【真题】2019年上海市高考数学试题含答案解析

2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题

1.（2018?上海）行列式41

25

的值为 。

【答案】18

【解析】【解答】

41

25

=45-21=18 【分析】

a c

b d

=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

2.（2018?上海）双曲线2

214

x y -=的渐近线方程为 。 【答案】12

y x =±

【解析】【解答】2

214x y -=，a=2，b=1。故渐近线方程为12

y x =± 【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x

轴上，渐近线直线方程为22

221x y b

a -=时，

b

y x a

=±

。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三

【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

3.（2018?上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x 2项的系数为 。（结果用数值表示） 【答案】21

【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，2

7C =

76

2

?=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式()n

a b +第r+1项为T r+1=r n r r

n C a b

-。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

4.（2018?上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）

的反函数的图像经过点31（，），则a= 。 【答案】7

【解析】【解答】f x （）

的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，

()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.

【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上

点为

()00,y x

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

5.（2018?上海）已知复数z 满足

117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

【答案】5

【解析】【解答】∵117i z i +=-（）

∴

()11171i i z i i -+=--（）（）（）

221187i z i i -=-+（）

z i 2=-6-8

z i =-3-4

故根据复数模长公式()

()2

2

34z =

-+-=5

【分析】复数转化关系公式21i =-，共轭复数去点模长公式22z x y =+

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 6.（2018?上海）记等差数列{}

n a 的前n 项和为S n

，若87014a a a =+=?，，则S 7

= 。 【答案】14

【解析】【解答】a 3=a 1+2d=0 a 6+a 7=a 1+5d+a 1+6d=14 故1120

21114a d a d +=??

+=?，142a d =-??=?

故()112

n n n S na d

-=+

()1422

n n n S n -=-+

?

25n S n n =-

故S 7=72-5×7=14。

【分析】等差数列的通项公式

()11n a a n d

=+-，等差数列前n 项和公式

S n =()

112

n n na d -+

，求出a 1，d 。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 7.（2018?上海）已知11

2112322

α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在

0+∞（，）上递减，则α=_____ 【答案】-1

【解析】【解答】a=-2时，()f x =x -2为偶函数，错误

a=-1时，

()f x =x -1为奇函数，在0+∞（，）上递减，正确

a=-1

2

时，()f x =1

2x -非奇非偶函数，错误

a=1

2

时，()f x =1

2x 非奇非偶函数，错误

a=1时，()f x =x 在0+∞（，）上递增，错误 a=2时，()f x =x 2在0+∞（，）上递增，错误 a=3时，

()f x =x 3在0+∞（，）上递增，错误

【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，()f x ↑，a<0时，()f x ↓，若a>0

为偶数，则

()f x 为偶，若a 为奇数，()f x 为奇。

【题型】填空题

【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

8.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 【答案】-3

【解析】【解答】设E(0，y 1)，F(0，y 2)，又A （-1，0），B （2，0）， 所以AE =(1，y 1)，BF =(-2，y 2)

AE BF =y 1 y 2-2 ①

又|EF |=2， 故（y 1-y 2）2=4

22121224y y y y +-=

又2

21

2y y +≥122y y ，当12y y ≠时等号不成立。

故假设1

22y y =+代入①，AE ·BF =222223y y +-≥-

【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

9.（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两

个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 【答案】

1

5

【解析】【解答】根据古典概率公式21105

m P n =

== 【分析】五个砝码，从中随机选取三个为3

5C ，三个砝码的总质量为9克，可种情况有5，3，1和5，2，2 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

10.（2018?上海）设等比数列{n a }的通项公式为a n =q n-1（n ∈N*），前n 项和为S n 。若

n 1

S 1

lim

2n n a →∞+=，则q=____________

【答案】3

【解析】【解答】1n

n a q +=，111n n a a q S q

-=

-，又1n n

a q -=∴1a =1

故()111

Sn 11

lim lim lim (1)12n n n n n n n n a a q q a q q q q →∞→∞→∞+--===-- 当|q|>1时，有

1

111lim 3112

n

n q

q q q →∞--==?=-- 当|q|<1时，()

1lim 1n

n n q q q →∞-→+∞-(舍)

【分析】111n

n a a q S q

-=

-（等比数列前n 项和公式）

【题型】填空题

【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

11.（2018?上海）已知常数a >0，函数

2()2x x f x ax =+的图像经过点65p p ?? ???，、15Q q ?

?- ??

?，

，若2

36p q

pq +=，则a =__________

【答案】6

【解析】【解答】265

12526p p

p

ap ap =?+=+①， 2115252

q q q

aq

aq =-?+=-+②， 故()211266266

2p p q q

ap

a pq aq +?=-???=-?-??=-??=1，

又2

36p q

pq +=，

所以

2136a pq

pq

=。 所以2a =36，a =6（a ＞0） 【分析】函数赋值，分式，指数化简 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

12.（2018?上海）已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足：2

21

11x y +=，22221x y +=，12121+2

x x y y =，

则1112x y +-∣∣+2212

x y +-∣∣的最大值为__________

【答案】

32+

【解析】【解答】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 故有x 2+y 2=1，使A ，B 在圆上， 又x 1x 2+y 1y 2=

12，得出1

2

OA OB ?=， 故60AOB ∠=，

构造直线x+y-1=0，故

11221

1

2

2

x y x y +-+-+

变为A 、B 两点到直线x+y-1=0距离和最

大值。特殊位置取最值，当AB 平行l 直线时取最值，又三角形ABO 为等边三角形，故3

2

ON =

， 又

001

2

OM +-=

22

=

， 故

11221

1

2

2

x y x y +-+-+

最大值为

32+。

【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。 【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

二、选择题

13.（2018?上海）设P 是椭圆 25x + 23

y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.22

B.23

C.25

D.4

2

【答案】C 【解析】【解答】5a =，故1225PF PF +=，

故答案为：C 【分析】椭圆定义122PF PF a +=

【题型】单选题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 14.（2018?上海）已知a R ∈，则“1a ＞”是“1

a

＜1”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

D.既非充分又非必要条件 【答案】A

【解析】【解答】

11a <，所以1a ＞或a <0，所以1

1a

<不能直接推出1a ＞， 1a ＞能直接推出11a <，故“1a ＞”是“1a

＜1”的充分非必要条件。

故答案为：A 。

【分析】根据小范围?大范围求解。 【题型】单选题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

15.（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ?为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4

B.8

C.12

D.16 【答案】D

【解析】【解答】以AA 1取矩形分别讨论，找到AA 1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得答案为D 。 故答案为：D 。

【分析】以AA 1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。 【题型】单选题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

16.（2018?上海）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π

6

后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） A.

3

B.

32 C.

33

D.0 【答案】B

【解析】【解答】根据函数性质定义，A ，C ，D 在单位圆上取点后会出现一对多的情况舍去，故排除A ，C ，D 。 故答案为：B 。

【分析】逆时针旋转重合，考虑极坐标可能，代值法求解。

【题型】单选题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 三、解答题

17.（2018?上海）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

【答案】由题意可知PB=4，又底面圆O 半径R=2，由勾股定理可知PO=

22

PB OB -，故

PO=2

3，故V=13

POS=13

23π

4=

83

3

π。

（2）设PO=4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.

【答案】向量法求解，建立延OB 方向为x 轴，OA 方向为y 轴，OE 方向为z 轴，O 为原点的直角坐标系，P(0，0，4)，M(1，1，0)，B(2，0，0) 故MP =(-1，-1，4)，OB =(2，0，0)， 故22

cos

621116

MP OB MP OB MP OB

?-?=

=

=-?++?，

又异面直线夹角为0,2π??

???

，

故MP 与OB 直线夹角为2arccos

6

。

【解析】【分析】⑴考查空间几何体中圆锥的问题，涉及母线概念，和圆锥体积的计算，空间几何体的体积和表面积计算作为大纲的高频考点属于基础题型，要求熟练运用；⑵主要考查空间角的问题，计算空间角可以采取向量法或者几何方法，几何方法采用平移法解三角形。本题主要给

出答案采取建立空间直角坐标系设点的方法。 【题型】综合题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

18.（2018?上海）设常数a R ∈，函数f x （）222asin x cos x =+ （1）若f x （）

为偶函数，求a 的值；

【答案】若f x （）为偶函数，则f x （-）=f x （），有asin(-2x)+2cos 2(-x)=asin2x+2cos 2x ，-asin2x=asin2x ，

a =0.

（2）若4

f π

〔〕

31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］

上的解。 【答案】314f π??

=+ ???

，故223124asin cos ππ+=+，

则a +1=31+，a =3，()2322f x sin x cos x =+，

又

()12f x =-有2

32212sin x cos x +=-，2

32212sin x cos x +-=-，化简为

2226sin x π?

?+=- ??

?，

即2

262sin x π??+

=- ?

?

?'1152424

x k x k ππππ?=-+=-+或，'

,k k

Z ∈。

若求该方程在

[],ππ-上的解，则'

13251929,,,24242424k k ????∈-∈-????

??

??

， 即

'

01=01k k =或；或对应的x 的值分别为1113529

24242424

ππππ--，，，。

【解析】【分析】本题主要考查三角函数化简求值的问题；对于三角函数考查同角变换公式中的降次公式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及到利用函数奇偶性求函

数解析式的问题。 【题型】综合题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

19.（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()

%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

30,030()1800

290,30100

x f x x x x ??=?+-??

＜≤，＜＜（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ 【答案】根据()f x 分段通勤时间可知：当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式

2x+

1800

x

-90>40(300，(x-45)(x-20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45

(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）的单调性，并说明其实际意义。 【答案】设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为n ·x ％，乘公交人数为n ·（1-x ％）， 因

此

人

均

通

勤

时

间

301800

(290)430(1)

0()(1)

1000,30x x x x n n n x x x g n n n x x ≤+-+-???

=?-??

?

％，＜＜＜+40％％％，整理得 2301(32.5)36.875,3050

010()100x x x x g x ≤-+?

??=?

???40-，＜＜＜， 则当(](]0,3030,32.5x ∈∪，即(]0,32.5x ∈时，()g x 单调递减；

当

(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增。

实际意义：当有32.5％的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短。 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降。

【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解，对于实际应用题，注重理解和阅读能力的考查，近几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题，结合当前城市治理的热点问题，注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。 【题型】综合题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

20.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：28y x =00x t y ≤≤≥（，），l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点。

(1)用t 表示点B 到点F 的距离； 【答案】由题意可知如图

故设()()

(),0,222,0A t B t t F ，，

()2

28BF t t =-+ ()

2

2BF t =

+

2BF t =+

(2)设t=3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； 【答案】由题中几何关系可知OF FQ

=，又M 为OQ 中点，故PF OQ ⊥。

又由几何关系可知t=3，2FQ =

有

1AF =，则3AQ =

故()

3,3Q

又QO 直线斜率13

3

K =

，PF ⊥OQ ，则PF 直线斜率K 2=-3 则():y 32PF x =-

-，联立曲线()2:803,0P y x x y =≤≤≥

可知243,33P ??

? ???

，即127333236

AQP

S ??=?-?= ???。

(3)设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

【答案】存在；假设存在，则设E 2

(,2s)(0s 2)2

s t ≤≤

t=8时，P 2

(,2)2

m m ，其中m ∈[0，4]；Q(8，n)，其中n ∈[0，8]；且s[0，4]，

则在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ 中，=0FP

FQ ，

即2

(312)20m mn -+=2312

(0)2m n m m

-?=-≠

又n ∈[0，8]，解得m ∈（0，2）

故FQ =（6，n ）=222

123(6,)(,22)222

m s m s m PE m -==--

得到方程组：22

2

622

123222s m m s m m

?=-???-?=-??，解得212m =-（舍）或245

m =，故2

55

m =

所以245(

,)55P ；当245

(,)55

P 时，以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，并有点E 在Γ上。

【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，⑴涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答即可；⑵涉及面积最值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是作为距离的问题的加深；⑶考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对

于运动问题应当注意抓住变量。 【题型】综合题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海

【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）

21.（2018?上海）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||n n b a -≤，

则称{}{}n n b a 与“接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为12

的等比数列，

11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}

n a 接近，并说明理由；

【答案】由题意1

1111,22n n a q a -??

=== ?

??

，故

又11n

n b a +=+，故112n n

b =

+ 则

11

11111222n n n n n b a ---=

+-=-

又1102

n -＞，故1

1112n --＜ 即

1n n b a -＜，故{}{}n n b a 与接近

(2)设数列{}n a 的前四项为：1a =1，2a =2，3a =4，4a =8，{b n }是一个与{}n a 接近的数列，记集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ； 【答案】由题意分析可知{}|,1,2,3,4i M

x x b i ===

111102b b -?＜＜＜ 221113b b -?＜＜＜ 334135b b -?＜＜＜

448179b b -?＜＜＜

根据范围分析4

321b b b b ≠≠或，根据元素互异性43,b M b M ∈∈，又12b b 与可能出现12=b b 情况，也可能出现1

2b b ≠情况，故根据互异性，M 中元素个数为3个或4个

(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{}n a 接近，且在b ?-b ?，b ?-b ?，…b 201-b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围。 【答案】

{}n a 为等差数列，又n b 与n a 接近，有1n n b a -＜

则11n n n

a b a -++＜＜

又11111n n n a b a +++-++＜＜

1n n n a b a ---＜＜1-

故122n n d b b d +--+＜＜

当120,1,2,...,200,k k d b b k +=--≤=时,即2132201200,,...,b b b b b b ---中没有正

数

；

当

d

＞-2时，存在

12,,...b b b 使得

21320,0,0,b b b b b b ---＞＜＞54200

1

0, 0

b b b b b b ---＜＞＜，即有100个正数，故d ＞-2。

【解析】【分析】本题涉及到数列中的新定义问题，对于新定义问题，应当结合题意求解；本题主要讨论接近的概念，⑴基础，涉及定义运用证明，⑵结合集合考查，涉及集合中元素互异性问题；⑶涉及接近问题中的极限讨论思想需要进一步思考。 【题型】综合题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三