第十二章 大跨度桥梁的稳定理论

12.2.2 第一类稳定的非线性有限元分析
工程中经常会遇到如下两种情况： 1. 随着荷载的增加，在结构发生弹性失稳之前，部分构件 _ 已经进入了塑性变形。 2. 结构比较柔软，当荷载不断增加时，参考荷载的 [ K ]σ 与临界荷载的 [K ]σ 失去了线性关系。 在解决这类稳定问题时，为了利用第一类稳定求解的方 λ 便性，同时又要考虑上述两方面因素影响对线性稳定求解的 λ 失真度，可以将特征值问题与非线性分析结合起来求解。这 就是第一类稳定的非线性有限元分析方法。基本思路是：用 考虑几何非线性和材料非线性的有限元方法，将荷载逐级施 ，{P}为参考荷载， 0 为期望的最小稳定安全系数， 加到 λ 0 { P } λ 求出结构的几何刚度阵作为 [K 1 ]σ ，在变形后的构形， 由参考 荷载按线性化稳定问题求出后期荷载的屈曲安全系数 λ a，检 验结构在后期屈曲荷载作用下是否出现新的弹塑性单元，如果 出现则作迭代修正重新计算 λ a ，最后较精确的临界荷载为：
●按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度阵 [ K 1 ]σ ●用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力); ●形成结构几何刚度矩阵[K 2 ]σ 和式(12－7)； ●计算式(12－7)的最小特征值问题； 这样，求得的最小特征值λ就是后期荷载的安全系数， 相应的特征向量就是失稳模态。
12.2 第一类弹性及弹塑性稳定分析
12.2.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析
下面用有限元平衡方程来表达结构失稳的物理现象。T.L 列式下，结构增量形式的平衡方程为：
( [ K ] 0 + [ K ]σ + [ K ] L ){∆u} = [ K ] T {∆u} = {∆R }
0 0 0 0
(12－1) (12－2)
U.L列式下，结构的平衡方程为：
t t t
( [ K ] 0 + [ K ]σ ){∆u} = [ K ] T {∆u} = {∆R }
在发生第一类失稳前，结构处于初始构形线性平衡状态，因 此，式(12－1)中大位移矩阵0[K]L应该为零。在U.L列式中 不再考虑每个载荷增量步引起的构形变化，所以，不论T.L 还是U.L列式，其表达形式是统一的。即：
第一类稳定：分支点失稳问题 如图12.1(a)所示中心受压的理想直杆。当载荷P低于特 定的临界值Pcr时，如果施加微小干扰使之弯曲，卸去干扰 后杆件仍回到原始直线状态。这时，称压杆的直线平衡形式 是稳定的。以中点挠度f为横坐标，载荷P为纵坐标，如图 12.1(b)所示，则OA上任一点表示一种直线平衡状态。称 OA为原始平衡路径(Primary equilibrium path)。当P超 过Pcr时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于弯曲平 衡状态。但直线平衡状态是不稳定的，稍有干扰，压杆就失 去平衡而发生弯曲至B点。曲线AB称为第二平衡路径，A点 称为分支点。这种具有分支点的平衡问题称为第一类平衡问 题。分支点A处第二路径的切线是水平的，因此在一阶无穷 小邻域内，挠度为不定值。结构分支点失稳是理想力学模型 和小位移理论的产物。
12.1.2两类稳定问题 12.1.2两类稳定问题
物体的平衡可能是稳定的、不稳定的或者是随遇的。 物体从一种平衡状态稍微偏至邻近状态之后，如果仍能回 复到原来的状态，则原来的平衡状态为稳定的；如果不能 回复到原来的状态而将继续离去，则原来的平衡状态为不 稳定的；如果可以在任意新的位置上保持平衡，则为随遇 平衡。
([ K ] + [ K ]σ ){ ∆u} = { ∆R }
(12－3)
在结构处在临界状态下，即使{ΔR}→0，{Δu}也有非零解， 按线性代数理论，必有：
[ K ] + [ K ]σ
= 0
(12－4)
在小变形情况下，[K]σ与应力水平成正比。由于发生第一 类失稳前满足线性假设，多数情况下应力与外荷载也为线 性关系，因此，若某种参考荷载{ P } 对应的结构几何刚度 阵为 [ K ]σ ，临界荷载为，那么在临界荷载作用下结构的几 何刚度阵为： ]σ = λ[ K ]σ (12－5) [K 于是式(12－4)可写成: [K ] + λ K = 0
以刚性小球在不同曲面上的平衡状态为例，小球在凹面 的最低位置为稳定平衡，在凸面的最高位置为不稳定平衡， 在水平面上为随遇平衡。在一般情况下，平衡的性质可随物 体的偏移方向而异。如小球在双曲抛物面中点，其平衡状态 在一个方向是稳定的，而在其它方向则是不稳定的。在桥梁 结构中，总是要求其保持稳定平衡，也即沿各个方向都是稳 定的。随遇平衡可认为是稳定与不稳定的过渡状态，也属于 不稳定的范畴。 结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定性平 衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失 去正常工作能力的现象。研究稳定可以从小范围内观察，即 在邻近原始状态的微小区域内进行研究。为揭示失稳的真谛， 也可从大范围内进行研究。前者以小位移理论为基础，而后 者建立在大位移非线性理论的基础上。引出了研究结构稳定 问题的两种形式：
[ ]
σ
(12－6)
式(12－6)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳 定问题转化为求方程的最小特征值问题。
一般来说，结构的稳定是相对于某种特定荷载而言的， 在大跨径桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载 内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期 恒载、活载、风载等)引起的内力两部分组成。因此，K ]σ 也 [ 可以分成一期恒载的初内力刚度阵 [ K 1 ]σ 和后期荷载的初 则 内力刚度阵 [ K 2 ]σ 两部分，当计算的是一期恒载稳定问题， [K 2 ]σ = 0 ， K ]σ 可直接用恒载来计算，这样通过式(12－6) [ 算出的λ就是恒载的稳定安全系数。若计算的是后期荷载的 稳定问题，则恒载 [K 1 ]σ 可近似为一常量，式(12－6)改写成： [K ]+ [K 1 ]σ + λ [K 2 ]σ = 0 (12－7) 形成和求解式(12－7)的步骤可简单归结为：
图 12.1
中心受压的理想直杆
12.1.3 稳定问题求解方法的评述
研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法(Eular 方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法 。 静力平衡法是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研 究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态，其 实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的载 荷值(临界载荷)。能量法则是求弹性系统的总势能不再是正 定时的载荷值。缺陷法认为：完善而无缺陷的理想中心受压 直杆是不存在的。由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生 弯曲变形，其值要视缺陷程度而定。在一般条件下缺陷总是 很小的，弯曲变形并不显著，只是当荷载接近完善系统的临 界值时，变形才迅速增至很大，由此确定其失稳条件。振动 法以动力学的观点来研究压杆稳定问题。当压杆在给定的压 力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动，如果 振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。
a a
{ P }cr = (λ 0 + λ a ){ P } = λ { P }
(12－8)
式中：λ为结构在荷载{P}作用下较精确的稳定安全系数。 对于结构失稳 前位移不大的刚性 结构，往往忽略其 大位移影响，于是 问题就转化为第一 类稳定的弹塑性问 题，可以直接用图 12.2所示的框图 计算。
图 12.2 第一类弹塑性稳定计算流程图
第二类稳定：极值点失稳问题 一般结构体系并不存在分支点，这样就不能以平衡形式 发生分支现象来定义失稳特征。但是，在结构失稳过程中， 其荷载、变形曲线常具有极值点，如图12.1(b)所示。在OA 段内，结构始终处在弯曲平衡状态，更大可能是出现部分塑 性变形。当荷载达到极大值Pcr时，即使外力不再增加，结 构位移也可能急速增大，结构呈不稳定现象，这就是第二类 稳定：极值点失稳问题。 实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类失稳。但是， 由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况 下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题 仍有着重要的工程意义。
以上四种方法对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载 值是相同的。如果仔细研究一下，可以发现它们的结论并 不完全一样，表现在以下几个方面： (1)静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、P2－...、 Pn时压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最可能，并无抉择 的条件。同时在P≠P1、P2－...、Pn时，屈曲的变形形式 根本不能平衡，因此无法回答直线形式的平衡是不稳定的 问题。 (2)缺陷法的结论也只能指出当P=P1、P2－...、Pn， 杆件将发生无限变形，所以是不稳定的。但对于P在P1、 P2－...、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。 (3)能量法和振动法都指出，P>P1之后不论P值多大， 压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全 一致。
12.3 拱桥稳定分析和非保向力效应
本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数 值法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受 到一定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界 荷载用结构设计参数来表达，这对于直观研究设计参数 与结构稳定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定 安全系数，验证数值分析结果的正确性等都具有十分重 要的意义。 研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法(Eular方法)、能 量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法。为方便讨 论，常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两 类问题来分别研究。
第十二章 大跨度桥梁的稳定理论
12.1 概 述 12.2 第一类弹性及弹塑性稳定分析 12.3 拱桥稳定分析和非保向力效应 12.4 材料非线性问题 12.5 桥梁结构的极限承载力及其全 过程分析 12.6 小结
12.1 概述
1.1 稳定理论的发展历程
稳定问题是力学中一个重要分支，是桥梁工 程中经常遇到的问题，与强度问题有着同等重要的 意义。随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱 梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的 刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要。