高中数学 3.4.2基本不等式学案 新人教A版必修5
高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5
3．4 根本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理。
二、预习内容一般地，对于任意实数 a 、b，我们有 a 2 b 22ab ，当，等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示：。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案教学目标a2 b 22ab ，不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式a bab的证明过程；2【教学难点】根本不等式a bab等号成立条件2合作探究1证;a2 b 22ab强调：当且仅当 a b 时,a2 b 22ab特别地 , 如果a0,b 0, 用 a和 b 分别代替 a、 b ,可得 a b 2 ab ,也可写成ab a b(a 0,b0) ,引导学生利用不等式的性质推导2证明 :结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab a b 2探究 2：课本中的“探究〞在右图中， AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点， AC=a,BC=b 。
过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ，连接 AD 、BD 。
你能利用这个图形得出根本不等式几何解释a b ab 的2练习1 假设 0 a b 且 a b 1，那么以下四个数中最大的是〔〕 Ａ．1Ｂ．a 2b 2Ｃ． 2 abＤ． a22 a , b 是正数，那么ab ,ab, 2ab 三个数的大小顺序是〔〕2a bＡ．ab ab2abＢ． aba b 2ab2a b2 a bＣ． 2ab ab a bＤ．ab2ab a b a b2a b 2答案 B C例题分析：x 、 y 都是正数，求证：(1)y x≥2；xy( 2 〕 Ｘ＞ 0，当Ｘ取何值时Ｘ+ 1有最小值，最小值是多少x分析： a 2 b 2 2ab ，注意条件 a 、 b 均为正数，结合不等式的性质( 把握好每条性质成立的条件 ) ，进行变形 . 1 正 2 定 3 相等51变式训练： 1 x ＜ 4，那么函数f 〔 x 〕＝ 4x ＋ 4x － 5的最大值是多少？2证明：〔 x ＋ y 〕〔 x 2＋ y 2〕〔 x 3＋y 3〕≥８ x 3y 3.分析：注意凑位法的使用。
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
高中数学 3.4《基本不等式》(2)教案 新人教A版必修5
湖南省蓝山二中高一数学人教A 版必修5：3.4《基本不等式》（2）教案一、教学内容分析本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。
本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。
二、学生学习情况分析授课的班级学生程度较高，基础较好，学习的知识结构较为合理。
因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。
三、教学目标1.知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。
教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误3.情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性四、教学重点与难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件五、教学过程(一)新课引入前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把2a b +叫做正数a b 、的算术平均数，叫做正数a b 、的几何平均数。
今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
(二)例题讲解例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy= 篱笆的长为2（x y +）m由 2x y +≥，可得 x y +≥2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为xy 2m ，由189,22x y +≤==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m 深为3 m 。
高中数学 3.4基本不等式学案 新人教A版必修5 学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.4基本不等式学案 新人教A 版必修5【学习目标】1. 理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件. 2. 能利用基本不等式求最值. 【重点难点】2a b+≤的应用2a b+≤求最大值、最小值。
【学习内容】1、我们都知道：2)a b -（ 0，当且仅当 时，取“=”号。
因此，,0222≥+ab b a —∴ab b a 222≥+。
于是，我们得到了第一个基本不等式：对于任意实数a,b,我们有,222ab b a ≥+当且仅当a=b 时，等号成立. 练习：函数y=229x x +（x )0≠的最小值为 ，此时x 的值为 。
2、如果a>0,b>0,我们用b a 、分别代替上述不等式中的a 、b ，可得a+b ab 2≥(a>0,b>0).即2ba ab +≤（a>0,b>0）.当a ，b 均为正数时，把ab 叫作a ，b 的几何平均数,把2ba +叫作正数a ，b 的算术平均数.所以，两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数。
于是，我们得到了第二个基本不等式：2ba ab +≤（a>0,b>0）当且仅当a=b 时，等号成立。
练习：1、已知a>0, 求a a 9+的最小值及此时a 的值2、求函数y=x(4-x) (0<x<4)的最大值及此时x 的值为。
注意：在应用均值不等式求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正，各项均为正；二定，积或和为定值；三相等，等号能否取得“若忽略了某个条件，就可能会出错”。
例1、下列函数中，最小值是2的是（ ）A.y=x+x 1B.y=sinx+x sin 1,x ∈(0,2π)C.y=1222++x x D. y=2322++x x例2、已知函数 )0(2)(>+=x xx x f ，求函数f(x)的最小值和此时x 的取值．变式2：(1) 2()(0)g x x x x =+<的最值。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)
高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。
人教A版必修5数学 精品导学案：3.4基本不等式 (2)
§3.42a b ab + (2) 班级 姓名 学号 学习目标 通过例题的研究，2a b ab +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 学习过程一、课前准备 复习1：已知0m >，求证：24624m m +≥.复习2：若0x >，求9()4f x x x =+的最小值二、新课导学※ 学习探究 探究1：若0x <，求9()4f x x x =+的最大值.探究2：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.※ 典型例题例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例2 已知0,0x y>>，满足21x y+=，求11x y+的最小值.总结：注意“1”妙用.※动手试试练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd++≥.练2. 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的最小值.总结提升规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正. ※知识拓展1. 基本不等式的变形：222()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，121n n a a a a n ++≥12n a a a ===时取等号）3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号）1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A ．若,a b R ∈，则2a b b a +≥B ．若,a b R +∈，则lg lg a b +≥C ．若x R -∈，则2222x x x +≥-=-D ．若x R -∈，则332x x -+≥2. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）. A ．2 B ．3 C ．1 D ．123. 若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y+的取值范围是（ ）. A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C．(4,)+∞D．[4,)+∞4. 若,x y R+∈，则14()()x yx y++的最小值为.5. 已知3x>，则1()3f x xx=+-的最小值为.1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
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基本不等式（二）
一、 自主学习
预习与反馈
1．已知x ，y 都是整数，
（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得 （2）若xy p =（积为定制），则当x y =时，和x y +取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y 满足440x y +=，且x,y 都是正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 3．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.1y x x
=+
B. 33x x y -=+
C. 1
lg (110)lg y x x x
=+
<< D. 1sin (0)sin 2y x x x π=+
<< 4. 若4x >，则函数1
4
y x x =+
-（ ） A ．有最大值-6． B.有最小值6 C 有最大值-2 D.有最小值2 5．已知lg lg 1x y +=，则
52
x y
+的最小值为 ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。
②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。
③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。
二、 学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值
已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
变式 已知0<x<1
3
，求函数y=x(1-3x)的最大值。
【题型二】含条件的最值求法
已知整数x,y满足81
1
x y
+=，求x+2y的最小值。
变式：已知0,0
x y
>>，满足21
x y
+=，求11
x y
+的最小值.
【题型三】利用不等式解应用题
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
知识拓展
1. 基本不等式的变形：
222
()_____2a b a b ++；222()____
22a b a b ++；22___2
a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab +
2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，121n n
a a a a
n
++≥当12n a a a ===时取等号）
3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号）
巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m ≥
m 的最小值是（ ）
2
C.2 D 2．设x,y 满足x+4y=40,且想，且x,y R +
∈，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B 。
10 C 。
4 D 。
2
3．已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，则516a a 的最大值为（ ） A ．100 B 。
75 C 。
50 D 。
25
4．函数()f x =
（ ）
A ．
25 B 。
12 C 。
1 5． 设x>0,则y=3-3x-
1
x
的最大值是 6． 函数f(x)=3x+lgx+
4
lg x
(0<x<1)的最大值为 7． 求226
()1
x x f x x -+=+（x>-1）的最小值。
8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
名题赏析
（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*
n N ∈
(1)证明：{}1n a -是等比数列；
(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .
解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以15
1(1)6
n n a a --=-，
又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列； (2) 由(1)知：1
51156n n a -⎛⎫
-=-⋅ ⎪
⎝⎭，得1
51156n n a -⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
，从而
1
575906n n S n -⎛⎫
=⋅+- ⎪
⎝⎭
(n ∈N *)；
由S n +1>S n ，得1
5265n -⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
，5
6
2
log 114.925n >+≈，最小正整数n =15．。