平行线的性质及平移(提高)巩固练习
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。
(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。
（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。
（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。
(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。
（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。
平行线的判定和性质证明题基础+提高(含答案)
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°
（1） ；过点P作 ，
又因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ；
（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，
∵AB∥CD
∴PM∥CD
∴∠2+∠PFD＝180°
∵∠PFD＝130°
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
[探究]如图②AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是°
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．
参考答案（基础）
1. ∠ABC；角平分线的定义； ∠BCD；∠ABC+∠BCD；180°；两直线平行，同旁内角互补．
2. ，同旁内角互补，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠CBG，同位角相等，两直线平行。
3.证明：∵∠E=∠F∴AE∥CF∴∠A=∠ABF∵∠A=∠C∴∠ABF=∠C∴AB∥CD．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°
如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线
∴∠AEG＝ AEP＝25°，∠GFC＝ PFC＝60°
过点G作GM∥AB∴∠MGE＝∠AEG＝25°∵AB∥CD（已知）∴GM∥CD∴∠GFC＝∠MGF＝60°∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°
七年级下册数学第五章第3节《平行线的性质》提高训练题 (25)(含答案解析)
【解析】
由平行线的性质可得∠A＝∠3，由∠1＝∠2可得AC∥DE，进而可得∠3＝∠E，进一步即可得出结论．
解：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换）．
七年级下册数学第五章第3节《平行线的性质》提高训练题 (25)
一、单选题
1．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）
A．55°B．60°C．65°D．75°
2．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1＋∠2＝180º
2．B
【解析】
根据两条直线平行，同位角相等，即可判断．
解：∵CB∥DF，
∴∠2=∠3（两条直线平行，同位角相等）．
故选：B．
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
3．C
【解析】
根据两条直线平行，同位角相等得∠1的同位角是40°，再根据平角的定义和垂直定义即可求得∠2．
解：∵a∥b，
26．如图 ∥ ， ____________
27．如图，若a//b，则图中x的度数是______________度．
28．一副直角三角尺按如图1所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合条件的度数为_____．
∵FG⊥AB，CD⊥AB（已知）．
∴∠GFB=90°，∠CDB=90°（垂直的定义）．
湘教版数学七年级下册_《平移》提高训练
《平移》提高训练一、选择题1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（）A．3B．2C．32D．232．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1B．2C．3D．63．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3B．1C．2D．不确定4．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°则四边形ABFD的周长等于（）A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm二、填空题6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．7．如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是12cm，那么四边形ABFD的周长是cm．8．如图，将△ABC沿射线BC方向平移到△AˊBˊCˊ的位置．若BCˊ=17，BˊC=5，则BBˊ的长为．9．已知△ABC，AB=3cm，将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，已知A′B=lcm，则CC′=cm．10cm，则四边形ABFD的周长等于．三、解答题11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个项点的位置如图所示，现将△ABC沿AAˊ的方向平移，使得点A移至图中的点Aˊ的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△AˊBˊCˊ（其中B′、Cˊ分别是B、C的对应点）（2）（1）中所得的点B′，C′的坐标分别是．12．如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．（1）求证：∠A=∠D；（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．13．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，AC=3cm．将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到△DEF．（1）四边形ABDF是什么四边形？（2）求阴影部分的面积？14．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，﹣3），C（1，﹣2），请按下列要求操作：（1）请在图中画出△ABC；（2）将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC 的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF．（1）画出平移后的三角形DEF；（2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值．《平移》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（）A．3B．2C．32D．23【分析】由S△ABC =18、S△A′EF=8且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．【解答】解：如图，∵S△ABC =18、S△A′EF=8，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE =S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2（负值舍去），故选：B．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．2．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1B．2C．3D．6【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE=6﹣4=2，进而可得答案．【解答】解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=6﹣4=2，故选：B．【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．3．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3B．1C．2D．不确定【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1．所以BC=BE+CE=1+2=3，故选：A．【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．4．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°【分析】利用平行线的性质即可解决问题；【解答】解：∵l1∥l2，∴∠2=∠1，∵∠1=55°，∴∠2=55°，故选：B．【点评】本题考查平移变换，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．若△ABC的周长为15cm，则四边形ABFD的周长等于（）A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm【分析】根据平移的性质可得DF=AC，再求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长加上AD与CF，然后计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=2cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=△ABC的周长+AD+CF=15+2+2=19cm．故选：C．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与△ABC的周长的关系是解题的关键．二、填空题6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为30 cm2．【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据S△ABC ﹣S△HEC=S△DEF﹣S△HEC，即S阴影=S梯形ABEH，利用梯形面积公式即可得到答案．【解答】解：由平移可得△ABC≌△DEF，∴S△ABC =S△DEF，∴S△ABC ﹣S△HEC=S△DEF﹣S△HEC，即S阴影=S梯形ABEH，S梯形ABEH=BE（HE+AB）=×4×（9+9﹣3）=30（cm2）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．7．如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是12cm，那么四边形ABFD的周长是18cm．【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，∴EF=AD=3cm，AE=DF．∵△ABE的周长为12cm，∴AB+BE+AE=12cm．∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=12+3+3=18cm．故答案为18．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．8．如图，将△ABC沿射线BC方向平移到△AˊBˊCˊ的位置．若BCˊ=17，BˊC=5，则BBˊ的长为6．【分析】根据已知的对应点找到对应线段和平移的距离，结合平移的性质：对应点所连的线段平行且相等进行解答．【解答】解：根据题意可知，△ABC平移的距离是线段BB′的长．∵BCˊ=17，BˊC=5，∴BB′=．即△ABC平移的距离是6，故答案为：6【点评】此题考查平移的性质，解决本题的关键是理解连接对应点的线段的长度为两个图形平移的距离．9．已知△ABC，AB=3cm，将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，已知A′B=lcm，则CC′=2cm．【分析】直接利用平移的性质得出AA′=CC′，进而得出答案．【解答】解：连接CC′，∵将△ABC沿着AB方向平移得到△A′B′C′，∴AA′=CC′，∵AB=3cm，A′B=lcm，∴AA′=CC′=2cm．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平移的性质，正确得出AA′=CC′是解题关键．10．如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于10cm，则四边形ABFD的周长等于12cm．【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，∴AD=CF=1，AC=DF，∴四边形ABFD的周长=AB+（BC+CF）+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周长=10，∴AB+BC+AC=10，∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．故答案为：12cm，【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．三、解答题11．在平面直角坐标系中，△ABC的三个项点的位置如图所示，现将△ABC沿AAˊ的方向平移，使得点A移至图中的点Aˊ的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△AˊBˊCˊ（其中B′、Cˊ分别是B、C的对应点）（2）（1）中所得的点B′，C′的坐标分别是B′（5，3），C′（8，4）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）根据点的位置写出坐标即可；【解答】解：（1）△AˊBˊCˊ如图所示；（2）B′（5，3），C′（8，4），故答案为：B′（5，3），C′（8，4）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．（1）求证：∠A=∠D；（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．【分析】（1）根据平移的性质得到AB ∥A 1D ，利用平行线的性质得到∠A=∠D 即可；（2）结合题意写出线段平行、相等及角相等的有关结论即可．【解答】证：（1）由平移性质，得∠B=∠A 1B 1C 1．又∵∠A 1B 1C 1=∠BB 1D ．∴∠B=∠BB 1D ，∴AB ∥A 1D ，∴∠A=∠D ；（2）三条不同类型的正确结论是：①AD ∥A 1C 1；②BB 1=CC 1；③∠A=∠A 1．【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后两个图形之间的关系，难度不大．13．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，BC=4cm ，AC=3cm ．将△ABC 沿着与AB 垂直的方向向上平移3cm ，得到△DEF ．（1）四边形ABDF 是什么四边形？（2）求阴影部分的面积？【分析】（1）依据四边形ABDF 是平行四边形，∠ABD=90°，即可得出四边形ABDF 是矩形；（2）依据S △ABC =S △FDE ，即可得到阴影部分的面积=矩形ABDF 的面积=6×3=18cm 2．【解答】解：（1）由平移可得，DF=AB ，DF ∥AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形，又由平移的方向可得，∠ABD=90°，∴四边形ABDF 是矩形；（2）由平移可得，△ABC≌△FDE，BD=3cm，∴S△ABC =S△FDE，∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=6×3=18cm2．【点评】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．14．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，﹣3），C（1，﹣2），请按下列要求操作：（1）请在图中画出△ABC；（2）将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．【分析】（1）结合直角坐标系，可找到三点的位置，顺次连接即可得出△ABC．（2）将各点分别向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，然后顺次连接即可得到△A1B1C1，结合直角坐标系可得出三点坐标．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：结合图形可得：A1（﹣2，6），B1（﹣1，1），C1（﹣4，2）．【点评】此题考查了平移作图及直角坐标系的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平移的特点，找到各点在直角坐标系的位置，难度一般．15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，三角形ABC 的三个均在格点上，将三角形ABC向左平移3个单位长度、再向下平移2个单位长度得到三角形DEF．（1）画出平移后的三角形DEF；（2）若点A向左平移n个单位长度在三角形DEF的内部，请直接写出所有符合条件的整数n的值．【分析】（1）根据平移的定义作出三顶点分别平移得到对应点，再顺次连接可得；（2）根据所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）由图知，n=3或4．【点评】本题考查了利用平移变换作图，准确找出对应点的位置是解题的关键，熟悉网格结构对解题也很关键．。
平行线的判定和性质专项练习题(基础题)
[ 一 ] 、平行线的性质一、填空1．如图 1，已知∠ 1 = 100 °， AB ∥CD ，则∠ 2 =，∠3 =，∠4 =．2．如图 2，直线 AB 、 CD 被 EF 所截，若∠ 1 = ∠2，则∠ AEF +∠CFE =．2C1E 5 FE 1AAE E B4B4AD13232CD1 2CFDFBDABC图 1图 2图 3图 43．如图 3 所示（ 1）若 EF ∥AC ，则∠ A +∠= 180°，∠ F + ∠= 180°（）．（2）若∠ 2 =∠ ，则 AE ∥BF ．（ 3）若∠ A +∠= 180 °，则 AE ∥BF ．4．如图 4，AB ∥CD ，∠ 2 = 2 ∠1，则∠ 2 =．5．如图 5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于 G ，∠ 1 = 50 °，则∠ E =．EE Al 1DCAHBABD 2EFFGBC1 F DC D1l 21C ABG图 5图 6图 7图6．如图 6，直线 l 1∥l，AB ⊥l 于 O ， BC 与 l 2 交于 E ，∠1 = 43 °，则∠ 2 =．217．如图 7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠ CAB 互余的角有 ． 8．如图 8，AB ∥EF ∥C D ，EG ∥BD ，则图中与∠1 相等的角（不包含∠ 1）共有个．二、解答以下各题9．已知：如图， BC ∥DE ． BE 均分 ∠ABC ，．求证： ∠1=∠210、如图：已知，AB ∥ ON ∠BOA= ∠BAO ，求证： OP 均分∠MON 。
11、已知，如图 B 、D 、A 在向来线上， DE ∥BC， BC 是∠ABE 的均分线，求证：∠D= ∠E．12、如图，已知AB ∥CD，试说明：．∠AEC= ∠A+ ∠C． 13、如图，已知，DB ∥EC． AC∥ DF ，那么∠C=∠D 吗？试说明你的原因．14．如图， DE∥BC，∠ D∶∠ DBC = 2∶1，∠ 1 = ∠2，求∠ DEB的度数．D E21B C图 1011．如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠ 1 = ∠2建立．（要求给出两个以上答案，并选择此中一个加以证明）A 1 BEF2C D图 11]12．如图 12，∠ ABD和∠ BDC的均分线交于E，BE交 CD于点 F，∠ 1 + ∠2 = 90 °．求证：（ 1）AB∥CD；（2）∠ 2 +∠3 = 90°．BA123C F D[ 二 ] 、平行线的判断一、填空1．如图１，若若+D21A B图１A= 3，则∥；= 180 °，则∥．E 15a23 4 31bC图２若2= E，则∥；c dAa2514 23 b B 3 C图３图４2．若 a⊥c，b⊥c，则 a b ．3．如图２，写出一个能判断直线l ∥l的条件：1 24．在四边形 ABCD中，∠ A +∠B = 180 °，则5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
4-平行线的判定和性质综合提高(1)
知识总结归纳一. 同位角、内错角、同旁内角（1） 这三种角讲的只是位置关系，而不是大小关系（2） 这三种角都是两条直线被第三条直线所截的情况下，不共点的成对出现的两个角之间的位置关系，并不是任何情况下都可以提及它们（3） 三线八角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 二. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 三. 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 四. 两直线平行的性质和判定（1） 同位角相等两直线平行 （2） 内错角相等两直线平行 （3） 两直线平行 五. 其它判定方法：垂直于同一条直线的两直线平行典型例题一. 基本概念【例1】 如图，试判断1∠与2∠，1∠与7∠，1∠与BAD ∠，2∠与9∠，2∠与6∠，5∠与8∠各对角的位置关系．【例2】 如图，已知//////AB CD EF GH ，//AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个CEA DF12 3456 7 8 9BA HGFD EB C【例3】 如图，////AD EG BC ，//AC EF ，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有多少个？若150∠=o ，求A H G∠的度数．【例4】 如图，FAD ∠，DAC ∠，CAB ∠，BCA ∠，ACE ∠和B ∠中，同位角有____________，内错角有______________，同旁内角有______________．二. 基础训练【例5】 如图，已知//AB CD ，且40B ∠=o ,70D ∠=o ，求DEB ∠的度数．【例6】 如图所示，//AE BD ，132∠=∠，225∠=o ，求C ∠．BCADFEA CEDB2 1AEDCB1HGED CB A F【例7】 如图，已知//AE BD ，1130∠=o ，230∠=o ，求C ∠的度数．【例8】 如图，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求α∠的度数．【例9】 如图，已知////FC AB DE ，::2:3:4D B α∠∠=，求α、D ∠、B ∠的度数．【例10】 如图，已知12BFM ∠=∠+∠，求证：//AB CD ．DCB EA21 lmCBDADBCC FEC DBA GME 1 2 F【例11】 如图，直线AB 与CD 平行，EF 平分BFG ∠，EG 平分DGF ∠，求证：90E ∠=o ．【例12】 如图，已知CB AB ⊥，CE 平分BCD ∠，DE 平分CDA ∠，90EDC ECD ∠+∠=o ，求证：DA AB ⊥．三. 探索与证明【例13】 （1）如图所示，若12//AA BA ，求证：121A A B ∠+∠=∠．（2）如图所示，若121A A B ∠+∠=∠，求证：12//AA BA ．【例14】 已知：如图，////AB EF CD ，EG 平分BEF ∠，192B BED D ∠∠+∠=o ＋，24B D ∠-∠=o ，求GEF∠的度数．ABA B EC DGFGDCB AEFEDCBA【例16】 如图，//AB EF ，90C ∠=o ，试探究B D E ∠∠∠、、之间的数量关系．【例17】 如图，直线//l m ，将含有45o 角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=o ，求2∠的度数．【例18】 如图，已知CD AB //，BF 平分ABE ∠，且//BF DE ，则ABE ∠和D ∠有什么关系？【例19】 已知：如图，//AB CD ，求证：B D F E G ∠+∠+∠=∠+∠．AGFEBCBA12A BC DFEADBCEFA EDCB【例20】 如图，两直线AB ，CD 平行，求123456∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．思维飞跃【例21】 如图所示．已知CD 平分ACB ∠，且//DE AC ，//CD EF ．求证：EF 平分DEB ∠．【例22】 如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠【例23】 如图，180ABE DEB ∠+∠=o ，12∠=∠，求证：F G ∠=∠E FGHABCD123 4 56ACBF23 DE 1GABC 1 2DEFOAFDECB【例24】 如图，已知//AB CD ，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠．求证：34AFC AEC ∠=∠．【例25】 如图，直线//AB CD ，30EFA ∠=o ，ο90=∠FGH ，30HMN ∠=o ，50CNP ∠=o ，求GNM ∠的大小．作业ABCD 是长方形，且174∠=o ，求2∠的度数．2. 如图，D 、G 是ABC ∆边上的任意两点，//DE BC ，//GH DC ，则图中相等的角共有多少对？ABHGEDCA BC DFEHP ABCDEFGMN2 13. 如图，直线AB 与CD 平行，1(370)x ∠=+o ,2(522)x ∠=+o ，求3∠．4. 如图，已知//AB CD ，求A C AEC ∠+∠+∠的度数．5. 如图，//AB CD ，120ABE ∠=o ，35DCE ∠=o ，求BEC ∠的度数．6. 已知：如图，//DE AB ，求证：AED A B ∠=∠+∠7. 如图，//CD BE ，则231∠+∠-∠的度数等于多少？DCEB A1 32DCBADCEBA AC BD E EB DCA 2 13图1FE DC BA1、如图, AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF。
平行线的性质练习题
.《平行线的性质》练习题1．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行2．如图，AB∥CD，那么（）A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠53．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°4．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°6. 下列说法中，错误的是（）A.在同一平面内，直线a∥b，若c与a相交，则b与c也相交B.直线a与b相交，c与a相交，则b∥cC.直线a∥b，b∥c,则a∥cD.直线AB与CD平行，则AB上所有点都在CD同侧7．下列语句中不是命题的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）不许大声讲话；（3）连接A、B两点；（4）花儿在春天开放． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．下列命题中，正确的是（）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； B．相等的角是对顶角；C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； D．和为180°的两个角叫做邻补角。
9. 下列说法中，正确的个数是（）①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是0或1或2或3；④在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；⑤过两条相交直线外一点A，能作一直线m与这两条直线都平行；⑥在同一平面内不相交的两条射线必平行。
A．1个 B．2个C．3个 D．4个10．如图，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°11. 已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）A．135° B．115° C．65° D．35°12．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定13．如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．14. 如图所示：EF在同一平面内，直线l1与l2满足下列条件，写出其对应的位置关系：（1）l1与l2没有公共点，则l1与l 2 ；（2）l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2；（3）l1与l2有两个公共点，则l1与l 2 。
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平行线的性质及平移（提高）巩固练习
撰稿：孙景艳责编：赵炜
【巩固练
习】
1.
2.
、选择题
若/ 1和/ 2是同旁内角，若/ 1 = 45°
C. 45° 或
AB //
CD ,
2的度数是（
）
D .不能确定
，则/
135 °
/ C=125° / A=45 ° 那么/ E的大小为(
3.
4.
5.
A. 45° B . 135 °
（山东日照）如图，已知直线
C. 90 °
（湖北襄樊）如图所示，已知直线AB // CD ,
150°，则/ C的度数为（
D. 100
BE 平分/ ABC ,交CD 于D，/ CDE =
B
C. 120°
A. 150° B . 130°
如图，OP // QR // ST,则下列等式中正确的是
A.
B.
C.
/ 1 + / 2- / 3 = 90°
/ 2+ / 3- / 1 = 180°
/ 1- / 2+Z 3 = 180°
/ 1 + / 2+Z 3= 180°
D.
如图，AB // CD // EF, BC // AD , AC 平分/
D. 100°
( )
BAD，且交EF于点O,则与/ AOE相等的
C. 3个D . 2个
6.(湖北潜江)如图，AB// EF// CD / ABC= 46°,/ CEF= 154°,则/BCE等于(
点C ,那么/ ABC 的度数是
A . 23°
B . 16°
C . 20°
D . 26°
7. 如图所示，在一个由 4X 4个小正方形组成的正方形网格中，把线段 EF 向右平移 位，向下平移1个单位得到线段 GH ，则阴影部分面积与正方形 ABCD 的面积比是（
A . 3: 4
B . 5: 8
C . 9: 16
D . 1:2 8.
有下列语句中，真命题的个数是
（ ）
_ _ 2 2
①画直线AB 垂直于CD ;②若| x| = |y|，则x 2=屮. ③两直线平行，同旁内角相等；④直线
a 、
b 相交于点0;⑤等角的余角相等.
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个 二、填空题
9 •（四川广安）如图所 示，直线a // b .直线c 与直线a , b 分别相交于点 A 、点B , AM
垂足为点M ，若N 1=58 ©，则N 2 = _________________，直线a 与 b 之间的距离 _____ .
3个单
）
3m 到
方向走了
13. 如图所示，在长方形
ABCD中，
AB = 10cm , BC = 6cm，将长方形ABCD沿着AB方向
平移________ cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为2
24cm -
14. 如图，已知ED // AC , DF // AB，有以下命题:
①/ A = Z EDF;②/ 1 + / 2= 180 °;③/ A+ / B+ / C= 180 °;④/ 1 = Z 3 .其中，正确
的是_________ .（填序号）
三、解答题 / 3 =/ C,则/ 1和/ 2什么关系？并说明理由.
16.已知如图(1) , CE // AB，所以/ 1 = Z A，/ 2=Z B,二 / ACD =/ 1 + Z 2 =/ A+ / B •这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的
直线，求/ A+ / B+ / C+ / D的度数.
17.对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断：① a// b;②b// c:③a丄b;
④a / c;⑤a丄c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成真命题，试写出所有的真命题.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D;
B D
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的
2.【答案】E;
【解析】解：如图，
•/ AB // CD，/ C=125 , •••/ EFB=125 ,二/ EFA=180 - 125=55°,
•••/ A=45 , •/ E=180°-/ A -/ EFA=180 - 45° - 55° =80°.
3.【答案】C;
【解析】解：如图，
/ C= 180 ° - 30 ° - 30°= 120 ° .
解：••• AB // EF // CD，/ ABC = 46° / CEF = 154°
•/ BCD = / ABC = 46° / FEC + / ECD = 180°
•/ ECD = 180°— / FEC = 26°
•/ BCE = / BCD — / ECD = 46°—26°= 20° .
7. 【答案】B;
【解析】S阴=2 2+3 1 2=10, S正ABCD=4 4=16，所以S阴：S正ABCD =10:1^5:8 .
8. 【答案】A;
【解析】②⑤为真命题.
二.填空题
9. 【答案】32°线段AM的长；
【解析】因为a//b ,所以/ ABM = / 1 = 58°又因为AM丄b ,所以/ 2 + / ABM = 90° 所以/ 2 =
90 °—58°= 32°
10. 【答案】95°;
【解析】如图，过点E作EF// AB .所以/ ABE+ / FEB = 180 ° （两直线平行，同旁内角互补），所以/ FEB = 180° -120°= 60°.又因为AB // CD, EF // AB，所以EF / CD , 所以/ FEC =/ DCE = 35° （两直线平行，内错角相等），所以/ BEC = / FEB+ / FEC
5.
6.
【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△ MSR中,
180°—/ 2+180°—/ 3+/ 1= 180°,即有/ 2+ / 3- / 1= 180° .
【答案】
【解析】
【答案】
A
与/ AOE相等的角有：/ DCA / ACB / COF / CAB / DAC
C；
【解析】
4.
=60° +35 ° = 95°
A fl
【解析】解：如•图所示：•••'」12,/ 2=65°, •••/ 6=65°, •••/ 1=55°, •••/ 仁/4=55°, 在厶ABC 中，/ 6=65°, / 4=55°, •/ 3=180°- 65° - 55°=60°.
【解析】根据题意画出示意图，可得：/ ABC= 80°—60°= 20°
13. 【答案】6;
【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm,另一边长为：24十6= 4 cm,所以平移的距离
为：AE= 10—4= 6 cm.
14. 【答案】①②③④；
【解析】由已知可证出：/ A=/ 1=/ 3=/ EDF,又/ EDF与/ 1和/ 3互补.
三.解答题
15. 【解析】
解：/ 1 = / 2 .理由如下：
AD 丄BC, EF丄BC（已知），•/ ADB =/ EFB = 90°.
•AD // EF（同位角相等，两直线平行），
•- / 1 = / 4（两直线平行，同位角相等）.
又•••/ 3=/ C（已知），
•AC // DG（同位角相等，两直线平行）.
•- / 2 =/ 4 （两直线平行，内错角相等），
•/ 1 = / 2 .
16. ［解析】
解：如图，过点D作DE // AB交BC于点E .
C
•••/ A+ /2= 180。
，/ B+ / 3 = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
又•••/ 3=/ 1 + Z C,
•/ A+ / B+ / C+ / 1 + / 2= 360 °,
即/ A+ / B+ / C+/ ADC = 360 ° .
17. 【解析】
解：(1)如果a // b, b // c,那么a// c; (2)如果a// b, a// c,那么b // c; (3)如果b // c, a// c,那么a// b; (4)如果b / c, a丄b，那么a丄c;。