角平分线综合复习
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(学生版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。
初二【数学(人教版)】角的平分线的性质的综合运用
B
C
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要
使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处
修建？
A
分析：
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
B
C 总之找角平分线交点
已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三
角形三边都相等．
作图：
分别作∠BAC和
A
∠ABC的平分线，
P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND
F
M
思路：过点P分别向三角形 各边作垂直，标垂足．
P
由角的平分线的性质得
B
E
C
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
追问 点P在∠BAC的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
ND
F
M
分析：“双垂距离推角分” 略证：（用已证结论）
两线交于点O，
则点O即为所求．
O
课下可以试试证明．
B
C
发展 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形
三边都相等． A
分析：
（1）根据之前的Biblioteka 研究，在三角形内O1
部，两条角平分线
B
C
的交点符合要求；
（2）在三角形的外部呢？ 有相邻两外角的平分线的交点，符合要求吗？
O2 B
A
O1 C
作法：如图 （1）作△ABC两 内角的平分线，其 O3 交点为O1； （2）分别作 △ABC两外角平分 线，其交点分别为 O2，O3，O4．
O4
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分 求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。
线段的垂直平行线与角平分线专题复习
线段的垂直平行线与角平分线专题复习本文档将重点复线段的垂直平行线与角平分线的相关知识。
以下是考察这一专题的关键点：1. 垂直平行线：- 定义：两条直线垂直或平行的关系。
- 特点：垂直线的斜率相乘为-1；平行线的斜率相等。
- 判定方法：- 斜率判定法：比较两条直线的斜率。
- 截距判定法：比较两条直线的截距。
- 两组垂直线的特点：斜率之乘积为-1，截距之和为0。
2. 角平分线：- 定义：将一个角分成两个相等的角的直线。
- 特点：角平分线将角分成两个相等的角。
- 判定方法：- 角度判定法：两条角平分线互相垂直。
- 斜率判定法：两条角平分线的斜率的倒数相等。
3. 例题：以下例题旨在帮助你巩固对线段的垂直平行线与角平分线的理解：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，判断它们的关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，求两个相等角的度数。
3. 给定两条直线的斜率，求它们的角平分线的斜率。
4. 答案：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，根据斜率判定法可以判断它们为垂直关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，因为两个相等角角度相等，所以每个相等角的度数为$\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$。
3. 给定两条直线的斜率$k_1$和$k_2$，根据斜率判定法，角平分线的斜率即为$\frac{\frac{k_1+k_2}{2}}{-1}$。
希望这份文档能够帮助你复习线段的垂直平行线与角平分线的专题。
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12.3角平分线课后冲刺中考.3角的平分线的性质中考试题汇编
12.3 角的平分线的性质一．选择题（共13小题）1．（2015?茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P 到边OB的距离为（）A．6B． 5 C． 4 D． 32．（2015?龙岩）如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A．B．C．D． 13．（2015?永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△P AB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）4．（2015?湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7 C． 5 D． 45．（2015?青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B． 2 C． 3 D．+26．（2015?德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④7．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B． 4 C． 6 D． 58．（2014?威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°9．（2013?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B． 2 C． 3 D． 410．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．11．（2013?柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．12．（2013?朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④13．（2013?辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD 的长是（）A． 1 B．C．D． 2二．填空题（共13小题）14．（2015?宜宾）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为．15．（2015?连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．16．（2015?台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB 的距离是．17．（2015?聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．18．（2015?广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．19．（2014?青海）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是．20．（2014?长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为．21．（2014?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是．22．（2014?广州）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为．23．（2014?深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=．24．（2013?长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．25．（2013?丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．26．（2013?泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．三．解答题（共2小题）27．（2015?株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．28．（2013?湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．。
角的平分线的性质复习课程
角的平分线的性质一.基础知识1角的平分线的性质(1) 内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2) 书写格式如图所示，•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB••• PD= PE2. 角的平分线的判定(1) 内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2) 书写格式如图所示，•/ PD L OA PE L OB PD= PE•••点P在/ AOB勺角平分线上.3. 运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4•运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等. 同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.6•运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示，三条公路丨1,丨2,丨3两两相交于A B, C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB / ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/ CAB的平分线上，且到公路l i,丨2,丨3的距离相等；同理还有/ BAC / BCA勺外角平分线的交点；/ BAC / CBA勺外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.(2)分别作出/ ACB / ABC的外角平分线的交点02,/ BAC / BCA的外角平分线的交点03,/ BAC / CBA的外角平分线的交点04;故满足条件的修建点有四处，即点01, 02, 03 04处.课堂练习一、填空题精品文档O1.1 •已知：△ ABC中，/ B=90°, / A、/ C的平分线交于点0,则/ A0C勺度数为2. ________________________________ 角平分线上的点到巨离相等；到一个角的两边距离相等的点者E在____________.3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为4 .如图，/ A0=60°, CDL 0A于D, CEL 0B于E,且CD=CE则/ D0C ________5. 如图，在△ ABC中,/ C=90°, AD 是角平分线，DE L AB 于E,且DE=3 cmBD=5 cm 贝U BC= __ m6. 如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD CB于点E、F,FGLAB,垂足为G,贝U CF FG CE CF7. 如图，已知AB CD相交于点E,/ AEC及/ AED的平分线所在的直线为PQ与MN则直线MN与PQ的关系是_________ .8. ___________________________________________________________ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到__________________________ 目等.9. 点0是厶ABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60°，则/BOCK度数为______________ .10. 在^ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32且 BD: CD=9 : 7,则D 到AB 的距离为 ______________ .、选择题 11.三角形中到三边距离相等的点是（ ）12•如图，/ 1二/2, PD 丄OA PE 丄OB 垂足分别为 D, E ,下列结论错误的是（ ）A PD= PEB 、O 亠 OEC / DPO^Z EPOD PD= OD13•如图，直线丨1, l 2, I 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A 、1处14•如图，△ ABC 中,/ C = 90°, AC= BC , E ,且A 吐6血，则厶DEB 勺周长为（第14题A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 三条中线的交点D 三条角平分线的交点AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEL AB 于A 、4 cmC 、 10 cmD 不能确定第12题13A题15 •如图，MPL NP MQ%A MNP的角平分线，MF Mp连接TQ则下列结论中不正确的是（）A、TQ= PQ B、/ MQ壬/ MQP C / QTN b 90° D / NQT^Z MQT 16•如图在厶ABC中, Z ACB=90°, BE 平分/ ABC DEL AB 于D,如果AC=3 cm17•如图，已知AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D,则对于下列结论：①△ ABE ACF②厶BDF^A CDE③D在Z BAC的平分线上.其中正确的是（）18. 如图，AB=AD CB=CD AC BD相交于点O,则下列结论正确的是（精品文档那么AE+DE等于（）A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cmC .①和②D .①②③A.①A. 0/=0CB.点O到AB CD的距离相等C.Z BD金/BDCD.点O到CB CD的距离相等19. A ABC中，/ C=90。
《角平分线的性质 》专题复习(含答案)
••《角平分线的性质 》专题复习本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。
一．角的平分线的性质这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。
二．性质运用在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。
三．易错点本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。
【知识点击】点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等．如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。
点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上．如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。
点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等．如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A分线，则有 IH=IG=IF 。
HGIE【典例引路】类型之一:求证角平分线的性质定理B D FC例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．HIAG E【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上．B D FC证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，GD：GE=（）【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）∵AG平分∠BAC，GD⊥AC∴GF=GD（角平分线的性质定理）∵EG∥AC，∠BAC=300∴∠FEG=300∴FG：EG=1：2∴GD：GE=1：2【答案】1：2类型之三:利用角平分线的性质求角的度数例△3：在ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20。
角平分线的性质(复习课)
N
0
A
P
M
C B
10.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是 AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． （1）根据角平分线性质的逆定理: 或：证△BDE≌△BDC（HL）. （2）∠DBC=27°
11.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D， AE与BD相交于点C .求证：AC＝BC．
12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
13.如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
A
F C D
E
B
14.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 求证：DE=DF
3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射 线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为 （ B ） A．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ） A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
5.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm， 则△DEB的周长为（ B ） A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对
6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC， DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 ( B ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
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O B
Pห้องสมุดไป่ตู้
例9图
例10、RT⊿ABC中∠C=900， AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm, 且三角形三个内角平分线相交于 点O，则点O到三角形三边的距 离分别是
（五）角平分线与构造全等三角形
例11、如图，Rt⊿ABC中，∠C=900，CB ＝CA，AB=8cm，BH平分∠ABC交AC于 点H，HE⊥AB于E，则⊿AEH周长＝
（二）角平分线的基本几何图形
①角的平分线
②三角形的角平分线
③角平分线的性质和判定
④角平分线与全等三角形 ⑤角平分线与构造全等三角形
A B E E B
O B
P
A F （1）
D
C D
（2）
A
F
C
注：③④⑤在角平分线上向角的两边作两条 相等的线段，③④中相等线段在对称的位置； ⑤中相等线段在不对称的位置。 （以上结论自己想想）
例1、如图，F是∠BCD、∠CBE的角平 分线的交点，点F到AB的距离为3cm，则 点F到AC的距离为
A
C B D E F 例1图
例2、如图，已知点P到OM、ON、AB的距离恰好都 相等，则点P的位置：①在∠MON的平分线上；② 在∠BAN的平分线上；③在∠ABM的平分线上；④ P为∠MON、∠BAN、∠ABM三条角平分线的交点。 上述论述中，正确的有 （ ） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
C H
B
E
A
例11图
例12、如图1，OP是∠MON的平分线，请 你利用该图形画一对以OP所在直线为对称 轴的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法，解答 下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角， ∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、 ∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请 你判断并写出FE与FD之间的数量关系； (2)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是 直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由.
A
E F
C
B D
例5图
例6、如图，∠AOP=∠BOP=150， PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4， 则PD=
B C O D 例6图
P
A
例7、如图，⊿ABC中，BC的垂直平分线 DE与∠BAC的平分线交于点E，过E作 EP⊥AB于P，EQ⊥AC的延长线于Q. 求证：BP=CQ.
A
P B
D
C Q
E
（三）角平分线与直角三角形、 等腰三角形和线段垂直平分线
例4、如图，在⊿ABC中，BO平分 ∠ABC，CO平分∠ACB， MN∥BC且过 O点交AB于M，交AC于N.AB=8，AC=7， 则⊿AMN的周长为
例5、如图，AD是⊿ABC的角平分线，DE， DF分别是⊿ABD和⊿ACD的高.求证：AD 垂直平分EF
此题还可以改为“如图，在四边形 AFDE中，有以下三个要素： ①AD平分∠EAF；②DE=DF； ③∠AED+∠AFD=1800.满足其中任 意两个条件，第三个结论也是成立的。 写出一个数学证明题，并给出证明过 B 程。
E D A F 例14图 C
M B P
O
A 例2图 N
例3、如图，在△ABC中，∠A＝a．∠ABC 与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1； ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得 ∠A2； ……；∠A2009BC与∠A2010CD的平分 线相交于点A2010，得∠A2010 ．则∠A2010＝
A A1 A2 B 例3图 C D
（六）角平分线的变式问题
例13、如图，D、B分别在∠A的两边上，C是 ∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD， CF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：CE=CF
此题可以交换题设和结论，大家可以试试 E （1）题设“AB=AD”和结论“CE=CF” D （2）题设“BC=DC”和结论“CE=CF” （3）题设“CE⊥AD”和结论 C A “CE=CF” B F （4）题设“CF⊥AB”和结论 “CE=CF” 例13图 (以上为换题设和结论的四种情形） （5）题设不变，结论改为“AC平分∠DAB” 还有别的变式吗？自己想想。
例14、如图，在∠BAC的平分线AP上任取 一点D，在AB、AC上各取一点E和F，若 DE=DF，且AE＞AF，求证： B 0. ∠AED+∠AFD=180
E D A F 例14图 P C
若将上题中的“DE=DF”改为“DH⊥AB于H，
1 AH ( AE AF ) ”，结论是否还成立，试证之。 2
角平分线综合复习
岳西县天堂初中 徐长林
（一）导语 学习几何应该具有三种基本能力： 1、善于处理已知信息的能力：根 据已知条件能找到相应的基本几何 图形，并且由此联想出相应的几何 结论，还能够和其它的已知条件综 合起来或通过添加辅助线联想出更 多的几何图形和新的结论； 2、从求证找出证明方法的能力；3、 不断积累经验的能力。
例7图
（四）角平分线与面积
例8、如图，⊿ABC的三边AB、BC、CA长分别 是20、30、40，其三条角平分线将⊿ABC分为 三个三角形，则 S ABO S BCO S CAO 等于（ ） A. 1︰1︰1 B.1︰2︰3 C.2︰3︰4 D.3︰4︰5
B
O A C
例8图
例9、如图，P为∠AOB内一点， OA=OB，且⊿OPA与⊿OPB面 积相等，求证：∠AOP=∠BOP.