 2B|的值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与圆的位置关系，韦达定理，两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，当a =1时，f(x)=x 2+lnx −x +1，f′(x)=2x +1x −1， ∴f′(1)=2，f(1)=1，所求切线方程为y −1=2(x −1)，即y =2x −1．(2)由题意得f(x)=x 2+lnx −ax +1≥0⇒a ≤x 2+lnx+1x ，x ∈[1,+∞).设g(x)=x 2+lnx+1x ，x ∈[1,+∞)，g′(x)=x 2−lnx x 2，x ∈[1,+∞).再设m(x)=x 2−lnx ，x ∈[1,+∞)，m′(x)=2x −1x =2x 2−1x>0，m(x)在[1,+∞)上为增函数，m(x)≥m(1)=1， 即g′(x)>0，g(x)在[1,+∞)上为增函数， ∴g(x)≥g(1)=2，即a ≤2.故a 的取值范围为(−∞,2]．解析：本题考查导数的应用及含参数不等式恒成立的问题，考查了计算能力，属于中档题． (1)当a =1时，求出导数f′(x)，然后求出f′(1)和f(1)，即可求出曲线在x =1处的切线方程； (2)将问题转化为a ≤x 2+lnx+1x在x ∈[1,+∞)上恒成立，利用导数求出g(x)=x 2+lnx+1x在x ∈[1,+∞)上的最小值，即可求出答案．21.答案：解：(1)设公差d 不为零的等差数列{a n }，a 1=1，且a 1，a 2，a 5成等比数列， 可得a 2 2=a 1a 5，即为(1+d)2=1×(1+4d)， 解得d =2，则数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1(n 为正整数)； (2)b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，即有前n 项和T n =b 1+b 2+⋯+b n=12(1−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1) =12(1−12n+1)=n2n+1(n 为正整数)．解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设公差d 不为零的等差数列{a n }，运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d =2，进而得到所求通项公式； (2)求得b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简计算即可得到所求和．。
北京八中2019-2020学年度第一学期10月高三第三次综合练习数学试题
北京八中2019-2020学年度第一学期综合练习10月 高三第三次综合练习 数学试题 一、选择题1.已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是( )A.1-B.0C.1D.22.在复平面内，复数()22i -对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数212sin 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是( )A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数 4.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A.34π B.3π C.4π D.6π5.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C.,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6.某地一天内的气温()Q t (单位：℃)与时刻 (单位：时)之间的关系如下图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差(即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差).()C t 与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是( )A. B.C. D.7.下列命题中为真命题的个数是( ) ①若0x ≠，则12x x+≥. ②“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件.③已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件④若命题:p “()0,x ∃∈+∞，210x x -->”，则命题p 的否定为：“()0,x ∀∈+∞，210x x --≤”. A.0B.1C.2D.38.设S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： (i)(){}T f x x S =∈；(ii)对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <. 那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.*A =N ，B =NB.{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C.{}01A x x =<<，B =RD.A =Z ，B =Q二、填空题9.在ABC △中，若2a =，cos A =1cos 4B =-，则b =_________. 10.将序号分别是1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法有_______种.(用数字作答)11.函数()()()()22,0log ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()02f x =，则0x =____________. 12.已知函数()223f x x ax b =++在1x =处有极小值12，则b 的值为___________. 13.()52x +的展开式中2x 的系数是_______(结果用数值表示).14.如图所示，()f x 是定义在区间[](),0c c c ->上的奇函数，令()()g x af x b =+，并有关于函数()g x 的四个结论：①若0a >，对于[]1,1-内的任意实数(),m n m n <，()()0g n g m n m->-恒成立.②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b =.③若1a ≥，0b <，则方程()0g x =必有3个实数根. ④a R ∀∈，()g x 的导函数()'g x 恰有两个零点. 其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题 15.已知函数()22f x =. (1)求()f x 的定义域及最小正周期. (2)写出()f x 的单调区间.16.设函数()24cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最大值，并写出使()fx 取最大值时x 的集合；(2)已知ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()32f B C +=，2b c +=，求a 的最小值.17.某课外小组计划在周六和周日各举行一次主题不同的活动，分别由李老师和陈老师负责，已知该小组共有7位学生，每次活动均需该小组的3位学生参加.假设李老师和陈老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给该组的3位学生，且所发信息都能收到.(1)求该组学生甲收到李老师或陈老师所发活动通知信息的概率.(2)求该组同时收到两位老师所发信息的人数X 的分布列和数学期望.18.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为ω.(1)求证：AC ⊥平面BDE .(2)求二面角F BE D --的余弦值.(3)设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论.19.已知函数()22,0ln 1,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨->⎩，其中a 是实数，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x ≠.(1)指出函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值. (3)若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，求a 的取值范围.20.已知每项都是正整数的数列123100,,,,a a a a …，其中等于的项有i k 个(1,2,3,i =…)，设()121,2,3,j j b k k k j =+++=……，()()121001,2,3,m g m b b b m m =+++-=…….(1)若140k =，230k =，320k =，410k =，51000k k ==…，求()1g ，()2g ，()3g ，()4g . (2)若123100,,,,a a a a …中最大的项为50，比较()g m 与()1g m +的大小. (3)若123100200a a a a ++++=…，求函数()g m 的最小值.一、1-5 DDBCC 6-8DBD二、9、10、9611、1或-412、13、8014、①②三、15、f（x），（1）则定义域为：x（k∈Z），最小正周期T＝π；（2）根据正切函数为单调增函数，则f（x）在kπ＜x＜kπ（k∈Z）单调递增，即f（x）的单调增区间为（kπ，kπ）（k∈Z）．16、（Ⅰ）f（x）＝cos（2x）+2cos2x＝（cos2x cos sin2x sin）+（1+cos2x）cos2x sin2x+1＝cos（2x）+1，（3分）∵﹣1≤cos（2x）≤1，即cos（2x）最大值为1，∴f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x）＝1，即2x2kπ（k∈Z），解得：x＝kπ （k∈Z），则x的集合为{x|x＝kπ （k∈Z）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f（B+C）＝cos[2（B+C）]+1，即cos（2π﹣2A），化简得：cos（2A），（8分）∵A∈（0，π），∴2A∈（，），则有2A，即A，（10分）在△ABC中，b+c＝2，cos A，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bc cos（b+c）2﹣3bc＝4﹣3bc，（12分）由b+c＝2知：bc1，当且仅当b＝c＝1时取等号，∴a2≥4﹣3＝1，则a取最小值1．（14分）17、1）设事件A表示“该组学生甲收到李老师或陈老师所发活动通知信息”，事件B表示“收到李老师所发活动通知信息”，事件C表示“收到陈老师所发活动通知信息”，则A＝B∪C，事件A的对立事件为，且P（B）＝P（C），所以P（A）＝1﹣P（）＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝11；（2）该组同时收到两位老师所发信息的人数X的所有可能的取值分别为0，1，2，3．P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），所以随机变量X的分布列为：所以E（X）＝123．18、（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE＝60°，所以．由AD＝3，可知，．则A（3，0，0），，，，，，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，，，，．设平面BEF的法向量为（x，y，z），则，即．令，则，，．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，，，．所以cos，＞．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．（3）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，，．因为AM∥平面BEF，所以0，即4（t﹣3）+2t＝0，解得t＝2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．19、（I）当x＜0时，f（x）＝（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）＝lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）＝x2+2x+a，∴f′（x）＝2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）＝﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴1，当且仅当﹣（2x1+2）＝2x2+2＝1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由得．∵函数，y＝﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln （2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．20、（I）∵数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴g（1）＝﹣60，g（2）＝﹣90，g（3）＝﹣100，g（4）＝﹣100；（II）∵g（m+1）﹣g（m）＝b m+1﹣100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴g（m+1）﹣g（m）≤0，即g（m）≥g（m+1），当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴当m≥50时，b m＝100，∴g（1）＞g（2）＞…＞g（49）＝g（50）＝g（51）＝…，即当1＜m＜49时，g（m）＞g（m+1），当m≥49时，有g（m）＝g（m+1）；（III）设M为{a1，a2，…a100}中的最大值，由（II）知，g（m）的最小值为g（M）；则g（M）＝b1+b2+b3+…+b M﹣100M＝（b1﹣100）+（b2﹣100）+（b3﹣100）+…+（b M﹣1﹣100）＝（﹣k2﹣k3﹣…﹣k M）+（﹣k3﹣k4﹣…﹣k M）+（﹣k4﹣k5…﹣k M）+…+（﹣k M）＝﹣[k2+2k3+…+（M﹣1）k M]＝﹣（k1+2k2+3k3+…+Mk M）+（k1+k2+…+k M）＝﹣（a1+a2+a3+…+a100）+b M＝﹣（a1+a2+a3+…+a100）+100∵a1+a2+a3+…+a100＝200，∴g（M）＝﹣100，∴g（m）最小值为﹣100．另解：由题易知M的最大值为101，∴g（m）的最小值为g（101）＝﹣100．。
2020年北京八中中考数学模拟试卷(3月份)
2020年北京八中中考数学模拟试卷（3月份）一.选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）（本题共16分，每小题2分）1.节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A.3.5×107 B.3.5×108 C.3.5×109 D.3.5×10102.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A.三棱柱B.圆锥C.四棱柱D.圆柱3.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A.b+c>0B.ca>1 C.ad>bc D.|a|>|d|4.已知l1 // l2，一个含有30∘角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A.90∘B.120∘C.150∘D.180∘5.如果y＝−x+3，且x≠y，那么代数式x2x−y +y2y−x的值为（）A.3B.−3C.13D.−136.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是()A. B.C.D.7.下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）A.2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B.2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C.2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D.2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8.如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm 的A ，B 两点同时开始沿线段AB 运动，运动过程中甲光斑与点A 的距离S 1(cm)与时间t(s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B 的距离S 2(cm)与时间t(s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s ，且两图象中△P 1O 1Q 1≅P 2Q 2O 2，下列叙述正确的是（ ）A.甲光斑从点A 到点B 的运动速度是从点B 到点A 的运动速度的4倍B.乙光斑从点A 到B 的运动速度小于1.5cm/sC.甲乙两光斑全程的平均速度一样D.甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次二.填空题（本题共16分，每小题2分）9.当x＝________时，代数式x−2的值为0．x10.已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：________．11.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于________．12.2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为________．13.已知Rt△ABC位于第二象限，点A(−1, 1)，AB＝BC＝2，且两条直角边(k≠0)，使它的图象与AB、BC分别平行于x轴、y轴，写出一个函数y=kx△ABC有两个公共点，这个函数的表达式为________=−5．x14.已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90∘．如果∠ACB＝75∘，圆O的半径为2，则BD的长为________．15.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A(−3, 0)，B(4, 0)，边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为________．16.电影公司随机收集了2000部电影的有关数据，经分类整理得到如表：注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率是________；（2）电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？答：________．三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27，28题每小题5分）)−2−2sin60∘+|√3−1|17.计算：(2014−π)0−(1218.解不等式组：{3x−1>2(x+1)x−32≤1，并在数轴上表示出其解集．19.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ // l．作法：如图2，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明：证明：连接PB、QB．∵PA＝QB，∴PA^=________．∴∠PBA＝∠QPB(________)（填推理的依据）．∴PQ // l(________)（填推理的依据）．20.如图，在四边形ABCD中，AB // CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD=53，求AD的长．21.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0, 3)，B(1, 0)，连接BA，将线段BA(x>0)的图象G经过点绕点B顺时针旋转90∘得到线段BC，反比例函数y=kxC．（1）请直接写出点C的坐标及k的值；（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q(0, m)为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．23.如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图．（1）根据折线图把下列表格补充完整；（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由．24.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD=185，sinF=35时，求OF的长．25.如图1，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN．已知AB＝6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm．小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点(x, y1)，并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AMN为等腰三角形时，AM的长度约为3.3或4.8或5.7cm．26.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1(k≠0)经过点A(2, 3)，与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C(m, 2)．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N(x1, y1)是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2, y2)，Q(x3, y3)（点P在点Q的左侧）．若x2<x1<x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．27.如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是________；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF=√2FG．28.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1(12, 0)，P2(12, √32)，P3(52, 0)中，⊙O的关联点是________．②点P在直线y＝−x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝−x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．。
北京第八中学2020年高三数学文月考试题含解析
北京第八中学2020年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF2，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为A. B. C. D.参考答案：A2. 满足的复数的共轭复数是（）A．B．C．D．参考答案：D3. 函数的值域是（）A. B．C． D.参考答案：C4. 已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．5. “”是“方程至少有一个负根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：A当时，方程等价为，解得，满足条件.当时，令，因为，要使至少有一个负根，则满足或，解得或，综上方程至少有一个负根的条件为.所以“”是“方程至少有一个负根”充分不必要条件，选A.6. 记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题．7. 设为虚数单位，则复数等于（）A．B．1－C．－1＋D．－1－参考答案：C略8. 设随机变量，且，则实数的值为( ) A． 4 B． 6 C． 8D．10参考答案：A由题意知9. 设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（0，] D．[，）参考答案：D10. 设全集为R，集合（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y，满足约束条件，若z的最大值为12，则k=。
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2020年北京八中高考数学模拟试卷（二）（3月份）
一.选择题（本大题共10道小题，每道小题4分，共40分）
1．（4分）已知集合{|21}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则集合(A B =U )
A ．(2,1)-
B ．(0,1)
C ．(0,)+∞
D ．(2,)-+∞
2．（4分）在复平面内，复数(1)i i -对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（4分）已知命题:p x R +∀∈，0lnx >，那么命题p ⌝为( )
A ．x R +∃∈，0lnx „
B ．x R +∀∈，0lnx <
C ．x R +∃∈，0lnx <
D ．x R +∀∈，0lnx „
4．（4分）设a ，b ，c R ∈，且a b <，则( )
A ．ac bc <
B ．11a b >
C ．22a b <
D ．33a b <
5．（4分）已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()(f x = )
A ．2x -
B ．2x -
C ．2log x -
D ．2log x
6．（4分）已知向量(1,3)a =r ，(1,0)b =-r ，(3c =r ，)k ．若2a b -r r 与c r 共线，则实数(k =
)
A ．0
B ．1
C ．3
D ．3
7．（4分）已知双曲线2
21x y m
-=的离心率为3，则(m = ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．2
8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．13
B ．23
C ．1
D ．2
9．（4分）设m r ，n r 为非零向量，则“m n λ=r r ，1λ-…”是“||||||m n m n +=-r r r r ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（4分）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )
A ．最少需要16次调动，有2种可行方案
B ．最少需要15次调动，有1种可行方案
C ．最少需要16次调动，有1种可行方案
D ．最少需要15次调动，有2种可行方案
二、填空题（本大题共5道小题，每道小题5分，共25分）
11．（5分）在5(2)x -的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
12．（5分）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，236a a +=，则63
S S = ． 13．（5分）抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p = ；点M 的坐标为 ．
14．（5分）在ABC ∆中，2a b =，sin 3sin C B =，则cos B = ．
15．（5分）已知函数()sin 2cos f x x x =-．
①()f x 的最大值为 ；
②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ= ．
三、解答题（本大题共6道小题，共85分）
16．（14分）已知函数2()3sin cos sin 222x
x
x
f x ωωω=+，其中0ω>．
（Ⅰ）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值为32
，求ω的取值范围． 17．（14分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）:
学生编号
1 2 3 4 5 跳绳个数
179 181 168 177 183 踢毽个数 85 78 79 72 80
（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？
()II 设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟．当175m …，且75n …时，称该学生为“运动达人”．
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．
18．（14分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为
6
π，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．。