NOIP基础算法——贪心和分治pascal
NOIP常用算法
NOIP常用算法
NOIP是一种全球性的竞赛，考试内容涉及编程算法、数据结构、数
学建模等，其中算法题目占大多数。
这些算法可以根据其特点分为两类：
低效算法和高效算法。
一、低效算法
1、暴力解法
暴力解法是最简单的算法，就是直接枚举所有情况，找出最优解。
它
的运行时间是指数级别的，不推荐使用。
2、贪心算法
贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即
最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
贪心算法的时
间复杂度一般来说为O(n)。
3、分治法
分治法是将一个规模较大的问题分解为若干个规模较小的子问题，分
别解决，然后将子问题的解结合起来构成原问题的解。
它主要依赖于把一
个复杂的问题分解成两个或更多的相同或相似的子问题，然后递归求解，
分治法的时间复杂度可以达到O(nlogn)。
4、动态规划
动态规划是一种利用最优子结构性质解决复杂最优化问题的算法，通
过分解问题，将原问题转换为若干子问题，然后按照一些顺序求解子问题，利用子问题的解得到原问题的解，它的时间复杂度通常是O(n2)。
二、高效算法
1、算法
算法是指在一定的空间内，按照一定顺序最优解。
NOIP基础算法讲解2
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; end;
数据范围：n≤10^6。所有数之和不超过10^9。
例题8：快速幂
【问题】计算an mod k的值 ，其中n<=109。
方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 function power(a,n:longint):longint; var x:longint; begin x:=1; for i:=1 to n do x:=x*a; power:=x; end;
时间效率不尽如人意….. 问题出现在哪里呢？？
方法2：分治策略
采用分治求解: ➢划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半； ➢递归求解：统计i和j均在左边或者均在右边的逆序对个数； ➢合并问题：统计i在左边，但j在右边的逆序对个数。
记数列a[st]~a[ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有：
三、分治的三步骤
①划分问题：将要解决的问题分解成若干个规模较 小的同类子问题；
②递归求解：当子问题划分得足够小时，求解出子 问题的解。
③合并问题：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
四、分治的框架结构
procedure Divide() begin
NOIP初赛知识点
NOIP初赛知识点
1.基本语法：了解编程语言的基本语法结构，包括变量、赋值语句、
条件语句、循环语句等。
2.数据结构：掌握常用的数据结构，如数组、链表、栈、队列、树等。
3.递归与迭代：了解递归与迭代的概念，并能够使用递归或迭代解决
问题。
4.排序算法：熟悉基本的排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入
排序、快速排序、归并排序等。
5.算法：了解广度优先（BFS）和深度优先（DFS）算法，并能够应用
到问题求解中。
6.动态规划：掌握动态规划的基本思想，并能够使用动态规划算法解
决问题。
7.贪心算法：了解贪心算法的基本原理，并能够使用贪心算法求解问题。
8.图论算法：了解图的基本概念和表示方法，掌握基本的图算法，如
最短路径算法（Dijkstra算法、Bellman-Ford算法）和最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）等。
9.字符串处理：掌握字符串的常用操作，如匹配、查找、替换等。
10.位运算：了解位运算的基本原理，并能够使用位运算解决问题。
11.模拟与模拟实现：熟悉模拟算法和模拟实现的方法，能够根据题
目要求模拟出解题过程。
12.算法复杂度分析：了解算法复杂度的概念，能够分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
以上就是NOIP初赛的主要知识点。
在备考过程中，可以通过刷题、参加培训班、参加竞赛等方式来加强对这些知识点的掌握。
同时，还需要注意做好习题的复习和总结，积累一些常见的代码模板，提高编程能力和解题能力。
祝你在NOIP初赛中取得好成绩！。
信息学奥赛经典算法
信息学奥赛经典算法信息学奥赛是一项涉及算法和数据结构的比赛。
算法是指解决问题的具体步骤和方法，而数据结构是指存储和组织数据的方式。
在信息学奥赛中，掌握经典算法是非常重要的，可以提高解题的效率和成功的概率。
下面我将介绍一些经典的算法。
1.贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种简单直观的算法思想，其基本策略是每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
贪心算法通常应用于问题的最优化，比如找出能够覆盖所有区域的最少选择。
然而，贪心算法并不是所有问题都适用，因为它可能会导致局部最优解，并不能得到全局最优解。
2.动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解复杂问题的方法。
其主要思想是通过记录中间计算结果并保存起来，以避免重复计算。
动态规划常用于求解最优化问题，例如寻找最长递增子序列、最短路径等。
动态规划是一个非常重要的算法思想，也是信息学奥赛中常见的题型。
3.深度优先（Depth First Search，DFS）深度优先是一种常见的图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，沿着路径向深度方向遍历图，直到无法继续前进，然后回溯到上一个节点。
DFS通常用于解决图的连通性问题，例如寻找图的强连通分量、欧拉回路等。
DFS的一个重要应用是解决迷宫问题。
4.广度优先（Breadth First Search，BFS）广度优先是一种图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，按照广度方向遍历图，逐层往下遍历，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
BFS通常用于解决最短路径问题，例如在一个迷宫中找到从起点到终点的最短路径。
5.分治算法（Divide and Conquer）分治算法是一种将问题分成更小的子问题并独立地求解它们的方法，然后通过合并子问题的结果来得到原始问题的解。
分治算法是一种递归的算法思想，通常在解决问题时能够显著提高效率。
NOIP知识点汇总
NOIP知识点汇总加*号是选学，加粗为重点，重要值排序不分先后基础贪⼼、枚举、分治、⼆分、倍增、*构造、⾼精、模拟图论图最短路（dijkstra、spfa、floyd），差分约束最⼩⽣成树（kruskal、prim）并查集（扩展域）拓扑排序⼆分图染⾊，*⼆分图匹配tarjan找scc、桥、割点，缩点*分数规划树树上倍增（LCA）树的直径、树的重⼼dfs序*树链剖分数论gcd、lcm埃⽒筛法exgcd，求解同余⽅程、逆元快速幂*组合数学矩阵链表、队列（单调队列）、栈（单调栈）堆、st表、hash表线段树、树状数组字典树*分块动态规划背包DP、树形DP、记忆化搜索、递推区间DP、序列DP*DP优化（不涉及斜率优化、四边形不等式等等）搜索暴搜（dfs、bfs）搜索的剪枝启发式搜索（A*）迭代加深搜索、* IDA**随机化搜索其他算法STL的基本使⽤⽅法脑洞的正确使⽤⽅法*KMP*状态压缩冲省选的，先把整理的NOIP知识点学扎实，注意⼀定要学扎实加粗是重点，星号是选学学⽆⽌境，欢迎⼤家继续补充~图论⽹络流（dinic，SAP，ISAP选⼀个，费⽤流写EK就⾏。
*zkw费⽤流），⼆分图点分治，边分治，*动态点分治树链剖分，动态树，树分块虚树，*prufer编码*仙⼈掌算法带权并查集Splay（作为平衡树和维护区间），Treap，替罪⽺树线段树（权值线段树），树状数组，*线段树合并分块，块状链表，*双向链表凸包树套树主席树，可持久化trie，*其它可持久化数据结构莫队算法，*树上莫队，CDQ分治，整体⼆分⼆维线段树，*KDtree*舞蹈链，*⼆进制分组，*左偏树，*超哥线段树，*后缀平衡树，*fhqTreap 字符串相关及数据结构hash（⾃然溢出，双hash）kmp，AC⾃动机，trie后缀数组manacher，最⼩表⽰法*后缀⾃动机，*回⽂⾃动机，*后缀树数学线性筛，积性函数，容斥原理，莫⽐乌斯反演exgcd，费马⼩定理，Lucas定理，⾼中排列组合⾼斯消元，概率与期望相关中国剩余定理，BSGS，欧拉定理矩阵乘法单纯形法解线性规划FFT线性代数（⾏列式）*Simpson积分，⾼中求导与积分*群论*⽣成函数，多项式类算法博弈论相关，*密码学，阶，原根计算⼏何向量的点积/叉积，计算⼏何基础*⼆维计算⼏何相关，*三维计算⼏何相关*半平⾯交，*旋转卡壳，*三⾓剖分搜索A*，记忆化搜索，迭代深搜，双向⼴搜模拟退⽕，爬⼭算法，*随机增量法动态规划基础DP，树形DP，数位DP，状压DP，期望DP，基环树DP，*插头DP斜率优化，矩乘优化，单调队列优化，倍增优化，*四边形不等式优化trie图DP，*仙⼈掌DP其他算法构造，乱搞，随机化，三分法，打表，启发式合并Huffman树，2-sat，*朱刘算法说真的，计算⼏何要么全场不会，要么全场AK。
信息学奥林匹克竞赛指导之基础算法—贪心算法
重量按比例计算。
7
-贪心算法
贪心算法的经典实例
• 思路点拨：本问题是在上一个问题的基础上增加了价值项，所以不能简
单地向上一题那样先选出轻的（轻的可能其价值也小），也不能先拿价
值大的（它可能特别重），而应该综合考虑两个因素。一种直观的贪心
可乘两个人。求用最少的船载所有人的方案。
8
-贪心算法
贪心算法的经典实例
• 思路点拨：考虑最轻的人i，他应该和谁一起乘呢？如果每个人都不能和
他一起乘，则只能每人乘一艘船。否则他应该选择能和他一起乘的人中
最重的一个人j。这样的选择只是让“眼前”的浪费最少，因此它是一种
贪心策略。
• 证明：
• 情况1：i不和任何一个人同乘一艘船，那么可以把j拉过来和他一起乘，总船数不会
法不从整体最优考虑，它所做出的选择只是局部最优解。
3
-贪心算法
贪心算法的概念及其特点
• 贪心算法是从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得
到的最优值的一种求解问题的策略。
• 特点：
• 贪心选择：所谓贪心选择是指应用同一规则，将原问题变为一个相似的
但规模更小的子问题，而后的每一步都是当前看似最佳的选择，且这种
29
-贪心算法
贪心算法的经典应用-3
• 【输出格式】
• 对每组测试数据输出一个数字，表示要浇灌整块草坪所需喷头数
目的最小值。如果所有喷头都打开还不能浇灌整块草坪，则输出1。
• 【样例输入】
•3
• 8 20 2
•53
30
-贪心算法
贪心算法的经典应用-3
•
•
•
贪心算法知识点总结
贪心算法知识点总结1. 基本原理贪心算法的基本原理是每一步都选择当前状态下的最优解，以期望最终得到全局最优解。
具体来说，贪心算法通常可以分为以下几个步骤：1）从问题的某个初始解出发2）采用一种迭代的方式，逐步将初始解进行优化3）每一步都是基于当前状态的最优选择来进行优化4）直到无法再进行优化，得到问题的最优解由于贪心算法每一步都要选择局部最优解，因此贪心算法通常具有高效性。
然而，贪心算法并不适用于所有问题，其结果不一定是全局最优解。
因此，在使用贪心算法时需要注意问题的特性和约束条件，以免得到错误的结果。
2. 适用情况贪心算法通常适用于满足以下条件的问题：1）问题的最优解满足“最优子结构”性质：即问题的最优解包含了其子问题的最优解2）问题的求解过程具有“贪心选择性”：即每一步都选择当前状态下的最优解，并不需要考虑未来的后果3）问题的约束条件可以通过局部最优选择满足全局最优解：即问题的解空间中存在一些局部最优解，可以通过一系列的局部最优解构建全局最优解在实际应用中，贪心算法通常用于求解最优化问题，如最小生成树、最短路径、任务调度等问题。
由于贪心算法的高效性，它通常能够在较短的时间内得到较为接近最优解的结果。
然而，贪心算法并不适用于所有问题，对于一些问题，贪心算法将得到错误的结果。
因此，在使用贪心算法时需要谨慎选择问题类型和约束条件，以避免错误的结果。
3. 贪心算法实例在下面的部分，我们将介绍一些常见的贪心算法实例，包括背包问题、活动安排问题、霍夫曼编码等。
3.1 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，它包括0-1背包问题、分数背包问题等多种类型。
在0-1背包问题中，给定n种物品和一个容量为C的背包，每种物品i的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的情况下，如何选择物品放入背包，可以使得背包中的总价值最大。
对于0-1背包问题，贪心算法通常不能得到最优解。
然而，在分数背包问题中，贪心算法通常可以得到近似的最优解。
信息学奥赛基本算法
原理：通过相邻元素之间的比较和交换，使得 每一轮比较后最大（或最小）的元素能够“冒 泡”到序列的一端。
空间复杂度：O(1)。
选择排序
01
原理：每次从未排序的元素中选 出最小（或最大）的元素，放到 已排序序列的末尾。
02
时间复杂度：无论最好、最坏和 平均情况，时间复杂度均为 O(n^2)。
空间复杂度：O(1)。
动态规划法
利用动态规划思想，通过状态转移方程求解 最长公共子序列。时间复杂度为O(n^2)， 空间复杂度为O(n^2)。
最大子段和问题
1 2
暴力求解法
通过枚举所有可能的子段，找出和最大的子段。 时间复杂度为O(n^3)。
分治法
将数组分成两半，分别求解最大子段和，然后合 并结果。时间复杂度为O(nlogn)。
07 总结与展望
基本算法回顾与总结
排序算法
包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排 序等，这些算法是信息学奥赛中最基本的算法之一，用于 对一组数据进行排序。
图论算法
包括最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd算法）、最 小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）等，用于解 决与图相关的问题。
Floyd算法
适用于任意有向图，通过动态规 划思想不断更新顶点之间的最短 路径，最终得到任意两点之间的 最短路径。
SPFA算法
适用于存在负权边但没有负权环 的有向图，通过队列优化的 Bellman-Ford算法，在每次松弛 操作后判断是否存在负权环。
最小生成树问题
Prim算法
适用于稠密图，每次选择连接已访问 顶点和未访问顶点中权值最小的边， 直到所有顶点都被访问。
时间复杂度
O(n)，其中 n 为列表长度。
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• ③子问题的解合并后，能得到原问题的解；
• 分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生 成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线 段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、 无法直接下手的问题。
• 执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析
• B、求方程的所有三个实根 • 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝 对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、 [99，100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至 多只能有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间 [a,a+1]，只有当f(a)=0或f(a)· f(a+1)<0时，方程在此区间 内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)· f(a+1)<0 ，则可 以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程 的所有的解。
三、分治的三步骤
• ①分解：将要解决的问题分解成若干个规 模较小的同类子问题； • ②解决：当子问题划分得足够小时，求解 出子问题的解。 • ③合并：将子问题的解逐层合并成原问题 的解。
分治算法设计过程图
• 由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果 得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将 这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进 一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程 来表示。 • 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于 一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的 子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法， 当n＝6时，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最 佳分割。一般来讲，都是2分为主。
2、非线性方程求根
例题2：一元三次方程的解 【题目描述】有形如：ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次 方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该 方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与 根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个 实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后4位。 【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d 【文件输出】输出也只有一行，即三个根(从小到大输出) 【样例输入】1 -5 -4 20 【样例输入】-2.00 2.00 5.00
分析
• 显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有 序表合成一个。每次只需要把两个序列中当前的最小元素 加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表。
核心参考代码
procedure MergeSort(left,right:integer)//归并排序 begin if left=right then exit; //只有一个元素 mid:=(left+right)div 2; //找中间位 MergeSort(left,mid); //对左边归并 MergeSort(mid+1,right); //对右边归并 i:=left;j:=mid+1,p:=left; //合并左右 while(i<=mid and j<=right)do if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end else begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; End;
• 用分治法解决这个问题就是把集合a分成a1,a2两个子集， 每个子集有n/2个元素，应用递归结构找出两个子集的最 大元和最小元，比较得到的两个最大元和最小元即可得到 整个集合a中的最大元和最小元。
• 划分：把n个数均分为两半。即：划分点为d=(r1+r2)/2， 两个区间为[r1,d]和[d+1,r2]。 • 递归求解：求左半的最小值min1 和最大值max1以及右半 最小值min2和最大值max2。 • 合并：所有数的最大值为maxx，最小值为minn。
分析
• 如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：将x从100.00 到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个 f(x)，取其值与0最接近的三个f(x)，对应的x即为答案。而 题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将 达不到要求。
• 直接使用求根公式，极为复杂。加上本题的提示给我们以 启迪：采用二分法逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精 度的数值
4、二分查找
• 【问题描述】给出从小到大排列的n个不同数 a[1]~a[n]，试判断元素x是否出现在表中。
• 方法1：顺序查找。方法是一个个寻找，时间复杂 度为O(n)。这个方法并没有用到“n个数从小到 大排列”这一个关键条件，因而时间效率低下。
方法2：二分查找
• 只需要比较log2n个元素。假设需要在a[L]~a[r]中查找元素x。 • 划分：检查某个元素a[m](L<=m<=r)，如果a[m]=x则查找成 功，返回m。
【变形1】逆序对数目
• 例题3：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj, 则<i,j>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4， 5，2）的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>。 问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。 • 数据范围：1<=n<=30000。
四、分治的框架结构
procedure DIVIDE() begin if(问题不可分)then//解决 begin 直接求解； 返回问题的解； end else begin 对原问题进行分治；//分解 递归对每一个分治的部分求解; 归并整个问题，得出全问题的解;//合并 end end;
五、分治的典型应用
• 时间效率不尽如人意….. • 问题出现在哪里呢？？
分治算法：
采用二分法求解: 记数列a[st,ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=[(st+ed)/2],则有：
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed) 其中F(st,mid,ed)表示一个数取自a[st,mid],令一 个数取自a[mid+1,ed]的逆序对数目。
procedure pd(r1,r2:integer;var maxx,minn:integer) begin var max1,min1,max2,min2,d:integer; if r1=r2 then begin maxx:=x[r1]; minn:=x[r1];end else if r2=r1+1 then begin if x[r2]>x[r1] then begin maxx:=x[r2];minn:=x[r1];end else begin maxx:=x[r1];minn:=x[r2];end end else begin d:=(r1+r2)/2; pd(r1,d,max1,min1); pd(d+1,r2,max2,min2); if max1>max2 then maxx:=max1;else maxx:=max2; if min1<min2 then minn:=min1;else minn:=min2; end end
分析
A.当已知区间(a,b)内有一个根时；
• 用二分法求根，若区间(a,b)内有根，则必有f(a)*f(b)<0。 重复执行如下的过程：
• (1).若a+0.0001>b或f((a+b)/2)=0，则可确定根为(a+b)/2 并退出过程；
• (2).若f(a)*f((a+b)/2)<0,则由题目给出的定理可知根在区 间(a,(a+b)/2)中,故对区间重复该过程； • (3).若f(a)*f((a+b)/2)>0,则必然有f((a+b)/2)*f(b)<0,根在 ((a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。
• 和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如 何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是 “分类”。我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行 分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)， 则所有f(j)之和便是答案。
• 幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由 于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的a[j]复制到T中时， 左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比a[j]大的数。 此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。 • 即把“if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end • 改为“if(a[i]>a[j])then • begin tot:=tot+mid-i+1;temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
3、归并排序
• 归并排序的基本思想：归并排序充分应用分治算法的策略， 通过二分的思想，将n个数最终分成n个单独的有序数列， 每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一 个有序数列；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序 数列。按照分治三步法来说， • 归并过程为： （1）划分：把序列分成元素个数相等的两半； （2）递归求解：把两半分别排序； （3）合并：把两个有序表合成一个有序表；