非线性方程组迭代解法
非线性方程和非线性方程组的迭代解法
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程组解的存在唯一性定理,解的迭代方法和某些应用
非线性方程组解的存在唯一性定理,
解的迭代方法和某些应用
非线性方程组解的存在唯一性定理是世界著名数学家克里斯多福·康威发表于1951年的一项学术成果，它给出了非线性方程组的解的存在唯一性的定理，并被
认为是非线性数学的里程碑。
非线性方程组的解的存在唯一性定理给出了一种把非线性子问题转化为线性子
问题的解法，它将复杂的非线性方程组拆分成多个子问题，逐步对每个子问题求解，并把它们综合起来得到最终结果的方法，是现代非线性数学的重要研究内容。
它的应用被广泛应用在多个学科中，比如金融学，物理学，生物学等。
在这里，我们只讨论它在互联网中的使用场景。
它可以用来解决各种复杂的非线性优化问题，如多轮次排序问题，ID3决策树建模。
它可以有效地帮助我们提高网页排序质量、
构建更智能的搜索引擎等。
有了非线性方程组解的存在唯一性定理，我们也可以使用迭代方法来解决复杂
的非线性问题，比如梯度下降法，牛顿迭代以及二次原型算法。
这些迭代方法可以在互联网中用于实现网页排序，搜索推荐以及机器学习的自主优化等功能，让我们的搜索既“智能”又“高效”。
非线性方程组解的存在唯一性定理至今仍然在发挥重要作用，不仅在数学方面，也在各个行业，特别是在互联网中发挥出了重要的作用，可以大大提高搜索效率和精度，改变人们的网络体验。
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组是指由非线性函数组成的方程组，它们通常无法使用数学公式解出解析解。
一种常用的求解非线性方程组的方法是迭代法。
迭代法是一种近似求解方法，它通过不断进行迭代来逼近解。
常用的迭代法有牛顿迭代法、共轭梯度法、线性共轭法等。
牛顿迭代法是一种常用的迭代法，它使用了泰勒展开式来逼近非线性函数，并使用这个近似函数的零点来迭代求解非线性方程组。
共轭梯度法是一种高效的迭代法，它使用了共轭梯度来求解非线性方程组。
线性共轭法是一种高效的迭代法，它通过使用共轭梯度来求解非线性方程组，并使用线性共轭条件来加速收敛。
这些迭代法都是基于迭代的方法，需要给定初始解和终止条件，并且在迭代过程中可能会出现收敛问题，所以需要设计合适的迭代步骤来保证收敛性。
二元非线性方程组求根的牛顿迭代法
2 二元函数的牛顿迭代法
设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且 有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为此邻域 内任一点 , 则有
f ( x0 + h, y0 + k ) ≈ f ( x0 , y0 ) +
记符号
gfx - fgx | ( x k, y k) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( x k, y k) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, y k) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1 ) 式可改写为 x = xk + y = yk + fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) ( 3) ( 2)
f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx ( xk , yk ) + ( y - yk ) fy ( xk , yk ) = 0 g ( xk , yk ) + ( x - xk ) gx ( xk , yk ) + ( y - yk ) gy ( xk , yk ) = 0
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
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非线性方程组迭代解法不动点法（unmovepoints.m）%非线性方程组的不动点法function [x,n]=unmovepoints(fun,x0,eps)if nargin<3eps=1e-3;endx1=feval(fun,x0);n=1;while(norm(x1-x0))>=epsx0=x1;x1=feval(fun,x0);n=n+1;if n>100000disp('无法收敛!');breakendendx=x1;Newton迭代法（newtons.m）%非线性方程组的Newton迭代法function [x,n]=newtons(fun1,fun2,x0,eps)if nargin<4eps=1e-3;endx1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0);n=1;while norm(x1-x0)>=epsx0=x1;x1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0);n=n+1;if n>100000disp('无法收敛!');breakendendx=x1;注：方程组的迭代与方程迭代不同之处在于收敛的判断不能用abs 而应用norm （范数，默认值为向量各元素的平方和的开方；norm(x1-x0)即为向量x1与x0对应元素差的平方和的开方。
在对应的函数程序中应注意向量的运算与数量运算的区别。
）用以上方法求解下列非线性方程组：()0cos 2.0sin 7.02111=--=x x x X f ()0sin 2.0cos 7.02122=+-=x x x X f函数：%非线性方程组函数(适用于不动点法) function f=nonlinerequs1(x)f(1)=0.7*sin(x(1))+0.2*cos(x(2)); f(2)=0.7*cos(x(1))-0.2*sin(x(2));%非线性方程组函数(适用于Newton 迭代法) function f=nonlinerequs2(x)f(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)); f(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2));%非线性方程组函数导数(适用于Newton 迭代法) function f=nonlinerequs3(x)f=[1-0.7*cos(x(1)),0.2*sin(x(2));0.7*sin(x(1)),1+0.2*cos(x(2))];导数为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂22122111x f x f x f xf ，对多方程则类似。
命令：fsolve(@nonlinerequs2,[0.5,0.5])[x,n]=unmovepoints(@nonlinerequs1,[0,0],1e-6)[x,n]=newtons(@nonlinerequs2,@nonlinerequs3,[0,0],1e-6)计算结果：（eps=0.000001）迭代方法X 迭代次数n解析解[0.52652262191818 0.50791971903685] - fsolve [0.52652266171295 0.50791973020932]- 不动点法[0.52652130091388 0.50792028463452] 30 Newton 迭代法[0.52652279369020 0.50791961189450] 16在某操作条件下，有如下四个独立的反应：B A ⇔ DC A +⇔DE A +⇔ CF A +⇔其平衡常数分别为：0.08，0.06，0.001，0.05；反应前只有组分A ，没有其他物质，试求反应平衡时组分A 的摩尔分率为多少？ 解：设反应前组分A 的总摩尔数为1，反应平衡后四反应过程分别消耗组分A 的摩尔数为1x 、2x 、3x 、4x ，所以反应平衡时各组分的摩尔数为：A ：43211x x x x ----B ：1xC ：42x x +D ：32x x +E ：3xF ：4x 故有：()011432111=-----=K x x x x x X f ()()()()()0112432432132422=-+++----++=K x x x x x x x x x x x X f ()()()()011343243213233=-+++----+=K x x x x x x x x x x X f()()()()011443243214244=-+++----+=K x x x x x x x x x x X freaction.m%非线性方程组函数(化学平衡,适用于fsolve) function f=reaction(x)f(1)=x(1)/(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))-0.08;f(2)=(x(2)+x(4))*(x(2)+x(3))/(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))/(1+x(2)+x(3)+x(4))-0.06; f(3)=x(3)*(x(2)+x(3))/(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))/(1+x(2)+x(3)+x(4))-0.001; f(4)=x(4)*(x(2)+x(4))/(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))/(1+x(2)+x(3)+x(4))-0.05; 命令：x=fsolve(@reaction,[0.3,0.2,0.1,0])或x=fsolve(@reaction,[0.3,0.2,0.1,0],foptions) 计算结果：x=[0.0514, 0.1621, 0.0050, 0.1392] 因此组分A 的摩尔分率为：4917.0114324321=+++----x x x x x x xreaction1.m%非线性方程组函数(化学平衡,适用于不动点法) function f=reaction1(x)f(1)=(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))*0.08;f(2)=(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))*(1+x(2)+x(3)+x(4))*0.06/(x(2)+x(3))-x(4); f(3)=(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))*(1+x(2)+x(3)+x(4))*0.001/(x(2)+x(3)); f(4)=(1-x(1)-x(2)-x(3)-x(4))*(1+x(2)+x(3)+x(4))*0.05/(x(2)+x(4)); 其迭代格式为：()4321111x x x x K x ----=()()()43243243212211x x x x x x x x x x K x -++++----= ()()()3243243213311x x x x x x x x x K x ++++----=()()()4243243214411x x x x x x x x x K x ++++----=但该迭代格式无法收敛，所以不同的迭代格式是否收敛有很大不同；要满足迭代收敛则必须满足以下关系：迭代格式：()()()k k X X φ=+1 迭代函数的偏导数矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x x x x x x x x x φφφφφφφφφ112221212111 迭代格式收敛的充分条件：111max <∑=≤≤nj ij ni a 或111ma x<∑=≤≤ni ij nj a 或11,2<∑=nj i ij a故在迭代格式的构造上比较困难，在实际应用中若能满足以上条件是最好的；但如果无法构造满足以上条件的迭代格式，那么还可采取如下的方法。
在不动点法中引如松弛因子1<W ，将原迭代格式改为：()()()k k X X φ=+1 ⇒ ()()()()()[]k k k k X X W X X -+=+φ1unmovepoints.m%非线性方程组的不动点法function [x,n]=unmovepoints(fun,x0,eps)if nargin<3eps=1e-3;endx1=feval(fun,x0);n=1;while(norm(x1-x0))>=epsx0=x1;x1=x0+0.1*(feval(fun,x0)-x0);无法收敛时,采用该式迭代,其中0.1为松弛因子<1,可根据具体情况修改%x1=feval(fun,x0);n=n+1;if n>100000disp('无法收敛!');breakendendx=x1;命令：（松弛因子取0.1，其数值不同迭代收敛程度不同，不收敛则降低松弛因子）x=unmovepoints(@reaction1,[0.3,0.2,0.1,0],1e-6)计算结果：x=[0.0514, 0.1621, 0.0050, 0.1392]。