上海市届高三数学练习题及答案
2024届上海市长宁区高三二模数学试题及答案
上海市长宁区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．2.不等式213x 的解集为．3.在41x的展开式中2的系数为．4.在5.若3a6.直线27.8.的取值9.10.的横11.出租车没有载客行驶的里程出租车空驶率出租车行驶的总里程．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x．（精确到0.01）12.已知平面向量a 、b 、c满足：a b 2c ，若0c a c b ，则a b 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面 ，则下列判断中正确的是（）.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列n a p ．.A .C 三、17.（1）（2） y g x 的值域．第18题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．已知椭圆22:163x y ，O 为坐标原点．（1）求 的离心率e ；（2）设点 1,0N ，点M 在 上，求MN 的最大值和最小值；（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与 交于A 、B 两点．试探究：是否存在常数 ，使得2PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明理由．设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．记集合 0,n n f x M f x y x在区间上是严格增函数．（1）求函数21y x（26x ）的上确界：（2）若 3212ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，且存在函数 y f x ，它的上确界为0．上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答D 1B 12023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；3.4；4.23； 5.1； 6.47.无关；8. 1,02,2；9.3 ；10.13；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）sin 26f x x.每空2分，解析式2分（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x1111cos 2sin 222242x x x，……..4分因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x，…….6分所以函数y g x的值域为12………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分由已知DE 1tan D EDD1B1二面角1D AC D的大小为arctan2.……..6分（2）连接1BA、1BC因为11//BA CD，所以1//BA平面1D AC，…….2分因为11//BC AD，所以1//BC平面1D AC，……..4分所以平面11//BA C平面1D AC，………6分因为直线BP 平面11BA C，所以直线//BP平面1D AC.………8分方法二：以AB、AD、1AA为x y z、、轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，10,2,1D，………2分因为点P在直线11A C上，所以可设,,1P a a，……..4分设平面1D AC的法向量为,,n x y z，由0n AC，1n AD，得220x y，20y z，所以可取1,1,2n，……..6分因为2,,1BP a a，所以0n BP，进而n BP，又因为BP不在平面1D AC上，所以直线//BP平面1D AC.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为112263………6分（2）2329C112CP X ，116329C C112CP X ，2629C5212CP X ，所以X的分布为01211512212，……….4分1154012122123E X……..6分2151342126E X ，所以 22131676918D XE X E X，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设 的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a，c ，………2分所以2c e a.……..4分（2）设 ,M x y ，MN……2分因为x ……3分所以当2x时，MN ，……..4分当x 时，MN 取得最大值为1 .…….6分（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322l y x a，………2分2222PT a ，………3分11111,3,22a PA x a y a x a x，22221,3,22a PB x a y a x a x………4分将直线l 方程代入椭圆方程得 2222240x a x a 所以 1222x x a ， 21224x x a ，……..5分21212125544PA PB x a x a x x a x x a 25224a ,……..6分得254PA PB PT ，所以存在54，使得2PA PB PT 恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.x得 10f x ，0k ，……3分取21x x ，且2x，由21x x ，得212221f x f x x x①由2x，得 12222122f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分令 10f x x x，则 231f x y x x因为当0x 时，430y x，所以2f x y 在 0, 上严格增， 2y f x M。
2024届上海市黄浦区高三一模数学试题及答案
上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。
上海市闵行区2023届高三一模数学试题(解析版)
【解析】
【分析】根据复数除法计算求解.
【详解】由 可得 ，
故答案为：
3.双曲线 的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程求得 ，从而求得双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线 ，
所以 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
4.在 中，已知边 ，角 ， ，则边 ______．
【详解】 ，令 ，
, ,
，作出函数 的图象，如图，
由图可知，以 为中心，当 变大时，若 ，函数最大值 ，最小值 ，不满足 ，若 时，函数最大值 ，所以只需要确定函数最小值，因为 ，需函数最小值为 ，所以当 时，即 时，
函数值域为 ，满足 ，当 时，函数最小值 ，此时不满足 ，综上 .
故答案为： .
12.已知平面向量 、 、 和实数 满足 ， ， ，则 的取值范围是______．
【答案】1
【解析】
【分析】对函数 求导得 ，令 ，求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
又因为直线 的斜率为 ，
所以 ，
解得： ，
即切点的横坐标为：1.
故答案为：1
9.已知二次函数 的值域为 ，则函数 的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数的值域为 ，分析求出参数 ，然后代入 中求出值域即可
【答案】 （只要使得 即可）.
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.
【详解】连接 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
若 ， ， 、 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
故答案为： （只要使得 即可）.
2023届上海宝山区高三二模数学试题及答案
上海宝山区2022-2023学年第二学期期中混合式教学适应性练习高三年级数学学科练习卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.已知集合()[)+∞==,2,3,1B A ,则=B A 2.不等式01<-x x的解集为3.若幂函数ax y =的图像经过点()333，，则此幂函数的表达式为4.已知复数()()3i 651322=--+--m m m m （其中i 为虚数单位）,则实数=m 5.已知数列{}n a 的递推公式为()⎩⎨⎧=≥+=-221211a n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 6.在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项为（结果用数字作答）7.从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A ，“第二次摸球时摸到蓝球”为B ，则()=A B P 8.若数列{}n a 为等差数列，且20,252==S a ，则该数列的前n 项和为=n S 9.△ABC 的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若A b CA a sin 2sin=+，则=B 10.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[)6050，，[)100,90的数据）和频率分布直方图，则=-y x 11.已知函数()2111-+=xa x f （0>a 且1≠a ），若关于x 的不等式()02>++c bx ax f 的解集为()2,1，其中()1,6-∈b ，则实数a 的取值范围是12.已知非零平面向量b a ，不平行，且满足42==⋅a b a ，记b a c 4143+=，则当b 与c 的夹角最大时，的值为二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.若42=x ：α，2=x ：β，则α是β的（）条件.A 充分非必要.B 必要非充分.C 充要.D 既非充分又非必要14.已知定义在R 上的偶函数()21-+-=m x x f ，若正实数a 、b 满足()()m b f a f =+2，则ba 21+的最小值为（）.A 59.B 9.C 58.D 815.将正整数n 分解为两个正整数1k 、2k 的积，即21k k n ⋅=，当1k 、2k 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如5410220120⨯=⨯=⨯=,其中54⨯即为20的最优分解，当1k 、2k 是n 的最优分解时，定义()21k k n f -=，则数列(){}n f 5的前2023项的和为（）10125.A .B 151012-.C 20235.D 152023-16.在空间直角坐标系xyz O -中，已知定点()0,1,2A 、()0,2,0B 和动点()2,,0+t t C ()0≥t ．若△OAC 的面积为S ，以C B A O 、、、为顶点的锥体的体积为V ，则VS的最大值为（）.A 5152.B 551.C 5154.D 554三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知函数23cos 3cos sin )(2+-=x x x x f .（1）求函数()x f y =的最小正周期和单调区间；（2）若关于x 的方程()0=-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的菱形，60=∠DAB ，对角线AC 与BD 相交于点O ，⊥PO 底面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为60，E 是PB 的中点.（1）求异面直线DE 与P A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）证明：//OE 平面P AD ，并求点E 到平面P AD 的距离.-19．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量()Z x x x ∈≤≤，204（件）与相应的生产成本y （万元）的四组对照数据.x46810y12202884(1)试建立x 与y 的线性回归方程；(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现，在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化.经分析,每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量，分布为q 100x-90x-80x-P141214假设产品月利润=月销售量×销售价格－成本.（其中月销售量=生产量）根据（1）进行计算，当产量x 为何值时，月利润的期望值最大？最大值为多少？PABCDOE20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分）已知抛物线Γ：xy 42=（1）求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过焦点F 且斜率为21的直线与抛物线Γ交于两个不同的点B A 、，求线段AB 的长；（3）已知点()2,1P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N (均不与点P 重合)，且以线段MN 为直径的圆恒过点P ?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程1+=kx y 中，当k 取给定的实数时，表示一条直线；当k 在实数范围内变化时，表示过点()1,0的直线族（不含y 轴）.记直线族22(2)440a x y a a -+-+=(其中R a ∈)为ψ，直线族2332y t x t=-(其中0t >)为Ω.(1)分别判断点(0,1)A ,(1,2)B 是否在ψ的某条直线上，并说明理由；(2)对于给定的正实数0x ，点00(,)P x y 不在Ω的任意一条直线上，求0y 的取值范围（用0x 表示）；(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求Ω的包络和ψ的包络.参考答案：一．填空题：1.[)3,2 2.()1,0 3.3x y = 4.1- 5.1231-⋅-n 6.1607.328.()1-n n 9.3π10.004.011.()2,112.4二．选择题：13.B14.A15.B16.C三．解答题：17.解：2322cos 132sin 2123cos 3cos sin )(2++⋅-=+-=x x x x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=32sin 2cos 232sin 21πx x x (2)分最小正周期π=T ……4分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-222232πππππk k x ，即()Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈，，12512ππππ时，函数为增函数.……6分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈-2322232πππππk k x ，即()Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈，，1211125ππππ时，函数为减函数.……8分(2)方程()0=-m x f 有两个不同的实数解等价于y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx 和直线m y =的图像在⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 上有两个不同的交点.……10分⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎦⎤⎢⎣⎡-∈-1,2332sin 32332ππππx x ，，，……12分由图知⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈123，m (14)分18.解（1）：取AB 的中点F ,连接DF EF ,.由E 是PB 的中点,得P A EF //，所以FED ∠是异面直线DE 与P A 所成角(或其补角)，在AOB R ∆t 中OP AB AO ===330cos ，于是,在等腰POA R ∆t 中，6=P A ，则26=EF .在正ABD ∆和正△PBD ∆中,3==DF DE ，4234621cos ===∠DE EFFED 所以异面直线DE 与P A 所成角的大小是42arccos.（2）证明：易知O 为BD 的中点，又E 是PB 的中点.从而PD OE //又P ADPD P AD OE 面面⊆⊄,所以//OE 平面P AD从而点E 到平面P AD 的距离等于点O 到平面P AD 的距离因为323,1,3====∆OP S OD OA AOD ，从而2132331=⋅⋅=-AOD P V 又215,2,26====∆P AD S AD DP AP 设点O 到平面P AD 的距离为,d 由AOD P P AD O V V --=得2121531=⋅⋅d ，计算得515=d 所以点E 到平面P AD 的距离为515另解2：以O 为坐标原点,射线OP OC OB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在AOB R ∆t 中3=OA ,于是()()()()30,00,0,10,0,103,0，，，，，P D B A --（1）E 是PB 的中点，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛230,21，E ，于是，，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=230,23DE ()330，，=AP 设AP 与DE 的夹角为θ,有4233434923cos =+⋅+=θ,所以异面直线DE 与P A 所成角的大小是42arccos.(2)设()z y x n ,,=是平面P AD 一个法向量()330，，=AP ，()301，，=DP 由033=+=⋅z y AP n ,03=+=⋅z x D P n 令1=y 则3,1=-=x z ，得()1,1,3-=n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=230,21，OE 因为02323=-=⋅n OE ，则nOE ⊥所以//OE 平面P AD设点O 到平面P AD 的距离为,d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23023，DE则515523233=-d 即点E 到平面P AD 的距离为515.19.解：（1）设线性方程为b x ay ˆˆ+=……2分代入公式或应用计算器求得回归系数4.42ˆ,2.11ˆ-==b a……4分所以x 与y 的线性回归方程为11.242.4y x =-，……6分（2）设月利润为Y ，则Y qx y =-，则Y 的分布列为Y 2100(11.242.4)x x x ---290(11.242.4)x x x ---280(11.242.4)x x x ---P141214从而，()222211100(11.242.4)90(11.242.4)42180(11.242.4)78.842.44E Y x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---⨯+---⨯⎣⎦⎣⎦⎡⎤+---⨯=-++⎣⎦()204,4.428.782≤≤++-=x x x x f ，……12分易知函数()x f 在[]20,4上是增函数，故max ()(20)1218.4f x f ==.……14分即产量为20件时，月利润期望最大，最大值为1218.4万元.……16分20.解：（1）焦点()0,1F 准线1-=x l ：……3分（2）()0,1F ，则直线的方程为()121-=x y ， (4)分代入抛物线方程并化简得01182=+-x x 设()()2211,,,y x B y x A ，则由韦达定理得,1821=+x x (6)分由抛物线定义可知，()()202112121=++=+++=+=+=--x x x x d d BF AF AB l B l A 所以线段AB 的长为20.……8分另解：用弦长公式求解，相应给分.（3）假设存在定点()n m Q ,,使得过点Q 的直线与抛物线交于两个不同的点N M ,(均不与点P 重合)，以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则1-=⋅PN PM k k ……9分设直线MN 的方程为()m n y t x +-=，代入抛物线方程x y 42=得：()0442=-+-m tn ty y 设()()4433,,,y x N y x M ，由韦达定理得()m tn y y t y y -=⋅=+4,44343……11分()()()14424162216141214121212432442334433-=+⨯+-=++=--⋅--=--⋅--=⋅t m tn y y y y y y x y x y k k PN PM 整理得()052=+-+m n t 对任意的R t ∈恒成立，……15分只需5,2=-=m n 此时Δ()()06411652161622>++=---=t t t 所以存在定点()25-，Q ,使得过点Q 的直线与与抛物线C 交于两个不同的点N M ,(均不与点P 重合)，以线段MN 为直径的圆恒过点P ……16分另解：借助0=⋅PN PM计算，则相应给分。
2024届上海市松江区高三一模数学试题及答案
上海市松江区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.5一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知全集为R ，集合1P x x ，则集合P．2.双曲线221x y 的右焦点坐标是．3.4.5.6.7.8.1人连续参9.2A ，则边长b10. 12,1,3x x ，使11. 2x f x2，则 2023f．12.已知正四面体A BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC ，则AP AD的取值范围是．第14题图第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.英国数学家哈利奥特最先使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题是真命题的是（）.A 若22a b ，则a b ；.B 若a b ，则ac bc ；.C 若a b ，c d ，则ac bd ；.D 若a b ，c d ，则a c b d ．14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）.A 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；.B 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；.C 甲数据的标准差大于乙队数据的标准差；.D 乙队数据的第75百分位数为27．15.函数y .A .C 16.；②曲线M .A 三、17.//AB .（1）（2）CD 45CDA ，求二面角P CE A 的大小．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列 n a 为等差数列， n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a ．（1）证明：11a b ；（2）若集合1,150k m M k b a a m ，求集合M 中的元素个数．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310 （含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520 （含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米．（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含a 、b 、c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求a 、b 、c 的值．已知椭圆2222:1y x a b （0a b ）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y 的焦点重合．（1）求椭圆 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆F 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G（如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．第20题图1第20题图2已知函数 y f x ，记 sin f x x x ，x D ．（1）若 0,2D ，判断函数的单调性；（2）若0,2D，不等式 f x kx 对任意x D 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若D R ，则曲线 y f x 上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使得曲线 y f x 在A 、B 、C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学答案一、填空题1、{}|1x x <（或(),1−∞）2、(2,0) 34、05、17− 6、 7、10 8、359、 10、[]7,8− 11、1− 12、4⎡−+⎣二、选择题：DDCC17、（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．………2分 因为,//,AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以． ………………………2分 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD ．……………………2分注：建立空间直角坐标系证明，相应给分．（2）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PE 在平面ABCD 上的投影是AE ，由（1）可知CE AE ⊥，由三垂线定理可得，CE PE ⊥． 所以，二面角P CE A −−的平面角为PEA ∠．……………2分 在Rt ECD ∆中，DE CD =cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒=又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形． ………2分 所以2BC AE ==，所以1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA −=⋅=⨯+⨯⋅=梯形，所以1PA =………2分 在Rt PAE ∆中，1tan 2PA PEA AE ∠==，所以1arctan 2PEA ∠=． 即：二面角P CE A −−的大小为1arctan2． ………2分18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则1111111122428(3)a db a d b a d b b a d +−=+−⎧⎨+−=−+⎩ ………2分即1112250d=b a d b =⎧⎨+−⎩ ………2分可解得，112db a ==，所以原命题得证． ………2分 （2）由（1）知112db a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a −=+⇔⨯=+−+ ……2分因为10a ≠，所以[]221,50k m −=∈，解得22log 5027.64k ≤≤+≈ ………4分所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6． ………2分前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+−， 所以 3.3b =． . ……… 4分又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==． . ……… 2分 解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到3=a ,3.3=b ,2.4=c ． . ………8分 20、解：（1）由题意得(0,1)F ，即：1c = ，又2c a =，所以a = . ……… 2分 由222a b c −=，得21b = ，所以椭圆的方程为 2212y x += ． . ……… 2分（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++−=， 则12222k x x k +=−+，12212x x k=−+， 所以)2212k A k B +==+. . ……… 2分抛物线K 的方程为：24x y =， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx −−=， 所以()241CD k ==+. . ……… 2分所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB −=+−+=−())()(2222222212421410k k k k k k++=+−++=+>，即AC BD >. . ……… 2分 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ， 当直线AB 的斜率存在且不为零时， 设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k =−+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， . ……… 1分所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()222222111111k k k +==−−++ . ……… 2分因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k−∈+，()22111AEBG S k =>−+. ……… 2分当直线AB 的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=； . (2)分 综上所述：AEBG S ≥AEBG 面积的最小值为. . ……… 1分 21、解：（1）因为'()1cos 0f x x =+≥，当且仅当在x π=时，'()0f x =，…… 2分 所以函数()y f x =在上是增函数．（区间开闭都对）. ……… 2分[0,2]π（2）由题意得，(1)sin k x x −<，于是sin 1xk x−<． 令sin ()xh x x=，则2cos sin '()x x x h x x −=， . ……… 2分令()cos sin u x x x x =−，则'()sin 0,(0,]2u x x x x π=−<∈，所以()u x 在(0,]2π上是严格减函数，于是()(0)0,(0,]2u x u x π<=∈．. ……… 2分由于2cos sin '()0,(0,]2x x x h x x x π−=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数， 所以min 2()()2h x h ππ==，因此21k π−<，即21k π<+． . ……… 2分（3）设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在A B C 、、三点处的切线分别为直线 11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+， 33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x −+222cos sin x x x =−+333cos sin x x x =−+． . ……… 2分 因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±． ①若12sin sin x x =−，23sin sin x x =−，31sin sin x x =−． 则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =， 于是112233cos cos cos x x x x x x −=−=−， 因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与A B C 、、三点互不重合矛盾． . ………3分 ②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立， 不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =， 若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±， . ……… 2分所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =−．. ……… 1分解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
上海市高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习(new)
三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. 。
函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-,则(0)f = 。
7。
函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 。
8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增,则w 的取值范围是 。
11。
设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数； （2)()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-; (4）()f x 的值域是[cos1,1],()g x 的值域是[sin1,sin1]-;其中不正确的是 .12。
函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 。
二、 选择题13。
下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像（ ) .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15。
【2023年上海高三数学一模】2023届青浦区高三一模数学试卷及答案
高三年级数学练习卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 集合{}()()1,2,3,4,{150}A B x x x ==--<∣，则A B = ___________.2. 若复数iia +（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =________． 3. 从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值． 4. 不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．5. 在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是_______.6. 已知函数3()2f x x x =-，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为___________.7.若62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 8. 若函数()y f x =的定义域和值域分别为{}1,2,3A =和{}1,2B =，则满足(1)(3)f f ≠的函数概率是______．9. 已知空间三点(1,3,1)A -，(2,4,0)B ，(0,2,4)C ，则以AB 、AC为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．10. 在平面直角坐标系中，(0,0)A ，(1,2)B 两点绕定点P 按顺时针方向旋转θ角后，分别到(4,4)A '，(5,2)B '两点位置，则cos θ的值为______．11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，C 为下底面圆周上一点，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______． 12. 已知数列{}n a 中，213a a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11322,N n n n S S S n n n +-++=+≥∈．若对任意*N n ∈，都有1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 已知,a b 为非零实数，则“a b >”是“11a b<”（ ） 的的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 14. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）． A. 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 B. 若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 可能异面 C. 若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 D. 若α，β垂直于同一平面，则α与β可能相交 15. 已知函数()y f x =定义域为R ，下列论断：①若对任意实数a ，存在实数b ，使得()()f a f b =，且=-b a ，则()f x 是偶函数． ②若对任意实数a ，存在实数b ，使得()()f a f b <，且a b <，则()f x 是增函数． ③常数0T >，若对任意实数a ，存在实数b ，使得()()f a f b =，且a b T -=，则()f x 是周期函数．其中正确的论断的个数是（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16. 在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A. 16B. 4πC. 8D. 2π三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤．17.已知函数2()cos cos f x x x x =-，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为1,BB AC 中点．（1）求证：//BF 平面；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A ．19. 流行性感冒是由流感病毒引起急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.（1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:12x y Γ+=，过右焦点F 作两条互相垂直弦AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为M ，N ．（1）写出椭圆右焦点F 的坐标及该椭圆的离心率； （2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦AB ，CD 的斜率均存在，求FMN 面积的最大值．21. 设函数21()e x f x x a =+（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=()*2,n n ≥∈N ．（1）求对任意实数x ，都有1()()n n f x f x -=成立的最小整数n 的值()*2,n n ≥∈N ； （2）设函数23()()()()n n g x f x f x f x =+++ ，若对任意3n ≥，*N n ∈，()n y g x =都存在极值点n x t =，求证：点()()()*,3,n n n n A t g t n n ≥∈N 在一定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数()2k k ≥和实数0x ，使()()0100k k f x f x -==且对于任意*n ∈N ，()n f x 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件k 和0x ，若不存在，说明理由．的的的参考答案1.{2,3,4}.2.1-.3.234.(3,2)-5.65 6.4π.7.3．8.239. 10.35-11.12548π. 12.137(,)15613.D. 14.A 15.B. 16.D. 17.解（1）2111()cos cos sin 2cos 2sin 222262f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈，解得63k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈. （2）由（1）知，()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则22,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当263x ππ-=，即π4x =时，()f x取最大值，为1(42f π-=，当262x ππ-=-，即π6x =-时，()f x 取最小值，3()62f π-=-．18.解（1）连1AC 交1AC 于点O ，∵F 为AC 中点， ∴1//OF CC 且112OF CC =， ∵E 为1BB 中点，∴1//BE CC 且112BE CC =， ∴//BE OF 且BE OF =，∴四边形BEOF 是平行四边形， ∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC .（2）由（1）知//BF OE ，∵AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以OE AC ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以1AA BC ⊥，为则由//BF OE ，得1OE AA ⊥，而1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A = ， 所以OE ⊥面11ACC A ，又OE ⊂平面1A EC ， 所以平面1A EC ⊥平面11ACC A .19.解（1）记11月n 日新感染者人数为(130)n n a ≤≤， 则数列{}(19)n a n ≤≤是等差数列，130a =，公差为50， 又103050820410a =+⨯-=，则11月1日至11月10日新感染者总人数为：()12910989305041024802a a a a ⨯⎛⎫++⋅⋅⋅++=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭人； （2）记11月n 日新感染者人数为(130)n n a ≤≤，11月k 日新感染者人数最多，当1n k ≤≤时，5020n a n =-.当130k n +≤≤时，(5020)20()207020n a k n k n k =---=-+-， 因为这30天内的新感染者总人数为11940人， 所以(305020)[5040(70620)](30)1194022k k k k k +--+--+=，得2352135990011940k k -+-=，即2616240k k -+= 解得13k =或48k =(舍)， 此时135********a =⨯-=所以11月13日新感染者人数最多为630人.20.解（1）解：由椭圆方程22:12x y Γ+=可知：a =，1b =，所以1c =右焦点坐标(1,0)F ，该椭圆的离心率2e =；（2）证明：,AB CD 斜率均存，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为()(1)0y k x k =-≠， 则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 联立()222222(1)124220220y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩， 则有221222221224212,12122212k x x k k k M k k k x x k ⎧+=⎪⎛⎫-⎪+⇒⎨ ⎪++-⎝⎭⎪=⎪+⎩， 将上式中k 换为1k -，可得222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 若222221122k k k k =⇒=±++，则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 下证动直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，若直线MN 斜率存在，则()22224222333122222221122MNk k k k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 方程为222322212k k y x k k k -⎛⎫-=⨯- ⎪+-+⎝⎭， 令0y =得23x =，所以此时直线MN 也过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当,AB CD 两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时， 不妨设AB 斜率不存在，CD 斜率为0， 此时()()0,0,1,0M N ，则直线MN 的方程为0y =，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上，动直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭；（3）解：由（2）可知直线MN 过定点2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，在2211112322312FMN FPM FPN k kS S S k k -=+=⨯+⨯++△△△ ()()()()22422222133111162252221225k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⨯=⨯=++++++， 令1[2,)t k k=+∈+∞， ()221111()1222122252FMN t t S f t t t t t==⨯=⨯=⨯+-++△，因为()222112()0221t f t t -'=⨯<+，所以()f t 在[2,)t ∈+∞上递减， 所以2t =时，FMN S 取得最大值19，此时1k =±.21.解（1）依题意，21()e x f x x a =+，21()()2e x f x f x x a '==+，32()()2e x f x f x a '==+，43()()e x f x f x a '==，54()()e x f x f x a '==，因此1()()e x n n f x f x a -==，5n ≥，即min 5n =，所以对任意实数x ，都有1()()n n f x f x -=成立的最小整数n 的值是5. （2）由（1）知，3n ≥，*N n ∈，23()()()()n n g x f x f x f x =++⋅⋅⋅+()()2e 2e e e e x x x x x x a a a a a =+++++++(22)(1)e x x n a =++-，求导得()2(1)e x ng x n a '=+-，显然函数()n g x '单调，当0a <时，()n g x '有唯一零点2ln((1)n x a n =--，当n x x <时，()0n g x '>，当n x x >时，()0n g x '<，因此当0a <时，函数()n y g x =都存在唯一极值点，依题意n n x t =，即()2(1)e 0n t n g t n a '=+-=，方程两边同时加上2n t 得22(1)e 2n t n n t n a t ++-=，即()2n n n g t t =，所以点()(),n n n n A t g t 在一定直线上，该直线方程为2y x =. （3）当*N n ∈，4n ≥时，方程()e 0x n f x a ==无解，因此要使()()0100k k f x f x -==，必有23,N k k *≤≤∈,①当3k =时，()()03200f x f x ==，即0002e 02e 0x x x a a ⎧+=⎨+=⎩，解得012e x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 而当2ea =-时，4n ≥时，()e 0n x f x a =<，函数()n f x 单调递减，无极值点， 3()2e x f x a =+严格递减，无极值点，且3(1)0f =，当1x <时，3()0f x >，当1x >时，3()0f x <，2()2e x f x x a =+在(,1)-∞上严格递增，在(1,)+∞上严格递减，有一个极值点，又2(1)0f =，则2()0f x ≤恒成立，有1()y f x =单调递减，无极值点， 综上得存在3k =，2ea =-满足条件， ②当2k =时，()()20100f x f x ==，即002002e e 0x x x a x a +=+=，解得00x =或02x =，当00x =时，2(0)0f a ==，不符合题意， 当02x =时，22(2)4e 0f a =+=，解得24e a =-，有2424()e 4e 0ex x f x -=-=-<， 23()24e x f x -=-单调递减，当3()0f x =时，2ln 2x =-，当2ln 2x <-，3()0f x >，当2ln 2x >-时，3()0f x <，22()=24e x f x x --在(,2ln 2)-∞-上严格递增，在(2ln 2,)-+∞上严格递减，而2(2)0f =，(0)0f <，则存在(0,2ln 2)m ∈-，使得2()0f m =，在(,)m -∞上，2()0f x <，在(,2)m 上2()0f x >，在(2,)+∞上，2()0f x <，则1()f x 在(,)m -∞上严格递减，在(,2)m 上严格递增，在(2,)+∞上严格递减，1()f x 有两个极值点，不符合题意，因此2k ≠， 所以存在3k =，2a e=-满足条件．。
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上海市吴淞中学2009届高三数学训练题班级_____________姓名______________学号_____________成绩__________________ 一、 填空题1、已知函数122)(1+=+x x x f ，则()=-11f________2、设平面α与向量{}4,2,1--=→a 垂直，平面β与向量{}1,3,2=→b 垂直，则平面α与β位置关系是___________.3、已知32cos 2,cos sin ,43sin ππx x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集为 .4、椭圆192522=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________.5、 若函数)24lg(xa y ⋅-=的定义域为}1|{≤x x ，则实数a 的取值范围是 .6、设43,)1(112161211=⋅+++++=+n n n S S n n S 且 ，则n 的值为 . 7、设1F 、2F 为曲线1C ：12622=+y x 的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与1C 的一个交点，21的值为 .8、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .9、 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为_________________。
10、 已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取________ _____。
（填上一个正确的数据序号即可） 11、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住在第n 层楼时，环境不满意程度为n8，则此人应选____楼。
12、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。
在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。
这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =___________________二、选择题 13、已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么( ) （A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行 （C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行 （D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行 14、由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是( )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 增函数 (D) 减函数15、函数12)(+-=x x f ,对任意正数ε,使ε<-|)()(|21x f x f 成立的一个充分不必要条件是( ) (A) ε<-||21x x (B) 2||21ε<-x x (C) 4||21ε<-x x (D) 4||21ε>-x x16、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ） （A ）（2.3，2.6）内 （B ）（2.4，2.6）内 （C ）（2.6，2.8）内 （D ）（2.8，2.9）内三、解答题17．若复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且2,)31()3(121=+=-z i z i z ，求1z .18、已知函数xa a a x f 2112)(-+=，常数0>a 。
（1）设0>⋅n m ，证明：函数)(x f 在][n m ，上单调递增； （2）设n m <<0且)(x f 的定义域和值域都是][n m ，，求m n -的最大值。
19、长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（1）求证：直线⊥AE 平面E D A 11；（本题15分） （2）求三棱锥E D A A 11-的体积；（3）求二面角11A AD E --的平面角的大小.20、如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为（1，0）； （2）求证：OA ⊥OB ；（3）求△AOB 的面积的最小值.A BC D E A 1B 1C 1D 121、近几年，上海市为改善城区交通投入巨资，交通状况有了一定的改善，但人民广场仍是市中心交通最为拥堵的地区之一。
为确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （千米/小时）的平方与车身长s （米）之积的正比例函数，且最小车距不得少于车身长的一半，现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长。
⑴ 试写出d 关于v 的解析式（其中s 为常数）；⑵ 问应规定怎样的车速，才能使此地车流量1000vQ d s=+最大？22、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数 )(n f 的最小值；（3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
上海市吴淞中学高三数学训练参考答案一、填空题1、 0；2、垂直；3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧1217,1213,125,12ππππ； 4、（±5，0）； 5、)2,(-∞； 6、6； 7、31； 8、18； 9、128,128ba ； 10、①或②； 11、3； 12、8204。
二、 选择题13、B ； 14、D ； 15、C ； 16、C 。
三、解答题17、解：⎩⎨⎧-==⇒∴-=⇒⎩⎨⎧=+++-=-+∴112)31)(()3)((22b a b a b a i bi a i bi a 或⎩⎨⎧=-=11b a ，则i z -=1或i z +-=1 18、解：（1）任取1x ，],[2n m x ∈，且21x x <，21212211)()(x x x x a x f x f -⋅=-，因为21x x <，1x ，],[2n m x ∈，所以021>x x ，即)()(21x f x f <，故)(x f 在],[n m 上单调递增。
（2）因为)(x f 在],[n m 上单调递增，)(x f 的定义域、值域都是⇔],[n m n n f m m f ==)(,)(， 即n m ,是方程x xa a a =-+2112的两个不等的正根01)2(222=++-⇔x a a x a 有两个不等的正根。
所以04)2(222>-+=∆a a a ，⇒>+0222aa a 21>a 。
∴),(,)(334421316232121∞+∈+--=-+=-a a a m n a a，∴23=a 时，m n -取最大值334。
19、解：（1）依题意：E A AE 1⊥，11D A AE ⊥，则⊥AE 平面E D A 11. （2）.312212131311111=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-AE S V E D A E D A A （3）取1AA 的中点O ，连OE ，则1AA EO ⊥、11D A EO ⊥， （4）所以⊥EO 平面11A ADD .过O 在平面11A ADD 中作1AD OF ⊥，交1AD 于F ，连EF ，则EF AD ⊥1, 所以EFO ∠为二面角11A AD E --的平面角.在AFO ∆中，.sin 55111=⋅=∠⋅=ADD A OA OAF OA OF .5=∠∴EFO tg20、解：(1 ) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2= x 得y 2－my －x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根, ∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y 1y 2 ＝－1∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22+y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0∴ OA ⊥OB .（3）由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB = 21| OM | |y 1－y 2| =212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1. 21、解：⑴ 由已知：212500d ksv k =⇒=∴ 212500d sv =当2s d ≥时，2125002s sv v ≥⇒≥ ∴20212500sv d sv v ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩⑵当v ≥时，212500d sv = ∴ 12100025000002500012500()2500v Q v s sv s s v v==≤++，此时50v =千米/小时当0v <<时，2sd =∴ 211000100032v vQ Q s s s ==<+故当50v =千米/小时时，车流量最大。
22、{},11111()101,1111(1)1(2),1.3n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。
也满足分1112(),122111111(1)23422122111111(1)()0,621221222217()()(2)812f n n n n f n n n n n n n f n f n n n n n n n f n f n f =++++++=+++++++++++∴+-=+->+-=++++++∴=（），分是单调递增的，故的最小值是。