平行线的性质及其应用

第2讲 平行线的性质及其应用

考点·方法·破译

【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A 【解法指导】

两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，错角相等； 两条直线平行，同旁角互补.

【变式题组】

01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数

为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°

02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65°

03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.

【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠

EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平

分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________

02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC

平行，则∠BOC ＝___________

03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP

的度数.

A

B C

D

O

E F

A

E

B

C （第1题图） （第2题图） E A F G

D C B B

A M

C

D N P （第3题图）

D

A 2

E

1

B

C

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC

＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.

【变式题组】

01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.

【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）

【变式题组】

01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．

C

D

A

B E F

1 3

2

G

B 3

C A 1

D 2

E F

（第1题图） A

2

C

F 3 E

D

1

B （第2题图）

3

1

A

B

G D

C

E

B F E A C

D α β P B C D A

∠P ＝α＋β

3 2 1 γ 4

ψ

D

α β

E B C

A

F

H 02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.

3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的

度数.

【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.

【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

结论：⑴____________________________ ⑵____________________________

⑶____________________________ ⑷____________________________

【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形

B

A

P

C

A

C C

D

A

A P

C

B

D P

B

P

D B

D ⑴

⑵

⑶

⑷

A D M C

N E B F E

D 2 1 A

B C