基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的
探讨
矩阵的特征多项式和最小多项式是矩阵理论中非常重要的概念。
特征多项式是一个关于矩阵λ的多项式，通过对特征多项式进行因式
分解，可以得到矩阵的特征值，从而研究矩阵的性质和行为。
而最小
多项式则是一个次数最低的关于矩阵的多项式，其根是矩阵的特征值。
最小多项式可以被用来确定矩阵是否可对角化以及矩阵的Jordan标准形。
特征多项式与最小多项式之间存在着密切的联系。
特征多项式是
最小多项式的一个因子，从而它们共享同样的特征值。
特别地，当矩
阵的特征值都是简单的时候，特征多项式和最小多项式是一样的。
因此，在计算矩阵的特征值时，我们可以通过计算最小多项式的根来得
到这些值。
此外，特征多项式和最小多项式也可以被用来求解矩阵的逆和某
些矩阵函数。
例如，如果一个矩阵M的最小多项式是p(x)，那么M的
逆可以通过计算：
$$
(M^{-1})=\frac{1}{\lambda_1}P(M)
$$
其中P(x)是一个关于x的多项式，它的根是矩阵M的特征值。
类似地，当我们需要计算一些关于矩阵的函数时，我们也可以使用特征多项式
和最小多项式来进行计算。
总之，特征多项式和最小多项式是矩阵理论中的核心概念，它们
提供了丰富的信息，可以被用来研究矩阵的性质和行为，以及求解矩
阵的逆和某些矩阵函数。
熟练掌握这些概念对于矩阵理论和线性代数
的研究非常重要。
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨特征多项式和最小多项式是矩阵理论中的两个重要概念，它们在求解矩阵的特征值和特征向量、矩阵的相似对角化等问题中起着关键作用。
特征多项式是指矩阵的特征值对应的多项式，它的定义可以表示为：$$。
f_A(\lambda) = det(\lambda I - A)。
$$。
其中，$I$ 是单位矩阵，$A$ 是一个 $n$ 阶方阵，$det$ 表示行列式运算。
特别地，当 $A$ 是对角矩阵时，它的特征多项式为：$$。
f_A(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda - a_{ii})。
$$。
最小多项式是指一个最小的首项系数为 $1$ 的多项式 $p(\lambda)$，使得 $p(A) = 0$，它的定义可以表示为：$$。
p_A(\lambda) = \mathrm{min}\{p(\lambda) \mid p(A) = 0\}。
$$。
其中，$\mathrm{min}$ 表示取最小值。
特别地，当 $A$ 是对角矩阵时，它的最小多项式为：$$。
p_A(\lambda) = \mathrm{lcm}\{(\lambda - a_{11}), (\lambda -a_{22}), \cdots, (\lambda - a_{nn})\}。
$$。
其中，$\mathrm{lcm}$ 表示取最小公倍数。
可以看出，最小多项式具有如下的性质：1.最小多项式的次数等于矩阵$A$的阶数。
2.最小多项式是特征多项式的约数。
3. 如果存在一个首项系数为 $1$ 的多项式 $p(\lambda)$ 使得$p(A) = 0$，那么 $p(\lambda)$ 的次数一定不大于最小多项式的次数。
最小多项式与特征多项式之间有着密切的联系。
事实上，它们可以互相唯一确定，具体来说：1. 如果知道了矩阵 $A$ 的特征多项式 $f_A(\lambda)$，那么$A$ 的最小多项式 $p_A(\lambda)$ 一定是 $f_A(\lambda)$ 的因子。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
毕业论文-低秩矩阵的特征多项式和最小多项式
毕业论文-低秩矩阵的特征多项式和最小多项式本科毕业论文(设计) 题目低秩矩阵的特征多项式和最小多项式姓名学号专业年级数学与应用数学指导教师职称 2009年4月20日目录绪论 (1)1 相关概念与记号 (1)1.1 概念 (1)1.2 本文中相关记号 (1)2 矩阵的满秩分解 (2)3 降阶求特征多项式 (3)4 降阶求最小多项式 (5)5 最小多项式的几种求法及比较 (9)5.1 根据特征多项式求最小多项式 (9)5.2 根据不变因子求最小多项式 (10)5.3 根据Jordan标准形求最小多项式 (11)5.4 根据线性相关求最小多项式……………………………………………125.5 最小多项式求法的综合比较……………………………………………136 最小多项式的简单应用………………………………………………………14参考文献…………………………………………………………………………16 低秩矩阵的特征多项式与最小多项式摘要矩阵的特征多项式和最小多项式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的作用，因此如何求矩阵的特征多项式和最小多项式极为重要(本文先从目前已有的矩阵的满秩分解入手，通过特殊情况下的满秩分解求出矩阵的特征多项式，再推广到一般，从而得到了矩阵特征多项式的一种降阶求法(接着根据最小多项式的定义和矩阵乘法的原则，同样得到了一种求最小多项式的降阶公式，这样在很大程度上简化了求低秩矩阵的特征多项式和最小多项式的计算量(最后，本文列举了目前已有的四种最小多项式的四种求法，并结合本文的最小多项式的求法作了一个综合的比较(【关键词】矩阵满秩分解特征多项式最小多项式 TheCharacteristic Polynomial and the Minimal Polynomialof the Low-rank Matrix Abstract The characteristic polynomial andthe minimal polynomial play a great role in the matrix similarity, Jordan canonical form, matrix function, matrix equation. So how to seek them is very important. Firstly, from the full-rank decomposition of the matrix,we can get the characteristic polynomial in the special case offull-rank decomposition, and it is the same in the general case, so we get a method of seeking characteristic polynomial by reducing the order of the matrix. Then according to the definition of minimal polynomial of matrix and the principle of matrix multiplication, we also get a method of seeking minimal polynomial by reducing the order of the matrix. To a great extent, we have less computation about the characteristic polynomial and the minimal polynomial of the low-rank matrix. Finally, we list the four exiting methods of seeking the minimal polynomial. Combining with the method of the minimal polynomial in the paper, we make a comprehensive comparison.【Key words】atrix Full-rank decomposition Characteristicpolynomial Minimal polynomial 绪论矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中的基本概念，它在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数、自动化控制等领域都有重要的作用(因此，如何求特征多项式和最小多项式至关重要(关于特征多项式，对某些特定的矩阵(如对称矩阵)，国内外一些学者研究了一系列求特征多项式的方法(关于最小多项式求法的研究，目前主要是采用如下四种方法:第一，根据特征多项式的典型分解求最小多项式;第二，根据特征矩阵的最后一个不变因子求最小多项式;第三，根据标准形求最小多项式;第四，根据线性相关求最小多项式(本文从一习题中想到:,分别是和矩阵，有结论，那么当时，求矩阵的特征多项式可以转化成求一低阶矩阵的特征多项式，这样就得到了求特征多项式的一种降阶求法(同样，我们是否也可以求出矩阵与矩阵最小多项式的关系呢, 1 相关概念与记号1.1 概念定义若A是数域上一级矩阵，是一个文字，矩阵的行列式称为A的特征多项式(定义数域上次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式(定义矩阵的秩等于它的行数的矩阵称为行满秩矩阵(定义矩阵的秩等于它的列数的矩阵称为列满秩矩阵(定义若阶矩阵A的秩为，为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，若有A BC，则称BC 为A的满秩分解(1.2 本文中相关记号表示矩阵的最小多项式(表示矩阵的特征多项式(表示矩阵的秩(2 矩阵的满秩分解用矩阵的行列初等变可将矩阵化为标准形其中是阶单位矩阵，)，那么存在可逆矩阵与，使得，则,，就得到了矩阵的分解，我们有如下定理: 定理设阶矩阵的秩为，证明:存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得证明任一阶矩阵都可通过初等行列变换化为标准形,，其中是阶单位矩阵，，则存在阶可逆矩阵和，使得，即,,, (1)由于是由的前列构成的矩阵，设,(，)其中与分别是矩阵与()矩阵，则, (2)而是可逆的，则的前列线性无关，故，即是列满秩矩阵(同理，令,其中与分别是矩阵与()矩阵，则, (3) 而是可逆的，则的前行线性无关，故，即是行满秩矩阵(由(,)，(2)和(3)可得的满秩分解式这样，我们就将任一矩阵满秩分解为两个矩阵的乘积(3 降阶求特征多项式我们先从满秩分解中的特殊情况为标准形的时候来求其特征多项式( 设行满秩矩阵 (，)，其中是阶矩阵，则由得而，则这样，当时，求矩阵的特征多项式就转化成求阶的的特征多项式，给出了求特征多项式的一种降阶求法(当为标准形的时候可以降阶求特征多项式，那么不是标准形时是否也可以采用同样的方式降阶求特征多项式呢,引理相似矩阵具有相同的特征多项式(定理设秩为的阶矩阵的满秩分解为，证明:证明由于秩为的矩阵可化为标准形，故存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得(4)令矩阵, (5)其中是阶矩阵(用(4)式两边分别左乘(5)式两边得由引理得(6)用样，用(5)式两边分别左乘(4)式两边得故(7)则由(6)式和(7)得，特征多项式的降阶公式8(8)中的为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，那么是否对任意的为矩阵，为矩阵，都有成立呢,推论对任意的为矩阵，为矩阵，都有 ( 证明因为所以(9)又因为所以(10) 综合(9)和(10)式有即例1 求阶对称矩阵的特征多项式(解()4 降阶求最小多项式之前，我们由的满秩分解，找到了的特征多项式与的特征多项式的关系，从而找到了特征多项式的降阶公式(那么，由，是否还能发现的最小多项式和的最小多项式之间的关系呢,定理3 设秩为的阶矩阵的满秩分解为，令，那么证明由于，则, 11由于，则是阶矩阵，且对任一多项式, 由(11)式可得多项式与之间的关系式:(12) 由 12 式可得的零化多项式与的零化多项式之间的关系:若，则必有由此可进一步发现的最小多项式与的最小多项式之间的关系( 令，则，故有即是的零化多项式(因此，整除，即(13)若令是的特征多项式，则，故有而，故有(14)综合(13)式和(14)式，我们有这样我们就找到了通过求的最小多项式来求的最小多项式(例2 求矩阵的特征多项式和最小多项式(解用行初等变换将化为阶梯矩阵则的秩为2，令则是的行满秩矩阵，其左边的子块是阶单位矩阵(令可知则的特征多项式因为，且一次多项式都是的非零化多项式，故的次数必大于1，所以有又因是非满秩的，故零是它的一个特征值，所以必须包含一次因式，由此可以验证的最小多项式例3 求矩阵的特征多项式和最小多项式( 解则，令令其中的1，2，4列组成单位矩阵，则有由于，则()()故由于，故或，易证得，而是非满秩的，含有一次因式，因此， 5 最小多项式的几种求法及比较5.1 根据特征多项式求最小多项式令…其中，，…互异，，…均大于或等于1，则必有… 其中1，…,这样我们得到了求的方法:先求出，再将分解成不同的一次因式的幂积，由低次向高次逐个试验，求出使零化的次数最低的这个幂积(例4 设，求的最小多项式(解的特征多项式为设的最小多项式为，因为所以(因此，的最小多项式为 5.2 根据不变因子求最小多项式我们知道，方阵的最小多项式等于的特征矩阵最后一个不变因子，因此，当我们把化为标准形后就可以求出的最小多项式(例5 求矩阵的最小多项式(解故的最小多项式 5.3 根据标准形求最小多项式矩阵的最小多项式…，其中是的相异的特征值，是在的标准形中包含的各分块的最大阶数(例6 求矩阵的最小多项式(解由的特征多项式知有两个不同的特征值:，(均为三重的)(容易求得，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应于的块的数目是1( 又由于，对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块(故的标准形为可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为 5.4 根据线性相关求最小多项式设为上任一阶矩阵，可看作为维向量空间中的向量，进而矩阵序列可看作为中的一个向量组，由哈密顿――凯莱定理可知，它们一定是线性相关的( 令为使矩阵序列是线性相关的最小次数，即线性相关，则存在个不全为零的数，使得其中，否则，这与对的假设矛盾，所以记，则如果定义多项式为那么一定有且没有次数小于的非零多项式零化，故为的最小多项式(以上实际上给出了求的最小多项式的一种方法(让从开始，依次从矩阵方程，求解首次有解时，解对应的多项式为的最小多项式(例7 求矩阵的最小多项式(解令，显然无解。
方阵最小多项式性质探讨
方阵最小多项式的性质探讨摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式 概念1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。
命题1：方阵的零化多项式是存在的。
证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由22,,,,n E A A A 这21n +个向量一定线性相关。
则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a , 使得22010n n a E a A a A +++=， 作多项式2201()n n f x a a x a x =+++,且()0f x ≠，有()0f A =,即()n M F 中的任意向量A 来讲，零化多项式是存在的。
概念2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。
由命题1的证明进程，咱们明白最小多项式是存在的。
只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。
可是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,那个估量是比较粗糙的，咱们能够估量得更精准些。
命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。
也就是说能够把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过n 。
下面介绍几个最小多项式的性质：命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。
命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x).命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。
证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
矩阵论最小多项式
矩阵论最小多项式矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，对于研究矩阵的性质和应用有很大的帮助。
下面我们来一步一步地探究什么是矩阵论最小多项式。
第一步，了解矩阵的特征值和特征向量在介绍矩阵论最小多项式之前，首先需要了解矩阵的特征值和特征向量的概念。
矩阵的特征值是一个数，是该矩阵的一个特性，可以通过求解矩阵的特征多项式得到。
而矩阵的特征向量则是指矩阵与特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的一个向量。
矩阵的特征值和特征向量对于研究矩阵的性质和应用非常重要。
第二步，引入矩阵多项式矩阵多项式是指多项式中的系数为矩阵，它是矩阵理论中一个重要的概念。
例如，一个$2*2$矩阵$A$的多项式可以表示为：$$f(x)=a_0I+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+...+a_nA^n$$其中，$I$是单位矩阵，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为实数或复数。
第三步，引入矩阵的代数幂矩阵$A$的代数幂$A^k$表示将矩阵$A$相乘$k$次所得到的矩阵，其中$k$为自然数。
第四步，定义矩阵的最小多项式对于一个$n*n$矩阵$A$，它的最小多项式是一个次数最低的多项式$f(x)$，使得$f(A)=0$。
具体来说，就是将矩阵$A$代入多项式$f(x)$中，得到的结果为零矩阵。
最小多项式是一个矩阵独有的概念，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。
需要注意的是，最小多项式与矩阵的特征多项式是不同的概念。
第五步，求解矩阵的最小多项式求解矩阵的最小多项式是矩阵理论中的一个重要问题，可以采用以下两种方法进行求解：1.使用线性代数的基本定理求解，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行求解；2.使用寻找伴随算子的方法，可以将矩阵的最小多项式转化为对应的伴随矩阵的特征多项式。
最后总结，矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。
通过了解矩阵的特征值和特征向量、引入矩阵多项式、引入矩阵的代数幂和定义矩阵的最小多项式等步骤，可以更好地理解和运用矩阵论最小多项式。
矩阵的最小多项式和特征多项式
矩阵的最小多项式和特征多项式矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
矩阵的最小多项式和特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，它们能够揭示矩阵的内在结构和特征。
我们来介绍矩阵的特征多项式。
给定一个n阶方阵A，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=|A-λI|，其中I是单位矩阵。
特征多项式的根称为矩阵的特征值，它们是方程p(λ)=0的解。
特征值具有重要的几何和物理意义，它们描述了矩阵A对向量空间的变换效果。
特征多项式的计算比较简单，只需要计算矩阵A与单位矩阵I的差的行列式。
例如，对于一个二阶矩阵A，特征多项式为p(λ)=|A-λI|=λ^2-(a+d)λ+ad-bc，其中a、b、c、d是矩阵A的元素。
特征多项式的根不仅与矩阵的性质相关，还与矩阵的最小多项式密切相关。
矩阵的最小多项式是一个次数最低的首一多项式，使得它在矩阵A上为零。
最小多项式的根是矩阵的特征值，但一个特征值可能对应多个最小多项式。
矩阵的最小多项式与特征多项式之间存在着重要的关系。
根据代数学基本定理，一个n阶矩阵A的最小多项式至少有一个一次因子，这个一次因子的根就是矩阵A的特征值。
而特征多项式是最小多项式的一个因子，因此特征值也是最小多项式的根。
矩阵的最小多项式不仅可以帮助我们求解特征值，还可以揭示矩阵的内在结构。
例如，一个矩阵的最小多项式是一个一次多项式，说明矩阵A是一个可逆矩阵。
而一个矩阵的最小多项式是一个二次多项式，说明矩阵A是一个不可逆矩阵。
通过研究矩阵的最小多项式和特征多项式，我们可以得到矩阵的若干重要性质。
例如，我们可以根据特征多项式的根的个数和重复次数，判断矩阵的可对角化性。
如果特征多项式的根都是单根，即重复次数为1，则矩阵是可对角化的。
如果特征多项式的根有重复根，则矩阵不可对角化。
通过矩阵的最小多项式，我们还可以得到矩阵的Jordan标准形。
Jordan标准形是一种特殊的矩阵形式，它可以将矩阵分解为若干个Jordan块的直和。
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Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ ： Ｃｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｋ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ａ ｎｄ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ，ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｍｐｈ ａ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ 衢ｃ ｕ ｌ ｔ ｙ ｉ ｎ ｈｉ ｇ ｈｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ． Ｉ ｔ ｃ ｏ ｍｂｉ ｎｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈｅ ｍｉ ｎ ｉ ｍａ ｌ ｐｏ ｌ ｎ ｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ ｏ ｔｅ ｆ ｎ ｂｅ ｃ ｏ ｍｅ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ｏ ｃ ｕ ｓ ｉ ｎ
是 数域 Ｐ上 的多项式 ， 如果使 得 ｘ ） ＝ Ｏ ， 则称 ｘ ） 以 Ａ为根或 ｆ （ ｘ ） 为 Ａ的零化 多项 式 。在 以 Ａ 为根 的多
项式中，次数最低且首项系数为 １ 的多项式称为 Ａ
的最小 多项式 ， 记为 ｍ （ 入） 。
２ 基本 性质
定义 １ 【 】 ： 设 Ａ 是数 域 Ｐ上 的一 个 ｎ阶方 阵 ， 如 果存 在 入 数 和 数域 Ｐ上 的 ｎ维非 零列 向量 ｘ ， 使 得
～
陕振沛 姚景景 陈华平
Ｓ ｈ ａ ｎ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｐ ｅ ｉ Ｙａ ｏ Ｊ ｉ ｎ ｇ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｈｕ ａ ｐ ｉ ｎ ｇ （ 六 盘水师 范学 院数学 系 ， 贵州 六 盘水 ５ ５ ３ ０ ０ ４ ）
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｌ ｉ ｕ ｐ ａ ｎ ｓ ｈ ｕ ｉ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｌ ｉ ｕ ｐ ａ ｎ ｓ ｈ ｕ ｉ ５ ５ ３ ０ ０ ４ ）
特 征 多项式 有下列 两条 基本性 质 ：
２ ６
性质 １ ： 凯莱 一 哈密 顿 定 理 ［ １ ］ ： 设 Ａ是 数 域 Ｐ上 的一个 ｎ阶方 阵 ， △ （ 入） 是 Ａ 的特 征多 项式 ， 则 △
０ 引 言
Ａ ｘ ＝ ｈ ｘ ， 则 称 ｈ 为 Ａ 的特征值 ， ｘ为 Ａ 的对 应 特征
值 人 的特 征 向量 。称 人 Ｅ —Ａ 为 Ａ 的特征 矩 阵 ； 称 △Ａ （ 入） ＝ ｌ ｈ Ｅ—Ａｌ ＝ 入“ 一ａ 入 ＋ ａ ２ 人 一…＋
高 等代 数是数 学专 业 的重要基 础课 ，它 对培 养 学 生 的抽象 思维 能力 、 逻 辑推 理能 力 ， 以及后 续课程 的学 习起着 非常重 要 的作用 ，也是 数学 系硕 士研究
生 入学 考试 的一 门必考 科 目。高 等代数 主要 包括 多
（ 一 １ ） ｎ ａ 为 Ａ的特征多项式 ，式中 ａ 等于 Ａ的所
有 ｉ 级 主子 式 之 和 ，特 别 地 ， ａ ＝ ａ。 。 ＋ ａ …＋ ａⅢ ｌ ＝ 仃 ａ 是 Ａ 的迹 ， ａ ｎ ＝ 是 Ａ的行列 式 。 定义 ２ 【 ２ 】 ： 设 Ａ是数域 Ｐ上 的一个 ｎ阶方 阵 ， ｆ （ ｘ ）
ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｇ ｒ ａ ｄ ｕ ａ ｔ ｅ ｅ ｎ ｔ ｒ ｎｃ ａ ｅ ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｓ ｔ ａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｐ ｏ ｌ ｎｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ ｏ ｆ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ — ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｍｉ ｎ ｉ ｍａ ｌ ｐ ｏ ｌ ｎｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｗ ｅ ｔ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ
项 式 和线性 代数 两部分 内容 。矩 阵可 以说贯 穿线 性 代 数始 终 ，而矩 阵 的特 征 多项式则 是 高等代 数学 习 中的重 点和难 点 ，它 与最小 多项 式 的结 合 又常 常成 为数学 系硕 士研究 生入 学考 试 的难 点和 焦点 。 因此 ，
对 这两 者 的探 讨显 得尤 为重要 。 １ 预 备结论
摘 要： 特 征 多项 式是 多项 式 和线 性代 数联 系的 纽带 ， 是 高 等代 数 学 习 中重 点和 难 点 ， 它与最 小 多项 式 的结 合 又常 常成为 数学 系硕士研 究生入 学考 试 的难点和 焦 点。本 文从 矩 阵的特 征 多项 式与最小 多项 式 的定 义 出发 ， 基于 它们 的最基 本性质 ， 对 两者之 间的关 系进行 了分 析探 讨 并得到 了一 些有用结 论。 关键 词 ： 矩 阵； 特征 多项 式 ； 最 小 多项 式
ｄ ｒ ａ ｗｓ ｓ ｏ ｍｅ ｕ ｓ ｅ ｆ ｕ ｌ ｃ ｏｎ ｃ ｌ ｕｓ ｉ ｏｎ ｓ ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄ ｓ： Ｍａ ｔ ｉｘ； ｒ Ｃｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ Ｐｏｌ ｎｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ ； Ｍｉ ｎ ｉ ｍａ ｌ Ｐｏ ｌ ｎｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ