备战2021年高考数学(文)一轮复习易错题：02 常用逻辑用语(含解析)
第二讲 常用逻辑用语复习题(解析版)
第2讲常用逻辑用语复习题I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 3题型二：全称量词命题与存在量词命题 4题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 6题型四：充要条件的证明或探求 9题型五：命题的否定 11题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 12 III模块三：数学思想方法 15①分类讨论思想 15②转化与化归思想 17③方程思想 181本章知识思维导图I23II 典型例题题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用【例1】(天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷)已知a ∈R ，则“1a≥1”是“0≤a ≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】不等式1a≥1⇔0<a ≤1，显然(0,1]Ü[0,1]，所以“1a ≥1”是“0≤a ≤1”的充分不必要条件.故选：A【例2】(重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题)若xy ≠0，则“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x +2y =0时，x y +y x =-2y y +y -2y =-2-12=-52，当x y +y x =-52时，即2x 2+5xy +2y 2=0，即x +2y 2x +y =0，则有x +2y =0或2x +y =0，故“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的充分不必要条件.故选：B .【例3】(2024·江苏扬州·模拟预测)已知集合A =0,a 2 ,B =1,a +1,a -1 ，则“a =1”是“A ⊆B ”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =1时，A ={0,1},B ={0,1,2}，则A ⊆B ；反之，当A ⊆B 时，a +1=0或a -1=0，解得a =-1或a =1，若a =-1，A ={0,1},B ={0,1,-2}，满足A ⊆B ，若a =1，显然满足A ⊆B ，因此a =-1或a =1，所以“a =1”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.故选：B【例4】(2024·天津河北·二模)设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 <1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x-2<1可得-1<x-2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出x-2<1，故充分性成立；由x-2<1推不出1<x<2，故必要性不成立，所以“1<x<2”是“x-2<1”的充分不必要条件.故选：A【例5】(2024·高一·江苏连云港·开学考试)若不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】由x <a，得到-a<x<a，又不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，所以a≥1，故选：C.【例6】(2024·高一·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.m<-12 D.-1<m<-12【答案】A【解析】不等式x2-x-m>0在R上恒成立，即一元二次方程x2-x-m=0在R上无实数解∴Δ=-12-4×-m<0，解得：m<-1 4，易见B选项是充要条件，不成立；A选项中，m<-14可推导m≤-14，且m≤-14不可推导m<-14，故m≤-14是m<-14的必要不充分条件，A正确；C选项中，m<-14不可推导出m<-12，C错误；D选项中，m<-14不可推导-1<m<-12，D错误，故选：A.题型二：全称量词命题与存在量词命题【例7】(2024·高一·河南安阳·阶段练习)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2=xB.∃x∈Q,x2=3C.∀x∈Z,|x|∈ND.∃x∈R,x2-2x+3=0【答案】C【解析】当x=-1时，x2≠x.故选项A判断错误；由x2=3可得，x=± 3.故选项B判断错误；∀x∈Z,|x|∈N.故选项C判断正确；由x2-2x+3>0，可得选项D判断错误.故选：C4【例8】(2024·高一·广东广州·阶段练习)下列命题中真命题的个数是()①∃x∈R,x2≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∀x∈{x|x是无理数}，x是无理数．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于①，当x=0时，x2=0≤0，故①正确；对于②，由1是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确；对于③，假设∀x∈{x|x是无理数}，x是有理数，则可设x=pq,p,q∈Z，则x=p2q2，p2,q2∈Z，故x为有理数，而与题设矛盾，故③正确，故选：D.【例9】(2024·高一·北京通州·期中)给出下面四个命题：①∀x∈R，x +1≥1；②∀x∈R，x +x≥0；③∃x∈R，x2的个位数字等于3；④∃x∈R，x2-x+1=0.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对于①，因为x ≥0，所以∀x∈R，x +1≥1，所以①对；对于②，当x≥0时，x +x=2x≥0，当x<0时，x +x=0≥0，所以∀x∈R，x +x≥0成立，所以②对；对于③，设x=10a+b，b∈0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，x2=1010a2+2ab+b2，x2的个位数字等于b2的个位数字，所以x2的个位数字都不等于3，所以③错；对于④，因数Δ=-12-4×1×1=-3<0，所以方程x2-x+1=0无实数解，所以④错.故选：B.【例10】(2024·高一·全国·课后作业)以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使x2≤0【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；C选项为全称量词命题，取x1=2+3,x2=2-3，则x1+x2=4为有理数，所给的命题为假命题；D选项为存在量词命题，若x<0，则x2>0，所给的命题为假命题.故选B.【例11】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z，使得x2<3成立B.菱形的两条对角线长度相等56C.∃x ∈R ，x 2=xD.对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2≥2(a +b -1)【答案】D【解析】AC 为存在量词命题，BD 为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B 选项错误，对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2-2(a +b -1)=a 2-2a +1+b 2-2b +1=(a -1)2+(b -1)2≥0，即a 2+b 2≥2(a +b -1)，D 选项正确.故选：D【例12】(2024·高一·河北·阶段练习)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A.每一个命题都能判断真假B.存在一条直线与两条相交直线都平行C.对任意实数a ,b ，若a <b ，则a 2<b 2D.存在x ∈R ，使x 2-x +1=0【答案】A【解析】对于A ，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，A 是真命题，符合题意；对于B ，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；对于C ，该命题是全称量词命题，当a =-2,b =-1时，a 2>b 2，C 中命题是假命题，不符合题意；对于D ，该命题是存在量词命题，不符合题意，故选：A .题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)【例13】(2024·高一·海南海口·阶段练习)若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为．【答案】-2【解析】x >2，得x >2或x <-2，若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，得x x <a Ü{x x >2 或x <-2}，所以a ≤-2，即a 的最大值为-2.故答案为：-2【例14】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为.【答案】m ≥8【解析】由p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，得p :x ≤m4,q :-1≤x ≤2，因为p 是q 的一个必要不充分条件，则p 不能推出q ，但q 能推出p ，则2≤m4，即m ≥8.故答案为：m ≥8【例15】(2024·高一·江西南昌·期末)在①A ∩B =B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件；③B ∩∁R A =∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．间题：已知集合A ={x ∈R ∣(x -1)(x +2)>0},B ={x ∈R ∣y =x +a ,y ∈R }．(1)当a =1时，求A ∩∁R B ；(2)若，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由不等式(x -1)(x +2)>0，解得x <-2或x >1，可得A ={x |x <-2或x >1}，当a =1时，可得B ={x ∈R ∣y =x +1,y ∈R }={x |x ≥-1}，7则∁R B ={x ∣x <-1}，所以A ∩∁R B ={x ∣x <-2}．(2)由集合A ={x |x <-2或x >1}和B ={x |x ≥-a }，若选择①：由A ∩B =B ，即B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择②：由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，可得B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择③：由A ={x |x <-2或x >1}，可得∁R A ={x |-2≤x ≤1}，要使得B ∩∁R A =∅，则-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1).【例16】(2024·高一·山东菏泽·期中)设全集U =R ，集合A =x -2<x ≤3 ，B =x m -1≤x ≤2m ．(1)若m =3，求集合∁U A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当m =3时，B =x 2≤x ≤6 ，又∁U A =x x ≤-2 或x >3 ，所以∁U A ∩B =x 3<x ≤6 ．(2)“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，故B ⊆A ．当B =∅时，m -1>2m ，所以m <-1，符合题意；当B ≠∅时，需满足m -1≤2m-2<m -12m ≤3，解得-1<m ≤32，综上所述，m 的取值范围为m <-1或-1<m ≤32．【例17】(2024·高一·福建莆田·期中)已知p ：关于x 的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0有实数根，q ：2m -1≤a≤m +2．(1)若命题¬p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题是¬p 真命题，则命题p 是假命题，即关于的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0无实数根，因此，Δ=4a 2-4a 2+a -1 <0，解得a >1，所以实数的取值范围是1,+∞ ，(2)由(1)知，命题p 是真命题，即p :a ≤1，因为命题p 是q 的必要不充分条件，则a 2m -1≤a ≤m +2 Üa a ≤1 ，当2m -1>m +2即m >3时，a 2m -1≤a ≤m +2 =∅，满足题意，当2m -1≤m +2即m ≤3时，则m ≤3m +2≤1⇒m ≤-1，所以实数m 的取值范围是{m m ≤-1或m >3}．【例18】(2024·高一·河北保定·期中)已知集合A =x 2m -1≤x ≤m +1 ，B =x 12≤x <2 ．(1)若m =12，求A ∩∁R B ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由B=x12≤x<2，则∁R B={x|x<12或x≥2}，若m=12，则A=x0≤x≤32，所以A∩∁R B=x0≤x<1 2．(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m-1>m+1时，即m>2时，A=∅，符合题意；当2m-1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m-1≤m+1<2，解得34≤m<1；综上，实数m的取值范围为34≤m<1或m>2．【例19】(2024·高一·湖北襄阳·期中)已知集合A=x|-2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1．(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，且集合B不为空集，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2，符合题意；当B≠∅时，可得2m-1≥m+12m-1<-2或2m-1≥m+1m+1>5，解得m>4．综上，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．(2)由题意可知B⊆A且B≠∅.可得2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤m≤3，综上，实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．.【例20】(2024·高一·云南红河·阶段练习)已知命题p：方程x2+tx+t=0没有实数根，若p是真命题，实数t 的取值集合为A．(1)求实数t的取值集合A；(2)集合B=t1-a<t<2a-1，若t∈B是t∈A的必要条件，求a的取值范围．【解析】(1)若p是真命题，则t2-4t<0，解得0<t<4，所以A=t|0<t<4；(2)若t∈B是t∈A的必要条件，则A⊆B，又A=t|0<t<4，所以B≠∅，所以2a-1≥41-a≤02a-1>1-a，解得a≥52.【例21】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知集合A=x|-2≤x-1≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设p:x∈A;q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为A={x∣-2≤x-1≤5}，所以A={x∣-1≤x≤6}，又A∩B=∅，分类讨论如下：①当B=∅时，m+1>2m-1解得m<2;8②当B=∅时，m+1≤2m-1 m+1>6或m+1≤2m-12m-1<-1，解得m>5；综上所述：实数m的取值范围为{m∣m<2或m>5}.(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，①当B=Æ时，m+1>2m-1，解得m<2;②当B¹Æ时，m+1≤2m-1 m+1≥-12m-1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m≤7 2；综上所述：实数m的取值范围为m∣m≤7 2.题型四：充要条件的证明或探求【例22】(2024·高二·全国·专题练习)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，两方程的根都是整数的充要条件为．【答案】m=1【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程，所以m≠0．又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0，且两方程都要有实根，所以Δ1=16-16m≥0,Δ2=16m2-44m2-4m-5≥0，解得m∈-54,1．因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，所以m为4的约数．又m∈-54,1，所以m=-1或1．当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数；而当m=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1．【例23】设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．x=4±16-4n2=2±4-n，因为x是整数，即2±4-n为整数，所以4-n为整数，且n≤4，又因为n∈N+，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4时，可推出一元二次方程有整数根．【例24】(2024·高一·广东珠海·阶段练习)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足a-b+c=0⇒方程有一个根为-1；由a-b+c=0，得b=a+c，代入方程得ax2+a+cx+c=0，得ax+cx+1=0，所以，x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.②必要性：即证明若x=-1是方程ax2+bx+c=0的根⇒a-b+c=0；910将x =-1代入方程ax 2+bx +c =0，即有a -b +c =0.综上由①②可知，故关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为-1的充要条件是a -b +c =0.【例25】(2024·高一·全国·专题练习)当m ,n ∈Z 时，定义运算⊗：当m ,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m ,n <0时，m ⊗n =m ⋅n ；当m >0,n <0或m <0,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m =0时，m ⊗n =n ；当n =0时，m ⊗n =m ．(1)计算-2 ⊗-3 ⊗-7 ；(2)证明，“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的充要条件．【解析】(1)-2 ⊗-3 ⊗-7 =6⊗-7 =6-7 =1.(2)先证充分性：当a =0,b =-2或a =-2,b =0时，则a ⊗b =-2，即a =0,b =-2或a =-2,b =0是a ⊗b =-2的充分条件；再证必要性：当a ⊗b =-2时，显然当ab >0时，a ⊗b >0，当ab <0时，a ⊗b ≥0，即ab >0与ab <0均不合题意，当a =0时，由a ⊗b =-2，则b =-2，当b =0时，由a ⊗b =-2，则a =-2，即“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的必要条件，综上，命题得证．【例26】(2024·高一·江苏苏州·阶段练习)求证：方程mx 2-2x +3=0m ≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.【解析】先证明充分性：若0<m <13，设方程的两个实根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2m >0，x 1⋅x 2=3m>0，Δ=4-12m >0，故方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根，令y =mx 2-2x +3(m ≠0)，当m >0时，其图象是开口方向朝上，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数f (x )=mx 2-2x +3，有两个正零点，则2m >03m >0Δ=4-12m >0，解得0<m <13；当m <0时，其图象是开口方向朝下，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数y =mx 2-2x +3，有两个负零点，则2m <03m >0Δ=4-12m >0，无解；故关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根，则m 的取值范围是0<m <13；∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<13．【例27】(2024·高一·湖北武汉·阶段练习)设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【解析】a2+b2>c2.证明如下：充分性：∵a2+b2>c2，∴ △ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴ ∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得c2=AD2+BD2=AD2+(CD+a)2=AD2+CD2+a2+2⋅CD⋅a=AC2+a2+2⋅CD⋅a=b2+a2+2⋅CD⋅a>a2+b2，与已知a2+b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=AD2+CD2+a2-2⋅CD⋅a=b2+a2-2⋅CD⋅a<a2+b2.综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2+b2>c2.题型五：命题的否定【例28】(2024·高一·云南昆明·期末)命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是()A.∀x∈Z,x2+x≤0B.∃x0∈Z,x02+x0>0C.∀x∈Z,x2+x=0D.∃x0∈Z,x02+x0≤0【答案】D【解析】命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是“∃x0∈Z,x20+x0≤0”.故选：D.【例29】(2024·高一·江苏·假期作业)命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2x>0B.∃x0∈R,2x0≥0C.∀x∈R,2x≤0D.∀x∈R,2x>0【答案】D【解析】命题“∃x 0∈R ,2x 0≤0”为存在量词命题，其否定为“∀x ∈R ,2x >0”.故选：D .【例30】(2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习)命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是()A.∀x >0,2x 2<5x -1B.∃x >0,2x 2≥5x -1C.∀x ≤0,2x 2≥5x -1D.∃x ≤0,2x 2>5x -1【答案】C【解析】命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是“∀x ≤0,2x 2≥5x -1”.故选：C【例31】(2024·高一·四川成都·阶段练习)命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是()A.∀x ∈0,1 ，x 3>x 2B.∀x ∉0,1 ，x 3≥x 2C.∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20D.∃x 0∉0,1 ，x 30≥x 20【答案】C【解析】命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20.故选：C .【例32】(2024·高三·湖北黄冈·期末)若p ：所有实数的平方都是正数，则¬p 为()A.所有实数的平方都不是正数B.至少有一个实数的平方不是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.有的实数的平方是正数【答案】B【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：B题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题【例33】(2024·高一·湖北·期中)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 ．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2；当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为-∞,3(2)由题意A ∩B ≠∅，所以B ≠∅即m ≥2，此时m +1≥3.为使A ∩B ≠∅，需有m +1≤5，即m ≤4.故实数m 的取值范围为2,4【例34】(2024·高一·山东淄博·阶段练习)设全集U =R ，集合A =x 1≤x ≤5 ，集合B =x -1-2a ≤x ≤a -2 ．(1)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围；(2)若命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a -2≥-1-2a a -2≥5-1-2a ≤1，即a ≥7，所以实数a 的取值范围是a |a ≥7 .(2)命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A .当B =∅时，-1-2a >a -2，解得a <13；当B ≠∅时，-1-2a ≥1a -2≤5-1-2a ≤a -2，解得a ≤-1a ≤7a ≥13，所以a ∈∅.综上所述，实数a 的取值范围是a a <13.【例35】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围.(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，求m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3，综上m 的取值范围为-∞,3 ；(2)因为“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，所以A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1>5或m +1≤2m -12m -1<-2 ，解得m >4，综上m 的取值范围为-∞,2 ∪4,+∞ .【例36】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知命题p :∀x ∈R ，ax 2-4x -4≠0，若p 为假命题，求a 的取值范围.【解析】由题意p 为假命题，即∃x ∈R ，ax 2-4x -4=0，即方程ax 2-4x -4=0有解，(1)当a =0时，-4x -4=0有解x =-1成立；(2)当a ≠0时，Δ=16+16a ≥0，即a ≥-1且a ≠0；综上a ≥-1.【例37】(2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m -1≤x ≤2m -3 ．(1)若命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ．当B =∅时，满足B ⊆A ，此时m -1>2m -3，解得m <2；当B ≠∅时，由B ⊆A ，可得m -1≤2m -3m -1≥-22m -3≤5，解得2≤m ≤4．综上，实数m 的取值范围为(-∞,4]．(2)因为q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，所以A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，则m -1≤2m -3即m ≥2，所以m -1≥1，要使A ∩B ≠∅，仍需满足m -1≤5，即m ≤6．综上，实数m 的取值范围为[2,6]．【例38】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)已知集合A =x -3≤x <1 ，B =x 2m -1≤x ≤m +1 ．(1)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．(2)命题“r ：∃x ∈A ，使得x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)①当B 为空集时，m +1<2m -1，即m >2，原命题成立；②当B 不是空集时，∵B 是A 的真子集，所以2m -1≥-3m +1<1m ≤2，解得-1≤m <0；综上①②，m 的取值范围为-1≤m <0或m >2.(2)∃x ∈A ，使得x ∈B ，∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅，所以m +1≥2m -1，即m ≤2，当A ∩B =∅时2m -1≥1m ≤2 或m +1<-3m ≤2，所以1≤m ≤2或m <-4，∴m 的取值范围为[-4,1)．【例39】(2024·高一·吉林长春·阶段练习)已知集合A ={x ∣2≤x ≤7},B ={x ∣-3m +4≤x ≤2m -1}，且B ≠∅.(1)若q :“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，求实数m 的取值范围.【解析】B ≠∅，则-3m +4≤2m -1，解得m ≥1，“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，则A ∩B ≠∅，若A ∩B =∅，则2m -1<2或-3m +4>7，解得m <32，因为m ≥1，所以1≤m <32，所以当A ∩B ≠∅，m ≥32，综上所述m ≥32.III 数学思想方法①分类讨论思想【例40】(2024·高一·江苏南通·期中)已知集合A =x x 2-4= 0 ，B =x ax -2=0 ，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为．【答案】-1,0,1【解析】依题意，A =x |x 2-4=0 =2,-2 ，若a =0，则B =∅，满足x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件.当a ≠0时，B =x x =2a，由于x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以2a =2或2a=-2，解得a =1或a =-1，综上所述，a 的所有可能取值构成的集合为-1,0,1 .故答案为：-1,0,1【例41】(2024·高一·江西南昌·期中)已知集合A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，集合B =x x -3 ≤1 ．(1)若a =1，求∁R A ∪B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解析】(1)A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，可得x -2a x +a <0，当a =1时x -2 x +1 <0解得-1<x <2，则A =-1,2 ，可得∁R A =-∞,-1 ∪2,+∞ ，又B =x x -3 ≤1 ，x -3 ≤1可得-1≤x -3≤1，即2≤x ≤4，可得B =2,4 ，所以∁R A ∪B =-∞,-1 ∪2,+∞ ，(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件所以B ⊂≠A ,集合A 中x -2a x +a <0，当a >0时解为-a <x <2a ，又B ÜA ，可得-a <22a >4 解得a >2，当a <0时解为2a <x <-a ，又B ÜA ，可得-a >42a <2解得a <-4，当a =0时无解，集合A 为空集，又B ÜA ，所以不合题意舍去，综上可得：a <-4或a >2.【例42】已知集合A ={x |a 2-1≤x ≤2a +6}，B ={x |0≤x ≤4}，全集U =R .(1)当a =1时，求A ∩(∁U B ):(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a =1时，集合A ={x |0≤x ≤8}，∁U B ={x |x <0或x >4}，故A ∩(∁U B )={x |4<x ≤8};(2)由题知：B⊊A，即B⊆A且B≠A，当B⊆A时，a2-1≤0 2a+6≥4，解得-1≤a≤1；当B=A时，a2-1=0 2a+6=4，解得a=-1，由B≠A得，a≠-1，综上所述：实数a的取值范围为(-1,1].【例43】设集合A=x|x2+4x=0，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若-1∈B，求a的值；(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围．【解析】(1)∵-1∈B，∴1-2a-2+a2-1=0，解得a=1±3；(2)∵A=0,-4，依题意B⊆A，①若B=∅,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1；②若B=0 或B=-4时，∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，∴a=-1，此时B=0 ,B≠-4；③若B=0,-4Δ>00+(-4)=-2a-20×(-4)=a2-1，解得a=1，综上：a的取值范围是(-∞,-1]∪1 .【例44】已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1}，B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②"x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．(1)当a=3时，求∁R(A∩B);(2)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7}，而B={x|-2≤x≤4}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，∁R(A∩B)={x|x<2或x>4}(2)选①，由A∪B=B可知：A⊆B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊆B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得：a-1≥-2 2a+1≤4，解得-1≤a≤32，综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选②，因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊊B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊊B得：a-1≥-2 2a+1≤4，且不能同时取等号，解得-1≤a≤32.综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选③，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A∩B=∅，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2由A∩B=∅得：2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或a>5，又a≥-2，所以-2≤a<-32或a>5.综上所述，实数a 的取值范围为a <-32或a >5②转化与化归思想【例45】(2024·高三·全国·竞赛)设a ,b ∈R ，集合A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ．则“A =B ”是“a =b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ，当A =B 时，则有a =b a 2+1=b 2+1 ，或a =b 2+1a 2+1=b ，若a =ba 2+1=b 2+1，显然解得a =b ；若a =b 2+1a 2+1=b ，则b 2+1 2+1=b ，整理得b 2-b +1 b 2+b +2 =0，因为b 2-b +1=b -12 2+34>0，b 2+b +2=b +12 2+74>0，所以b 2-b +1 b 2+b +2 =0无解；综上，a =b ，即充分性成立；当a =b 时，显然A =B ，即必要性成立；所以“A =B ”是“a =b ”的充分必要条件.故选：C .【例46】(2024·高一·江西景德镇·期中)已知p :3x -1>512<x <8 ，q :x ≥3k +1或x ≤3k -3．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围；(2)若p 是¬q 的必要不充分条件，求实数k 的最大值．【解析】(1)∵p ：3x -1>512<x <8 ，故p ：2<x <8，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以3k +1≤2或3k -3≥8，解得k ≤13或k ≥113，故实数k 的取值范围为k k ≤13 或k ≥113.(2)¬q :3k -3<x <3k +1，又p 是¬q 的必要不充分条件，因为3k -3<3k +1，所以¬q 对应的集合不是空集，所以3k -3≥23k +1≤8，解得53≤k ≤73，故实数k 的最大值为73.【例47】(2024·高一·全国·课后作业)已知M =x ,y y 2=2x ，N =x ,y x -a 2+y 2=9 ，求M ∩N ≠∅的充要条件.【解析】M ∩N ≠∅的充要条件是方程组y 2=2xx -a 2+y 2=9 至少有一组实数解，即方程x 2+21-a x +a 2-9=0至少有一个非负根，方程有根则Δ=41-a 2-4a 2-9 ≥0，解得a ≤5.上述方程有两个负根的充要条件是x 1+x 2<0且x 1x 2>0，即-21-a <0a 2-9>0 ，∴a <-3.于是这个方程至少有一个非负根的a 的取值范围是-3≤a ≤5.故M ∩N ≠∅的充要条件为-3≤a ≤5.③方程思想【例48】已知p :∀x ∈R ，m <x 2-1，q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若p ，q 都是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】p :∀x ∈R ，m <x 2-1，若p 真，可得m <(x 2-1)min ，而y =x 2-1≥-1，x =0时，取得最小值-1，则m <-1；q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若q 真，可得Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥-2.若p ，q 都是真命题，可得m <-1m ≥-2，则-2≤m <-1.故实数m 的取值范围是-2≤m <-1.【例49】已知，命题p :∀x ∈R ,2x +a +2≥0，命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵命题为真命题，即a ≥-2x -2，又-2x -2≤-2，∴实数a 的取值范围为a ≥-2;(2)∵命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0为真命题，即x 2-a +1=0亦即x 2+1=a 在-3,-12上有解，又当x ∈-3,-12 求得二次函数的范围54≤x 2+1≤10，即二次函数y =x 2+1最大值为10，最小值是54，∴实数a 的取值范围为：54,10 .【例50】已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程①mx 2-4x +4=0和②x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，求方程①和②的根都是整数的充要条件．【解析】解∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程，∴m ≠0.另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，两方程都要有实根，∴Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈-54,1.∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，∴m为4的约数，∴m=-1或1，当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数，不符合题意；而当m=1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.【例51】已知m∈R，命题p:存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，若p为真命题，求m的取值范围．【解析】∵存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，∴(2x-2)max≥m2-3m，又函数y=2x-2在x∈[0,1]时的最大值为0，即m2-3m≤0.解得0≤m≤3.因此，若p为真命题时，m的取值范围是0,3.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习含解析
高考数学《集合与常用逻辑用语》练习题一、选择题1．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”，“x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A ．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】【分析】对三个命题逐一判断即可.【详解】 ①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题.3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.4．“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解析：若0a =，则||x y e =是偶函数，“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的充分条件；若函数x a y e -=为偶函数，则对称轴为0x =，即0x a ==，则“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的必要条件，应选答案C ．5．已知集合{}|3x M y y ==，{|N x y ==，则M N =I （ ） A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x ≤D ．{|0}x x > 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合{}|3{|0}x M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤， 所以{|01}M N x x ⋂=<≤.故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．6．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n +-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确.故选：C【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.7．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】Q点P不在直线l、m上，若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．8．设，则"是""的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要. 故选：.【点睛】 本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>， 由基本不等式，22222a b a b ab ab+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.10．下列说法正确的是( )A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -„” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >vv ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”【答案】D【解析】【分析】对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r的夹角为锐角”， 由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以该命题错误，所以B 错误．对于C 选项，0222A B A B πππ+>⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误．故选D【详解】命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r ”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>⇒>>->， ∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，所以C 错误， 故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．11．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0a <时，方程210ax +=，即21x a=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a =-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选C.12．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．A ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．13．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．14．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的关系进行判断．【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．因此4个命题均正确．故选D ．【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．15．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】 x y <，不能得到1x y <， 1x y<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y =>， 故x y <时，1x y<不成立， 当1x y<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.16．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．[)2,2-B ．[]2,3C ．(]2,3D ．()3,+∞【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】 由题意，集合{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，所以(]2,3A B =I ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．17．给出下列四个结论：①若()f x 是奇函数，则()2f x 也是奇函数；②若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；③“若3πθ=，则sin θ=的否命题是“若3πθ≠，则sin θ≠.”； ④若p ：11x≤；q ：ln 0x ≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，逐一分析，即可判断得出结论.【详解】解：①若()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，则()()22f x f x -=-，所以()2f x 也是奇函数，①正确；②若()f x 不是正弦函数，而()f x 可以是余弦函数，是周期函数，所以②错误； ③根据否命题的定义可知：对原命题的条件和结论都否定，可知③正确； ④中，由p ：11x≤，解得0x <或1x ≥；由q ：ln 0x ≥，解得1x ≥， 则p 是q 的必要不充分条件，故④错误.综上可知，正确结论的个数为2个.故答案为：B.【点睛】 本题考查命题真假的判断，涉及定义法判断函数的奇偶性、周期函数、否命题以及充分必要条件的定义等知识.18．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .【详解】若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.20．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》全集汇编及答案解析
新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析一、选择题1．“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A ．“6m =”B ．“67m <<”C ．“57m <<”D ．“57m <<”且“6m ≠”【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．【详解】 因为方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：57m <<且6m ≠，所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”， Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，所以“57m <<”是方程“22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”． 故选：C ．【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对三个命题逐一判断即可.【详解】①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题.3．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】 解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.4．集合{}|12A x x =-<，1393x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-【答案】B【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I .故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.5．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可.【详解】 e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2xf x '=-，令()0f x '=，解得ln 2x =， 因为()'f x 为R 上的增函数,所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >, 故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-,即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-,所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.7．已知集合(){}2||lg 4A x y x==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<… 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y xB x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I .故选：B ．【点睛】 本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．8．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”，“x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A ．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．9．“4sin 25α=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】 直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα==+，再利用齐次式进行弦切互化，得出22tan 4tan 15αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】 解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=⇔=+Q ， 则22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12，所以“4sin 25α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.10．下列说法正确的是( )A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -…” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v v ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”【答案】D【解析】【分析】对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r的夹角为锐角”， 由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以该命题错误，所以B 错误．对于C 选项，0222A B A B πππ+>⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误．故选D【详解】命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r ”的逆命题为假命题，故B 错误； 锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>⇒>>->， ∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误， 故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．11．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或2【答案】C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.12．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．A ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}，故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．13．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．15．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x ≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=2，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．(⌝p )∧q 【答案】D【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.【详解】 对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题； 对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 0=2，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．故答案为D.【点睛】 (1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.16．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．18．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.19．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，2230x x -+≥B ．x R ∃∉，2230x x -+>C ．x R ∃∈，2230x x -+>D ．x R ∀∉，2230x x -+≤【答案】C【解析】分析：根据全称命题的否定得结果.详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>,选C.点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝ 【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。
专题02 常用逻辑用语——2021年高考数学专项复习含真题及解析
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
6.（2013 湖北）在一 次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙
降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． p q B． p q C． p q
D． p q
7.(2012
山东)设命题
C． p2 ， p3
D． p2 ， p4
3.（2011 新课标）已知 a ， b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题
p1
:|
a
b
|
1
[0,
2 3
)
p2
:
|
a
b
| 1
( 2 3
,
]
p3
:|
a
b
|
1
[0,
3
)
p4
:
|
a
b
|
1
( 3
,
]
其中真命题是
A． p1, p4
B． p1, p3
C． p2, p3
则下述命题中所有真命题的序号是
．
① p1 p4
② p1 p2
③ p2 p3
④ p3 p4
x y… 6, 2.（2019全国Ⅲ文11）记不等式组 2x y 0 表示的平面区域为D.命题
p : (x, y) D, 2x y… 9 ；命题 q : (x, y) D, 2x y„ 12 .下面给出了四个命题
D．若 tan 1 ，则 4
9.（2012 福建）下列命题中，真命题是
A． x0 R, ex0 „ 0
B． x R, 2x x2
C． a b 0 的充要条件是 a 1 b
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》图文答案
新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析一、选择题1．已知集合{}|3xM y y ==，{|N x y ==，则M N =I （ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x ≤D ．{|0}x x >【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}|3{|0}xM y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤，所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．3．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.5．14a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将14a =-代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】当14a =-时，2211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.6．已知集合，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知下列四个命题1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-3P ：若1()1f x x x =++则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.【详解】解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成立；命题正确，3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+=++-=-=++…， 当且仅当111x x +=+，即2(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题.则正确的命题的个数是2， 故选：B . 【点睛】此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.8．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （） A ．(]1,2 B ．()1,+∞C ．()1,2D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果. 【详解】由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[)1,A B ∞=+U ， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.10．“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解析：若0a =，则||x y e =是偶函数，“0a =”是“函数x ay e-=为偶函数”的充分条件；若函数x ay e-=为偶函数，则对称轴为0x =，即0x a ==，则“0a =”是“函数x ay e-=为偶函数”的必要条件，应选答案C ．11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45o 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①②④ C ．③④ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④. 【详解】Q 截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂Q 平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂Q 平面ABC ，平面ABC I 平面ADC AC =PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确； 由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ， 得AC //平面PQMN ，则②正确； 由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC ADMN DN=， 同理可证BD ADPN AN=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角， 由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.13．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程2230x x m +-=无实根，显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.14．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.15．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r成立， 反之当a b ⊥r r时，此时a 与l 不一定是垂直的，所以a l ⊥是a b ⊥r r的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.17．已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.18．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．19．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B20．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.【详解】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.故选：C ．【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.。
第02练 常用逻辑用语-2021年高考数学(文)一轮复习小题必刷(解析版)
第02练 常用逻辑用语刷基础1．（2020·安徽黄山高三二模（文））若,a b ∈R ，则“1a >且1b >”是“1ab >且2a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为1a >且1b >，所以根据同向正数不等式相乘得1ab >，根据同向不等式相加得2a b +>，即2a b +≥成立，因此充分性成立；当1,2a b ==时满足1ab >且2a b +≥，但不满足1a >且1b >，即必要性不成立；从而“1a >且1b >”是“1ab >且2a b +≥”的充分不必要条件，故选：A 2．（2020·浙江吴兴湖州中学高三其他）已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >， 243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-，当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .3．（2020·安徽高三其他（理））在ABC ∆中，:p ABC ∆是锐角三角形，:sin cos q A C >，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件。
2021年高考数学试题按考点分类：考点2 常用逻辑用语 Word版含答案
A.考点2 常用规律用语【1】（A ，新课标I ，理3）设命题P :N n,22n n >，则P ⌝为A.N n ，22n n >B.N n ，22n n ≤C.N n，22n n ≤ D.N n，22n n =【2】（A ，北京，理4）设α,β是两个不同的平面,m 是直线且α⊂m .“m β∥”是“αβ∥”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【3】（A ，天津，文4）设R x，则“12x <<”是“|x 2|1-<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【4】（A ，天津，理4）设R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【5】（A ，上海，文15）已知12,C z z ∈，则“1z 、2z 均为实数”是“12z z -是实数”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【6】（A ，上海，理15）已知12,C z z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -是虚数”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【7】（A,重庆,文2）“x1”是“2210x x -+-”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【8】（A,重庆,理4）“1>x ”是“0)2(log 21<+x ”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【9】（A ，湖北，文3）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A.0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B.0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C.(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D.(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【10】（A ，湖北，文5）12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【11】（A ，四川，文4）设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【12】（A ，山东，文5）设R m，命题“若0>m ,则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题是A.若方程02=-+m x x 有实根，则0>m B.若方程02=-+m x x 有实根,则0≤m C.若方程02=-+m x x 没有实根,则0>m D.若方程02=-+m x x 没有实根,则0≤m 【13】（A ，安徽，文3）设31:3:<<-<x q x p ，， 则p 是q 成立的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【14】（A ，安徽，理3）设,12:,21:><<xq x p 则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【15】（A ，浙江，文3）设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【16】（A ，浙江，理4）命题“∈∀n N *，∈)(n f N * 且()f n n ≤”的否定形式是A.∈∀n N *，∉)(n f N *且()f n n >B.∈∀n N *，∉)(n f N *或()f n n >C.∈∃0n N *，∉)(0n f N *且00()f n n >D.∈∃0n N *，∉)(0n f N *或00()f n n > 【17】（A ，湖南，文3）设R x，则“1x >”是“31x >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【18】（B ，北京，文6）设a ，b 是非零向量，||||a b a b ⋅=“”是“b a//”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【19】（B ，湖北，理5）设12,,,R n a a a ⋅⋅⋅∈，3≥n . 若p ：n a a a ,,21成等比数列；q ：+++ 2221(a a2132212232221)())(n n n n a a a a a a a a a a--++=++ ，则A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【20】（B ，四川，理8）设b a ,都是不等于1的正数，则“333>>ba”是“3log 3log b a <”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【21】（B ，陕西，文6理6）“ααcos sin =”是“02cos =α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点1 集合【1】（A ，新课标I ，文1）、D具体分析：由题，得{8,14}AB =.【2】（A ，新课标Ⅱ，文1）、A具体分析：{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13A B x x =-<<.【3】（A ，新课标Ⅱ，理1）、A具体分析：{}|21B x x =-<<，故{}1,0A B =-.【4】（A ，北京，文1）、A具体分析：由交集定义可得,B A 为图中阴影部分,即{}23<<-x x ．第4题图【5】（A ，天津，文1）、B具体分析：{2,3,5}{2,5}{2,5}UA B == 【6】（A ，天津，理1）、A具体分析：{2,3,5,6}{2,5}{2,5}.UAB ==【7】（A ，重庆，文1）、C具体分析：利用交集的定义即得. 【8】（A ，重庆，理1）、D具体分析：依据集合间的包含关系易得. 【9】（A ，四川，文1）、A具体分析：由并集定义可知，选A 【10】（A ，四川，理1）、A具体分析：由}21|{<<-=x x A ，易知=B A }31|{<<-x x ，选A. 【11】（A ，广东，文1）、B具体分析：由题知{}1=N M . 【12】（A ，广东，理1）、D具体分析：}1,4{}0)1)(4({--==++=x x x M ，{14}N =，,M N =∅,故选D.【13】（A ，山东，文1）、C具体分析：}31<<=x x B ｛,故），（32=B A 【14】（A ，山东，理1）、C具体分析：由A 得13x <<，结合{}24B x x =<<. 【15】（A ，安徽，文2）、B具体分析：{156}UB =，，,{1}UAB =.【16】（A ，浙江，文1）、A具体分析：由题意得，3{≥=x x P 或}1-≤x ,所以)4,3[=Q P .故选A.【17】（A ，浙江，理1）、C具体分析：0{}02{2≤=≥-=x x x x x P 或}2≥x ，{}R 02P x x ∴=<<.又由于{}12Q x x =<≤，故(){}R12P Q x x =<<【18】（A ，福建，文2）、D具体分析：由交集的定义{0,1}M N =,选D ．【19】（A ，湖南，理2）、C具体分析：由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件的充要条件.【20】（A ，陕西，文1理1）、A具体分析：{}1,0=M ，{}10≤<=x x N ， =∴N M []1,0. 【21】（A ，上海，文2理1）、{1,4}具体分析：由于{|2UB x x =<或3}x >，所以UAB {1,4}=.【22】（A ，江苏，文理1）、5具体分析：由}5,4,3,2,1{＝B A 可得B A 中元素的个数为5. 【23】（A ，湖南，文11）、{1，2，3}.具体分析：{2}UB =,{1,2,3}UAB =.考点2 常用规律用语【1】（A ，新课标I ，理3）、C具体分析：P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤. 【2】（A ，北京，理4）、B具体分析：两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行故“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.【3】（A ，天津，文4）、A具体分析：|2|1x -<,13x ∴<<,∴“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件. 【4】（A ，天津，理4）、A具体分析：|2|1x -<，13x ∴<<；220x x +->，2x ∴<-或1x >.∴“|2|1x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.【5】（A ，上海，文15）、A具体分析：充分：两个实数的差仍是实数.不必要：当1z 、2z 的虚部相等（但不等于0）时，12z z -是实数，而1z 、2z 是虚数.选A. 【6】（A ，上海，理15）、B具体分析：不充分：设122i,1i z z =+=+，则121z z -=不是虚数；必要：若12z z -是虚数,则1z 、2z 的虚部不等,所以1z 、2z 中至少有一个虚部不等于0,所以1z 、2z 中至少有一个是虚数.选B. 【7】（A ，重庆，文2）、A具体分析：由于0122=+-x x 可得()012=-x ，所以可得x =1，故充分性与必要性都成立.【8】（A ，重庆，理4）、B具体分析：由0)2(log 21<+x 得,1->x 所以1>x 是的0)2(log 21<+x 充分而不必要条件.【9】（A ，湖北，文3）、C具体分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选C. 【10】（A ，湖北，文5）、A具体分析：若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A. 【11】（A ，四川，文4）、A具体分析：由x y 2log =为增函数，易知选A. 【12】（A ，山东，文5）、D具体分析：依据“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知选D. 【13】（A ，安徽，文3）、C具体分析：由于31:3:<<-<x q x p ， 所以p q ⇒，但p 成立时，q 未必成立， 所以p 是q 的必要不充分条件． 【14】（A ，安徽，理3）、A具体分析：由于,12:>xq 亦即0:>x q ， 所以q p ⇒，但q 成立时，p 未必成立， 所以p 是q 的充分不必要条件． 【15】（A ，浙江，文3）、D具体分析：接受特殊值法：当1,3-==b a 时,>+b a 0,但0<ab ,故是不充分条件;当3a =-， 1b =-时,0>ab ,但0<+b a ,故是不必要条件.所以“>+b a 0”是“0>ab ”的既不充分也不必要条件.故选D. 【16】（A ，浙江，理4）、D具体分析：依据命题否定的定义，全称命题的否定是特称命题即得. 【17】（A ，湖南，文3）、C具体分析：由题易知“1x >”可以推得“31x >”, “31x >”可以得到“1x >”,所以“1x >”是“31x >”的充要条件.【18】（B ，北京，文6）、A具体分析：><⋅=⋅b a b a b a,cos ||||，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b ．而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||b a b a-=⋅，故“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件．【19】（B ，湖北，理5）、A具体分析：由命题q 知1-n 维柯西不等式：+≥++++-2122322212221())((a a a a a a a a n n 2132)n n a a a a -+ ，等号成立的条件是nn a a a a a a 13221-== 或者是0=n a ，因而p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 【20】（B ，四川，理8）、B具体分析：1333>>⇔>>b a b a ；3log 3log b a <0lg lg lg lg lg 3lg lg 3lg >⋅-⇔<⇔ab ba b a 1>>⇔b a 或b a >>1或b a <<1，从而选B.【21】（B ，陕西，文6理6）、A具体分析：cos20α=⇔22cos sin 0αα-=⇔ ααcos sin ±=.∴“ααcos sin =”是“=α2cos0”的充分不必要条件.考点3 函数的概念及其性质 【1】（A ，新课标I ，文10）、A具体分析：当1a ≤时，1223a --=-，不合题意；当1a ≥时，2log (1)3a -+=- ∴7a = 故117(6)(1)224f a f ---=-=-=-. 【2】（A ，新课标I ，文12）、C具体分析：用,y x --分别替代,x y ，得2y a x -+-=即2log ()y x a =--+又∵(2)(4)1f f -+-=∴22(log 2)(log 4)1a a -++-+=即2a =. 【3】（A ，北京，文3）、B具体分析：依据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数． 【4】（A ，湖北，文7）、D具体分析：对于选项A ，右边⎩⎨⎧=≠==0,00,|sgn |x x x x x ,而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ,明显不正确;对于选项B,右边⎩⎨⎧=≠==0,00,|sgn |x x x x x ，而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ,明显不正确;对于选项C,右边⎪⎩⎪⎨⎧<=>==0,0,00,sgn ||x x x x x x x ,而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ，明显不正确；对于选项D ，右边⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,sgn x x x x x x x ， 而左边⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x ，明显正确，故选D.【5】（A ，湖北，文6）、C具体分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故选C .【6】（A ，湖北，理6）、B具体分析：由)(x f 在R 上单调递增知：当0>x 且1>a 时，x ax >，则0)()()(<-=ax f x f x g ； 当0=x 时，0)(=x g ；当0<x 时，x ax <，0)(>x g .综上，x x g x x x x g sgn )](sgn[,0,00,00,0)(-=⎪⎩⎪⎨⎧><==<>.【7】（A ，广东，文3）、D具体分析：对于D,记x x x f sin )(2+=,则2)()(x x f -=-x x x sin )sin(2-=-+,)()(x f x f ≠-,且≠-)(x f )(x f -，所以非奇非偶.【8】（A ，广东，理3）、D具体分析：令()x f x x e =+，则()11f e =+，=-)1(f 11-+-e ，即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而ABC 依次是偶函数、奇函数、偶函数. 【9】（A ，安徽，文4）、D具体分析：由于x y ln =的定义域为),0(+∞，是非奇非偶函数；函数12+=x y 是偶函数，但不存在零点；函数x y sin =是奇函数；函数x y cos =是偶函数，且有很多个零点． 【10】（A ，安徽，理2）、A具体分析：由于x y ln =的定义域为),0(+∞，是非奇非偶函数；函数12+=x y 是偶函数，但不存在零点；函数x y sin =是奇函数；函数x y cos =是偶函数，且有很多个零点． 【11】（A ，福建，文3）、D具体分析：函数y =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【12】（A ，福建，理2）D具体分析：函数y =, sin y x =和cos y x =是偶函数, x x y e e -=-是奇函数,选D. 【13】（A ，湖南，文8理5）具体分析：由题意得()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)=()f x x x f x -=--+-，()f x ∴为奇函数，又明显()f x 在(0,1)上单调递增【14】（A ，陕西，文4）、C具体分析：41)2(=-f ,=-∴))2((f f 21)41(=f .【15】（B ，新课标Ⅱ，理5）、C具体分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，2log 121>，代入得2log 1212(log 12)2f -==2log 12262=，所以，2(2)(log 12)9f f -+=. 【16】（B ，山东，文10）、D具体分析：b f -=25)65(，则由4))65((=f f 进行分类争辩：(I)当23>b 时，由4)25(3=-b 解得b 不符合. (II)当23≤b 时，由4225=-b 得21=b 满足.【17】（B ，浙江，文8）、B具体分析:由于t b a ==+|sin ||1|, 所以=+2)1(a b 2sin 2t =，故当t 确定时，12-t 确定，则a a 22+唯一确定.故选B.【18】（B ，浙江，文5）、D具体分析：由于)(cos )1()(x f x xx x f -=--=-，故函数是奇函数，所以排解A,B ；取π=x ,=)(πf )1(ππ-0)1(cos <--=πππ,故选D.【19】（B ，陕西，文9）、B具体分析：()()f x f x -=-,)(x f ∴为奇函数，又0cos 1)(≥-='x x f ，)(x f ∴为增函数.【20】（B ，陕西，文10理9）、B具体分析：由题意知，ab p ln =，,2ln ba q += ab b a r ln )ln (ln 21=+=.由于b a <<0，所以由均值不等式得，ab ba >+2，又由于函数x x f ln )(=为增函数，所以q r p <=.【21】（C ，新课标I ，理12）、Ｄ)12()(-=x e x g x ，a ax y -=，由题知存在唯一的正整具体分析：设数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下方.∵)12()(+='x e x g x∴当21-<x 时，0)(<'x g .当21->x 时，0)(>'x g . 当21-=x 时，21min 2)(--=e x g当0=x 时，1)0(-=g ,直线a ax y -=恒过)0,1(且斜率为a ，故1)0(-=>-g a 且a a e g --≥-=--13)1(，解得123<≤a e.【22】（C ，新课标Ⅱ，文12）、A具体分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+得，()f x 为偶函数，且在[0,)+∞为增函数，()(21)f x f x >-即(||)(|21|)|||21|f x f x x x >-⇔>-，故113x <<. 【23】（C ，新课标Ⅱ，文11理10）、B示，以,A B 为焦点，1BC =为短半轴长作椭圆，易知具体分析：如图所CD 中点，当点P 在CD 边上运动时，由椭圆的定义椭圆与CD 相切于得，当2x π=时，||||PA PB +取得最小值，故排解C 、D 两项，又当时，||PA ||PB+=tan x + ，轨迹不是点P 在BC 边上运动线段，故排解A 选项，B 正确.【24】（C ，北京，理8） D具体分析：A 问的是纵坐标的最大值. B 消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油. C 此时甲走过了80千米，消耗8升汽油. D 80km/h 以下丙燃油效率更高，更省油. 【25】（C ，天津，文8）、A具体分析：法1 ⎩⎨⎧<≥--=-0,0,22)2(2x x x x x f ,令：+=)()(x f x h⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤≤->+-=--0,120,12,553)2(22x x x x x x x x f ， 令0)(=x h 解得251,25521--=+=x x ， ∴共两个零点,选A.法2 先画出)(x f 的图像，令)2()(x f x h --=，则)(x h 的图像与)(x f 的图像关于点)0,1(对称,画出)(x h 的图像再将向上平移3个单位，可得)(x g y =的图像，可知)(x f y =与)(x g y =的图像有2个公共点，故选A. 【26】（C ，天津，理8）、D具体分析：法1 )()(x g x f y -= 恰有4个零点b x f x f =-+∴)2()(恰有4个根.⎩⎨⎧<≥--=-0,,22)2(2x x x x x f 令⎪⎩⎪⎨⎧<++≤≤>+-=-+=022********x x x x x x x x f x f x h ,,,)()()(画出)(x h 的图像与b y =的图像可知,若有4个交点则247<<b . 法2 先画出)(x f 的图像, 令)2()(x f x h --=,则)(x h 的图像与)(x f 的图像关于点)0,1(对称,画出)(x h 的图像再将向上平移,由图像可知210≠≠>b ,b ,b ,故排解选项A,B,C,故选D.【27】（C ，四川，理9）、A第21题图第23题图具体分析：若2=m ，则应有8<n ，此时16<mn ； 若2>m ，则应有函数)(x f 的对称轴228≥---m n ，整理得122≤+n m ，所以n m mn ⋅⋅=22118)22(212=+≤n m ，当且仅当n m =2，即3=m , 6=n 时等号成立；若20<≤m ，则应有函数)(x f 的对称轴2128≤---=m n x ，整理得182≤+n m ，由于0≥m ，所以9≤n ，此时18<mn .综上，当6,3==n m 时mn 取得最大值18.【28】（C ，山东，理10）、B具体分析：法1 利用特殊值法，令0a =，则(0)1f =-，(1)4f -=-，而124-≠-，说明0a =不满足题意，排解B ；令23a =，则2()13f =，(1)2f =，而122=，说明23a =满足题意，排解D ；令2a =,则(2)4f =,(4)16f =,而4216=, 说明2a =满足题意，排解A ；综上，故选C ．法2 利用分类争辩．若1a ≥,则()2af a =且21a≥,所以=))((a f f )(222)2(a f aaf ==，满足题意；若213a ≤<，则()31f a a =-且311a -≥,所以31()(())(31)22a f a f f a f a -=-==，满足题意； 若23a <，则()31f a a =-且311a -<，所以(())(31)3(31)-1f f a f a a =-=-,而()3122f a a -=,令31a t -=，则1t <，在此前提下，考察函数3-1y t =与2ty =,明显有231tt >-,故不满足题意． 【29】（C ，浙江，理7）、D具体分析：对于选项A ，不妨取4x π=、54x π=，则5,44sin 21x x t x ππ====时，()2f t =±，不满足函数的定义故排解A ；对于选项B ，不妨取4x π=、54x π=，则5,44sin 21x x t xππ====时，2()164f t ππ=+或2255()164f t ππ=+，不满足函数的定义故排解B ；对于选项C ，不妨取1x =±，则212t x =+=时，()0f t =或()2f t =，不满足函数的定义故排解C ；对于选项D ，不妨将选项两边平方可得：222(2)21f x x x x +=++，令22t x x =+，故有()2()1()0f t t f t =+≥，因此()f t =．【30】（A ，新课标I ，文14）、1具体分析：由题，得2()31f x ax '=+ ∴()31f x a '=+又∵(1)2f a =+ ∴切线的方程为(2)(31)(1)y a a x -+=+- 又∵切线过点(2,7)∴7(2)(31)(21)a a -+=+-即1a =. 【31】（A ，新课标I ，理13）、1具体分析：由题，得ln(y x =是奇函数所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得1a =. 【32】（A ，上海，文4）、23-具体分析：由221x x =+得23x =-，即12(2).3f -=-【33】（B, 上海，理10）、4具体分析：()f x 在定义域[0,2]上是增函数，故1()fx -也是增函数.由于max ()(2)2f x f ==，所以1()f x -的最大值1max ()2f x -=,所以y 的最大值为4.【34】（B ，山东，理14）、32-具体分析：若1a >，则()xf x a b =+为定义域上的增函数，即(1)1(0)0f f -=-⎧⎨=⎩，经检验，a ∈∅；若01a <<，则()xf x a b =+为定义域上的减函数，即(1)0(0)1f f -=⎧⎨=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故32a b +=-．【35】（B ，浙江，文12）、21-，662- 具体分析：4)2()2(2=-=-f ，所以)4())2((f f f =-216464-=-+=.当1≤x 时，()0f x ≥；当1>x 时，662)(-≥x f ，当6,6==x xx 时取到等号.由于60<，所以函数的最小值为662-. 【36】（B ，福建，文15）、1具体分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．【37】（B ，福建，理14）、(1,2]具体分析：当2x ≤,故64x -+≥,要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞, 只需()1()3log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞, 故a >1, 所以1()3log a f x x >+,所以3log 4a x +≥, 解得12a <≤, 所以a 的取值范围是(1,2].【38】（C ，北京，理14）、-1，1[,1)[2,)2具体分析：①当1a 时，21,1,()4(1)(2), 1.x x f x x x x当1x 时，()1f x .当1x时，()f x 是开口向上的抛物线，当3=2x 时取得最小值-1.故1a 时()f x 的最小值是-1.②若()f x 在1x与1x 时与x 轴各有一个交点由函数a x h x -=2)(在1<x 时与x 轴有一个交点，知0>a ，并且当1=x 时(1)20h a =-≥，所以02a <≤.由函数)2)((4)(a x a x x g --=在1x时与x 轴有一个交点，知当1=x 时(1)4(1)(12)g a a0，解得112a ，由①知1a 时()g x 有两个零点，所以121<≤a .若()f x 在1x 时与x 轴没有交点，1x 时与x 轴有两个交点由函数a x h x -=2)(在1x时与x 轴没有交点知，当1=x 时(1)20h a =-≤，2a ≥.由)2)((4)(a x a x x g --=在1x 时与x 轴有两个交点知,(1)4(1)(12)0g a a 且3()02ga解得12a或1a . 综上，a 的取值范围是1[,1)[2,)2.【39】（C ，江苏，文理13）、4具体分析：设⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<++-≤<-=+=2,ln 621,ln 210,ln )()()(22x x x x x x x x x g x f x h)(x h 的图像，如图所示. 1)(=x h 以及1)(-=x h 各有2利用导数学问画出1)()(=+x g x f 实根的个数为4.个实数根.所以方程【40】（A ，上海，文20）具体分析：（1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称.若0a =，则1()()f x f x x-=-=-，()f x 为奇函数. 若0a ≠，则(1)1f a -=-，(1)1,f a =+(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（2）设1212x x ≤<≤，则2212121211()()f x f x ax ax x x -=+--12121212()()x x a x x x x x x -=-⋅+-⋅12121212()1()a x x x x x x x x +⋅-=-⋅⋅. 由于(1,3)a ∈，1212x x ≤<≤，所以1212()10a x x x x +⋅->，120x x -<，从而12()()0f x f x -<. 所以，()f x 在[1,2]上是单调增函数. 【41】（C ，浙江，文20）具体分析：(Ⅰ)当142+=a b 时，1)2()(2++=a x x f ，故对称轴为直线2a x -=. 当2-≤a 时，)1()(f a g =242++=a a . 当22≤<-a 时，1)2()(=-=af ag .当2>a 时，24)1()(2+-=-=a a f a g . 综上，222,24()1,222,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩. （Ⅱ）设t s ,为方程0)(=x f 的解，且11≤≤-t ，则⎩⎨⎧=-=+b st at s ，由于120≤-≤a b ，因此)11(22122≤≤-+-≤≤+-t t ts t t . 当10≤≤t 时，222222+-≤≤+-t t t st t t ，由于022322≤+-≤-t t 和54922312-≤+-≤-t t t ，所以54932-≤≤-b . 当01≤≤-t 时，222222t t t st t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和22302t t t --≤<+，所以03≤≤-b .故b 的取值范围是]549,3[--. 【42】（C ，浙江，理18）具体分析：（Ⅰ）由4)2()(22a b a x x f -++=，得对称轴为直线2ax -=.由2≥a ，得12≥-a ，故)(x f 在]1,1[-上单调，所以})1(,)1(max{),(-=f f b a M 明显(1)1f a b =++，(1)1f a b -=-+．由于第39题图(1)(1)(,)max{(1),(1)}2f f M a b f f +-=-≥又由于(1)(1)(1)(1)222f f f f a +---≥=≥，故当2≥a 时，2),(≥b a M ． (Ⅱ)由于2),(≤b a M ，故12a b ++≤，12a b -+≤，化简可得：3113a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩又由于,0,0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，故3a b +≤．不妨取2a =-，1b =-，此时有3a b +=，且)(x f 在区间]1,1[-上有最大值(,)2M a b =． 所以b a +的最大值为3.考点4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】（A ，重庆，文3）、D具体分析：由)32(log )(22-+=x x x f 可得：0322>-+x x 解得x <-3或x >1.【2】（A ，山东，文3）、C具体分析：依据函数xy 6.0=是定义域上的单调递减函数，可得5.16.06.06.0>；另外借助中间值1，得6.06.05.116.0<<，则c a b <<.【3】（B ，北京，理7）、C具体分析：如图1x 时，2()log (1)f x x .)1(log )(2+≥∴x x f 解集为(]1,1-. 留意)1(log 2+x 定义域不包括-1.【4】（B ，天津，文7理7）、B)(1212)(x f x f mx mx =-=-=--+ .具体分析：0=∴-=+∴m m x m x .12)(-=∴xx f 在),0(+∞是增函数. 又22(log 3)(log 3),a f f =-=(0)c f =，且5log 3log 022<<. b a c <<∴.【5】（A ，北京，文10）、5log 2具体分析：18123<=-，13321>=，22log 5log 42>>5log 2最大． 【6】（A ，四川，文12）、2具体分析：24216log 01.0lg 2=+-=+. 【7】（A ，安徽，文11）、1具体分析：原式124lg 25lg-=-+=． 【8】（A ，浙江，文9）、21-，33具体分析：212log 22log 2122-==- 33332223log 3log 3log 3log 4242=⨯=⨯=+.【9】（A ，浙江，理12）具体分析：2log 3a =，则223aa-+==3． 【10】（B ，上海，文8理7）、2具体分析：原方程即12log (95)x --=12log 4(32)x -⋅-，所以11954(32)x x ---=⋅-.令13x t -=，则2430t t -+=，解得3t =或1t =，所以2x =或1x =（舍）.【11】（C ，四川，文15理15）、①④具体分析：由定义a x x n x x m x x ++=--=2121,2221.若21x x >，则由)(x f 在R 上单调增，2122x x >，所以0>m ，若21x x <，则2122x x <，仍有0>m ，①正确；由a x x n ++=21易知②错误；令n m =，有a x x x x x x ++=--21212122，整理得2122x x -)(212221x x a x x -+-=， 即=-)()(21x f x f )()(21x g x g -， 所以)()()()(2211x g x f x g x f -=-.令ax x x g x f x h x--=-=22)()()(，则题意转化为存在不相等的实数21,x x ，使得)()(21x h x h =. 由()2ln 22x h x x a ，22l 2)(h -=''）（n x x.令0()0h x ，且210<<x ，可得0()h x 为微小值；若10000a =-，则0()0h x ，即()0h x ，()h x 单调递增，不满足题意，③错误；令n m -=，同③可得)()()()(2211x g x f x g x f +=+, 设ax x x g x f x h x++=+=22)()()(，则()2ln 22x h x x a '=++，2()2(ln 2)2x h x0>恒成立，()h x '单调递增且当-∞→x 时，()h x '→-∞，当+∞→x 时，()h x '→+∞，所以()h x先减第3题图后增，所以对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得)()(21x h x h =，即使得n m -=成立，④正确. 考点5 函数模型及其应用 【1】（C ，北京，文8）、B具体分析：由于第一次邮箱加满，所以其次次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升.而这段时间内行驶的里程数3560035000S =-=600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为810060048=⨯升. 【2】（C ，安徽，理9）、C)(x f 在c x -=时无意义，结合图象知0<c ；当具体分析：函数0)(<x f ，可知0<a ；又0)0(2>=c bf ，知0>b . +∞→x 时，【3】（C ，陕西，理12）、A具体分析：首先假设选项A,B,C 的结论是正确的，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=='=-49234330200)1(0)1(0)1(c b a c b a b a c b a f f f ，这与a 为非零整数冲突，所以选项A,B,C 中必有一个错误；再假设选项B,C,D 的结论是正确的，则⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+8105824302c b a c b a c b a b a ，这与a 为非零整数相符合，故选项A 的结论是错误的，故选A. 【4】（A ，湖北，文13）、2具体分析：函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x +-=的根的个数，即函数()2sin sin()2g x x x π=+2sin cos x x =sin 2x =与2)(x x h =的图象交点个数.于是，分别画出其函数图象如图所示：由图可知，函数()g x 与)(x h 的图象有2个交点.【5】（A ，浙江，理10）、0，3具体分析：依据函数的定义可知：((3))f f -=(1)f 0=；当1x ≥时，2()33f x x x=+-≥；当1x <时，2()lg(1)lg10f x x =+≥=；故min ()f x3=.【6】（B ，湖北，文17）、2具体分析：由于||)(2ax x x f -=，分3种状况争辩：①当0≤a 时，函数ax x ax x x f -=-=22||)(在区间]1,0[上单调递增，所以a a g x f -==1)()(max ;②当2220-≤<a 时，此时4)2(2a a f =，a f -=1)1(，而024)2()1(422<-+=--a a a ，所以a a g x f -==1)()(max ；③当222->a 时，4)()(2max a a g x f ==.综上可知⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-=222,4222,1)(2a a a a a g ，所以)(a g 在(,222]上单调递减,在),222(+∞-上单调递增，所以)222()(min -=g a g ，故222-=a 时，)(a g 的值最小. 【7】（B ，湖北，理12）、2具体分析：()2(cos 1)sin f x x x =+2sin x --|ln(1)|x +|)1ln(|2sin +-=x x ，其零点个数就等价于函数x y 2sin =与函数|)1ln(|+=x y 图象的交点个个交点，故函数)(x f y =的零点个数是2. 数，如图，有2【8】（B ，四川，文8理13）、24题意，0=x 时，192=be ；22=x 时，具体分析：由2111=ke.当33=x 时，4822=+b k e ，所24)(19231133=⨯==+k b k e e y .【9】（B ，湖南，文14）、02b <<具体分析：若函数()22xf x b =--有两个零点，可得方程22=xb -有两个根，从而函数22xy =-与函数y b =的图像有两个交点，结合图像可得02b <<.),1()0,(+∞-∞【10】（B，湖南，理15）、可知，问题等价于方程3x b = ()x a ≤与方程具体分析：由题意第2题图第9题图第7题图()2x b x a =>的根的个数和为2.若两个方程各有一个根，则可知关于b的不等式组13b a a a ⎧≤⎪>≤⎪⎩有解，解得1a >；若方程3()x b x a =≤无解，方程2()x b x a =>有2个根，则可知关于b的不等式组13b a a⎧⎪>⎨⎪>⎩有解，解得0a <.综上，a 的取值范围为),1()0,(+∞-∞ . 【11】（C ，安徽，文14）、12具体分析：由于函数1--=a x y 的图象是开口向上的折线，顶点在定直线1-=y 上，而直线a y 2=与函数1--=a x y 的图象只有一个交点，所以12-=a ,21=a . 【12】（B ，江苏，文理17）具体分析：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为)40,5(，)5.20,20(.将其分别代入bx ay +=2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+5.24004025ba ba，解得⎩⎨⎧==01000b a .(2) ①由(1)知，)205(10002≤≤=x x y ，则点P的坐标为)1000,(2t t ，设在点P 处的切线l 交y x ,轴分别于B A ,点，32000y x'=-，则l 的方程为21000t y -＝)(20003t x t--，由此得)0,23(t A ，)3000,0(2t B . 故]20,5[,10423)(462∈⨯+=t tt t f . ②设462104)(t t t g ⨯+=,则651610()2g t t t ⨯'=-. 令()0g t '=，解得210=t .当)210,5(∈t 时，()0g t '<，)(t g 是减函数； 当)20,210(∈t 时，()0g t '>，)(t g 是增函数.从而，当210=t 时，函数)(t g 有微小值，也是最小值，所以300)(min =t g ，此时，315)(min =t f . 故当210=t 时，大路l 的长度最短，最短长度为315千米. 【13】（C ，安徽，文21）具体分析：(1)由题意知r x -≠，所求的定义域为),(),(+∞---∞r r ．2222)()(r rx x axr x ax x f ++=+=，22222)2()22()2()(r rx x r x ax r rx x a x f +++-++='4)())((r x r x r x a +-+-=，所以，当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f ，因此，)(x f 的单调递减区间为),(r --∞，),(+∞r ；单调递增区间为),(r r -．(2)由(1)的解答可知0)(='r f ，)(x f 在),0(r 上单调递增，在),(+∞r 上单调递减，因此，x r 是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为10044004)2()(2====r a r ar r f . 考点6 三角函数及其图像与性质 【1】（A ，新课标I ，文8理8）、Ｄ具体分析：法1 由题，得141452=-=T ，即2=T 故选Ｄ法2 由题，得141452=-=T ，即2=T ∴22==w T π，即π=w ∴()()ϕπ+=x x f cos 又 0)41(=f ∴cos04πϕ+=（）即241ππϕπ+=+⨯k ）（Z k ∈∴()cos()cos()44f x x k x πππππ=++=±+ 又 (0)0f > ∴()cos()4f x x ππ=+.由ππππ+≤+≤k x x k 242,得13[2,2],Z 44k k k -+∈.【2】（A ，四川，理4）、A具体分析:x x y 2sin )22cos(-=+=π符合题意,选A. 【3】（A ，福建，文6）、D具体分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．【4】（A ，陕西，理3）、C具体分析：由题意知，水深的最大值为函数k x y ++=)6sin(3ϕπ图像最高点纵坐标，易知，5=k ，所以水深的最大值为5+3=8. 【5】（B ，四川，文5）、B具体分析：x x y 2sin )22cos(-=+=π符合题意,选B【6】（B ，湖南，理9）、D具体分析：将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g 又∵2|)()(|21=-x g x f ，不妨令ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-∴122x x πϕ()km π，其中,k m Z ∈又∵12min3x x π-=，∴,23ππϕ-=即6πϕ=.【7】（C ，安徽，理10）、A具体分析:由于函数)(x f 的最小正周期为π，所以)2sin()(,2ϕω+==x A x f ，由于当32π=x 时，函数)(x f 取得最小值，所以23234ππϕπ+=+k ，即62ππϕ+=k 不失一般性，取6πϕ=，所以6sin)0(),62sin()(ππA f x A x f =+=，)64sin()64sin()2(πππ-+-=+=A A f)465sin(-=πA ，)64sin()64sin()2(πππ++--=+-=-A A f)674sin(π-=A ，由于2667404652πππππ<<-<<-<-，所以6sin )674sin()465sin(πππ<-<-故)0()2()2(f f f <-<． 【8】（A ，上海，文1）、π具体分析：因21cos 2()13sin 132xf x x -=-=-⋅3cos 2122x =-，所以最小正周期为π. 【9】（A ，山东，理12）、1 具体分析：由于[0,]4x π∈时，tan y x =为增函数，且最大值为1，故m 的最小值为1．【10】（A ，浙江，理11）、π，[ππππk k ++87,83] (∈k Z)具体分析：21()sin sin cos 1sin 22f x x x x x =++=-133cos 2)2242x x π+=-+，因此T π=． 3222242k x k πππππ+≤-≤+，从而可得递减区间为：[ππππk k ++87,83](∈k Z)． 【11】（A ，陕西，文14）、8具体分析：由题意知，水深的最大值为函数k x y ++=)6sin(3ϕπ图像最高点纵坐标，易知，5=k ，所以水深的最大值为5+3=8. 【12】（B ，浙江，文11）、π，223- 具体分析：21()sin sin cos 1sin 22f x x x x x =++=+1cos212x -+113sin 2cos2222x x =-+=π3)242x -+.所以22T ππ==；min 3()22f x =-. 【13】（B ，湖南，文15）、=2πω具体分析：依据三角函数图像与性质可得交点坐标为1212115((k ,2),((k ,2),k ,k 44Z ππππωω+++-∈，距离最短的两个交点肯定在同一个周期内，222215()(22),=442πππωω∴=-+--∴．【14】（C ，天津，文14）、2π具体分析：)4sin(2)(πω+=x x f ，)(x f 关于直线ω=x 对称，2)4sin(2)(2±=+=∴πωωf ，Z k k ∈+=∴,42ππω，又)(x f 在区间),(ωω-内单调递增，则ωωπ22≥=T ,22πω≤∴， 42πω=∴,.2πω=∴【15】（A ，北京，文15）具体分析：（I ）由于3cos 3sin )(-+=x x x f3)3πsin(2-+=x 所以)(x f 的最小正周期为2π.（II ）由于0≤x ≤3π2，所以3π≤x +3π≤π．当π3π=+x ，即3π2=x ，)(x f 取得最小值．所以)(x f 在区间]3π2,0[上的最小值为3)3π2(-=f ． 【16】（A ，北京，理15）具体分析：()2x f x=2cos 22x x1cos 2()22x x -=-cos 222x x =+-sin()42x π=+-. (I)πωπ22==T ）x f (∴最小正周期为π2. (II)[,0]x π∈-，3[,]444x πππ+∈-sin()[4x π∴+∈-，从而()sin()[14f x x π=+--故()x f 最小值为221--. 【17】（A ，天津，理15）具体分析：(I)由已知得1cos 2()2xf x -=- 1cos(2)32x π--11(cos 22)22x x =-1cos 22x 1sin 2cos 244x x =-1sin(2)26x π=- 所以，)(x f 的最小正周期ππT ==22. (II)由于()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--63π,π上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46π,π上是增函数，,)π(413-=-f,)π(216-=-f .)π(434=f 所以，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43ππ,上的最大值为，43最小值为.21- 【18】（A ，重庆，文18）具体分析：(I)x x x f 2cos 32sin 21)(-=)2cos 1(232sin 21x x +-=232cos 232sin 21--=x x 2332sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx . 因此)(x f 的最小正周期为π,最小值为232+-. (II)由条件知:233sin )(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x g , 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-32,63πππx ,从而⎪⎭⎫⎝⎛-3sin πx 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21,那么233sin )(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--232,231，故)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--232,231.【19】（A ，重庆，理18）具体分析：(I) =)(x f x x sin 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-π x 2cos 3-x x sin cos =)2cos 1(23x +- 232cos 232sin 21--=x x 2332sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx , 因此)(x f 的最小正周期为π，最大值为232- (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,6ππx 时，ππ≤-≤320x ，从而当2320ππ≤-≤x 时，即1256ππ≤≤x 时，)(x f 单调递增.当πππ≤-≤322x 时，即32125ππ≤≤x 时，)(x f 单调递减.综上可知，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,6ππ上单调递增；在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,125ππ上单调递减.【20】（A ，湖北，文18）具体分析：(I)依据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.(II)由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.由于sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z .令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【21】（A ，湖北，理17） 具体分析：(I)参见【20】（A ，湖北，文18）的解析.(II)由(I)知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 由于sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.【22】（A ，山东，理16）具体分析：(I)2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+=1cos(2)112sin 2sin 2222x x x π++-=-， 由22222k xk ππππ-+≤≤+得4k ππ-+≤4x k ππ≤+，所以函数()f x 的单调递增区间是[,]()44k kk Z ππππ-++∈，单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈． (II)由()02Af =得1sin 2A =，又由于A 为锐角，所以6A π=．由正弦定理知sin b B =sin cC=1sin A=2，故2sin b B =，2sin c C =， 所以1sin 2ABC S bc A ∆=1sin sin 4bc B C ==5sin sin()6B B π=-= 111cos 2sin (cos )sin 2242B B B B B -==12sin(2)2344B π+-+≤，取最大值时B = 512C π=． 【23】（A ，安徽，文16）具体分析：(1)由于22()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x +1)42sin(22cos 2sin 1++=++=πx x x ,所以函数)(x f 的最小正周期为π=T ；(2)由(1)可知，)(xf 1)42sin(2++=πx ．当]2,0[π时，]45,4[42πππ∈+x ，由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象可知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取得最大值12+；当4542ππ=+x ，即2π=x 时，)(x f 取得最大值0． 综上，)(x f 在区间]2,0[π上的最大值为12+，最小值为0.【24】（B ，福建，文21）具体分析：(I)()2x f x =cos 2x +210cos 2x5cos 5x x =++10sin()56x π=++ 所以函数()f x 的最小正周期2πT =．(II)(i)将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正。
高考数学一轮复习 常用逻辑用语讲义
高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念A B B A A B 2.全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”. 2.存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”. 3.全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. （2）含有一个量词的命题的否定充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：（1）定义法：①若p ⇒q,q ⇏p ，则p 是q 的充分而不必要条件； ②若p ⇏q,q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③若p ⇒q,q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇏q,q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.（2）等价转化法：即利用p ⇒q 与¬q ⇒¬p ；q ⟹p 与¬p ⇒¬q ；p ⟺q 与¬q⇒¬p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法. （3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=0”的充要条件是“=1”B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件C.命题“x R,-<0”的否定是x R,-0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3.某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A，D均未被选中，”丁说：“C被选中．”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.AB.BC.CD.D【思维升华】4.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是A. B.C. D.5.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式(或不等式组)求解；（2）要注意区间端点值的检验．．．．．．．．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“p是q的……”，②“p的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2x2-3x+1≤0，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B.C. D.7.“，”为真命题的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【思维升华】8.“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是A. B.C. D.9.已知函数的定义域是，不等式的解集是．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求的取值范围．【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围全称命题与特称命题【方法储备】1.全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在 (或全称) 量词； ②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 2. 全称命题与特称命题真假的判断：3.常见词语的否定形式有：【精研题型】10.命题“∃x∈R，”的否定是A.∀x∈R，B.∃x∈R，C.∀x∈R，D.∃x∈R，11.（多选）若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是A.{x|x＜-5}B.{x|-3＜x＜-1}C.{x|x＞3}D.{x|0≤x≤3}12.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.∀x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，x n＋y m≠z p恒成立B.∀x，y，z，n，p∈Z且n＞2，x n＋y n≠z p恒成立C.∀x，y，z，n∈Z且n＞2，x n＋y n≠z n恒成立D.∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n≥2，x n ＋y n ≠z n 恒成立【思维升华】13. （多选）下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题为 A.， B.，C.，D.，14. 在①∃x ∈R ，x 2+2x +2-a ＝0，②存在集合A ＝{x |2＜x ＜4}，非空集合B ＝{x |a ＜x ＜3a }，使得A ∩B ＝∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2-a ≥0，命题q ：_______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．全称（存在）量词命题的综合应用【方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：（1）全称量词命题()x M a f x ∀∈>，（或()a f x <）为真：不等式恒．成立问题，通常转化为求()f x 的最大值（或最小值），即max ()a f x >（或min ()a f x <）；（2）存在量词命题()x M a f x ∃∈>，（或()a f x <）为真：不等式能．成立问题，通常转化为求()f x 的最小值（或最大值），即min ()a f x >（或max ()a f x <）．【精研题型】15. 若“,使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且在[0，+∞）上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2−a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A. B.（-∞，-1） C. D.（1，+∞）17.若∃x0∈R，为假，则实数a的取值范围为．【思维升华】18.已知函数f(x)＝x，g(x)＝-x2+2x+b，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，9]，19.（多选）已知p:，q:,则下列说法正确的是A.p的否定是：B.q的否定是：C.p为真命题时，D.q为真命题时，。
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A． B． C． D．
【警示】很多考生没分清含“或、且、非”的命题的真假判断，而无从下手；或考虑不全而出错.
【解析】 ， ，所以 ，所以 为真命题；若 ，则 ，若 ，则 ，所以 ，所以 为假命题．所以 为真命题．
【答案】选B
易错点4：“或”“且”“非”理解不准致误
命题p∨q真 p真或q真.命题p∨q假 p假且q假(概括为一真即真);
命题p∧q真 p真且q真.命题p∧q假 p假或q假(概括为一假即假);
¬p真 p假.¬p假 p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.
此外，原命题与逆否命题、否命题与逆命题同真同假.
易错点3：充分条件、必要条件颠倒致误
对于两个条件A和B.
如果A B成立，则A是B的充分条件.B是A的必要条件;
如果B A成立，则A是B的必要条件.B是A的充分条件;
如果A B，则A，B互为充分必要条件.
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.
01混淆命题的否定与否命题
例1．（2015新课标）设命题 ： ， ，则 为
A． B．
C． D．
【警示】本题考生易错选A或B，选A是因为只否定结论，而选B是只否定条件.
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系.
【答案】选C.
【叮嘱】特称命题的否定就是全称命题；全称命题的否定是特称命题；在对命题进行否定时，一定要条件和结论都否定.同时还要区分好命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【答案】选C
【解析】若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题.
2．设z是复数,则下列命题中的假命题是
A．若 ,则z是实数B．若 ,则z是虚数
【解析】命题p为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选C.
【答案】选C.
【叮嘱】原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若¬p则¬q;逆否命题：若¬q则¬p.
此外，原命题与逆否命题、否命题与逆命题同真同假.
1．下列说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
1．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】选C.
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系.
2．（2014福建）命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】选C.
【解析】把量词“ ”改为“ ”，把结论否定，故选C．
02分不清四种命题的关系
例2．(选修2－1 P6练习(3)改编)命题p的逆命题为：奇函数的图象关于原点对称，则p为()
A．奇函数的图象不关于原点对称
B．若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称
C．若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数
D．若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数
【警示】本题易错选A，原因在于分不清四种命题的定义
【叮嘱】命题p∨q真 p真或q真.命题p∨q假 p假且q假(概括为一真即真);
命题p∧q真 p真且q真.命题p∧q假 p假或q假(概括为一假即假);
¬p真 p假.¬p假 p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”源自应起来进行理解.通过集合的运算求解.
2.（2020年浙江卷6）已知空间中不过同一点的三条直线 ， ， .则“ ， ， 共面”是“ ， ， 两两相交”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若“ ， ， 两两相交”则“ ， ， 在同一个平面”，反之不成立．
04含逻辑连接词的命题的真假判断
1.（2020年北京卷9）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】选C.
【解析】设命题 为“存在 使得 ”，命题 为“ ”．
设 ，当 时， ， ；
当 时， ， ；则 ．
由 得， 或 ， ，由上述论证可知，其等价于 ， ，则 ．综上， ， 是 的充分必要条件．
C．若z是虚数,则 D．若z是纯虚数,则
【答案】选C
【解析】 ．
对选项A: ,所以 为真．
对选项B: ,所以 为真．
对选项C: ,所以 为假．
对选项D: ,所以 为真．
03充分条件、必要条件颠倒致误
例3．（2020年天津卷2）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．（2014湖南）已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 ．在命题① ② ③ ④ 中，真命题是
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】选C
【解析】由不等式的性质可知，命题 是真命题，命题 为假命题，故① 为假命题，② 为真命题，③ 为真命题，则 为真命题，④ 为假命题，则 为假命题，所以选C．
【警示】解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，而错选B.
【解析】由 可解得 或 ，故 是 的充分不必要条件．
【答案】A
【叮嘱】对于两个条件A和B.
如果A B成立.则A是B的充分条件.B是A的必要条件;
如果B A成立.则A是B的必要条件.B是A的充分条件;
如果A B.则A.B互为充分必要条件.
在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.
易错点02常用逻辑用语
易错点1：混淆命题的否定与否命题
命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.
命题p的否定是否定命题所作的判断.
而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.
易错点2：分不清四种命题的关系
原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若¬p则¬q;逆否命题：若¬q则¬p.