由一道求值域题的解法想到的
一道求值域问题的多种解法
一道求值域问题的多种解法数学是一个有机的整体，所有感觉是分开的知识其实相互之间是有紧密的联系的。
即大家在学习每一部分内容时，要注意横向联系，把相互关系结成一张网，这样就可覆盖全部内容，使之融会贯通。
这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。
通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。
从而培养创新精神和创造能力。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－12）2+12由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。
对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π2 ]则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ=1－12（2sinθcosθ）2=1－12sin22θ=1－12×1－cos4θ2=34+14cos4θ于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值12；当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1则 xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。
值域的解法及例题
一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】求函数的值域.解：为便于计算不妨: 配方得: ，利用二次函数的相关知识得,从而得出: .【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2.练习○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 当1≤x≤1000时，求y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.二、换元法【例3】求函数的值域.适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）.解析：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：【例4】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3；故填－3.练习○3 已知是圆上的点，试求的值域.三、反函数法（变量分类法）【例5】求函数的值域.解：原式中x∈R，将原式化为由○1解出x，得；（也可由直接得到）因此函数值域是（－1，1）四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3五、数形结合法【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.六、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例9】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0，∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.七、函数单调性法【例10】设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________. 解析：∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.又∵它们的差为12，∴loga2＝12，a＝4.八、导数法【例11】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．解析：因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.。
值域(最值)问题常见类型及解法.
4
2
2y (t 1)2 8(t 0) 。即 y (, 4]。
五、 基本不等式法：
【理论阐释】
对形如（或可转化为）f (x) ax b ，可利用 a b ab, a2 b2 2ab
x
2
求得最值。注意“一正、二定、三等”。
典例导悟
典例导悟
（2010·四川高考文科·Ｔ11）设
f (x) 的最小值是 f (3) 3 f (1) 6 .
七、数形结合法：
【理论阐释】 适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
典例导悟
求函数f (x) x2 6x 18 x2 10x 26 的最小值。
【解析】f (x) x2 6x 18 x2 10x 26
检验：当 y 1 5
1 5
时，代入①求根， x
2
5 (
6)
2
5
x2 5x 6
y 又由 x2+x-6≠0 得函数
的定义域为
x2 x 6
｛x|x≠2 且 x≠-3｝.
∵2 { x| x2 且 y x-3}，∴ 1 。 5
再检验 y=1 代入①求得 x=2，∴y1，
典例导悟
（ 2010 · 重 庆 高 考 文 科 · Ｔ 19 ） 已 知 函 数 f (x) ax3 x2 bx （ 其 中 常 数 a, b ∈ R ）， g(x) f (x) f '(x) 是奇函数.
（1）求 f (x) 的表达式；
（2）讨论 g(x) 的单调性，并求 g(x) 在区间 1, 2 上的最大值与最小值.
1.
即
a
从一道带根号函数的值域错解谈起
5-182019年第5期从一道带根号函数的值域错解谈起黄海(贵州省六盘水市第二十三中学，贵州六盘水553000)用数形结合法求形如/仏)=J+b x x+c,-j+b2x+c2(a iy a2M0,x e R)函数值域时，文[1]给出这样一个例题：例求y=y/x2+9-Jx-8%+41的值域文中给出如下的分析及解法：分析：原式可看作y=y(x-0)2+(0-3)2-y(x-4)2+(0-5)2,因此问题转化成：y的值就是在平面直角坐标系中的乂轴上一点到两定点4(0,3)、B(4,5)的距离之差.r^j■命题和提出新数学问题的能力.我们应当以模式的观念为核心来组织数学解题教学，即应该注重通过模式的识别、简单运用、综合运用和创造性运用，引导学生逐渐学会建立与发展识别模式、分析模式、鉴赏模式、创造模式、拓展模式与应用模式的能力.波利亚先生曾指出：一种解题方法，无论是自己获得的，或是学来的、听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲，就可成为一种楷模，当你再次碰到类似的数学问题，它就是你可依照的模式•⑹笛卡尔也说:“我们解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题•”数学试题成千上万，我们不可能把它们一一做完•但许多数学问题，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像或解题方法，都表现出或隐含着某种数学模式，解题时若善于观察、识别和捕捉这些模式特征，往往可以迅速地获得问题解决的途径，而且，常常可以基于模式相似性特征推广原有命题和提岀新的数学问题.当然，识别问题所蕴含的模式和基于该模式提出新的数学问题,这个过程常常连结B4,延长B4交％轴于点P0(%0,0).从图1中可知：x轴上任意一点P(P°除外)到/z*w r^i是很不容易的，需要具有模式直观的洞察力和蕴藏着思维的灵动、自然而又曼妙的想象,以及由此及彼、由表及里的综合联系与抽象提炼•教师在此要有意识地引导、教育和培养学生,使学生的解题和提出问题的能力得到提升.参考文献[1][美]Steen LA.模式的科学[J].李亚平，译.数学译林,1993(2)：96-105.[2]阿蒂亚等著.数学与物理最前沿[M].香港:商务印书馆,2010.[3]邓东皋等主编.数学与文化[M].北京:北京大学出版社，1990.[4][美]基思•德夫林.千年难题:七个悬赏1000000美元的数学问题[M].沈崇圣，译•上海:上海科技教育出版社,2007.[5][美]G•波利亚著.数学与猜想:合情推理模式(第二卷)M].李志尧等，译.北京：科学出版社,2001.[6][美]波利亚著.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.2019年第5期欽学孰学5-194、B两点距离差的绝对值都小于\AB\.即-1AB丨<I AP丨-I BP丨=Jx+9--8%+41<I AB\.因为\AP0\-\BP0\=-g-8陶+41+a J+9—-1AB I,所以-I4BI<1ABI，得值域-仍W y<2^5.评析：对于此结果，当4、B、P o三点共线时取得最小值，这一点毋庸置疑.对于右边的值出现的却是一个放大的结果,这是因为尽管数形结合它是形象的、直观的，在解题时可以避免繁琐的计算过程，但有时并非是“全能”的，更不能简简单单地根据图形得出答案.因为形只是我们操作的一种手段，一种工具，并不是理论证据.下面将给出正确的解法.解法1：将原式变形为y=7(x-0)2+(0-3)2-7(%-4)2+(0-5)2,定义域为％e R,y的值域可看作P(%,0)到点4(0,3)和点2(4,5)的距离之差.(i)当%=-6时，如图2,点P与4、B三点共线，有I PAI-1“丨=-14BI,即y=-仍；在Rt APOC和RtAPOA中，因为丨PO I=(2)当%逐渐增大，假设为点0) (X<%!),如图4,连结PiA、P(B,匕4与PB交于点0”令巴4=如,P l B=b1,由三角形两边之和大于第三边，则\0}A\+\0t P\>a,............①I0x B\+\0x P x I>............②因为I0x A\+\0”I=a],I0t B I+ I0x P\=b,所以①+②得5+b>a+g,即4>b—a〉b、—a】.当％—+oo时，4>b-a >b x-a x>…> b”-a n.当x#-6时，由三角形两边之差小于第三边，有丨P'AI-I P'BI>-\AB\，即y>-仍，所以y M-2^5.(ii)当x>-6时，如图3,过点B作y轴的垂线交V轴于点C,连结刃、PB、PC,则I BCI=4,I ACI=2.(1)令I PA\=a,I PB\=b,I PCI=c,由三角形两边之和大于第三边，有6+4>c.(iii)当％<-6时同理.综上所述,y的值域为[-275,4).评析：此时所得结果最小值相等，右边的值却发生了变化，即在错解中函数的值域[-2点，2点)只是一个大致单位，就像我们在高中时，求值域经常出现一个放大的值域.这便说明错解简单从三角形两边之差小于第三边的角度思考，只能得到函数的最小值，得不到最大值•尽管求出一个2点，但只是小于，不是小于等于，这样完全可能使得值域的最大值5-20欽学救学2019年第5期比2点小.而解法1中的“结合”严格遵循了“数”与“形”内在的一致性，实质也是在补上错解中的短板，是此函数数与形完美结合的表现，通过这样“结合”，问题才能形象、直观、准确地解决•接下来用极值的第一充分条件⑵求解说明此类带根号函数值域用数形结合法求解时,要严格保持“数”与“形”的一致解法2：由x2+9＞9,x2-8x+41=(x-4)2+25M25,所以％e R.对y求导，则y，二(丿/+9)z-(J/-8%+41)'x x-4a/x2+9J&+41令y'=0,解得勺=-6,x2因为当％7时』'2 2 ~28x-------M0,所以力+4122 2是y'的增根，故舍去.所以x--6是y唯一的稳定点.又当％w(-8,~6)时y，＜0,即歹在(-8,-6)上单调递减；当XW(-6,+8)时y，＜0,即y在(_6, +8)上单调递增.所以当％=-6时，丁罰=745--丿125=-2^5.又limy=lim(x2+9_y/x2-8x+41)X—»+8X―+00(/+9)-(%2-8%+41)=lim--------------------------------------i+9+y x2-8%+41-8%-32=lim------；•-1+x\/x2+9+\/%2—8%+418』=lim-------------------上=4.同理limy=-4,所以,y的值域为[-2点, X—»-004).评析：用导数法求解此函数的值域所得结果无疑是正确的.所以，在求形如/(x)=y/a t x2+6]%+C]-y/a2x2+b2x+c2(tz,a20,x e R)的函数值域问题时，如果使用数形结合法求解，则不能简单地利用几何图形，必须在几何图形的基础上考察动点的变化趋势，使数与形的转化保持一致，否则滥用数形结合将出现错误的结果.如函数/(%)=y/x2-6x+13-y/x2+4x+5的值域是(-5,丿厉]，而不是(-/26,726],等等.参考文献[1]王秀珍•关于求带根号函数值域方法的探究[J].数学教学,1996(2)：23-25.[2]华东师范大学数学系•数学分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2010.。
值域的解题方法
值域的解题方法
值域是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数能够取到的所有可能值的范围。
在解决值域问题时，我们可以采用以下方法：
观察函数形式：首先观察函数的解析式，了解函数的性质和特点。
例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等都有不同的性质和特点，需要分别对待。
定义域：确定函数的定义域，即函数能够取值的范围。
在解决值域问题时，必须先确定函数的定义域，否则无法确定函数的值域。
换元法：对于一些复杂的函数，可以通过换元法将其转化为简单的函数，从而更容易求解值域。
例如，对于一些复杂的分式函数，可以通过换元将其转化为二次函数或一次函数，从而更容易求解值域。
反解法：对于一些反函数问题，可以通过反解法求解值域。
例如，对于一些反比例函数或对数函数，可以通过反解法求解值域。
数形结合：对于一些函数图像问题，可以通过数形结合的方法求解值域。
例如，对于一些二次函数或指数函数，可以通过数形结合的方法观察函数的取值范围，从而确定值域。
特殊值法：对于一些特殊情况，可以通过特殊值法求解值域。
例如，对于一些常数
函数或一次函数，可以通过特殊值法求解值域。
总之，解决值域问题需要综合运用以上方法，根据具体问题的特点和性质选择合适的方法进行求解。
数学求值域真题答案及解析
数学求值域真题答案及解析数学是一门抽象而又具体的科学，对于一些人来说，数学可能是最头痛的学科之一。
然而，数学也是一门非常实用的学科，它运用广泛，可以用来解决现实生活中的很多问题。
今天，我想和大家分享一些数学求值域的真题答案及解析，希望能帮助大家更好地理解数学这门学科。
求值域是数学中一个非常重要的概念，它指的是一个函数在定义域上所有可能取到的值的集合。
换句话说，求值域就是函数的所有可能的输出值。
在解决数学问题的过程中，求值域的概念经常被用到。
下面，我将通过几个例子来解释求值域的求解方法。
首先，我们考虑一个简单的例子：例1: 求函数f(x) = 2x + 1的值域。
要求函数f(x) = 2x + 1的值域，我们需要寻找可以使得函数f(x)取到的所有可能的值。
首先，我们可以观察到函数f(x)是一个线性函数，其图像是一条直线。
由于直线是无限延伸的，所以函数f(x)的值域也是无限的。
通过观察函数f(x)的线性特点，我们可以得出结论：函数f(x)的值域为全体实数。
这个例子比较简单，接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：例2: 求函数g(x) = x^2的值域。
同样地，我们需要找到可以使得函数g(x)取到的所有可能的值。
函数g(x)是一个二次函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域。
我们可以发现，二次函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点位于坐标原点。
由于抛物线的开口向上，我们可以得出结论：函数g(x)的值域为所有大于等于0的实数。
以上两个例子展示了如何求解函数的值域。
在实际应用中，我们还可以通过变换函数、利用函数的性质等方法来求解值域。
下面，我将通过一个具体的例子来进一步说明。
例3: 求函数h(x) = sin(x)的值域。
对于函数h(x) = sin(x)，我们很难通过观察其图像来判断其值域。
我们可以通过观察正弦函数的周期性来解决这个问题。
正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
函数值域的求法例题详解
函数值域的求法例题详解函数是数学中一个重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在函数中，我们常常需要求出函数的值域，即函数可能的输出值的集合。
本文将通过一些例题来详细解析函数值域的求法。
例题1：求函数值域已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求函数f(x)的值域。
解析：要求函数的值域，首先需要确定函数的定义域，即输入值的取值范围。
对于这个例题中的函数f(x)，它是一个二次函数，对于任意实数x都有定义。
因此，函数f(x)的定义域为全体实数。
接下来，我们可以通过一些方法来确定函数的值域。
常见的方法包括图像法、导数法和代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来观察函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以绘制它的图像。
通过观察图像，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线。
导数法是利用函数导数的性质来推导出函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以计算它的导数f'(x) = 2x - 3。
由于导数表示函数的增减性，我们可以通过求导数的零点来确定函数的极值点。
对于这个例题中的函数，它的导数f'(x)的零点为x= 3/2。
根据导数的正负性，我们可以知道当x < 3/2时，函数递增；当x > 3/2时，函数递减。
因此，函数的极值点为x = 3/2，它是这个函数的最小值点。
所以，我们可以得到函数f(x)的值域为大于等于最小值点对应的函数值。
代数法是通过分析函数的表达式来推导出函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2，我们可以通过完成平方的形式转化为确定函数的值域。
我们可以将函数进行平方完成，得到f(x) = (x - 3/2)^2 - 1/4。
因为平方的结果永远大于等于0，所以最小值为0。
所以，函数的值域为大于等于0的实数。
综上所述，根据图像法、导数法和代数法，我们得出函数f(x) =x^2 - 3x + 2的值域为大于等于0的实数。
求函数值域的九种策略(史上最完整版)
求函数值域的九种策略【策略1】观察法【例1】求函数1y =的值域。
【解析】0x ≥，【例2】求函数1y =的值域。
【解析】0x ≠, ∴【例3】已知函数2(1)1y x =--，{}1,0,1,2x ∈-，求函数的值域。
【解析】因为{}1,0,1,2x ∈-，而(1)(3)3f f -==，(0)(2)0f f ==，(1)1f =-,所以{}1,0,3y ∈- ★注意：求函数的值域时，【例4】 求函数2x y +=的值域【例5】 求函数21x xy x x -=-+的值域。
【例6】函数2566x x y x x -+=+-的值域为【策略3】利用函数的有界性求值域【例7】函数21x y -=的值域为，211x +≥法二：22x y x -=+2)1x y =+101y y +=≥-，解得1-的值域为【例8】求函数12xx y -=的值域。
，211x+>，20x>，11y ∴-<<，故函数【策略4】判别式法(,)0F x y =【例9】求函数222x x y -+=的值域。
【解析】21x x ++2(2)(1)20y x y x y -+++-=。
①当20y -=即2y =时，300,0x x R +=∴=∈； ②当20y -≠即2y ≠时，x R ∈时，方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，22(1)4(2)0,15y y y ∴∆=+-⨯-≥∴≤≤且2,y ≠∴原函数的值域为[]1,5。
【例10】已知函数222()x ax bf x ++=的值域为[1,3]，求,a b 的值。
【例11】求函数2y =的值域。
【策略5】换元法：【例12】函数()2f x x =- ）[).0,A +∞ 17.,8B ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 5.,4C ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 15.,8D ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,[0,t ∈+∞【例13】函数113x y -=的值域为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，所以可得【例14】函数[]1()428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________【思路分析】12()428(2)228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2xt =，则可将其转化为二次函数求得值域.，[2,2x ∈-【例15】函数1ln x e y +=的值域为__________的范围，再取对数即可。
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由一道求值域题的解法想到的
福建师范大学数学系99系 谢盛富 许彬城
题目
求y =+的值域.
分析 这一类型的题目,主要有两种解题思路,一是利用几何知识作图构造距离,另一种是利用复数的不等式性质12||||z z +≥ 12||z z +和模的定义求解.本文将阐述复数的求解方法.下面是学生的两种解题过程.
法一 设12z x i =−+,213z x i =++,x ∈ R .
则1212|||||||15|z z z z i +≥+=+=.
∴y ,
故y =+的
值域为)+∞.
法二 设12z x i =−−,213z x i =++,x ∈ R .
则1212|||||||1|z z z z i +≥+=+=.
∴y ≥,
故y =+的值
域为)+∞.
同样的题目,同样的方法,只是设值不同,答案却截然不同！为什么？在上述的解题过程中,没有说明等号成立的条件即是否能取得到等号.
事实上,做错的原因在于没有吃透不等式1212||||||z z z z +≥+等号成立的条件,下面,对此进行归纳,望能给同学们带来一定的帮助.
对于不等式12121||||||||||z z z z z −≤±≤+ 2||,z 其中12,z z C ∈,有:
(1)1212||||||,z z z z +≤+,当且仅当1OZ uuuu v
与2OZ uuuu v 同向共线(或者1122Rem()Im()0Rem()Im()
z z z z =>,或
者12arg arg z z =)时取等号;
(2)1212||||||,z z z z +≥−,当且仅当1OZ uuuu v
与2OZ uuuu v 反向共线(或者1122Rem()Im()0Rem()Im()
z z z z =<,或
者12arg arg z z =±π)时取等号;
(3)1212||||||,z z z z −≤+,当且仅当1OZ uuuu v
与2OZ uuuu v 反向共线(或者1122Rem()Im()0Rem()Im()
z z z z =<,或
者12arg arg z z =±π)时取等号;
(4)1212||||||||,z z z z −≥−,当且仅当1OZ uuuu v
与2OZ uuuu v 同向共线(或者1122Rem()Im()0Rem()Im()
z z z z =>,
或者12arg arg z z =)时取等号;
其中,1OZ uuuu v 与2OZ uuuu v
分别表示1z ,2z 所对应的向量, 1Rem()z ,2Rem()z ,分别表示1z ,2z 的实部, 1Im()z ,2Im()z 分别表示1z , 2z 虚部; 1OZ uuuu v 与2OZ uuuu v 同向共线⇔12z tz =且0t >,1
OZ uuuu v 与2OZ uuuu v
反向共线⇔12z tz =且0t <.
以上四个结论请读者自行证明. 根据(1)对于法一,有12z tz =且0t >,
∴2(1)3,x i t x ti −+=++解得2/3,t = 2/5x =−;
对于法二,有12z tz =且0t >,
∴2(1)3,x i t x ti −−=++解得2/3,t =−这是与0t >矛盾,故此时取不到等号,因此法二是错误的.
下面,大家再看两道例题:
例 1 若复数z 满足|3|5z i −=,求|2|z +的最值.
分析 |2||(3)(23)|z z i i +=−++,应用(1)和(2)即可解之.
解 |2||(3)(23)|z z i i +=−++
|3||23|5z i i ≤−++=此时Rem(3)Im(3)023z i z i −−=>,
即z =
+时取得等号; |2||(3)(23)|z z i i +=−++
||3||23|||55z i i ≥−−+==−,
此时Rem(3)Im(3)023
z i z i −−=<, 即
・26・
1313
z i =−
−时取得等号.
从而5|2|5z ≤+≤+.
说明 本例也可用作图结合复数的性质求解.
例 2 设z C ∈,且||1z =,
求|u z =+ |i 的最值,并问z 为何值时,u 取得到最值? 分析
|||)|u z i z i =+=−−,应用(3)和(4)可解之.
解
|||)|u z i z i ==−−
|||123z i ≤+−=+=,
Im()01z =<−,又||1z =,
∴12
z i =
; |||)|u z i z i ==−−
||||||12|1z i ≥−−=−=,
Im()01z =>−,又||1z =,
∴12
z i =
−. 综上得,
当1
2
z i =时,max 3u =;
当1
2
z i =
−时, min 1u =. 说明 本例也可用z 的三角形式或作图结合复数的性质来求解.
练 习
(1)x R ∈,求函
数()f x =
的最小值.
(2) x 为何实数时
,y =−
|有最大值,最大值是多少? (3)
求=y 的最大值.
答案 (1) 2; (2) 7x =
;
.
2002年全国高考数学
第(20)题简析
福建福州二中 王晓敏
2002的高考数学理科(20)题为应用题:“某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？”本题以城市环保为背景,是数列、函数、极限、不等式等知识的交汇,旨在考查运用化归、综合分析及分类讨论等数学方法进行数学建模解决实际应用问题. 1 试题特点
1.1 入手易得高分难
本题题目篇幅短小精干,文字阅读量小,非数学的背景材料简单,数学结构显而易见.这样,数学应用问题的三关(事理关、文理关、数理关)中的前两关就比较容易得以突破,数学化比较直接,克服了学生对应用题的畏难情绪.其次,本题所要建立的数列模型,在平常的应用题练习中最为常见,本题由常见题“原有森林木材量a ,木材的年增长率为25%,每年砍伐的木材量为x ,为使经过20年木材的存有量翻两番,求每年砍伐的木材量x ”变化而来,其中的定值“20年”改为不定的“n 年”,大部分同学都会觉得入手不难.但本题的改造看似平淡,其实极为新颖,要想很严密地解决问题并且得到高分就不容易了. 1.2 明显的区分度
本题充分体现了应用题考查学生运用数学知识分析问题、解决问题能力的检验功能,不同层次的学生有不同的区分度,有助于通过考试甑选优秀的人才.本题的实质是建立数列模型,利用函数的单调性和极限求最值问题,在评卷中,2分、4分、6分、8分、10
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