上海高考数学复习卷127((含答案)

数学复习卷127班级 姓名 学号内容：第三轮复习 A 卷：基础题与中档题 B 卷：较难题 两卷题量总合与高考卷一致 A 卷1.已知集合A ={－1,0,1, 2}，2{|0}B x x x =-≤，则AB = .2.设a 为实数，若复数 (1＋2i)(1＋a i) 是纯虚数，则a 的值是 ．3.某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ）数据绘制的 频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间 [96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是 ．4.如图所示的流程图的输出S 的值是 ．5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 ．6.设k 为实数，已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，且(ka b +)⊥(3a b -)，则k 的值是 .7.平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在射线(0)y x =>上，则sin5α＝ .8.(文)已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ， 则z ＝2x ＋y 的最小值是 ．(理)在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22ty ＝－3＋ 22t （t 为参数）；在以O为极点、射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m与曲线C 交于A 、B 两点，则线段AB 的长 ．9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的半焦距与半实轴长的比值是 ．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是．11.已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋≦)上是单调增函数．若f (1)＜f (ln x )，则x 的取值范围是 ．12.已知M ＝1002⎛⎫ ⎪⎝⎭，N ＝10201⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，则F 的方程为 .13.棱长为1的正方体内有两球外切，它们都与正方体的三个面相切，且球心在该正方体同一条对角线上，求两球体积和最大时，两球半径之比( )A.1:(2B.1:1)C.1:1)D.1:1 14.函数1()cos cos 2f x θθ=++的最大值是( )A.13 B.1 C.43 D.5315.,αβ分别是40,ln 40x e x x x +-=+-=的实根，则αβ+=( )A.2B.4C.6D.8 16.如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m?17.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.(1)求异面直线AE 与A 1 F 所成角的大小；(2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.118.在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N . (1)设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；(2)求线段MN 长的最小值； (3)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．B 卷1.已知一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b ＝2ac a ＋c ，则此数列的第15项是 ． 2.设a 1，a 2，…，a n 为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，存在k ，l （k ≠l ，且异于i 与j ）使得a i ＋a j ＝a k ＋a l ，则n 的最小值是 .3.在一条顶点在原点、对称轴为横轴正半轴的抛物线上有三点,,A B C ，抛物线的焦点是ABC ∆的重心，已知其中一边在直线4200x y +-=上，求抛物线方程( )A.28y x =B.216y x =C.24y x =D.22y x =4.非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.(1)证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；(2)已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|}(n ∈N*，n ≥2)与数列{ n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.5.设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).(1)若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝a x (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；(2)若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).①求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；②求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.答案A 卷1．已知集合A ={－1,0,1, 2}，B ={x |x 2－x ≤0}，则A ∩B = ▲ ． {0, 1}2．设a 为实数，若复数 (1＋2i)(1＋a i) 是纯虚数，则a 的值是 ▲ ． 123．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ）数据绘制的 频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间 [96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是 ▲ ．60 420 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 ▲ ．126． 设k 为实数，已知向量a →＝(1，2)，→b ＝(－3，2)，且(ka →＋→b )⊥(a →－3b →)，则k 的值是 ▲ ．197．平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在射线y ＝－3x （x ＞0）上，则sin5α＝ ▲ ．328. （文）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ， 则z ＝2x ＋y 的最小值是 ▲ ．2（理）在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22ty ＝－3＋22t（t 为参数）；在以O 为极点、射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，则线段AB 的长 ▲ ．9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的离心率ca的值是 ▲ ．210．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．211．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f (1)＜f (ln x )，则x 的取值范围是 ▲ ．(0, 1e)∪(e, ＋≦)12．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，则F 的方程为 ▲ ．x y 2sin 2=提示：由题设得1110022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 设所求曲线F 上任意一点的坐标为（x ,y ），x y s i n =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212. 把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=. 所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=13. 棱长为1的正方体内有两球外切，它们都与正方体的三个面相切，且球心在该正方体同一条对角线上，求两球体积和最大时，两球半径之比（ ）A A、1:(2 B、1:1) C、1:1) D 、1:1 14. 函数1()cos cos 2f x θθ=++的最大值是（ ）CA 、13 B 、1 C 、43 D 、5315. ,αβ分别是40,ln 40xe x x x +-=+-=的实根，则αβ+=（ ）BA 、2B 、4C 、6D 、8 16.如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m? 解：（1）设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b . 由题设可知A ＝50，b ＝60.又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60.再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π2.因此，y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0).（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－12.于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π3，即1＜t ＜2.所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟. 17.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.（1）求异面直线AE 与A 1 F 所成角的大小；（2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值. 解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,)2,0,2(E ,)6,0,0(1A ,)4,2,0(F ，从而(2,0,2)AE =,1(0,2,2)A F =-.记AE 与F A 1的夹角为θ，则有111cos 2||||8AE A F AE A F θ⋅===-⋅.又由异面直线AE 与F A 1所成角的范围为),0(π， 可得异面直线AE 与F A 1所成的角为60º.（2）记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设 可令(1,,)y z =n ，且有平面ABC 的法向量为1(0,0,6)AA ==m , )4,2,0(=,)2,0,2(=.由0AF ⋅=n ，得042=+z y ；由0AE ⋅=n ，得022=+z . 所以2,1=-=y z ，即(1,2,1)=-n .记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos ||||6β⋅===-⋅n m n m .由题意可知β为锐角，所以cos 6β=.18．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N . （1）设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； （2）求线段MN 长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．解：（1）由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1 x 0.又点P 在椭圆上，所以220014x y +=（x 0≠0），AA1从而有k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14（2）由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线PB 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0).由⎩⎨⎧-==-211y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y k x ； 由⎩⎨⎧-==+212y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212y k x . 所以，直线AP 与直线l 的交点13(,2)N k --，直线PB 与直线l 的交点21(,2)M k -- 于是|13|21k k MN -=，又k 1·k 2＝－14，所以111133|4|4||||MN k k k k =+=+≥43，等号成立的条件是1134||||k k =，解得1k =故线段MN 长的最小值是43.（3）设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN →＝0，故有1231()()(2)(2)0x x y y k k +++++=.又1214k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为 22113(2)12(4)0x y k x k ++-+-=. 令220(2)120x x y =++-=⎧⎨⎩，解得02x y ==-+⎧⎨⎩或02x y==--⎧⎨⎩所以，以MN 为直径的圆恒过定点)322,0(+-（或点)322,0(--）．B 卷1．已知一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b ＝2ac a ＋c ，则此数列的第15项是 ▲ ．1010072．设a 1，a 2，…，a n 为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，存在k ，l （k ≠l ，且异于i 与j ）使得a i ＋a j ＝a k ＋a l ，则n 的最小值是 ▲ ．13 3. 在一条顶点在原点、对称轴为横轴正半轴的抛物线上有三点,,A B C ，抛物线的焦点是ABC ∆的重心，已知其中一边在直线4200x y +-=上，求抛物线方程（ ）BA 、28y x = B 、216y x = C 、24y x = D 、22y x =4. 非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|}(n ∈N*，n ≥2)与数列{ n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.解：（1）已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0).代入12n nn a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα（2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-.由21302a a -=≠，可知}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以 11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有2n ≥时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）.由指数函数的单调性可知，对于任意的2n ≥，2221111((555566|6))5|n n n a a --+-⋅⋅-=≤=,所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65. 而对于任意的1n ≥时，1161225n +≥+>，所以数列1{}(*)2n n +∈N 中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列1{}(*)2n n +∈N 中没有相同数值的项.5.设函数f (x )的定义域为M ，具有性质P ：对任意x ∈M ，都有f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1).（1）若M 为实数集R ，是否存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1，x ∈R ) 具有性质P ，并说明理由；（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意x ∈M ，都有f (x )∈N . 记d (x )＝f (x ＋1)－f (x ). (ⅰ) 求证：对任意x ∈M ，都有d (x ＋1)≤d (x )且d (x )≥0；(ⅱ) 求证：存在整数0≤c ≤d (1)及无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c . 证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).由题设以及算数平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)，这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P .（2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2) ≤2f (x ＋1)，所以(2)(1)(1)()f x f x f x f x +-+≤+-，于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x )下面用反证法证明：对任意x ∈N ，d (x )≥0.假设存在某个非负整数k 使d (k )＜0， 则由题设对任意x ∈N ，f (x )∈N ，得d (x ) ∈Z ，于是有d (k )≤－1. 由任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x )，所以－1≥d (k ) ≥d (k ＋1) ≥d (k ＋2) ≥…≥d (k ＋n )≥….，这里n 是自然数. 于是有 d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )≤(n ＋1) d (k )≤(n ＋1)×(－1). 而d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )＝f (k ＋n ＋1)－f (k )，所以f (k ＋n ＋1)－f (k )≤－(n ＋1).，取n ＝f (k )，得 f (k ＋f (k )＋1)≤－f (k )－1＋f (k )＝－1，这与f (k ＋f (k )＋1)∈N 矛盾.因此，必有对任意x ∈N ，d (x )≥0. (ⅱ)由(ⅰ)可知 d (1)≥d (2)≥d (3)≥...≥d (n )≥ 0当d (1)＝0时，则有d (1)＝d (2)＝d (3)＝…＝d (n )＝0，结论成立. 当d (1)≠0时，对任意n ∈N ，有d (n ) ∈N ，且d (n ) ∈[0, d (1)].因为在区间[0, d (1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d (n )有无数多个， 所以必存在自然数c ∈[0, d (1)]和无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c .。