人教版数学中考复习测试题及答案(六)

人教版数学中考复习测试题及答案（六）第六章 圆限时训练23 圆的有关概念及性质(时间：45分钟)1．(2019·宜昌中考)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是( A ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°(第1题图) (第2题图)2．(2019·镇江中考)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC ︵＝CB ︵.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于( A )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°3．(2019·赤峰中考)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( D )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°(第3题图) (第4题图)4．(2019·黄冈中考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，点C 是AB ︵的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为( A )A ．25 mB ．24 mC ．30 mD ．60 m5．(2019·南昌模拟) 如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB ＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于( A )A ．50°B ．49°C ．48°D ．47°(第5题图) (第6题图)6．(2019·连云港中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为__6__. 7．(2019·常州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__30__°.(第7题图) (第8题图) (第9题图)8．(2019·株洲中考)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝__20__°.9．(2019·盐城中考)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且AB ︵为50°，则∠E ＋∠C ＝__155__°.10．(2019·宜宾中考)如图，⊙O 的两条相交弦AC ，BD ，∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝23，则⊙O 的面积是__4π__.(第10题图)(第11题图)11．(2019·东营中考)如图，AC 是⊙O 的弦，AC ＝5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC ＝45°，若点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN 的最大值是2.12．(2019·绥化中考)半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB ，OC ，延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为.13．(2019·北部湾中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接BD.(1)求证：∠BAD ＝∠CBD ；(2)若∠AEB ＝125°，求BD ︵的长(结果保留π)．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠BAD. ∵∠CAD ＝∠CBD ， ∴∠BAD ＝∠CBD ； (2)解：连接OD.∵∠AEB ＝125°，∴∠AEC ＝55°. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACE ＝90°.∴∠CAE ＝35°.∴∠BAD ＝∠CAE ＝35°. ∴∠BOD ＝2∠BAD ＝70°. ∴BD ︵的长为70π×3180＝76π.14．(2019·绵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF.(1)求证：△BFG ≌△CDG ；(2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长． (1)证明：∵点C 是BD ︵的中点， ∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵.∴CD ︵＝BF ︵.∴CD ＝BF ＝BC.在△BFG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠BGF ＝∠CGD ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS )；(2)解：过点C 作CH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，连接AC ，BC. ∵CD ︵＝BC ︵，∴∠HAC ＝∠BAC.又∵CE ⊥AB ，∴CH ＝CE.∵AC ＝AC ，∴Rt △AHC ≌Rt △AEC(HL )． ∴AE ＝AH.∵CH ＝CE ，CD ＝CB ，∴Rt △CDH ≌Rt △CBE(HL )．∴DH ＝BE ＝2.∴AE ＝AH ＝2＋2＝4. ∴AB ＝4＋2＝6.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ACB ＝∠BEC ＝90°.∵∠CBE ＝∠ABC ，∴△BEC ∽△BCA.∴BC AB ＝BEBC.∴BC 2＝AB·BE ＝6×2＝12. ∴BF ＝BC ＝2 3.15．(2019·天门中考)已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接DB ，DC. (1)如图1，当∠BAC ＝120°时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：________； (2)如图2，当∠BAC ＝90°时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)如图3，若BC ＝5，BD ＝4，求ADAB ＋AC的值．解：(1)AB ＋AC ＝AD ；(2)AB ＋AC ＝2AD.证明：图2中，延长AB 至点M ，使BM ＝AC ，连接DM. ∵四边形ABDC 内接于⊙O ， ∴∠MBD ＝∠ACD.∵∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∴BD ︵＝CD ︵. ∴BD ＝CD.∴△MBD ≌△ACD(SAS )．∴MD ＝AD ，∠M ＝∠CAD ＝45°.∴MD ⊥AD. ∴AM ＝2AD ，即AB ＋BM ＝2AD. ∴AB ＋AC ＝2AD ；(3)图3中，延长AB 至点N ，使BN ＝AC ，连接DN. ∵四边形ABDC 内接于⊙O ， ∴∠NBD ＝∠ACD.∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD. ∴△NBD ≌△ACD(SAS )． ∴ND ＝AD ，∠N ＝∠CAD.∴∠N ＝∠NAD ＝∠DBC ＝∠DCB.∴△NAD ∽△CBD.∴AN BC ＝AD BD ，即AD AN ＝BDBC .又∵AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋AC ，BC ＝5，BD ＝4，∴AD AB ＋AC ＝BD BC ＝45.限时训练24 点、直线与圆的位置关系(时间：60分钟)1．(2019·广州中考)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为( C )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条2．(2019·无锡中考)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P ＝40°，则∠B 的度数为( B )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°(第2题图) (第3题图)3．(2019·益阳中考)如图，PA ，PB 为⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交⊙O 于点D ，下列结论不一定成立的是( D )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD4．(2019·嘉兴中考)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为( B )A ．2B . 3C . 2D .12(第4题图) (第5题图)5．(2019·泰安中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为( A )A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°6．(2019·泸州中考)如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是( D )A .31010B .3105C .355D .655(第6题图)(第7题图)7．(2019·十堰中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，则AE ＝( D ) A ．3 B ．3 2 C ．4 3 D ．238．(2019·常州中考)如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝5.9．(2019·玉林中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是( B )A ．5B ．6C ．7D ．8(第9题图) (第10题图)10．(2019·宁波中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，点D 在边BC 上，CD ＝5，BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的⊙P 与△ABC 的一边相切时，AP 的长为．11．(2019·德州中考)如图，∠BPD ＝120°，点A ，C 分别在射线PB ，PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3.(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A ，C 两点分别与射线PB 和PD 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2)根据(1)的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； (3)求所得的劣弧与线段PA ，PC 围成的封闭图形的面积．解：(1)作法如图，①分别以点A ，C 为圆心，以AC 的长为半径画弧，两弧在∠BPD 的内部相交于点O ； ②以点O 为圆心，以OA 长为半径画劣弧AC 即为所求；(2)已知：∠BPD ＝120°，点A ，C 分别在射线PB ，PD 上，∠PAC ＝30°，OA ＝OC ＝AC. 求证：射线PB 和PD 与⊙O 相切．证明：∵OA ＝OC ＝AC ，∴△OAC 为等边三角形． ∴∠OAC ＝∠OCA ＝60°.∵∠PAC ＝30°，∴∠OAP ＝∠OAC ＋∠PAC ＝90°.∴PA ⊥OA.∴射线PB 与⊙O 相切． ∵∠BPD ＝120°，∠PAC ＝30°，∴∠PCA ＝180°－∠BPD －∠PAC ＝30°. 同理，射线PD 与⊙O 相切； (3)连接OP.∵射线PB ，PD 与⊙O 相切，且切点分别为A ，C ， ∴PA ＝PC ，∠APO ＝12∠BPD ＝60°.∴在Rt △AOP 中，AP ＝OAtan 60°＝2.∴S 四边形OAPC ＝2S △OAP ＝2×12×23×2＝4 3.∵S 扇形OAC ＝60π×（23）2360＝2π，∴封闭图形的面积为S 四边形OAPC －S 扇形OAC ＝43－2π.12．(2019·北京中考)在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a(a 为常数)，到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD.(1)求证：AD ＝CD ；(2)过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM.若AD ＝CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．(1)证明：由题意可知，图形G 是以点O 为圆心，a 为半径的圆，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，连接OC ，OD(如图)．∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD.∴AD ︵＝CD ︵.∴AD ＝CD ；(2)解：∵AD ＝CM ，AD ＝CD ，∴CD ＝CM.∵DM ⊥BC ，∴BC 垂直平分DM.∴BC 为⊙O 的直径．∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC. ∵AD ︵＝CD ︵，∴OD ⊥AC.∴OD ∥AB.∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥OD.∴DE 为⊙O 的切线． ∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1.13．(2019·甘肃中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A ＝∠ADE ；(2)若AD ＝8，DE ＝5，求BC 的长．(1)证明：连接OD. ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°.∴∠ADE ＋∠BDO ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO.∴∠A ＝∠ADE ； (2)解：连接CD.∵∠ADE ＝∠A ，∴AE ＝DE. ∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线．∴DE ＝CE.∴AE ＝CE. ∵DE ＝5，∴AC ＝2DE ＝10.在Rt △ADC 中，DC ＝AC 2－AD 2＝6. 设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋62. 在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋8)2－102. ∴x 2＋62＝(x ＋8)2－102，解得x ＝92.∴BC ＝62＋⎝⎛⎭⎫922＝152.14.(2017·江西中考)如图1，⊙O 的直径AB ＝12，P 是弦BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，∠ABC ＝30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D.(1)如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；(2)如图3，当DC ︵＝AC ︵时，延长AB 至点E ，使BE ＝12AB ，连接DE.①求证：DE 是⊙O 的切线； ②求PC 的长．(1)解：图2中，连接OD.∵OP ⊥PD ，PD ∥AB ，∴∠POB ＝90°. ∵⊙O 的直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6. 在Rt △POB 中，∠ABC ＝30°， ∴OP ＝OB·tan 30°＝6×33＝2 3. 在Rt △POD 中，PD ＝OD 2－OP 2＝62－（23）2＝26；(2)①证明：图3中，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD. ∵DC ︵＝AC ︵，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°. ∴∠ABD ＝60°.∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形． ∴OD ⊥BF.∴OF ＝DF.∵BE ＝12AB ，∴OB ＝BE.∴BF ∥DE.∴DE ⊥OD.∴DE 是⊙O 的切线；②解：由①知，OD⊥BC.∴CF＝BF＝OB·cos 30°＝6×32＝3 3.在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝12DO＝3.∴PC＝CF－PF＝33－3.同理还可得PC＝CF＋PF＝33＋3.综上所述，PC的长为33－3或33＋3.15．(2019·湖州中考)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(－3，0)，B(0，3)．(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；(2)如图2，已知直线l2：y＝3x－3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以点Q为圆心，22为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN.问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)解：图1中，连接BP，并延长交x轴于点E.∵∠BOE＝90°，∴点E在⊙O上．∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABE＝90°.而OA＝OB，∴△ABE为等腰直角三角形．∴⊙P的直径长为BE＝AB＝32；(2)①证明：图2中，过点C作CF⊥AB于点F.由直线l2：y＝3x－3得C(1，0)．则CF＝AC·sin 45°＝4×22＝22，即CF的长等于圆的半径，∴点F是圆与直线l1的切点．即直线l1与⊙Q相切；②解：存在．如图，i)当点M，N在两条直线交点的下方时，由题意，得QM＝QN，∠MQN＝90°.由点A，B的坐标易得直线l1：y＝x＋3.设点Q 的坐标为(m ，3m －3)，则点N(m ，m ＋3)，∴QN ＝m ＋3－3m ＋3＝22， 解得m ＝3－2；ii )当点M ，N 在两条直线交点的上方时，同理可得m ＝3＋ 2. ∴点Q 的坐标为(3－2，6－32)或(3＋2，6＋32)．限时训练25 与圆有关的计算(时间：45分钟)1．(2019·湖州中考)如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接BD ，则∠ABD 的度数是( C )A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°2．(2019·资阳中考)如图，直径为2 cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( A )A ．5πB ．6πC ．20πD ．24π3．(2019·遂宁中考)如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°，⊙O 的半径r ＝4，则阴影部分的面积为( A )A ．4π－8B ．2πC ．4πD ．8π－8(第3题图)(第4题图)4．(2019·通辽中考)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于( C )A .π3B .23πC .43π D ．2π 5．(2019·宁波中考)如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( B )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm6．(2019·黄冈中考)用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为__4π__．7．(2019·贺州中考)已知圆锥的底面半径是1，高是15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__90°__. 8．(2019·哈尔滨中考)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是__110__°. 9．(2019·绥化中考)用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为__12__．10．(2019·贵阳中考)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是.(第10题图) (第11题图)11．(2019·济宁中考)如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3.则图中阴影部分的面积是__π6__．12．(2019·泰安中考)如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为__34π__．13．(2019·武汉中考)如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AB ︵(异于A ，B)上两点，C 是MN ︵上一动点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E.当点C 从点M 运动到点N 时，则C ，E 两点的运动路径长的比是( A )A . 2B .π2C .32D .52(第13题图) (第14题图)14．(2019·孝感中考)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1≈__0.14__．(π取3.14)15．(2019·武威中考)把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__4－π__．(第15题图) (第16题图)16．(2019·甘肃中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是AB 的中点，以A ，B 为圆心，AD ，BD 长为半径画弧，分别交AC ，BC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积为__2－π2__．17．(2019·十堰中考)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为__6π__.(第17题图) (第18题图)18．(2019·荆门中考)如图，等边三角形ABC 的边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于点D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于点F ，连接EF ，那么图中阴影部分的面积为__π12＋2－34__.19．(2019·邵阳中考)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画EF ︵，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD.∴BD ＝3AD ＝6 3. ∴BC ＝2BD ＝12 3.∴图中阴影部分的面积为S △ABC －S 扇形AEF ＝12×6×123－120π×62360＝363－12π；(2)设圆锥的底面圆的半径为r. 根据题意，得2πr ＝120π×6180.解得r ＝2.∴这个圆锥的高h ＝62－22＝4 2.教材建模特训八 圆的七大模型(时间：45分钟)1.如图，若弦BC 经过⊙O 的半径OA 的中点P ，且PB ＝3，PC ＝4，则⊙O 的直径为( B ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10(第1题图) (第2题图)2．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cmB . 6 cmC ．2.5 cmD . 5 cm3．(2019·梧州中考)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( C )A ．2 6B ．210C ．211D ．43(第3题图) (第4题图)4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC.AT 是⊙O 的切线，∠BA T ＝55°，则∠D 等于( A ) A ．110° B ．115° C ．120° D ．125°5．⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于点P ，若AP ＝2，BP ＝6，CD ＝7，则CP ＝__3或4__． 6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长是__4__．(第6题图) (第7题图)7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PC 切⊙O 于点C ，∠PCB ＝35°，则∠B 等于__55°__.8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，PD 切⊙O 于D ，与BA 延长线交于点P ，已知∠BCD ＝130°，则∠ADP ＝__40°__.(第8题图) (第9题图)9．如图，PA ，PB ，DE 分别切⊙O 于A ，B ，C ，⊙O 的半径为6 cm ，OP 的长为10 cm ，则△PDE 的周长是__16__cm __．10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°__．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，以点B 为圆心，BC 为半径画弧交AD 于点E ，如果点F 是EC ︵的中点，连接FB ，那么tan ∠FBC 的值为__13__.(第11题图) (第12题图)12．已知：如图，半径为1的⊙M 经过直角坐标系的原点O ，且与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(3，0)，⊙M 的切线OC 与直线AB 交于点C.则∠ACO ＝__30__°.13．如图，已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c ＋4)x 的两个根，点D 是以C 为圆心，CB 为半径的圆与AB 的交点．(1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)若a b ＝34，求AB 的长；(3)在(2)的条件下，求AD 的长．(1)证明：依题意，得a ＋b ＝c ＋4，ab ＝4(c ＋2)．∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(c ＋4)2－2×4(c ＋2)＝c 2＋8c ＋16－8c －16＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形；(2)解：设a ＝3k ，b ＝4k ，则c ＝5k(k ＞0)． ∵a ＋b ＝c ＋4，∴3k ＋4k ＝5k ＋4，解得k ＝2.∴a ＝6，b ＝8，c ＝10，即AB 的长为10；(3)解：过点C 作CE ⊥AB 于点E.易得CE ＝ab c ＝245，BE ＝BC 2－CE 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.∴BD ＝2BE ＝365.∴AD ＝10－BD ＝10－365＝145.14．如图，AB 为弦，直线BC 是⊙O 的切线，OC 交AB 于P ，PC ＝BC.(1)求证：OA ⊥OC ；(2)已知⊙O 的半径为3，CP ＝4，求弦AB 的长．(1)证明：连接OB.∵OA ＝OB ，CP ＝CB ，∴∠A ＝∠OBA ，∠CPB ＝∠CBP. ∵∠APO ＝∠CPB ， ∴∠APO ＝∠CBP.∵CB 切⊙O 于点B ，∴∠OBC ＝90°. ∴∠A ＋∠APO ＝∠OBA ＋∠CBP ＝90°. ∴∠AOC ＝180°－90°＝90°. ∴OA ⊥OC ；(2)解：延长CO 交⊙O 于点Q. ∵CP ＝CB ，CP ＝4，∴BC ＝4.由CB 是⊙O 的切线，CQ 是⊙O 的割线， 易得CB 2＝CM·CQ ， 即42＝CM(CM ＋3＋3)．∴CM ＝2.∴PM ＝2，OP ＝3－2＝1. 在Rt △AOP 中，AP ＝OA 2＋OP 2＝10. 易得AP·BP ＝MP·PQ ， 即10BP ＝2×(3＋1)． ∴PB ＝4105.∴AB ＝AP ＋BP ＝10＋4105＝9105. 15．如图，点P 是⊙O 上的一个动点，弦AB ＝ 3.PC 是∠APB 的平分线，∠BAC ＝30°.当∠PAC等于多少度时，四边形PACB 有最大面积？最大面积是多少？解：∵PC 是∠APB 的平分线，∴AC ︵＝BC ︵.当PC 是⊙O 的直径，即∠PAC ＝90°时，四边形PACB 面积最大． 在Rt △PAC 中，∠APC ＝∠BPC ＝∠BAC ＝30°，AP ＝BP ＝AB ＝3，∴PC ＝AP cos 30°＝3·23＝2.∴S 四边形PACB ＝2S △ACP ＝12PC·AB ＝12×2×3＝ 3.16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 为它的内切圆，切点分别是D ，E ，F.(1)若AC ＝4，BC ＝3，求△ABC 的内切圆的半径；(2)若△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，则S △ABC 的值为______； (3)若AD ＝x ，BD ＝y ，求S △ABC .解：(1)连接OE ，OF ，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵四边形OECF 中，OE ＝OF ，∠OEC ＝∠OFC ＝∠C ＝90°. ∴四边形OECF 是正方形． 由切线长定理，得AD ＝AF ，BD ＝BE ，CE ＝CF ； ∴CE ＝CF ＝12(AC ＋BC －AB)．∴r ＝12(3＋4－5)＝1；(2)12rl ； (3)设内切圆半径为r ，则BC ＝r ＋y ，AC ＝r ＋x ，斜边AB ＝x ＋y. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得 (x ＋r)2＋(y ＋r)2＝(x ＋y)2. ∴r ＝－x －y ＋x 2＋y 2＋6xy 2.∴S △ABC ＝12AC·BC ＝12()x ＋r ()y ＋r ＝12·x 2＋y 2＋6xy ＋（x －y ）2·x 2＋y 2＋6xy －（x －y ）2＝8xy8＝xy.。