2007-2012年宁夏新课标卷(理科)高考数学试卷和详解答案

2007-2012年普通高等学校招生全国统一考试2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、 海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > 答案：C2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-，【解析】1322-=a b (12).-，答案：D3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）【解析】π()sin 232f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ， π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

答案：A4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（ ） Ａ．23- Ｂ．13- Ｃ．13Ｄ．23【解析】1101011()105(10)70 4.2a a S a a +⨯==+=⇒= 1012.93a a d -∴==答案：D5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 【解析】由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯=答案：C6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，x--Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．BA 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上， 且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·【解析】由抛物线定义，2132()()(),222p p p x x x +=+++即：2132FP FP FP =+．答案：C7．已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．4【解析】,,a b x y cd xy +=+=22()() 4.a b x y cdxyxy++∴=≥=答案：D8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几 何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm【解析】如图，180********.33V =⨯⨯⨯=答案：B 9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2- Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．2【解析】正视图侧视图22cos2cos)π2sin42αααα==+=-⎛⎫-⎪⎝⎭1c o s s i n.2αα⇒+=答案：C10．曲线12exy=在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【解析】11221(),2x xy e e''⇒==曲线在点2(4e)，处的切线斜率为212e，因此切线方程为221(4),2y e e x-=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e-所以：221||2.2A O BS e e∆=-⨯=答案：D123s s s，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ．312s s s>>Ｂ．213s s s>>Ｃ．123s s s>>Ｄ．231s s s>>【解析】(78910)58.5,20x+++⨯==甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s⨯-+-+-+-==(710)6(89)48.5,20x+⨯++⨯==乙2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s⨯-+-+⨯-+-==(710)4(89)68.5,20x+⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s⨯-+-+⨯-+-==22213213.s s s s s s>>>>2由得答案：B12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，y xAE且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h，则12::h h h =（） :12:2Ｃ．2:2:【解析】如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，则四棱锥P A B C D -的各棱长也为a ，于是1,2h a ==2=,3h h ==12::2:2.h h h ∴=答案：B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ， 则：||||6 3.||||2OF FC c OA AB a=⇒==答案：314．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．【解析】(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=⇒++=∴=- 答案：-115．i 是虚数单位，51034i i-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）【解析】510(510)(34)255012.34(34)(34)25i i i i i ii i -+-+-+===+++-答案：12i +16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240.C C A ⋅⋅=种安排方法。

答案：240三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D．现测得BC D B D C αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高A B ．【解析】在BC D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin B C C D B D CC B D=∠∠．所以sin sin sin sin()C D BDC s BC CBDβαβ∠⋅==∠+．在A B C R t △中， tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面A B C ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．【解析】（Ⅰ）证明： 由题设A B A C SB SC ====S A ，连结O A ，A B C △为等腰直角三角形，所以2O A O B O C SA ===，且A O B C ⊥，又SB C △为等腰三角形，故SO B C ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +-．所以SO A △为直角三角形，SO A O ⊥． 又AO BO O = ．所以SO ⊥平面A B C ． （Ⅱ）解法一：取S C 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．O M A ∠∴为二面角A SC B --的平面角．OSBACOSBACM由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得A O ⊥平面S B C ． 所以A O O M ⊥，又2AM SA =，故sin 3A O A M O A M∠===．所以二面角A SC B --3．解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．S C 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222M O M A SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，，，，，． 00M O SC M A SC ==，∴··．故,M O SC M A SC M O M A ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．cos 3M O M A M O M A M O M A<>==，··所以二面角A SC B --的余弦值为3．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212xy +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量O P O Q + 与AB共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12xkx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+．②又1212()y y k x x +=++．③而(01)(A B AB =，，，．所以O P O Q + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．20．（本小题满分12分）如图，面积为S 的正方形A B C D 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形A B C D 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n. 假设正方形A B C D 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形A B C D 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值E X ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率．附表：1000010000()0.250.75ktt tt P k C-==⨯⨯∑【解析】每个点落入M 中的概率均为14p =．依题意知1~100004X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．D C BA（Ⅰ）11000025004E X =⨯=．（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000XP ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75t t tt C -==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC--===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2．【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++．()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+．方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-． （ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则a -或a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当2x =-时，()0f x '=，当22x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a >a <22210x ax ++=有两个不同的实根12x =，22x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞．()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln 2ln22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知A P 是O 的切线，P 为切点，A C 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求O A M A P M ∠+∠的大小． 【解析】（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为A P 与O 相切于点P ，所以O P A P ⊥． 因为M 是O 的弦B C 的中点，所以O M B C ⊥．于是180O PA O M A ∠+∠=°．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知四边形APO M 的对角互补，所以A AA P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以O A M O P M ∠=∠．由（Ⅰ）得O P A P ⊥．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知90O PM APM ∠+∠=°． 所以90O AM APM ∠+∠=°．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程． （Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值． 【解析】（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，．（Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知， 当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-．2008年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准参 锥体体积公式s=V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R=π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1B ．2C ．21 D ．312．已知复数1z i =-，则122--z z z =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（A ．185 B ．43 C ．23 D ．874．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则24a S =（ ）A ．2B ．4C ．215 D ．2175．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 项中的（ ） A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >6．已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得2(1)1(123)ia x i -<=，，都成立的x xA ．110a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7．23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B．2C ．2 D28．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∈R ∃，λ=b aD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天 多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种 10．由直线12x =，x =2，曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 211．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，12．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A．B．C ．4D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b，λ+=a b 0λ>，则λ= ．14．设双曲线221916xy-=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ； ② ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．18．（本小题满分12分）如图，已知点P 在正方体A B C D A B C D ''''-的对角线BD '上，60P D A ∠=︒．（Ⅰ）求DP 与C C '所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小． 19．（本小题满分12分）A B ，X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为（Ⅰ）在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2； （Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：2()D aX b a D X +=） 20．（本小题满分12分）3 1 277 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 888 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6甲乙AB CD PA 'B 'C 'D '在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：2222bya x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：24y x=的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=35．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分） 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．（Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线A P 垂直直线O M ，垂足为P ． （Ⅰ）证明：2OM OP OA = ；（Ⅱ）N 为线段A P 上一点，直线N B 垂直直线O N ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线O N 于K ．证明：90OKM = ∠．23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程 已知曲线C 1：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线C 2：22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()84f x x x =---． （Ⅰ）作出函数()y f x =的图像； （Ⅱ）解不等式842x x --->．参考答案一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D11．A12．C二、填空题 13．3 14．321515．43π16．1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）． 2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． 3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4． 18．解：如图，以D 为原点，D A 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)D A = ，，，(001)C C '=，，．连结B D ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长D P 交B D ''于H ．设(1)(0)D H m m m => ，，， 由已知60DH DA <>=，，由可得2m =2m =122D H ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ⨯++⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，．即D P 与C C '所成的角为45．（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)D C =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，，所以60DH DC <>=，．可得D P 与平面AA D D ''所成的角为30 ． 19．解：（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为150.8100.26EY =⨯+⨯=，221(56)0.8(106)0.24D Y =-⨯+-⨯=，220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312D Y =-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212100100100x x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22243(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 2224(46003100)100x x =-+⨯，当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值．20．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253M F =，所以1513x +=，得123x =，13y =．M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去2b 并整理得4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143xy+=．（Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12M F N F 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l M N ∥，所以l 与O M 的斜率相同，故l的斜率323k ==设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，12169m x x +=，212849m x x -=．因为O A O B ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++=21(1428)09m =-=．所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->， 故所求直线l的方程为y =-y =+21．解：（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2121210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，，解得11a b =⎧⎨=-⎩，，或948.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-．（Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形．（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦．令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．22．解：（Ⅰ）证明：因为M A 是圆O 的切线，所以O A A M ⊥． 又因为A P O M ⊥．在R t O A M △中，由射影定理知，．（Ⅱ）证明：因为B K 是圆O 的切线，B N O K ⊥．同（Ⅰ），有，又O B O A =，所以，即O N O M O PO K=．又N O P M O K =∠∠，所以O N P O M K △∽△，故90OKM OPN == ∠∠．23．解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =．2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -+=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同． 24．解：（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩， ≤，， ≤，图像如下：（Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >，由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学（海南、宁夏卷）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A ＝{1,3,5,7,9},B ＝{0,3,6,9,12},则A∩B 等于( )A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}2.复数iii i 32233223+---+等于 ……( ) A.0 B.2 C.－2i D.2i3.对变量x,y 有观测数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v 有观测数据(u i ,v i )(i ＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()图1 图2A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关 4.双曲线112422=-yx的焦点到渐近线的距离为（ ）A.32B.2C.3D.1 5.有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x ∈R,212cos2sin22=+x x p 2:∃x,y ∈R,sin(x －y)＝sinx －sinyp 3:∀x ∈［0,π］,x xsin 22cos 1=- p 4:sinx ＝cosy 2π=+⇒y x其中的假命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 4C.p 1,p 3D.p 2,p 3 6.设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,22,1,42y x y x y x 则z ＝x+y( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1＝1,则S 4等于( ) A.7 B.8 C.15D.168.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则下列结论中错误的是（ ）A.AC ⊥BEB.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A —BEF 的体积为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值 9.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内,且||||||OC OB OA ==，0||||||=++NC NB NA ，||||||||||||PA PC PC PB PB PA ∙=∙=∙，则点O,N,P 依次是△ABC 的（ ） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心)10.如果执行下边的程序框图,输入x ＝－2,h ＝0.5,那么输出的各个数的和等于（ ）A.3B.3.5C.4D.4.5 11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm 2)为（ ）A.21248+B. 22448+C. 236+2436+ D. 21212.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x,x+2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_________________.14.已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω＞0,－π≤φ＜π)的图像如图所示,则φ＝_______.15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答).16.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m－1+a m+1－a m2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________.:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤..18.(本小题满分12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人;(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1:B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点.(1)求证:AC ⊥SD. (2)若SD ⊥平面PAC,求二面角PACD 的大小.(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE ∥平面PAC?若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H,∠B ＝60°,F 在AC 上,且AE ＝AF.(1)证明B,D,H,E 四点共圆;(2)证明CE 平分∠DEF. 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1:⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3,cos 4(t 为参数),C 2:⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为2π=t ,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:⎩⎨⎧+-=+=ty t x 2,23(t 为参数)距离的最小值..24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点.设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和.(1)将y 表示为x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值?详解答案选择题1.答案:A 解析:即在A 中把B 中有的元素去掉.2.答案:D 解析:原式i i i i i i i i i 2131313)32)(32()23)(32()32)(23(=+=+----++.故选D.3答案:C 解析:由图象观察易知C 正确. .4. 答案:A解析:焦点F(4,0),渐近线方程为x y 3=.由点到直线的距离得32234==d .故选A.5.答案:A 解析:∀x ∈R, 12cos2sin 22=+x x ,故p 1为假命题.由sinx ＝cosy ⇒sinx ＝sin(y -2π)⇒y x -+2π＝π+2kπ,或ππk y x 22+-=,k ∈Z,故p 4为假命题. 故选A.6.答案:B 解析:由图象可知z ＝x+y 在点A 处取最小值z min ＝2,无最大值.7.答案:C 解析:由4a 1+a 3＝4a 2⇒4+q 2＝4q ⇒q ＝2, 则S 4＝a 1+a 2+a 3+a 4＝1+2+4+8＝15. 故选C.8.答案:D 解析:由AC ⊥平面DBB 1D 1可知AC ⊥BE.故A 正确. EF ∥BD,EF ⊄平面ABCD,知EF ∥平面ABCD,故B 正确. A 到平面BEF 的距离即为A 到平面DBB 1D 1的距离,为22, 且定值=⨯=∆EF BB S BEF 121,故V A —BEF 为定值,即C 正确. 故选D.9.答案:C 解析:由||||||OC OB OA ==知O 到A 、B 、C 三点的距离相等,即为外心. 由0||||||=++NC NB NA ,设D 为BC 中点,则有NA+2ND ＝0. 则N 为中线靠近中点的三等分点,即为重心.由00)(||||||||||=∙⇒=-∙=∙=∙AC PB PA PC PB PC PB PB PA ,同理,有0||||=∙BC PA ，0||||=∙AB PC .则P 为垂心,故选C.10.答案:B 解析:当x ＜0时输出y 恒为0,当x ＝0时,输出y ＝0.当x ＝0.5时,输出y ＝x ＝0.5.当1≤x≤2时输出y 恒为1,而h ＝0.5,故x ＝1、1.5、2. 故输出的各个数之和为0.5+3＝3.5.故选B.11.答案:A 解析:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为P —ABC(如图). 且底边为直角三角形,顶点P 在底面射影为底边AC 的中点,且由已知可知AB ＝BC ＝6,PD ＝4. 则全面积为26421562126621⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=S 21248+=.故选A.12.答案:C 解析:令2x ＝x+2⇒x 1＜0(舍)或x 2＝2,令2x ＝10－x 即2x +x ＝10,则2＜x ＜3. 则可知f(x)的大致图象如下图所示.故f(x)≤6,即选C.填空题13.答案:y ＝x解析:由F(1,0)知抛物线C 的方程为y 2＝4x,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则有y 12＝4x 1,y 22＝4x 2,两式相减有y 12－y 22＝4(x 1－x 2)14)(212121=⇒=+∙--⇒AB k y y x x yy .故l AB :y －2＝x －2,即y ＝x. 14.答案:109π解析:25)432(2πππ=-⨯=T ,故54=ω.∴)54sin(ϕ+=x y ,令4224354ππϕπ-=+⨯k (k ∈Z). 则10112ππϕ-=k ,k ∈Z.又－π≤φ＜π, 则109πϕ=.15.答案:140 解析:分两步:(一)有一人不参加活动17C ,(二)将6人分成二组,每组3人安排在两天工作36C .故共有1403617=⨯C C .16.答案:10解析:由a m －1+a m+1－a m 2＝0且a m －1+a m+1＝2a m 知a m 2＝2a m ⇒a m ＝2或a m ＝0. 又S 2m －1＝38知a m ≠0,故a m ＝2,则S 2m －1＝(2m －1)×2＝38⇒m ＝10.三、解答题18.分析:本小题主要考查三角形中正、余弦定理的应用. 解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到M,N 点的俯角α1,β1;B 点到M,N 的俯角α2,β2;A,B 的距离d(如图所示).②第一步:计算AM.由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d AM ;第二步:计算AN.由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d AN ;第三步:计算MN.由余弦定理)cos(22122βα-⨯-+=AN AM ANAMMN .方案二:①需要测量的数据有:A 点到M,N 点的俯角α1,β1;B 点到M,N 点的俯角α2,β2;A,B 的距离d(如图所示). ②第一步:计算BM.由正弦定理)sin(sin 211ααα+=d BM ;第二步:计算BN.由正弦定理)sin(sin 121βββ-=d BN ;第三步:计算MN.由余弦定理)cos(22222αβ+⨯++=BN BM BNBMMN19.分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解.解:(1)甲、乙被抽到的概率均为101,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为1001101101=⨯=p . (2)①由题意知A 类工人中应抽查25名,B 类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3＝25,得x ＝5, 6+y+36+18＝75,得y ＝15. 频率分布直方图如下:图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. ②123145253135255125255115258105254x A =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,133.8145751813575361257515115756x B =⨯+⨯+⨯+⨯=,131.1133.81007512310025x =⨯+⨯=.A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.20分析:本小题主要考查线面垂直、线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线面垂直去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件进行转化.亦可以从空间向量方向入手.解法一:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中,AC ⊥BD,所以AC ⊥平面SBD,得AC ⊥SD.(2)设正方形边长a,则a SD 2=.又a OD 22=,所以∠SDO ＝60°. 连OP ,由(1)知AC ⊥平面SBD,所以AC ⊥OP ,且AC ⊥OD.所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角. 由SD ⊥平面PAC,知SD ⊥OP ,所以∠POD ＝30°,即二面角P －AC －D 的大小为30°. (3)在棱SC 上存在一点E,使BE ∥平面PAC. 由(2)可得a PD 42=,故可在SP 上取一点N,使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E.连BN,在△BDN 中知BN ∥PO.又由于NE ∥PC,故平面BEN ∥平面PAC,得BE ∥平面PAC.由于SN ∶NP ＝2∶1,故SE ∶EC ＝2∶1.解法二:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意知SO ⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,OB 、OC 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标O —xyz,如图.设底面边长为a,则高a SO 26=.于是S(0,0,a 26),D(a 22-,0,0),C(0,a 22,0),OC ＝(0,a 22,0),SD ＝(a 22-,0, a 26-),0=∙SD OC .故OC ⊥SD.从而AC ⊥SD.(2)由题设知,平面PAC 的一个法向量DS ＝(a 22,0,a 26),平面DAC 的一个法向量OS ＝(0,0,a 26).设所求二面角为θ,则23cos =∙O =DS S θ,所求二面角的大小为30°.(3)在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC.由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量, 且DS ＝(a 22,0,a 26),CS ＝(0, a 22-,a 26).设CS t CE =,。