人教A版高中数学必修2 圆的一般方程优秀课件
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT完美课件
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= - 1 .
kOM
=
y0 , x0
k = - x0 . y
0
kOM y
经过点M 的切线方程是
y
-
y0
=
-
x0 y
(x-
x0 ),
0
M(x0, y0)
整理得 x0x+y0y=x0 2+y0 2.
O
x
因为点M在圆上,所以
所求的切线方程是 x0
x2 + y2 = r
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件
5.
，则动点P的轨迹是
（1）若 λ＝1，则点P的轨迹是线段AB的中垂线. （2）若 λ＞0 且 λ≠1 ，则点P的轨迹是圆. （3）若 λ<0，则点P的轨迹不存在.
4x0 2 3 x0
1,
∴ x0＝1，即圆心为(1，－4)，
半径 r (3 1)2 (2 4)2 2 2 ,
故圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.
.
C
练习2.
解1：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ
则由线段中点坐标公式得
M
x
x
y
x0 10 2
y0 0 2
4.1.2 圆的一般方程
将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
反过来，x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的曲线是圆吗？
即
x0 y0
2x 10 2y
O
P
（相关点法）
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ， x02 y02 16
即 (2 x 10)2 (2 y)2 16
即 ( x 5)2 y2 4 所求点M的轨迹方程.
练习2.
解2：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ，
解3：
∴ 线段AB的中点M轨迹是以( 3 , 3)为圆心、1为半径的圆.
22
小结圆的方程：
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程：4.1.2 圆的一般方程》教学PPT
例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
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问题 1.方程 x2 y2 Dx Ey F 0
在什么条件下表示圆?
问题 2.对圆的标准方程与圆的一般方程作比较， 看各自有什么特点？ 问题 3、圆的一般方程是二元二次方程吗？ 反过来成立吗？
问题 1.方程 x2 y2 Dx Ey F 0 在什么条件下表示圆?
把方程 x2 y2 Dx Ey F 0 配方可得：
说明：点 M 的轨迹方程是指
点M的轨迹是指点M的坐标（x,y）满足 的关系式。
变式练习：已知 M (2，0), N(2，0) ，则以 MN 为斜边的
C 直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程式（ ）
A、x2 y2 4
B、x2 -y2 4
C、x2 y2 4(x 2)
D、x2 y2 4(x 2)
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F .
2
2
4
（1）当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示以 ( D , E ) 为圆心，
22
1 D2 E2 4F 为半径的圆.
2
（2）当 D2 E2 4F 0 时，
方程
(x
D )2 2
B 弦所在的直线方程是（ ）
A. x y 3 0
B. x y 3 0
C. 2x y 6 0
D. 2x y 6 0
D 3．圆 x2 y2 2x 4y 3 0 的圆心到直线 x y 1 的距离为（ ）
A.2
B. 2 2
C. 1
D. 2
4.△ABC 的三个顶点 A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC 的
一般地二元二次方程是圆的一般式方程要满足：
（1）x2和y2系数相同，都不等于0.
（2）没有xy这样的二次项.
(3)D2 E2 4F 0
返回
三、典型例题
【例 1】下列方程各表示什么图形？
14x2 4y2 4x 12y 9 0
x2 y2 x 3y 9 0，则（x 1）2 (y 3)2 1
4.1.2 圆的一般方程
一、复习导入
圆的标准方程的形式是怎样的？
(x-a)2 +(y-b)2 = r2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a,b r
思考：（1）方程 x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形?
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆.
四、反思导悟
1．圆的一般方程的特征：（1） x2 与 y2 项的系数 为1 ；
（2） 不 含 xy 项．
2．求圆的方程时，可以求圆的标准方程，也可以求圆的一般方程：
（1）当给出（或容易求出）圆心坐标、半径，一般用圆的 标准方程； （2）当上述条件不明显时，常用圆的 一般 方程，
3．求动点的轨迹方程就是建立动点的 坐标x，y
F 0, D E F 2 0, 4D 2E F 20 0,
解这个方程组得 D 8, E 6, F 0.
故所求圆的方程为 x2 y2 8x 6 y 0. 因此所求圆的圆心为(4, 3),半径长为 1 D2 E2 4F 5.
2
【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (2, 5) ，端点 A 在圆 (x 1)2 y2 9 上运动，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。
反过来，当 D2 + E2 - 4时F，>0方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
问题 2.对圆的标准方程与圆的一般方程作比较， 看各自有什么特点？
标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆 心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构.
返回
问题 3、圆的一般方程是二元二次方程吗？ 反过来成立吗？
.的方程，关
键是善于根据题目给出的条件找出等量关系列出等式．
五、反馈导练
D 1．方程 x2 y2 4x 2y 5m 0 表示圆的条件是（ ）
A. 1 m 1 4
B. m 1
C. m 1 4
D. m 1
2． M (3, 0) 是圆 x2 y2 8x 2y 10 0 内一点，过 M 点最长
外接圆方程是__
___. x2 y2 2x 2y 23 0
5．已知圆 C： (x 1)2 y2 1，过坐标原点 O 作弦 OA ，
则 OA 中点的轨迹方程是 x2 y2 x （0 0<x .1）
不幸很少会纠缠有希望和信心的人。
4
2
24
(2)x2 y2 2ax b2 0
(x a)2 y2 a2 b2
变式练习
方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的
取值范围是( D )
A.a＜-2或 a＞ 2 3
C.-2＜a＜0
2 B.0＜a＜
3 D.-2＜a＜ 2
3
例2 求过三点 O(0, 0), M1(1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程。 解：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0, 把点 O(0, 0), M1(1,1)的, M坐2 (4标, 2代) 入得方程组
（2）方程 x2 y2 2x 4 y 5 0 表示什么图形？
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 0
表示一点（1，-2）
（3）方程 x2 y2 2x 4 y 6 0 又表示什么图形?
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 -1
不表示任何图形。
二、问题导思
阅读教材 P121 ~ P123的内容，思考讨论下列问题.
(y
E )2 2
D2
E2 4
4F
只有一实数解 x D , y E , 它表示一个点 ( D , E).
2
2
22
（3）当 D2 E2 4F 0 时，
方程 (x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
没有实数解，它不表示任何图形.
返回
任何一个圆的方程都可以写成 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式，
在什么条件下表示圆?
问题 2.对圆的标准方程与圆的一般方程作比较， 看各自有什么特点？ 问题 3、圆的一般方程是二元二次方程吗？ 反过来成立吗？
问题 1.方程 x2 y2 Dx Ey F 0 在什么条件下表示圆?
把方程 x2 y2 Dx Ey F 0 配方可得：
说明：点 M 的轨迹方程是指
点M的轨迹是指点M的坐标（x,y）满足 的关系式。
变式练习：已知 M (2，0), N(2，0) ，则以 MN 为斜边的
C 直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程式（ ）
A、x2 y2 4
B、x2 -y2 4
C、x2 y2 4(x 2)
D、x2 y2 4(x 2)
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F .
2
2
4
（1）当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示以 ( D , E ) 为圆心，
22
1 D2 E2 4F 为半径的圆.
2
（2）当 D2 E2 4F 0 时，
方程
(x
D )2 2
B 弦所在的直线方程是（ ）
A. x y 3 0
B. x y 3 0
C. 2x y 6 0
D. 2x y 6 0
D 3．圆 x2 y2 2x 4y 3 0 的圆心到直线 x y 1 的距离为（ ）
A.2
B. 2 2
C. 1
D. 2
4.△ABC 的三个顶点 A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC 的
一般地二元二次方程是圆的一般式方程要满足：
（1）x2和y2系数相同，都不等于0.
（2）没有xy这样的二次项.
(3)D2 E2 4F 0
返回
三、典型例题
【例 1】下列方程各表示什么图形？
14x2 4y2 4x 12y 9 0
x2 y2 x 3y 9 0，则（x 1）2 (y 3)2 1
4.1.2 圆的一般方程
一、复习导入
圆的标准方程的形式是怎样的？
(x-a)2 +(y-b)2 = r2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a,b r
思考：（1）方程 x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形?
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆.
四、反思导悟
1．圆的一般方程的特征：（1） x2 与 y2 项的系数 为1 ；
（2） 不 含 xy 项．
2．求圆的方程时，可以求圆的标准方程，也可以求圆的一般方程：
（1）当给出（或容易求出）圆心坐标、半径，一般用圆的 标准方程； （2）当上述条件不明显时，常用圆的 一般 方程，
3．求动点的轨迹方程就是建立动点的 坐标x，y
F 0, D E F 2 0, 4D 2E F 20 0,
解这个方程组得 D 8, E 6, F 0.
故所求圆的方程为 x2 y2 8x 6 y 0. 因此所求圆的圆心为(4, 3),半径长为 1 D2 E2 4F 5.
2
【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (2, 5) ，端点 A 在圆 (x 1)2 y2 9 上运动，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。
反过来，当 D2 + E2 - 4时F，>0方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
问题 2.对圆的标准方程与圆的一般方程作比较， 看各自有什么特点？
标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆 心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构.
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问题 3、圆的一般方程是二元二次方程吗？ 反过来成立吗？
.的方程，关
键是善于根据题目给出的条件找出等量关系列出等式．
五、反馈导练
D 1．方程 x2 y2 4x 2y 5m 0 表示圆的条件是（ ）
A. 1 m 1 4
B. m 1
C. m 1 4
D. m 1
2． M (3, 0) 是圆 x2 y2 8x 2y 10 0 内一点，过 M 点最长
外接圆方程是__
___. x2 y2 2x 2y 23 0
5．已知圆 C： (x 1)2 y2 1，过坐标原点 O 作弦 OA ，
则 OA 中点的轨迹方程是 x2 y2 x （0 0<x .1）
不幸很少会纠缠有希望和信心的人。
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(2)x2 y2 2ax b2 0
(x a)2 y2 a2 b2
变式练习
方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的
取值范围是( D )
A.a＜-2或 a＞ 2 3
C.-2＜a＜0
2 B.0＜a＜
3 D.-2＜a＜ 2
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例2 求过三点 O(0, 0), M1(1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程。 解：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0, 把点 O(0, 0), M1(1,1)的, M坐2 (4标, 2代) 入得方程组
（2）方程 x2 y2 2x 4 y 5 0 表示什么图形？
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 0
表示一点（1，-2）
（3）方程 x2 y2 2x 4 y 6 0 又表示什么图形?
配方得 (x 1)2 ( y 2)2 -1
不表示任何图形。
二、问题导思
阅读教材 P121 ~ P123的内容，思考讨论下列问题.
(y
E )2 2
D2
E2 4
4F
只有一实数解 x D , y E , 它表示一个点 ( D , E).
2
2
22
（3）当 D2 E2 4F 0 时，
方程 (x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
没有实数解，它不表示任何图形.
返回
任何一个圆的方程都可以写成 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式，