4.1.2圆的一般方程.ppt
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4.1.2圆的一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0 的形式
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程
2 2
D E 圆心 ( , ) 2 2
1 2 2 半径 D E 4F 2
2.求轨迹方程的步骤
1.设动点的坐标为为(x,y)
2.找到几何关系
4.整理化简
5.下结论
3.用方程表示几何关系
2 2
2
2
１、当 D E 4F 0 时，方程表示圆
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
半径长 1 2 2 D E 4F 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2 2
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
1 2 2 D E 4F 2
半径
Hale Waihona Puke 探究： 圆的标准方程和圆的一般方程的优缺点 1、圆的标准方程的优点在于它明确地 指出了圆心和半径。
AM 2
y
M
由两点间距离公式，上式可用坐标表示为
1 . ( x 3) 2 y 2 2 x2 y2
C
O
A 3
x
两边平方并化简，得曲线方程为
x2 y 2 2x 3 0
将方程配方，得
( x 1) 2 y 2 4
所以所求曲线是以C (1,0) 为圆心，半径为 2 的圆.
D E 圆心 ( , ) 2 2
1 2 2 半径 D E 4F 2
2.求轨迹方程的步骤
1.设动点的坐标为为(x,y)
2.找到几何关系
4.整理化简
5.下结论
3.用方程表示几何关系
2 2
2
2
１、当 D E 4F 0 时，方程表示圆
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
半径长 1 2 2 D E 4F 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2 2
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
1 2 2 D E 4F 2
半径
Hale Waihona Puke 探究： 圆的标准方程和圆的一般方程的优缺点 1、圆的标准方程的优点在于它明确地 指出了圆心和半径。
AM 2
y
M
由两点间距离公式，上式可用坐标表示为
1 . ( x 3) 2 y 2 2 x2 y2
C
O
A 3
x
两边平方并化简，得曲线方程为
x2 y 2 2x 3 0
将方程配方，得
( x 1) 2 y 2 4
所以所求曲线是以C (1,0) 为圆心，半径为 2 的圆.
高一数学人教B版必修2课件：4.1.2 圆的一般方程
解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆. (2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2=
a2 1
( a 2 1) 2 .
(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,
第9页 共 44 页
第10页 共 44 页
题型二 求圆的一般方程 例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆 上.
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看
是否成立即可.
第11页 共 44 页
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B ､C三点的坐标分别代入圆的方程得
(3)__________________时,它才表示圆. D2+E2-4AF>0
第4页 共 44 页
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2① 明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方 程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0②
(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2). 仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆. 2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用 一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.
2 2.
(R为圆C半径). 6 2
第36页 共 44 页
11.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 则a的值为( 2 , )
湖北省黄石市高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
解分:析设:所圆求的一的般圆方的程方需程确为定三x2个+y系2+数Dx,+用方E待y法+定F:=系待0,数定因法系为. 数O、法M1、M2 三点在圆上,所以它们的坐标是方程和的配解方,法
F 0
∴ D E F 2 0 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.
4D 2E F 20 0
∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.
圆的一般方程
例题分析
例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆 C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),
方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.
圆的一般方程
得结论、给定义
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.
我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的
圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+学Dx过+两Ey种+F形=式0突的出圆的了方形式上的特点:
其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的 方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待 定系数法和配方法求解.
若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程; 若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一 般方程.
F 0
∴ D E F 2 0 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.
4D 2E F 20 0
∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.
圆的一般方程
例题分析
例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆 C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),
方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.
圆的一般方程
得结论、给定义
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.
我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的
圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+学Dx过+两Ey种+F形=式0突的出圆的了方形式上的特点:
其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的 方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待 定系数法和配方法求解.
若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程; 若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一 般方程.
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
4.1.2圆的一般方程
方法技巧 用待定系数法求圆的方程时，一般方程和标准方程的选择策略： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的 问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定 系数法求出参数D，E，F.
例2: 已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
代入法求动点的轨迹方程: 方法步骤：(1)设出所求轨迹上的动点 M(x，y)． (2)由中点的坐标公式得出 A 点的坐标． (3)由点 A 在已知圆上，将点 A 的坐标代入圆的方程，就得到点 M 的 轨迹方程．
复习
1.圆的标准方程__x__a_2___y__b_2__r_2 ,圆
心（a,b）,半径为r. 若圆心为（0,0），则圆的方程为
_x_2 __y_2 __r.2
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
练习 已知等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B(3,5)，
求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．
[解析] 设另一端点 C 的坐标为(x，y)． 依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得
x－42＋y－22＝ 4－32＋2－52， 整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
2. x2 y2 2x 4 y 1可化为 (x _1_)2 ( y _2_)2 __4_
3. x2 y2 2x 4 y 5可化为 (x _1_)2 ( y _2_)2 __0_