数学：4.1.2《圆的一般方程》课件(新人教版A版必修2)
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
人教A版高中数学必修二《4.圆的一般方程》课件
方 程x2y2DxEyF0表 示 以 点 D 2,E 2为 圆 , 1 D2E24F为 半 径 的 圆 . 2
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
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x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
第八页，共29页。
(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆 的方程的大致步骤是：
①根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； ③解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． (4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性 质)可使问题简单化．
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 【答案】B
第五页，共29页。
3．以 A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是 ____________．
【答案】x2＋y2－4x－3y＝0 4．已知点 P (a,b)关于直线 l 的对称点为 P ′(b+1,a-1),则圆 C ： x2+ y2-6 x-2y=0 关于直线 l对称的圆 C ′的一般方程为________． 【答案】x2+ y2-4x-4y-2=0
第十九页，共29页。
题型三 轨迹问题 【例 3】 已知直角△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程． 思路点拨： (1)设出 C 点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1 列出 方程，注意 A、B、C 三点不能共线； (2)设出 M 点坐标，利用中点关系，建立 M 点与 C 点坐标之间 的关系，求出轨迹方程．
第二页，共29页。
自主探究 探究：所有形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程都表 示圆吗？
【答案】不是，只有当 D2＋E2－4F>0 时才表示圆，D2＋E2－
4F 取值不同，对应图形如下表．
方程
条件
图形
(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆 的方程的大致步骤是：
①根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； ③解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． (4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性 质)可使问题简单化．
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 【答案】B
第五页，共29页。
3．以 A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是 ____________．
【答案】x2＋y2－4x－3y＝0 4．已知点 P (a,b)关于直线 l 的对称点为 P ′(b+1,a-1),则圆 C ： x2+ y2-6 x-2y=0 关于直线 l对称的圆 C ′的一般方程为________． 【答案】x2+ y2-4x-4y-2=0
第十九页，共29页。
题型三 轨迹问题 【例 3】 已知直角△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程． 思路点拨： (1)设出 C 点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1 列出 方程，注意 A、B、C 三点不能共线； (2)设出 M 点坐标，利用中点关系，建立 M 点与 C 点坐标之间 的关系，求出轨迹方程．
第二页，共29页。
自主探究 探究：所有形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程都表 示圆吗？
【答案】不是，只有当 D2＋E2－4F>0 时才表示圆，D2＋E2－
4F 取值不同，对应图形如下表．
方程
条件
图形
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)，____22_|a_|__；
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
解析答案
1 23 45
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )
A.m≤2
B.m＜12
C.m＜2
D.m≤21
解析 由D2＋E2－4F＞0，
解析答案
规律与方法
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6) 的圆的方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得 －2－a2＋－4－b2＝r2，
8－a2＋6－b2＝r2，
a＝121， 解得b＝－32，
得(－1)2＋12－4m＞0，
即 m＜12.
人教A版必修二高一数学4.1.2圆的一般方程课件理(7张幻灯片)新人教A版必修2.ppt
2
2
4
(1)当D2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个圆； (2)当D2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个点； (3)当D2 E 2 4F 0时,方程(*)不表示任何图形. 完成课本P123练习1,2
例1.求过三点A(2,2), B(5,3),C(3,1)的圆的方程. 解：
思考：如何由x2 y2 Dx Ey F 0 确定圆的圆心和半径.
4.1.2 圆的一般方程
配方, 得
x2 y2 Dx Ey F 0
x2 Dx D2 y2 Ey E 2 D2 E 2 ( x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
例2.圆C与x轴交于A(1,0), B(3,0)两点,被y轴所截弦长为 2 3,
求圆C的方程. 解：
例3. 已知B(2,0),点A为圆x2 y2 1上动点，求线段AB的 中点M的轨迹方程.
家庭作业
B组1，2 P124 活页P53
空白演示
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4.1.2 圆的一般方程
展开得
( x a)2 ( y b)2 r2
x2 2ax a2 y2 2by b2 r2
整理得
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r2 ) 0
一般地，圆的标准方程可表示为
x2 y2 Dx Ey F 0
2
2
4
即圆心为( D , E ) 半径为 D2 E 2 4F
22
2
思考：上述确定圆心和 半径的过程对参数 D, E,F 是否有限制？
4.1.2 圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
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y B
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D 2 E 2 4F 0 时， D ，半径 E 方程表示圆心为 ( , ) 为 1 D 2 E 2 4 F 的圆. 2 2
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 思考5:当 D E 4 F 0或 D E 时， 0 2 2 方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D 2 E 2 4F 0 时， D ，半径 E 方程表示圆心为 ( , ) 为 1 D 2 E 2 4 F 的圆. 2 2
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 思考5:当 D E 4 F 0或 D E 时， 0 2 2 方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.