人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学第四章 圆与方程 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2
大家好
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.1 4.1.2 圆的一般方程课件PPT
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2．求经过点 A(－2，－4)且与直线 x＋3y－26＝0 相切于点 B(8， 6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切于点 B，∴86＋＋DE22 －4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆．
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求圆的一般方程 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)， B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外 接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
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3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心，且与直线 x＋y＝0 垂直的直线
方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1， 即 x－y＋1＝0.]
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4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
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(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得 (x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则 5－5k>0，解得 k<1.故实 数 k 的取值范围是(－∞，1)．故选 B.
(2)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程 为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为 5. 当 a＝2 时，方程不表示圆．]
2．求经过点 A(－2，－4)且与直线 x＋3y－26＝0 相切于点 B(8， 6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切于点 B，∴86＋＋DE22 －4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆．
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求圆的一般方程 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)， B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外 接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
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3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心，且与直线 x＋y＝0 垂直的直线
方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1， 即 x－y＋1＝0.]
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4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
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(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得 (x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则 5－5k>0，解得 k<1.故实 数 k 的取值范围是(－∞，1)．故选 B.
(2)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程 为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为 5. 当 a＝2 时，方程不表示圆．]
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件
5.
，则动点P的轨迹是
（1）若 λ＝1，则点P的轨迹是线段AB的中垂线. （2）若 λ＞0 且 λ≠1 ，则点P的轨迹是圆. （3）若 λ<0，则点P的轨迹不存在.
4x0 2 3 x0
1,
∴ x0＝1，即圆心为(1，－4)，
半径 r (3 1)2 (2 4)2 2 2 ,
故圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.
.
C
练习2.
解1：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ
则由线段中点坐标公式得
M
x
x
y
x0 10 2
y0 0 2
4.1.2 圆的一般方程
将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
反过来，x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的曲线是圆吗？
即
x0 y0
2x 10 2y
O
P
（相关点法）
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ， x02 y02 16
即 (2 x 10)2 (2 y)2 16
即 ( x 5)2 y2 4 所求点M的轨迹方程.
练习2.
解2：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ，
解3：
∴ 线段AB的中点M轨迹是以( 3 , 3)为圆心、1为半径的圆.
22
小结圆的方程：
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
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第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
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第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
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第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
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第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件
圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
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三.讲授新课：
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
yE 22 NhomakorabeaD2E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，此方程表示圆，
圆心
-
（2）当 D2
D 2
,
E 2
E2 4F
r 0
D2 E2 4F 2
时，此方程表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，此方程不表示任何图形
2.圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F
（2）标准方程易于看出圆2 心与半径 一般方程突出了方程形式上的特点
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
三.例题分析 新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。 注：让学生自己分析探求解决途径：①、用配
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
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解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
练习：P134
A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
x
2．求圆x 2
2 y
2x
4y
1
0上的点到原点 O的
距离的最大值 .
3.已知P(xy,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 ((21))求求x2x+y的2的最最小大值值与最小值
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未知量 是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
相关点法特点:点A在已知曲线C(方程已知）运动 导致了M点运动，求M点轨迹方程
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0
如果D2+E2-4F>0
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
x
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
配方
注意: 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F>0时，
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二、自主学习
自学辅导教材123页§4.1.2 时间30分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1、圆的标准方程的变形研究
圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程是
(x a) ( y b) r
展 开
2 2 2
y
o1(a,b)
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 2 (x ) ( y ) ( ) 2 2 2
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已知量
是什么？
B(4,3)
M是AB中点
四、课堂小结
1.圆的方程有标准方程与一般方程两种形式，二 者之间可相互转化 2.求圆的方程关键是确定圆心坐标与半径 （1）常用“待定系数法”，先设出圆的方程 （两种设法），然后列方程组解之
（2）数形结合：挖掘几何性质，直接求圆心坐 标与半径 3 .求轨迹方程（实质是求轨迹上任意一点坐标关 系）
x a
圆的标准方程:
2
y b r
2程表明 圆的方程是一种特 殊的二元二次方程, 代数特征明显.
x y Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0)
2 2
圆的一般方程:
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例4:求过 三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.并求这 个圆的圆心坐标和半径长 M2(4,2)
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配方得(x-2)2+(y+3)2=25 ∴圆心为(2,-3),半径为5.
自我归纳：请根据以上例题归纳用待定系数法 求圆的方程的一般步骤
（1)根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 （3）解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程
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需要三个 方程构成 方程组 已知量
是什么？
圆上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)
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练习:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解方程组关键是消元 （1)代入消元 2 2 解:设所求方程为:x +y +Dx+Ey+F=0 （2）加减消元
例5 已知线段AB的端点B（4，3），端点A 2 2 在圆( x 1) y 4 上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
未知量 是什么？
线段AB中点M的轨迹方程
M的坐标（x,y) 中变量x与y之间满足的 等式。
求出A点坐标(用x,y表示）
A在圆( x 1)2 y 2 4 上运动
2 2 2 2
称为圆的一般方程.
D E D 2 E 2 4F 该圆的圆心是（ ， ), 半径r= 2 2 2
注意：圆的一般方程的3个特点
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E 2 4F 0
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3、圆的标准方程与一般方程的关系以及各自特点 圆的标准方程 指出了圆心和 半径,几何特征 明显.
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
相关点法特点:点A在已知曲线C(方程已知）运动 导致了M点运动，求M点轨迹方程
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0
如果D2+E2-4F>0
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
x
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
配方
注意: 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F>0时，
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二、自主学习
自学辅导教材123页§4.1.2 时间30分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1、圆的标准方程的变形研究
圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程是
(x a) ( y b) r
展 开
2 2 2
y
o1(a,b)
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 2 (x ) ( y ) ( ) 2 2 2
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已知量
是什么？
B(4,3)
M是AB中点
四、课堂小结
1.圆的方程有标准方程与一般方程两种形式，二 者之间可相互转化 2.求圆的方程关键是确定圆心坐标与半径 （1）常用“待定系数法”，先设出圆的方程 （两种设法），然后列方程组解之
（2）数形结合：挖掘几何性质，直接求圆心坐 标与半径 3 .求轨迹方程（实质是求轨迹上任意一点坐标关 系）
x a
圆的标准方程:
2
y b r
2程表明 圆的方程是一种特 殊的二元二次方程, 代数特征明显.
x y Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0)
2 2
圆的一般方程:
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例4:求过 三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.并求这 个圆的圆心坐标和半径长 M2(4,2)
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配方得(x-2)2+(y+3)2=25 ∴圆心为(2,-3),半径为5.
自我归纳：请根据以上例题归纳用待定系数法 求圆的方程的一般步骤
（1)根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 （3）解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程
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需要三个 方程构成 方程组 已知量
是什么？
圆上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)
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练习:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解方程组关键是消元 （1)代入消元 2 2 解:设所求方程为:x +y +Dx+Ey+F=0 （2）加减消元
例5 已知线段AB的端点B（4，3），端点A 2 2 在圆( x 1) y 4 上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
未知量 是什么？
线段AB中点M的轨迹方程
M的坐标（x,y) 中变量x与y之间满足的 等式。
求出A点坐标(用x,y表示）
A在圆( x 1)2 y 2 4 上运动
2 2 2 2
称为圆的一般方程.
D E D 2 E 2 4F 该圆的圆心是（ ， ), 半径r= 2 2 2
注意：圆的一般方程的3个特点
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E 2 4F 0
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3、圆的标准方程与一般方程的关系以及各自特点 圆的标准方程 指出了圆心和 半径,几何特征 明显.