第3节 平行线的综合及平移初步
第三节平行线的综合及平移初步一、课标导航二、核心纲要1．平移变换(简称：平移)（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.（2）三角形内角和定理的应用①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等.②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变.2．两条平行线间的距离在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.3．命题命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据，这样的真命题叫做定理.命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形 式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.4．基本几何模型转折角处巧添平行线(拐点+平行线).利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题).5．思想方法：转化思想本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。
三、全能突破基础演练1．有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④2．如图5-3-1所示，将△ABC 平移到△A ′B ′C ′．B在上述平移过程中，连接各组对应点的线段即AA ′、BB 、CC 之间的数量关系是________；位置关系是________________。
AB EDCC DABEABDC3．判断下列各命题的真假，真命题画“√”，假命题画“×”．⑴如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
( )⑵相等的角是对顶角。
( )⑶如果AC=BC，那么C点是AB的中点。
( )⑷若x2=4，则x=2。
( )⑸同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交。
( )⑹同位角相等。
( )⑺邻补角的角平分线互相垂直。
( )4．对于命题：⑴在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________。
⑵对顶角相等。
写成“如果…，那么…”的形式为_______________________________________。
5．如图5-3-2所示，已知AB∥CD，∠α等于_________。
AD6．已知，如图5-3-3所示，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论。
7．如图5-3-4所示，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是( )A ．18B ．16C ．12D ．88．按照灯，汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图5-3-5所示是一按照灯碗的剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB 、OC ，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO =∠α，∠DCO =∠β，则∠BOC 的度数是()9．将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若HG =10，MC =2，MG =4，则图5-3-6中阴影部分的面积为____________。
MABGDE F10．如图5-3-7所示，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3m ，其侧面如图所示，则买地毯至少需要_____元。
图5—3—65.6m2.8m11．如图5-3-8所示，直线AB ∥CD ，∠EF A =30°，∠FGH =90°，∠HMN =30°，∠CNP =50°，则∠GHM 的大小是__________。
x50°30°30°HMPEABCDFG N12．⑴如图5-3-9(a )所示，MA 1∥NA 2，则∠A 1+∠A 2=_______度。
如图5-3-9(b )所示，MA 1∥NA 3，则∠A 1+∠A 2+∠A 3=_______度。
如图5-3-9(c )所示，MA 1∥NA 4，则∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4=_______度。
如图5-3-9(d )所示，MA 1∥NA 5，则∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A 5=_______度。
从上述结论中我们发现，如图5-3-9(e )所示，MA 1∥NA n ，则∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n + =_______度。
⑵如图5-3-10(a )所示，AA 1∥BA 2，则∠A 1，∠A 2，∠B 1之间的关系为______________； 如图5-3-10(b )所示，AA 1∥BA 3，则∠A 1，∠A 2，∠A 3，∠B 1，∠B 2之间的关系为___________；图5—3—7图5—3—8如图5-3-10(c )所示，AA 1∥BA n ，则∠A 1，∠A 2，∠A 3，…A n ，∠B 1，∠B 2…∠B n -1之间的关系为___________。
13．已知，如图5-3-11所示，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：EK ⊥FK ．4321KFEABCD14．已知，如图5-3-12所示，AB ∥CD ，∠ABF =∠DCE 。
求证：∠BFE =∠FEC ．ABCDFE图5—3—11图5—3—1215．如图5-3-13所示，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D 。
证明：β=2αEC16．已知，如图5-3-14所示，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC 。
求证：AB∥GF 。
AD17．如图5-3-15所示，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。
当动点P 落在某个部分时，连接P A 、PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角。
(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。
) ⑴当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB =∠P AC +∠PBD ；⑵当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？ ⑶当动点P 落在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论。
选择其中一种结论加以证明。
B④④ ③图5—3—1518．图形的操作过程(本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：●在图5-3-16(a)中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)；●在图5-3-16(b)中，将线段A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B2B1B3 (即阴影部分)。
⑴在图5-3-16(c)中，请你类似地画一条有两个折点的线(所画的线互交叉)，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=______________，S2=______________，S3=______________。
⑶联想与探索如图图5-3-16(d)所示，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
画图(要求对应点的水平位置上，宽度保持一致)19．小强在做课后习题时,遇到这样一道题如图5-3-17所示，A、JB两村庄在一条河的两岸，从A村庄去B村庄，需要在河上造一座桥MV,请问桥造在何处从A村庄去B村庄的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直)”小强的解题思路:因为桥与河岸垂直,线段MJV是一个不变的量，将它平移到A处得线段,折线段AMNB的长度与折线段的长度相等.故要使AVNJB最短，就是求点M到点S最短即可，所以点N应是A'B与12的交点.根据上述材料解答下列问题：如图5-3-18所示：A、C两个驻军地被两条河隔开,上级安排紧急任务，现要求一名士兵从A地出发到C地完成这项任务，现要修两座与河岸垂直的桥,问桥建在何处使得这名士兵走的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，且两条河宽相等）l1l2l1l2l3lMNA'BAAC中考链接20．如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是( )．21．如图5-3-19，△DEF经过怎样的平移得到△ABC( )．A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位图5—3—17图5—3—18图5—3—1922．(2011·湖南怀化)如图5-3-20所示，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°，则∠3∠等于( ) A ．100° B ．60° C ．40°D ．20°ab32123．(2011·广州改编)已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ； ③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c 。
其中真命题的是_________。
(填写所有真命题的序号)巅峰突破24．如图5-3-21所示，两直线AB 、CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=()A ．630°B ．720°C ．800°D ．900°25．如图5-3-22所示，AB ∥CD ，∠EAF =14∠EAB ，∠ECF ＝14∠ECD ，求证：∠AFC =34∠AEC 。
图5—3—20。
第三节 平行线的综合及转换初步-学而思培优
第三节平行线的综合及转换初步-学而思培优本文档将介绍学而思培优中关于平行线的综合和转换初步的内容。
平行线是初中数学中重要的概念之一，通过研究本节内容，学生可以深入理解平行线的性质和转换规则，提高数学解题能力。
一、平行线的综合1. 平行线的定义平行线是位于同一平面内，永不相交的直线。
2. 平行线的基本性质- 平行线具有同方向性，即它们要么都向右延伸，要么都向左延伸。
- 平行线之间的距离始终保持一致，无论两条线距离有多远。
- 通过一条直线与平行线相交，所得的对应角相等。
- 通过两条平行线与一条直线相交，所得的内错角、内失角、同旁内角相等。
3. 平行线的判定方法- 角度判定法：两条直线上的对应角相等，则这两条直线平行。
- 垂直判定法：两条直线与同一直线垂直，则这两条直线平行。
- 距离判定法：两条直线上任意一对相互垂直的线段长度相等，则这两条直线平行。
二、平行线的转换初步1. 平行线的转换性质- 平行线的转换性质包括平行线的延长线仍然平行，平行线上任意点之间的线段保持平行，平行线与同一平面内的一条直线所成的对应角相等等。
2. 平行线的转换规则- 延长线规则：若直线AB与直线CD平行，则直线AB的延长线与直线CD的延长线也平行。
- 线段规则：若线段AB与线段CD平行，则线段AB上的任意一点E与线段CD上的任意一点F通过连线EF得到的线段也与线段AB、CD平行。
- 角度规则：若直线AB与直线CD平行且与直线EF相交，则角A与角E、角B与角F对应相等。
通过研究以上的平行线综合和转换初步的内容，学生可以更好地理解平行线的性质和转换规则，进而应用于解决实际问题中。
为了加深对平行线的理解，建议学生多进行练和思考，提高数学应用能力。
参考资料：- 学而思培优数学教材- 《初中数学》。
平移变换与平行线的小学数学教案
平移变换与平行线的小学数学教案一、教学目标1.了解平移变换的含义及作用；2.能够熟练进行图形的平移变换；3.理解平移变换前后平行关系的保持；4.掌握平移变换的正确使用方法。
二、教学过程1.引入教师展示平面图形，引导学生观察图形的相互关系，并提出问题：如何将图形在平面上移动，但保持图形内部相互关系不变？2.概念介绍教师向学生介绍平移变换的概念，即平移变换是将平面上的图形沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部的相对位置不变。
平移变换通常用箭头表示。
3.理论解释教师解释平行线的概念，即位于同一平面上但不相交的直线叫做平行线。
同时，教师强调平移变换在不改变图形相互关系的同时可以保持平行线不变。
4.演示操作学生们用纸板、铅笔等绘制几何图形，老师在黑板上演示平移变换及平行线的保持过程。
例如：将矩形沿箭头所示方向平移10个单位5.练习演练将学生分成小组，在老师的指导下，进行平移变换的练习。
引导学生找到图形相对于平移变换的箭头方向，将图形沿箭头所指方向平移，并观察图形内部的相对位置变化。
例如：通过维持原先的水平线和垂直线，我们会发现图形不仅沿着箭头方向平移了10个单位，而且还保持了图形内部的相对位置不变。
6.巩固练习让学生自选图形进行平移变换，并用平移变换箭头形式表示。
对于不同水平的学生，可以进行不同的练习，以达到有效的巩固效果。
例如：三、教学小结1.平移变换是将平面图形沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部的相对位置不变。
2.平移变换箭头表示平移的方向和距离。
3.平移变换不改变平行线的位置，平移变换前后平行线依然保持平行。
四、教学思考1.如何引导学生根据平移变换箭头确定平移的方向和距离？2.如何在课堂上更好地巩固平移变换与平行线的知识点？。
《平移》相交线与平行线平移
同旁内角互补
两条直线被第三条直线所截，如果截得的两个同旁内角之和等于180度，那么这两条直线互相平行。
平行线的判定方法
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90度，则这两条直线互相垂直。
垂直
两条直线的斜率乘积等于-1，则这两条直线互相垂直。
斜率
当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。
交点
相交线的判定方法
平移对称性
平移传递性是指如果两个图形之间存在平移关系，那么其中一个图形与另一个图形之间的平移关系也是不变的。
平移传递性
平移的特殊情况处理
平移的技巧和经验总结
找准平移前后对应的点
确定平移前后的两个图形之间的对应点是解题的关键。
利用平移基本性质
利用平移的基本性质，如平移方向和距离等，可以帮助解题。
借助数形结合方法
对应点连线平行（或重合）
对应点连线相等
对应角相等
图形平移的判定方法
05
平移的规律
直线平行移动，其斜率和截距不变。
平移的规律性
直线平移
曲线平行移动，其形状和大小不变，但位置和方向发生变化。
曲线平移
关于某点对称的图形，其中心点平移到另一个位置，其余部分按相反方向平移。
中心对称平移
对于平移对称性，要特别注意其对称轴或对称中心是不变的。
平移后的相交线与原来的相交线之间的交点位置保持不变。
图形平移的性质
平移后的图形与原来的图形之间的相对位置保持不变。
平移后的图形与原来的图形之间的角度和比例保持不变。
图形平移后，整体形状和大小不会发生变化。
03
平移的应用
将两条平行线沿相同方向移动相同距离，得到一组新的平行线；反之亦然。
第三节平行线的综合及平移初步
第三节平行线的综合及平移初步课标内容课标要求目标层次平行线会用平行线的判定和性质解决简单问题★★会用平行线的知识解决相关问题★★★两条平行线的距离理解两条平行线的距离的概念★利用两条平行线间的距离解决有关问题★★平移了解图形的平移，理解平移中对应点连接平行（或在一条直线上）且相等的性质★能按要求作出简单平面图形平移后的图形，指出平移的方向和距离★★能应用平移的知识解决有关问题及进行图形设计★★★命题知道什么是命题，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成的★对于给定的命题，能找出它的题设和结论，并会把该命题写成“如果···，那么···”的形式。
能判定命题的真假★★二、核心纲要(1)平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)平移的性质①经过平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，注：平移中一变是位置的变化；两不变是形状和大小不变．2.两条平行线间的距离在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离．平行线间酌距离处处相等．3.命题(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．(2)定理：从公理或其他真命题出发，判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．(3)命题的组成：每个命题由题设、结论两部分组成．命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．4.基本几何模型(1)转折角处巧添平行线（拐点十平行线）．(2)利用平移解决与线段有关的问题（包括线段长、周长、面积及最短路径等问题）．5.思想方法：转化思想.本节重点讲解：一个性质（平移的性质），一个思想，两大模型，四个概念（平移、两平行线间的距离、命题和定理）．三、全能突破基础演练1.有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 2.如图5-3-1所示，将三角形ABC 平移到△.A B C ''''在上述平移过程中，联结各组对应点的线段即AA BB CC '''、、之间的数量关系是 ；位置关系是 ．3.判断下列各命题的真假，真命题画“√’’，假命题画“×’’ (1)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( ) (2)相等的角是对顶角．( )(3)如果AC=BC ，那么C 点是AB 的中点．( )(4)若x 2=4，则x=2．( )(5)同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( ) (6)同位角相等．( )(7)邻补角的角平分线互相垂直．( )． 4.对于命题：(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，写成 “如果……那么……”的形式为 .(2)对顶角相等．写成“如果……那么……”的形式为 . 5.如图5-3-2所示，已知AB ∥CD ，∠a 等于 ．6.已知，如图5-3-3所示，AB ∥CD ，请你观察∠E 、∠B 、∠D 之间有什么关系，并证明你所得的结论．能力提升7．如图5-3-4所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是( ) A ．18 B ．16 C ．12 D ．88.探照灯，汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图5-3-5所示是一探照灯碗的剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB,OC ，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=a ，∠DCO=β，则∠BOC 的度数是( )A.0180a β-- B ．1()2a β+ C.a β+ D.900a β+- 9.将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若HG= 10 ,MC=2 ,MG=4，则图5-3-6中阴影部分的面积为 . 10.如图5-3-7所示，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3m ，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 元。
平行线的性质及平移(基础)知识讲解.doc
平行线的性质及平移（基础）知识讲解责编:某老师【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、图形的平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典型例题】类型一、平行线的性质1．（2015•泰安）如图，AB ∥CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（ ）A ．122°B ．151°C ．116°D ．97°【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD ，再根据角平分线的定义求出∠GFD ，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【答案】B ．【解析】解：∵AB ∥CD ，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB ∥CD ，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .【答案】48°，132°，48°类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】（2015•河北模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（）A．4 B．5 C．10 D．无法判断【答案】B．解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，S△ABE=S△ABD=5．类型三、图形的平移3．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．【答案与解析】解：如图所示，（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．4．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．【答案】30°【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△BED．则有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．举一反三：【变式】 (上海静安区一模)如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC()A．沿EC的方向移动DB长B．沿BD的方向移动BD长C．沿EC的方向移动CD长D．沿BD的方向移动DC长【答案】A类型四、平行的性质与判定综合应用5．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
北师大版-数学-四年级上册-《平移与平行》知识讲解 平行线的认识
平行线的认识
问题导入生活中什么样的线叫平行线呢？（教材20页上面例题）
过程讲解
1.列举生活实例通过平移感知平行
发现：物体沿一定方向进行平移，平移前后对应的线段是平行的。
2.进一步认识平行
a
b
同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
如上图，直线a与直线b互相平行，可以说a是b的平行线，也可以说b是n的平行线。
3．理解“同一平面”
同一平面是确定两条直线是否平行的前提，如果不是在同一平面内，虽然不相交，也不能称为平行，如下图：
a与b在同一平面内，不相交，a与b平行；a与c不在同一平面内，不相交，但a与c 不平行。
4.感受生活中的平行
黑板的上下两秋千架的两根五线谱的横
条边互相平行吊绳互相平行线互相平行
5.在图中找平行线
归纳总结在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
平行线的性质及平移(基础)知识讲解
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B＝180°，则∠C+∠D＝_______．
12．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．
13．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．
举一反三：
【变式】如图，已知 ，且∠1=48°，则∠2＝，∠3＝，∠4＝.
类型二、两平行线间的距离
2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则().
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定
类型三、图形的平移
3．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．
A．60°B．90°C．120°D．150°
3．下列图形中，由AAB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是().
A．70°B．80°C．100°D．110°
５．(南通)如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为().
第3课时 平移与平行(教案 )- 2023-2024学年数学四年级上册-北师大版
第3课时平移与平行（教案）- 2023-2024学年数学四年级上册-北师大版一、教学目标1. 让学生理解平移的概念，能够识别图形的平移现象。
2. 使学生掌握平移的基本性质，能够运用平移性质进行简单的推理和计算。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
4. 引导学生运用平移性质解决实际问题，提高学生的应用意识。
二、教学内容1. 平移的定义和性质2. 平移在实际中的应用3. 平行线的性质和判定三、教学重点与难点1. 教学重点：平移的定义和性质，平行线的性质和判定。
2. 教学难点：理解平移的基本性质，运用平移性质解决实际问题。
四、教学过程（一）导入新课1. 引导学生回顾上一课时学习的图形的旋转现象，提问：“同学们，你们知道图形除了旋转，还有什么运动方式吗？”2. 学生回答后，教师总结：“图形除了旋转，还有一种运动方式叫做平移。
”（二）探究平移的定义和性质1. 教师出示一个图形，进行平移操作，引导学生观察并思考：“同学们，你们发现这个图形发生了什么变化？”2. 学生回答后，教师总结：“图形在平移过程中，大小、形状、方向都不变，只是位置发生了改变。
”3. 教师引导学生运用平移性质进行简单的推理和计算，如：“如果将一个图形向右平移5个单位，再向下平移3个单位，那么这个图形的最终位置在哪里？”4. 学生尝试解答后，教师给出正确答案并解释解题思路。
（三）探究平行线的性质和判定1. 教师引导学生回顾平行线的定义，提问：“同学们，你们知道平行线的定义吗？”2. 学生回答后，教师总结：“平行线是指在同一个平面内，不相交的两条直线。
”3. 教师引导学生探究平行线的性质，如：“如果两条直线平行，那么它们之间的距离是否相等？”4. 学生回答后，教师总结：“两条平行线之间的距离处处相等。
”5. 教师引导学生探究平行线的判定方法，如：“如何判断两条直线是否平行？”6. 学生回答后，教师总结：“如果两条直线在同一个平面内，且它们之间的夹角为180度，那么这两条直线平行。
人教版七年级下册(新)第5章第三节《平行线的性质》教案
最后，对于课堂总结环节，我觉得可以做得更好。在今后的教学中，我打算让学生更多地参与到总结过程中，让他们自己总结今天学到了哪些知识点，以及这些知识点在实际生活中的应用。这样不仅能巩固所学知识，还能提高学生的表达能力。
5.课后作业：布置与平行线性质相关的练习题，巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.提升几何直观：通过探索平行线的性质，培养学生观察图形、理解几何关系的能力，提高几何直观素养。
2.培养逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生从特殊到一般，通过具体实例发现平行线的性质，学会运用逻辑推理进行证明，增强推理能力。
3.发展数学建模素养：设计实际问题，让学生运用平行线性质构建数学模型，解决问题，提高数学建模能力。
1.讨论主题：学生将围绕“平行线性质在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将提出一些开放性的问题来引导学生思考，帮助他们发现问题、分析问题并解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果，这些成果将被记录在黑板上或投影仪上。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行线的基本概念。平行线是在同一平面内永不相交的两条直线。它们在几何图形中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析铁路轨道的布局，我们可以看到平行线在实际中的应用，以及它们如何帮助我们理解和解决问题。
八年级数学上册第七章平行线的证明第三节平行线的判定教案北师大版
平行线的判定课题7.3平行线的判定课型教学目标1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．重点在观察实验的基础上进行平行线定理的推导. 难点证明平行线的判定定理.教学用具三角板教学环节本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——小结．二次备课复习1.什么是平行线？（不相交的两条直线就叫做平行线）2.什么叫做同位角、内错角和同旁内角?新课导入第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．课程讲授第二环节探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．123abc这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用下图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠2=∠8；④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( )A.①③B.①②④C.①③④D.②③④活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．小结①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．作业布置课后作业：课本第173页习题7.4第1，2题思考题：课本第174页习题7.4第4题（给学有余力的同学做）八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．关于x ，y 的方程组03x py x y +=⎧⎨+=⎩的解是1x y =⎧⎨=∆⎩，其中y 的值被盖住了，不过仍能求出p ，则p 的值是（ ）A ．-12B ．12 C ．-14 D ．14【答案】A【分析】将x=1代入方程x+y=3求得y 的值，将x 、y 的值代入x+py=0，可得关于p 的方程，可求得p ．【详解】解：根据题意，将x=1代入x+y=3，可得y=2，将x=1，y=2代入x+py=0，得：1+2p=0，解得：p=-12， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是前提，严格遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键．2．若中国队参加国际数学奥林匹克的参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：()()22221261S x 38x 38x 386⎡⎤=-+-+⋯-⎣⎦（），下列说法错误的是（ ） A ．我国一共派出了六名选手 B ．我国参赛选手的平均成绩为38分C ．参赛选手的中位数为38D ．由公式可知我国参赛选手比赛成绩团体总分为228分 【答案】C【分析】根据求方差的公式进行判断． 【详解】由()()()22221261S x 38x 38x 386⎡⎤=-+-+⋯-⎣⎦可得，共有6名选手，平均成绩为38分，总分为638228⨯=．故A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意．故选：C ．【点睛】考查了求方差的公式，解题关键是理解求方差公式中各数的含义．3．如图，ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于D ，E ，若105BAC ∠=︒，则DAE ∠的度数为（ ）A．20︒B．25︒C．30D．35︒【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝75°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝105°，∴∠B＋∠C＝75°，∵边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAE＝∠BAC−（∠BAD＋∠EAC）＝∠BAC−（∠B＋∠C）＝105°−75°＝30°，故选：C．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是()A．－2 B．－2C．1－2D．2－1【答案】C【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案. 【详解】根据题意可得QP=222+22∵Q表示的数为1,∴P1表示的数为2.故选C.【点睛】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长.5．下列说法正确的是()A．形如的式子叫分式B．整式和分式统称有理式C．当x≠3时，分式无意义D．分式与的最简公分母是a3b2【答案】B【解析】根据分式的定义，分式有意义的条件以及最简公分母进行解答．【详解】A、形如且B中含有字母的式子叫分式，故本选项错误．B、整式和分式统称有理式，故本选项正确．C、当x≠3时，分式有意义，故本选项错误．D、分式与的最简公分母是a2b，故本选项错误．故选：B．【点睛】考查了最简公分母，分式的定义以及分式有意义的条件．因为1不能做除数，所以分式的分母不能为1．6．设(2a+3b)2＝(2a﹣3b)2+A，则A＝()A．6ab B．12ab C．0 D．24ab【答案】D【解析】∵(2a+3b)2＝4a2+12ab+9b2, (2a-3b)2+A=4a2-12ab+9b2+A, (2a+3b)2 =(2a-3b)2+A∴4a2+12ab+9b2=4a2-12ab+9b2+A,∴A=24ab;故选D．7．点P(－2,3)到x轴的距离是()A．2 B．3 C．D．5【答案】B【解析】直接利用点的坐标性质得出答案．【详解】点P（-2，1）到x轴的距离是：1．故选B．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键．8．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．9，40，41 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【详解】A、92+402=412，∴此三角形是直角三角形，不合题意；B、∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不合题意；C、∵0.32+0.42=0.52，∴此三角形是直角三角形，不合题意；D、82+242≠252，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．9．下列分式中，是最简分式的是（）．A．2xxB．242xx y-C．22x yx y-+D．23x-【答案】D 【详解】A选项：2xx=x，不是最简分式；B选项：242xx y-=2xx y-，不是最简分式；C选项：22x yx y-+=x y x yx y（）（）+-+=x－y，不是最简分式；D选项，是最简分式.故选D.点睛：判断一个分式是不是最简分式关键看分子、分母是否有公因式，如果分子分母是多项式，可以先分解因式，以便于判断是否有公因式，从而判断是否是最简分式.10．如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是( )A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠BAC＝∠EAD D．∠B＝∠E【答案】C【解析】解：∠BAC=∠EAD，理由是：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，∠CAD=∠BAE，AD=AE，∴△ACD≌△ABE(SAS)，选项A，选项B，选项D的条件都不能推出△ACD≌△ABE,只有选项C的条件能推出△ACD≌△ABE．故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能正确运用定理进行推理是解此题的关键,注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS．二、填空题11．某中学为了解学生上学方式，现随机抽取部分学生进行调查，将结果绘成条形统计图如图，由此可估计该校2000名学生中有______名学生是乘车上学的．【答案】260【详解】132000260256213⨯=++，故答案为：260.12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．【答案】612.【分析】先由勾股定理求出BC 的长为12m ，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案【详解】如图，∵∠C=90︒，AB=13m ，AC=5m ，∴BC=2222135AB AC -=-=12m ，∴()218611252⨯⨯=+（元），故填：612.【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积.13．如图，在△ABC 中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD 与△CQP 全等．【答案】4或6【分析】求出BD ，根据全等得出要使△BPD 与△CQP 全等，必须BD=CP 或BP=CP ，得出方程12=16-4x 或4x=16-4x ，求出方程的解即可．【详解】设经过x 秒后，使△BPD 与△CQP 全等，∵AB=AC=24厘米，点D 为AB 的中点，∴BD=12厘米，∵∠ABC=∠ACB ，∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须BD=CP 或BP=CP ，即12=16-4x 或4x=16-4x ，x=1，x=2，x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；即点Q 的运动速度是4或6，故答案为：4或6【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程．14．如果关于x 的方程23(1)a x =-的解为2x =，则a =__________ 【答案】23【分析】根据题意直接将x=2代入分式方程，即可求a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程23(1)a x =-的解为2x =，∴将x=2代入分式方程有：23a =，解得23a =. 故答案为：23.【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系并代入求值是解题的关键． 15．计算：-4(a 2b -1)2÷8ab 2=_____． 【答案】342a b -【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=-4a 4b -2÷8ab 2=-12a 3b -4=-342ab ，故答案为：-342a b【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 16．如图，点P 的坐标为()2,0，点B 在直线4y x =+上运动，当线段PB 最短时，点B 的坐标为__________．【答案】()1,3-【分析】当PB 垂直于直线4y x =+时，线段最短，此时会构造一个等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，当PB 垂直于直线4y x =+时线段最短，设直线4y x =+与x 轴交于点A ，则A （-4,0），当PB AP ⊥时，PAB △为等腰直角三角形，作PC x ⊥轴于C ，则易得C(-1，0)，将1x =-代入即可求得3y =，()1,3P ∴-；故答案为：()1,3-．【点睛】本题考查的是垂线段最短以及等腰直角三角形的性质，这里根据题意正确添加辅助线即可轻松解题． 17．如果2(2)(3)x x mx m -+-的乘积中不含2x 项,则m 为__________. 【答案】23【分析】把式子展开，找到x 2项的系数和，令其为1，可求出m 的值．【详解】()()223x x mx m -+-＝x 3+3mx 2-mx-2x 2-6mx+2m,又∵()()223x x mx m -+-的乘积中不含2x 项, ∴3m-2＝1，∴m=23. 【点睛】考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为1．三、解答题18．已知：如图，在ABC 中，,90,AC BC C AD =∠=︒是BAC ∠的平分线交BC 于点,D DE AB ⊥，垂足为E .(1)求证：BE DE =.(2)若2BE =，求CD 的长.【答案】 (1)证明见详解；(2)CD=2.【分析】(1)等腰直角三角形的底角为45°，再证∠BDE=45°即可求解．(2)由AD 是BAC ∠的平分线,得到CD=DE,再由2BE =即可求出CD 的长．【详解】(1)证明:AC BC BAC B =∴∠=∠，.180BAC B C ∠+∠+∠=︒， 90C ∠=︒，118052()904B ∴∠=︒-=， 90DE AB BED ⊥∴∠=，，180B BED BDE ∠+∠+∠=，180904545BDE ∴∠=--=.BDE B ∴∠=∠.BE DE ∴=.(2)AD 是BAC ∠的平分线，90C ∠=︒，DE AB ⊥, DE CD ∴=.CD BE ∴=.22BE CD=∴=，.【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点以及数形结合的思想．19．某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？【答案】（1）补图见解析（2）6；6；6；（3）4500本．【解析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；（3）用捐款平均数乘以总人数即可．【详解】（1）捐D类书的人数为：30-4-6-9-3=8，补图如图所示；（2）众数为：6 中位数为：6平均数为：x=130（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6；（3）750×6=4500，即该单位750名职工共捐书约4500本．【点睛】主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．20．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．【答案】（1）证明见解析；（1）69°．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；（1）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE 的度数．【详解】（1）∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∵∠A=∠B，∴∠BEO=∠1．又∵∠1=∠1，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∵A BAE BEAEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC≌△BED（ASA）．（1）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．在△EDC中，∵EC=ED，∠1=41°，∴∠C=∠EDC=（180°-41°）÷1=69°，∴∠BDE=∠C=69°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．21．已知：如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，AD=EB．求证：AC=CB．【答案】详见解析.【分析】先由角平分线的性质得出CD=CE ，再由SAS 证明△ADC ≌△BEC ，得出对应边相等即可．【详解】证明：∵OM 是∠AOB 的平分线，C 是OM 上一点，且CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，∴CD=CE ，∠ADC=∠BEC=90°，在△ACD 和△BCE 中，AD EB ADC BEC DC CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△BEC （SAS ），∴AC=CB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．22．某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为___，图①中m 的值是___；(2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．【答案】（1）50，1；（2）平均数为16，众数是10，中位数是15；（3）928人【分析】（1）根据捐款数是5元的，所占的百分比是8%，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m 的值；（2）根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；（3）利用总人数2900乘以对应的百分比即可求解．【详解】解：（1）调查的学生数是：4÷8%=50（人），m=1650×100=1． 故答案是：50，1；（2）平均数是：4516101215102083050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =16（元）， 众数是：10元，中位数是：15元；（3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数是：2900×1%=928（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．如图，已知直线1经过点A （0，﹣1）与点P （2，3）．（1）求直线1的表达式；（2）若在y 轴上有一点B ，使△APB 的面积为5，求点B 的坐标．【答案】（1）y ＝2x ﹣1；（2）点B 的坐标为（0，4）或（0，﹣6）．【分析】（1）利用待定系数法求出直线l 的表达式即可；（2）设B （0，m ），得出AB 的长，由P 的横坐标乘以AB 长的一半表示出三角形APB 面积，由已知面积列方程求出m 的值，即可确定出B 的坐标．【详解】解：（1）设直线l 表达式为y ＝kx +b （k ，b 为常数且k ≠0），把A （0，﹣1），P （2，3）代入得：123b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：21k b =⎧⎨=-⎩， 则直线l 表达式为y ＝2x ﹣1；（2）设点B 的坐标为（0，m ），则AB ＝|1+m |，∵△APB 的面积为5，∴12AB •x P ＝5，即12|1+m |×2＝5，整理得：|1+m |＝5，即1+m ＝5或1+m ＝﹣5，解得：m ＝4或m ＝﹣6，故点B 的坐标为（0，4）或（0，﹣6）．【点睛】本题是一次函数的综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积等知识，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用．24．如图①，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ABC 沿着AC 方向平移，得到图②中的△GBH ，BG 交AC 于点E ，GH 交CD 于点F ．在图②中，除△ACD 与△HGB 全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．【答案】△AGE≌△HCF，△EBC≌△FDG.【解析】分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．详解：△AGE ≌△HCF ，△EBC ≌△FDG .选择证明△AGE≌△HCF，过程如下：由平移可知AG ＝CH.∵△ACD 与△HGB 全等，∴∠A＝∠H.又BG⊥AD，DC⊥BH，∴∠AGE ＝∠HCF ＝90°，∴△AGE ≌△HCF(ASA)．点睛：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．25．解不等式组3112232x x x ⎧+>-⎪⎨⎪-≥⎩，并求出它的整数解．【答案】解集为：31x -<≤；整数解为：2101--、、、.【分析】分别将不等式组中的两个不等式解出，然后进一步求出解集，从而得出整数解即可. 【详解】①由31122x x +>-得：223x >-，解得：3x >-； ②由32x -≥解得：1x ≤；∴原不等式组解集为：31x -<≤，∴整数解为：2101--、、、.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【答案】B【解析】试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．∵在△ADF和△CBE中，A C{AF CEAFD CEB∠=∠=∠=∠，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确．C．∵在△ADF和△CBE中，AF CE{AFD CEBDF BE=∠=∠=，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．故选B．2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF ，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP 平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF ，∴OP 平分∠AOB （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．3．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ）A ．8815 2.5x x +=B ．8184 2.5x x +=C ．88152.5x x =+D ．8812.54x x =+ 【答案】D【解析】分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．详解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+． 故选D ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可．4．若点()1,1P m -关于原点的对称点是()22,P n ，则m+n 的值是 ( )A ．1B ．-1C ．3D ．-3【答案】B【解析】根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n 的值，进而可算出m+n的值．【详解】∵点P1（m，-1）关于原点的对称点是P2（2，n），∴m=-2，n=1，∴m+n=-2+1=-1，故选B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．5．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）A．（12）n•75°B．（12）n﹣1•65°C．（12）n﹣1•75°D．（12）n•85°【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝1802B︒-∠＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12×75°；同理可得，∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n﹣1×75°．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是根据这两个性质求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，探索其规律．6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2=3，不能组成三角形；B、2+3＞4，能组成三角形；C、5+6＜12，不能够组成三角形；D、2+3=5，不能组成三角形．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．7．下列命题是假命题的是A．全等三角形的对应角相等B．若|a|＝－a，则a>0C．两直线平行，内错角相等D．只有锐角才有余角【答案】B【分析】分别根据全等三角形的性质、绝对值的性质、平行线的性质和余角的性质判断各命题即可.【详解】解：A. 全等三角形的对应角相等，是真命题；B. 若|a|＝－a，则a≤0，故原命题是假命题；C. 两直线平行，内错角相等，是真命题；D. 只有锐角才有余角，是真命题，故选：B.【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理．8．下列多项式中，能分解因式的是（）A．2m m-+m n-D．221-+C．2m n+B．21m n【答案】D【分析】根据因式分解的各个方法逐一判断即可．。