人教A版数学必修一黄冈市年秋高一期末模块修习考试数学试题
湖北省黄冈市高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省黄冈市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=3．下列各组向量中可以作为基底的是（）A． =（0，0），=（1，﹣2）B． =（1，2），=（3，4）C． =（3，5），=（6，10） D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．86．如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸运点”有多少个（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（）A．B．或0C．0 D．以上答案都不对9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，记a=f（0），b=f（），c=f（），则有（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 11．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值X围是（）A．（1，] B．（0，] C．（1，）D．（0，）12．对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（）①h（x）=2016x②h（x）=|x|③h（x）=x+sin．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知角α的终边过点（﹣1，），则tanα=．14．若函数f（x）=的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域为．15．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．16．已知a=log827，则2a+2﹣a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值？18．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求sinx+cosx的值．19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么X围时，选择方案一比选择方案二更好？20．如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．21．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．（1）函数f（x）=是否是“可拆函数”？请说明理由；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，某某数b的取值X围：（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．22．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}设函数f（x）=（a，b为常数）．（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值X围．2015-2016学年某某省黄冈市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=【考点】函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义和性质进行判断即可．【解答】解：y=cosx是偶函数，不满足条件．y=sinx既是奇函数又存在零点，满足条件．y=lnx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y=是奇函数，但没有零点，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和函数零点的性质，比较基础．3．下列各组向量中可以作为基底的是（）A． =（0，0），=（1，﹣2）B． =（1，2），=（3，4）C． =（3，5），=（6，10） D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】判断向量是否共线，即可推出结果．【解答】解：由题意可知=（1，2），=（3，4）不共线，可以作为基底．故选：B．【点评】本题考查共面向量基本定理的应用，是基础题．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．5．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用已知条件求解即可．【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=cosB=|BC|2=8．故选：D．【点评】本题考查向量数量积的求法，基本知识的考查．6．如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸运点”有多少个（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质，易得M，N不是幸运点，利用指数函数的性质，易得N，P不是幸运点，利用“幸运点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到Q（2，2），G （2，0.5）两个点是幸运点，从而得到答案．【解答】解：当x=1时，对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）恒过（1，0）点，故M（1，1），N（1，2），一定不是幸运点，当y=1时，指数函数y=a x（a＞0，a≠1）恒过（0，1）点，故P（2，1）也一定不是幸运点，而Q（2，2）是函数y=x与y=的交点；G（2，）是函数y=x与y=log4x的交点；故幸运点有2个，故选：C．【点评】本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，利用指数函数和对数的性质，排除掉不满足“幸运点”定义的M，N，P点是解答本题的关键．7．已知函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=e x+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．【解答】解：设g（x）=e x+ae﹣x，因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=e x+ae ﹣x为奇函数．又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f（x）=x（e x+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=e x+ae﹣x为偶函数所以（e﹣x+ae x）=e x+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣e x）=0对任意的x都成立所以a=1，所以n=1，所以m+2n=1故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数f（x）过原点，则必有f（0）=0，要灵活使用奇函数的这一性质．8．若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（）A．B．或0C．0 D．以上答案都不对【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由sin2θ+cos2θ===1，求出k，由此有求出tanθ．【解答】解：∵sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，∴sin2θ+cos2θ===1，解得k=﹣7或k=1（舍），∴sinθ===，cosθ===，∴tanθ==．故选：A．【点评】本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，记a=f（0），b=f（），c=f（），则有（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据周期和对称轴作出f（x）的大致图象，根据函数的单调性和对称性判断大小．【解答】解：∵f（x）的周期为π，∴ω=2，∵A＞0，当x=时，函数f（x）取得最小值，∴sin（+φ）=﹣1，∴+φ=﹣+2kπ，即φ=﹣+2kπ，∵φ是锐角，∴φ=．∴f（x）=Asin（2x+）．令A=1，作出f（x）在一个周期内的大致函数图象，由图象可知f（x）在[0，]上单调递增，∴f（0）＜f（），∵f（x）关于x=对称，∴f（0）=f（），∴f（0）=f（）＜f（）．故选：A．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的xX围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．11．设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值X围是（）A．（1，] B．（0，] C．（1，）D．（0，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的X围进而求出a b的X围．【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，则有=，即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，又∵a≠﹣2，∴a=2；则函数f（x）=lg，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤∴a b=2b∈（1，]，故选：A．【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的X围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．12．对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（）①h（x）=2016x②h（x）=|x|③h（x）=x+sin．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；新定义；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+T）是否等于cosg（x）即可；【解答】解：①h（x）=2016x的定义域为R；∵cosh（x+π）=cos[2016（x+π）]=cos（2016x+2016π）=cos（2016x）=cosh（x），∴h（x）是以π为周期的余弦周期函数；②h（x）=|x|的定义域为R；∵cosh（x+2π）=cos（|x+2π|）=cos（|x|）=cosh（x），∴h（x）是以2π为周期的余弦周期函数；③h（x）=x+sin的定义域为R；∵cosh（x+6π）=cos（x+6π+sin）=cos（x+sin）=cosh（x），∴h（x）是以6π为周期的余弦周期函数；故选：D．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知角α的终边过点（﹣1，），则tanα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的定义，tanα=，求出值即可【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，），∴tanα==﹣．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的定义tanα=，利用公式求值题．14．若函数f（x）=的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域为[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】首先根据函数f（x）的定义域为[0，2]，得到函数g（x）的分子对应的函数y=f （2x）的定义域为2x∈[0，2]，解之得0≤x≤1，再结合分式的分母不等于0，列出不等式组，解之可得函数g（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解得0≤x≤1，因此函数g（x）=的定义域满足：，可得0≤x＜1．∴函数g（x）=的定义域为：[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题给出一个函数的定义域，求与它有关联的另一个函数的定义域，着重考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．15．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ﹣．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1， =0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题16．已知a=log827，则2a+2﹣a=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】化简已知条件，利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：a=log827=log23．2a+2﹣a==．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值？【考点】子集与交集、并集运算的转换；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据A∩C=A知A⊂C，然后根据A={α，β}，可知α∈C，β∈C，而A∩B=∅，则α∉B，β∉B，显然A即属于C又不属于B的元素只有1和3，不仿设α=1，β=3，最后利用应用韦达定理可得p与q．【解答】解：由A∩C=A知A⊂C；又A=α，β，则α∈C，β∈C．而A∩B=∅，故α∉B，β∉B．显然A即属于C又不属于B的元素只有1和3．不仿设α=1，β=3对于方程x2+px+q=0的两根α，β应用韦达定理可得p=﹣4，q=3．【点评】本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题之列．18．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求sinx+cosx的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量垂直的性质得到坐标的关系等式，求出tanx；（2）利用数量积公式得到x的三角函数等式，结合平方关系求出sinx+cosx．【解答】解：（1）因⊥，所以sinx﹣cosx=0 …（2分）所以tanx=1 …（5分）（2）因为与的夹角为，，所以①…（7分）设sinx+cosx=a②由①2+②2得a2=…（10分）因x是锐角，所以a为正值，所以a=…（12分）【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的性质和三角函数的化简求值；属于基础题．19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么X围时，选择方案一比选择方案二更好？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）分0≤x≤30、x＞30两种情况讨论即可；（2）通过分别令0≤x≤30、x＞30时L（x）=35计算即得结论；（3）通过分别令0≤x≤30、x＞30时L（x）＜0.58x计算即得结论．【解答】解：（1）当0≤x≤30时，L（x）=2+0.5x；当x＞30时，L（x）=2+30×0.5+（x﹣30）×0.6=0.6x﹣1，∴（注：x 也可不取0）；（2）当0≤x≤30时，由L（x）=2+0.5x=35得x=66，舍去；当x＞30时，由L（x）=0.6x﹣1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）=0.58x，当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，∴25＜x≤30；当x＞30时，由L（x）＜F（x），得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，∴30＜x＜50；综上，25＜x＜50．故李刚家月用电量在25度到50度X围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系，利用周期求得ω，当t=0时，y=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．（2）根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k（k∈Z）即当k=0时，即t=5（s）时，点P 第一次达到最高点．【解答】解：（1）以O为原点建立如图所示的直角坐标系．由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系，∵水轮每分钟旋转4圈，∴．∴．∵水轮半径为4 m，∴A=4．∴．当t=0时，y=0．∴．∴．（2）由于最高点距离水面的距离为6，∴．∴．∴．∴t=5+15k（k∈Z）．∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．21．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．（1）函数f（x）=是否是“可拆函数”？请说明理由；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，某某数b的取值X围：（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；证明题；阅读型；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）当k=0时，易知是“可拆函数”；当k≠0时，方程可化为x2+x+1=0，从而判断；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，化简可得b=2x﹣2有解，从而解得；（3）由题意知判断方程cos（x+1）=cosx+cos1是否有解即可．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=0，是“可拆函数”；当k≠0时，f（x+1）=，f（1）=k，故=+k，即x2+x+1=0，方程无解，故f（x）=不是“可拆函数”；（2）若函数f（x）=2x+b+2x是“可拆函数”，则方程f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+b+2x+1=2x+b+2x+2+b+2有解，即b=2x﹣2有解，故b＞﹣2；（3）证明：令f（x+1）=f（x）+f（1），即cos（x+1）=cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx=cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1=cos1，故存在θ，故cos（x+θ）=cos1，即cos（x+θ）=cos1，即cos（x+θ）=，∵cos21﹣（2﹣2cos1）=cos21+2cos1﹣2＜cos2+2cos﹣2=+﹣2＜0，故0＜＜1，故方程cos（x+1）=cosx+cos1有解，即f（x）=cosx是“可拆函数”．【点评】本题考查了学生的接受能力及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用．22．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}设函数f（x）=（a，b为常数）．（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值X围．【考点】函数的最值及其几何意义；元素与集合关系的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）求出f（x）的解析式，计算f（﹣1），f（1），即可判断；（2）由题意可得可得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣对x∈R恒成立，即有（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0，求得a，b，再由指数函数的值域求得f（x）的X围，由恒成立思想可得sinθ≥，由正弦函数的图象即可得到所求X围．【解答】解：（1）举反例即可．f（x）=，由f（﹣1）==，f（1）==﹣，可得f（﹣1）≠﹣f（1），即有f（x）∉M；（2）由f（x）∈M，可得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣对x∈R恒成立，即有（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0，即为，解得或，由f（x）的定义域为R，可得舍去，故a=1，b=2，即有f（x）==﹣+，由2x＞0，可得1+2x＞1，即0＜＜1，则f（x）∈（﹣，），由对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，可得sinθ≥，解得2kπ+≤θ≤2kπ+，k∈Z．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想求出函数的值域，考查运算能力，属于中档题．。
2023-2024学年湖北省黄冈市高一上学期元月期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省黄冈市高一上册元月期末数学试题一、单选题1．命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为（）A ．1,lg 0x x ∃≤<B ．1,lg 0x x ∀≤<C ．1,lg 0x x ∀≥<D ．1,lg 0x x ∃≥<【正确答案】D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为“1,lg 0x x ∃≥<”.故选:D.2．已知集合{}{2314150,A xx x B x y =-+≤==∣∣则A B = （）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】解不等式2314150x x -+≤得集合A，求函数y 的定义域得集合B ，再求A B ⋂即可.【详解】由2314150x x -+≤得533x ≤≤，5,33A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦函数y =0.5470log (47)0x x ->⎧⎨-≥⎩，即0471x <-≤，解得：724x <≤，7,24B ⎛⎤∴= ⎥⎝⎦所以A B = 7,24⎛⎤⎥⎝⎦，故选：D3．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（）A ．tan2y x =B ．πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．3cos 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】tan2y x =的最小正周期为π2,故A 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，故B 错误；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故C 正确；πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错误.故选:C.4．衡量病毒传播能力的一个指标叫做传播指数Rt ，它指的是在自然情况下（没有外力介人，同时所有人都没有免疫）一个感染者传染的平均人数.它的计算公式是：1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，某种传染病例的平均增长率为50%，两例连续病例间隔时间平均为4天.根据以上数据计算，若甲感染这种传染病，则经过4轮传播后由甲引起的得病总人数（不含甲）为（）A ．81人B ．120人C ．243人D ．36人【正确答案】B【分析】根据1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，先求得Rt ，然后求经过4轮传播后由甲引起的得病总人数.【详解】由题意得：1504=3Rt =+%⨯，所以经过4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：2343+3+3+3=3+9+27+81120=.故选：B.5．已知9π20π19πcos ,sin ,tan 573a b c ===，则有（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】将,a b 化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将,,a b c 与1比大小.【详解】99ππ3πcos πcos π2πcos cos sin 555510a ⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20π66πsinsin 2ππsin πsin 7777b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，所以π3πsin sin 710<，又19πππtantan 6π+tan 333c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭所以1b a c <<<，故选：C6．已知角α的终边过点()3,2cos P α，则cos α=（）A ．2B ．C ．2±D ．12【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：2cos sin tan 3cos αααα==，也即22sin cos 3αα=，由22sin cos 1αα+=可得：424cos 9cos 90αα+-=，解得：23cos 4α=或2cos 3α=-（舍去），因为角α的终边过点()3,2cos P α，所以cos 0α>，则cos α=故选.A7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()33f =，对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()229x f x ++<的解集为（）A ．(),1-∞B ．()5,1-C ．()(),51,∞∞--⋃-+D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】根据题干条件得到函数()f x 在R 上的单调递增，且()()333f f -=-=-，换元后得到()9tf t <，分三种情况，由单调性解不等式得到33t -<<，从而得到51x -<<.【详解】因为对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，所以[)0,x ∈+∞上，()f x 单调递增，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上的单调递增，又()33f =，所以()()333f f -=-=-，()()229x f x ++<，令2x t +=，则()9tf t <，当0=t 时，显然满足()09tf t =<，当0t >时，因为()339f =，()f x 在R 上的单调递增，所以当()0,3t ∈时，满足()9tf t <，当0t <时，因为()339f --=，()f x 在R 上的单调递增，所以当()3,0t ∈-时，满足()9tf t <，故33t -<<，即323x -<+<，解得51x -<<.故选：B8．已知函数()()1221,2log 2,2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．154,4⎛⎤--⎥⎝⎦B ．15,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．()4,0-D ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象，分析可知关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，令()()28g t t a t a =-+-，利用二次函数的零点分布可得出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：因为关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，设()()28g t t a t a =-+-，则函数()()28g t t a t a =-+-在(]1,3内有两个不等的零点，所以，()()()2Δ8408132127034150a a a g a g a ⎧=++>⎪+⎪<<⎪⎨⎪=-->⎪=--≥⎪⎩，解得1544a -<≤-.故选：A.二、多选题9．下列计算结果为有理数的是（）A ．πtan3B ．2lg2lg25+C ．1ln33e -D ．436log 3log 6log 8⋅⋅【正确答案】BCD【分析】根据特殊角的三角函数判断A ，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD.【详解】πtan33=，不是有理数，故A 错误；()2lg2lg25lg 4lg 25lg 425lg1002+=+=⨯==，是有理数，故B 正确；3ln 1log e ln3ln e 33e 3e 3e e e 0-=-=-=-=，是有理数，故C 正确；436ln 3ln 6ln 8ln 83ln 23log 3log 6log 8ln 4ln 3ln 6ln 42ln 22⋅⋅=⋅⋅===，是有理数，故D 正确.故选:BCD.10．若,x y ∈R ，则使“1x y +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．e 1x y +>B ．221x y +>C ．1x y +>D ．221x y +>【正确答案】ACD 【分析】若pq ，q p ⇒,则p 是q 的必要不充分条件，解指数不等式可判断A ；取22x y ==可判断B ；C 选项中利用,x x y y ≥≥可判断；D 选项中利用指数函数的值域进行判断.【详解】对于A ，由e 1x y +>可得0x y +>，则“0x y +>”是“1x y +>”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，当22x y ==时，21x y +=，此时221x y +=，得不到221x y +>，故B 错误；对于C ，1x y ==-时，21x y +=>，此时21x y +=-<,故“1x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.因为,x x y y ≥≥,所以x y x y +≥+.当1x y +>时，必有1x y +>.所以“1x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“1x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故C 正确；对于D ，当0x y ==时，2221x y =+>，此时01x y +=<,故“221x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.当1x y +>时，x 与y 中至少有一个正数，不妨设0x >,则21x >,又因为20y >，则必有221x y +>,所以“221x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“221x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故D 正确.故选;ACD.11．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为58【正确答案】BCD【分析】由函数周期公式可判断A ；由题意得122π2T x x -==，结合函数周期公式可判断B ；若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调，则5π2π2ω-≤-且2ππ52ω≤，结合N ω∈得1ω=，则()2sin 2f x x =，验证题设条件可判断C ；由题意得Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，求得ω最小值可判断D.【详解】()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+> ，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故A 错误；max min ()2,()2f x f x ==- ，又()()124f x f x -=，且12min π2x x -=，1222πT x x ∴-==，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故B 正确；当0ϕ=时，若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调，则2π2πππ5,522ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π22ω∴-≤-且2ππ52ω≤，504ω∴<≤，又N ω∈，1ω∴=，则()2sin 2f x x =，由ππ222x -≤≤，得ππ44x -≤≤，此时()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，故C 正确；当π12ϕ=时，π()2sin 212f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，当0k =时，ω取最小值58，故D 正确．故选：BCD.12．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x xf x a b -=+（其中,a b 为非零常数），则对于函数()y f x =以下结论正确的是（）A ．若a b =，则()y f x =为偶函数B ．若1,2a b ==，则函数()3y f x =-的零点为0和ln2C ．若1ab =，则函数()y f x =的最小值为2D ．若()y f x =为奇函数，且(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x xf x -++≤成立，则a 的最小值为【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性定义判断A 即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数()3y f x =-的零点，从而判断B 即可；根据1ab =得()1e e x xf x a a =+，讨论a 的符号从而确定函数值域，从而判断C 即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得a 的取值范围，从而判断D 即可.【详解】解：对于A ，当a b =时，()e e x x f x a a -=+，函数定义域为R ，所以()()e e x xf x a a f x --=+=，则()y f x =为偶函数，故A 正确；对于B ，若1,2a b ==，()e 2e x xf x -=+，则函数e 2e 30x x y -=+-=，整理得()2e 3e 20x x -+=，即()()e 1e 20x x--=，解得0x =，ln 2x =，所以函数()3y f x =-的零点为0和ln2，故B 正确；对于C ，若1ab =，则()1e e xx f x a a =+，当0a >时，1e 2e x x a a +≥=，当且仅当1e e xx a a =，即ln x a =-时等号成立；当a<0时，1e 2e x x a a +≤-=-，当且仅当1e exx a a -=-，即()ln x a =--时等号成立；所以()(][),22,f x ∞∞∈--⋃+，故C 错误；对于D ，若()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，所以()()e e e e e e 0x x x x x x a b a b a b a b ---+++=+++=，所以0a b +=，则()e e x xf x a a -=-，若(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x x f x -++≤成立，则22e e e e 0x x x x a a --++-≤，若(),0x ∈-∞，则x x <-，e e x x -<，所以e e 0x x --<即()()222e e 2e e 2e e e e e e e ex xxxx x x xx xx x a -------++≥-==-+---能成立，又()2eee exx x x---+≥=-当且仅当()2e e e e x x x x ---=-时，即e 2x=时，等号成立，所以a ≥a 的最小值为D 正确.故选：ABD .三、填空题13．函数()1lg 23y x -的定义域为__________.【正确答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由解析式可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，求解即可.【详解】由题意可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩,故22322x x x -≤≤⎧⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即322x <<.故函数()1lg 23y x =+-的定义域为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为:3,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．已知函数()()log 140,1a y x a a =-+>≠的图象过定点P ，且点P 在指数函数()f x 图象上，则()4log 6f =__________.【分析】由对数函数的图象可得()2,4P ，故可求()f x 的解析式，根据对数的运算即可求解.【详解】在()log 14(0,1)a y x a a =-+>≠中，令2x =,可得log 144a y =+=,故()2,4P .设()()0,1xf x b b b =>≠,由题意可得24=b ,解得2b =.所以()2xf x =，()4log 6log 4log 622f ==.故答案为15．已知,,21a b a b +∈+=R ，则2121a b +++的最小值为__________.【正确答案】85##1.6【分析】由21a b +=可得()()2225a b +++=，又212221222a b a b +=+++++，再用“乘1法”即可求最小值.【详解】因为21a b +=，所以()()2225a b +++=.所以()()2122221222212222225a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+=++++⨯ ⎣⎦++++++⎝⎭()()2222211844522255a b b a ⎛⎫⎛⎫++⎪=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,当且仅当11,24a b ==时等号成立.故2121a b +++的最小值为85.故答案为:85.16．已知()42229x x f x x-+=，()292g x x tx =-+，若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则实数t 的取值范围为__________.【正确答案】5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，()()12min min g x f x ≥，求出()f x 在[]2,3上的最小值为174，可知()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，利用参变量分离法可求得实数t 的取值范围.【详解】若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则()()12min min g x f x ≥，当[]2,3x ∈时，令[]24,9s x =∈，则()42222299922x x f x x s x x s -+==+-=+-，由对勾函数的单调性可知，函数()92h s s s=+-在[]4,9上单调递增，所以，当[]4,9s ∈时，()()min 1744h s h ==，故当[]1,2x ∈时，()min 174g x ≥，即()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，所以，14t x x<+对任意的[]1,2x ∈恒成立，由对勾函数的单调性可知，函数()14p x x x=+在[]1,2上单调递增，所以，当[]1,2x ∈时，()()min 514p x p ==，故54t <.故答案为.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知π6α=，求()()27πcos tan πcos 2π25π3πcos sin 22ααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.（2）已知11222a a --=，求1222a a a a ---++的值.【正确答案】（1）3；（2）9.【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式1cos α=，代值求解即可；（2）将11222a a --=两边平方可求1a a -+，从而可求1122a a -+，利用平方差公式可得1a a --，故可求解.【详解】（1）原式=2(sin )tan cos tan 1sin (cos )sin cos 3αααααααα-===-（2）11222,a a --= 两边平方得1124,6,a a a a ---+=∴+=21112228a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭.1111111222222()()a a a a a a a a ----∴+=∴-=+-=∴1122122()a a a a a a a a ------==+++18．设函数()()232f x ax b x =+-+.(1)若不等式()0f x >的解集为()2,1-，求a b -的值；(2)若,a b +∈R ，且x ∀∈R 都有()()11f x f x +=-，求2248a b ab ++的最大值.【正确答案】(1)3a b -=-(2)272【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解；(2)根据题意可得函数关于直线1x =对称，利用二次函数的对称轴得出23a b +=，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知：2-和1是方程()0f x =的两根，则有()()()()()2221232,f x a x x a x x ax b x =+-=+-=+-+且0.a <∴1,31,2, 3.a b b a b =--=-=∴-=-（2）由(1)(1)f x f x +=-知()f x 关于直线1x =对称，即31,2 3.2b a b a--=∴+=()()22222274824949.22a b a b ab a b ab ab +++=++=+≤+=当且仅当322a b ==时等号成立.∴2248a b ab ++的最大值为27.219．已知函数()()π2cos 20π6f x x θθ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭为奇函数.(1)求函数()f x 的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x 的取值集合.(2)求函数()πππ,,662g x f x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【正确答案】(1)()ππ4x k k =+∈Z 时()f x 取最小值2-；()ππ4x k k =-∈Z 时()f x 取最大值2;(2)ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据奇函数的性质可得()00f =，结合0πθ<<可求2π.3θ=从而可得()2sin 2f x x =-，根据正弦函数的性质即可求解；（2）π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（1）依题意有()π2π02cos 0,0π,.63f θθθ⎛⎫=-=<<∴= ⎪⎝⎭ 即()π2cos 22sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，满足题意.当ππ22ππ()24x k x k k =+=+∈Z 即时()f x 取最小值2-；当ππ22ππ()24x k x k k =-=-∈Z 即时()f x 取最大值2.（2）依题意π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 单调递减，则ππ3π2π22π,.232k x k k +≤-≤+∈Z ∴5π11πππ,.1212k x k k +≤≤+∈Z又ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令1,0k k =-=得其减区间为ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量P 百万件与年广告费用()02x x ≤≤百万元满足341P x =-+，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的1(0)t t >与原销售价之和.(1)当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求t 的取值范围；(2)若4t =时，则当投入多少百万元浩费该玩具生产厂获得最大利润.【正确答案】(1)01t <≤；(2)当广告费2百万时最大利润为212万元.【分析】（1）年利润23201623W t ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，解12W ≥即可；（2）当4t =时，416314x W x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭,利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）当2x =时3P =，销售价为122202033t t+⋅=+，年利润2232016210123W t t ⎛⎫=+--=+≥ ⎪⎝⎭，解得01t <≤.（2）当4t =时，年利润312342016416163441414x x W P x P x x P x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-=--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，设()414x f x x =++()02x ≤≤，设1202x x ≤<≤，则()()121212441414x x f x f x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪++⎝⎭()()()()()()2112211212441114114x x x x x x x x x x ⎡⎤--=+=--⎢⎥++++⎣⎦，因为1202x x ≤<≤，所以12113,113x x ≤+<<+≤，所以()()121119x x <++<，所以()()12444911x x <<++，所以()()12410114x x ->++.因为210x x ->，所以()()12f x f x >，所以()414x f x x =++在[]0,2上单调递减，所以当02x ≤≤时min 4411114326x x ⎛⎫+=+= ⎪+⎝⎭,所以max 112116362W =-⨯=.综上：当广告费2百万时最大利润为212万元.21．已知函数()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.(1)若函数()()2211y g tx t x =--+在()1,+∞上单调递减，求实数t 的取值范围；(2)不等式()()2226g a x g x a <+-在[]4,9x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[]0,2(2)()3+∞，【分析】(1)依题意可得12()log g x x =，再根据复合函数的单调性可列出不等式，结合二次不等式恒成立求解即可；(2)把问题转化为22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，分离参数，转化为最值比较即可.【详解】（1）因为函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.所以12()log g x x =，2212((21)1)log ((21)1)y g tx t x tx t x =--+=--+在(1,)+∞上单调递减，令2()(21)1t x tx t x =--+，则()t x 在(1,)+∞上单调递增，且()0t x >对(1,)x ∈+∞恒成立.0t ∴≥，且(1)(21)10, 2.t t t t =--+≥∴≤当0=t 时，()1t x x =+在(1,)+∞上单调递增，符合题意；当02t <≤时，()t x 的对称轴为2111122t x t t-==-<，()t x 在(1,)+∞上单调递增，符合题意.故t 的取值范围为[]0,2.（2）依题意有20,a x >且4260, 1.a a +->∴>不等式()()21122log 2log 26a x x a <+-在[]4,9上恒成立，即22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，26,2)6x a a x ∴>+-∴->-在[]4,9上恒成立，当4x =时不等式成立，所以必须a >在(]4,9上恒成立.max a >(]24222,0,14,t t t t t t t +--=∈==-+而24t t -+在(]0,1上单调递增，2(4)3,3t a t∴-+=∴>综上：a 的取值范围为()3+∞，.22．已知()1f x +为R 上的偶函数，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+.(1)求()2f -并求()f x 的解析式；(2)若函数()212g x x tx =++在[]0,2的最大值为12，求t 值并求使不等式()()2f m t f m t +>-成立实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()()()lg 6,11lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩；(2)2t =-，24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由()1f x +为R 上的偶函数，得()(2)f x f x =-，可求()2f -的值；当1x <时21x ->，2x -代入()lg 6y x =+求得当1x <时的解析式；（2）讨论对称轴的位置，确定212y x tx =++的单调性，根据()g x 在[]0,2的最大值为12求得2t =-，根据()f x 的对称性与单调性解不等式()()2f m t f m t +>-得m 的范围.【详解】（1）∵(1)f x +为R 上的偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，∴()f x 关于x =1对称，∴(2)(4)lg101f f -===.又(1)(1)-+=+f x f x ，()(2)f x f x ∴=-，当1x <即21x ->时，()()()(2)lg (2)6lg 8f x f x x x=-=-+=-，故()()()lg 6,1lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.（2）当0t ≥时21()2g x x tx =++在[]0,2上单调递增，()g x 的最小值为12，与题意矛盾，0.t ∴<同理当对称轴22t -≥即4t ≤-时，则212y x tx =++在[]0,2上单调递减，191(2)(0),2,222g g t ∴≤=∴+≤522t ∴-≤≤-，矛盾.若40t -<<，02,2t <-<则()122122g t g ⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，29122211422t t ⎧+≤⎪⎪∴⎨⎪-+≤⎪⎩，52220t t ⎧-≤≤-⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，2t ∴=-，显然当2t =-时，()22112122y x x x =-+=--在[]0,2上值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21()22g x x x =-+在[]0,2上最大值为12，符合题目要求.故2t =-.不等式()(2)f m t f m t +>-成立即(2)(22)f m f m ->+成立，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+为增函数，所以()f x 在对称轴1x =右侧为增函数，左侧为减函数，距离对称轴越远其值越大，|21|221m m ∴-->+-，解得243m -<<故m 的取值范围为24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ωϕ+的奇偶性的处理方法：若()f x ωϕ+具有奇偶性，则()f x ωϕ+的对称轴为y 轴或对称中心为原点，可以得到()f x 也有对称轴或对称中心，方法是通过平移变换与伸缩变换将()f x ωϕ+的图象变换到()f x 的图象，在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如(21)f x +为R 上的偶函数，向右平移12个单位得到(2)f x 的图象，则(2)f x 的图象关于12x =对称，再将(2)f x 的图象横坐标变为原来的2倍，得到()f x 的图象，则()f x 的图象关于1x =对称.。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(63)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∣ x−1≥0}，则A∩B=( )A．{0,1,2,3}B．{1,2,3}C．{2,3}D．{3}2.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )A．B．C．D．3.下列顺序能客观反映教科书中指数幂的推广过程的是( )A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂4.无论a取何正实数，函数f(x)=a x+1−2恒过点( )A．(−1,−1)B．(−1,0)C．(0,−1)D．(−1,−3)5.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:∀x∈A，2x∈B，则( )A．¬p:∀x∈A，2x∉B B．¬p:∀x∉A，2x∉BC．¬p:∃x∉A，2x∈B D．¬p:∃x∈A，2x∉B6.若函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是(−∞,+∞)上的单调递增的奇函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )A．B．C．D．7.已知a,b,c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=38.命题“∀x>0，lnx≥1−1x”的否定是( )A．∃x0≤0，lnx0≥1−1x0B．∃x0≤0，lnx0<1−1x0C．∃x0>0，lnx0≥1−1x0D．∃x0>0，lnx0<1−1x09.已知集合A={0,1,2}，集合B={x∣ x>2}，则A∩B=( )A．{2}B．{0,1,2}C．{x∣ x>2}D．∅10.已知集合A={x∣x≥1}，B={−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A．{2}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{x∣ x≥−1}二、填空题（共10题）11.设函数f(x)={x2+1,x≤12x,x>1，则f(f(3))=．12.本场数学考试时间2小时，请问这段时间时针旋转弧度．13.不等式(x−1)(2−x)≥0的解集是．14.设全集U={−1,0,1,2}，若集合A={−1,0,2}，则∁U A=．15.如果某人x秒内骑车行进了1千米，骑车的速度为y千米/秒，那么y=．16.设集合A={1,3,5,7}，B={x∣ 4≤x≤7}，则A∩B=．17.设集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 0≤x≤4}，则A∩B=．18.已知偶函数f(x)，且当x∈[0,+∞)时都有(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]<0成立，令a=f(−5)，b=f(12)，c=f(−2)，则a，b，c的大小关系是（用“>”连接）．19.已知A={x∣ 2x≤1}，B={−1,0,1}，则A∩B=．20.已知集合M={x∣ x>2}，集合N={x∣ x≤1}，则M∪N=．三、解答题（共10题）21.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．22.求证：cos2(A+B)−sin2(A−B)=cos2Acos2B．23.指数函数的定义．一般地，函数y=a x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．问题：为何指数函数的概念中规定a>0且a≠1？24.a，b是实数，比较a2+b2与2(a+b−1)的大小．25.如何记忆一元二次方程根的分布满足的条件？26.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．27.初中我们学习过哪些函数？试举几个具体的例子．28.函数的表示方法主要有哪几种？29.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若a∈R，函数y=f(x)−a的零点个数为F(a)，求F(a)的解析式．30.一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式有何联系？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】画数轴，选B．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】C【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算4. 【答案】A【解析】f(−1)=−1，所以函数f(x)=a x+1−2的图象一定过点(−1,−1)．故选A．【知识点】指数函数及其性质5. 【答案】D【解析】命题p:∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定¬p应为：∃x∈A，2x∉B．故选D．【知识点】全（特）称命题的否定6. 【答案】C【解析】函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是奇函数，f(−x)=−f(x)对于任意x∈R 恒成立，即ka−x−a x=a−x−ka x对于任意x∈R恒成立，即(k−1)⋅(a x+a−x)=0对于任意x∈R恒成立，故只能是k=1，此时函数f(x)=a x−a−x，由于这个函数单调递增，故只能是a>1．函数g(x)=log a(x+k)的图象是把函数y=log a x的图象沿x轴左移一个单位得到的．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性、指数函数及其性质7. 【答案】A【解析】“a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”，“a2+b2+c2≥3”的否定是“a2+b2+c2<3”．【知识点】全（特）称命题的否定8. 【答案】D【解析】“∀x>0，lnx≥1−1x ”的否定为∀x>0，lnx≥1−1x不恒成立，即“∃x0>0，lnx0<1−1x0”．故选D ．【知识点】全（特）称命题的否定9. 【答案】D【解析】由题意可知集合 A 表示的三个实数 0，1，2，而集合 B 表示的是大于 2 的所有实数，所以两个集合的交集为空集． 【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题） 11. 【答案】139【解析】 f (3)=23，f(f (3))=f (23)=49+1=139．【知识点】分段函数12. 【答案】 −π3【知识点】弧度制13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 {1}【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 x −1【知识点】函数模型的综合应用16. 【答案】 {5,7}【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 [0,2]【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】 a >c >b【解析】 x 1,x 2∈[0,+∞)，在 x 1>x 2 时，f (x 2)<f (x 1)，在 x 1<x 2 时，f (x 2)>f (x 1)，由上可知，f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，由 f (x ) 为偶函数，a =f (−5)=f (5)，c =f (−2)=f (2)， 12<2<5，即 f (12)<f (2)<f (5)， 故 a >c >b ．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性19. 【答案】 {−1,0}【解析】 A =(−∞,12]，B ={−1,0,1}，所以 A ∩B ={−1,0}． 【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性22. 【答案】左边=1+cos (2A+2B )2−1−cos (2A−2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A−2B )2=12(cos2Acos2B −sin2Asin2B +cos2Acos2B +sin2Asin2B )=cos2Acos2B =右边.所以原等式成立． 【知识点】二倍角公式23. 【答案】①若 a =0，则当 x >0 时，a x =0；当 x ≤0 时，a x 无意义；②若 a <0，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义．如 (−2)x ，这时对于 x =14，x =12，⋯，在实数范围内函数值不存在； ③若 a =1，则对于任何 x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性．【知识点】指数函数及其性质24. 【答案】 a 2+b 2−2(a +b −1)=(a −1)2+(b −1)2≥0，所以 a 2+b 2≥2(a +b −1)． 【知识点】不等式的性质25. 【答案】虽然上述表格中的公式比较复杂，但结合图形理解会比较简单，因此上述公式不要死记硬背，结合图形理解其含义即可． 【知识点】二次不等式的解法26. 【答案】(1) A ={2,3,4,5}．(2) B ={−3,3}． (3) C ={2,3,5,7}． (4) D ={(1,4)}．【知识点】集合的概念27. 【答案】正比例函数 y =x ，一次函数 y =x +1，反比例函数 y =1x ，二次函数 y =x 2．【知识点】函数的相关概念28. 【答案】（1）解析法：解析法是将定义域与值域之间的对应法则用解析式表示．（2）列表法：是将定义域和值域中所有变量的对应法则用表格形式一一列出． （3）图象法：图象法是借助于二维的坐标系刻画两个变量之间的对应法则．【知识点】函数的表示方法29. 【答案】(1) 当 x ∈(−∞,0) 时，−x ∈(0,+∞)，因为 y =f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (x )=−f (−x )=−[(−x )2−2(−x )]=−x 2−2x ，f (0)=0， 所以 f (x )={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0.当 x ≥0 时，函数图象开口向上，增区间是 [1,+∞)； 当 x <0 时，函数图象开口向下，增区间是 (−∞,−1]． 所以函数 f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−1]，[1,+∞)．(2) 由（1）可得 f (x ) 的解析式，据此可作出函数 y =f (x ) 的图象，根据图象得，若方程 f (x )=a 恰有 3 个不同的解，则 a 的取值范围是 (−1,1)，此时 F (a )=3，当 a =±1 时，F (a )=2，当 a >1 或 a <−1 时，F (a )=1． 综上可得 F (a )={1,a <−1或a >12,a =±13,−1<a <1．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性、函数的零点分布30. 【答案】（1）一元二次函数与 x 轴的交点为一元二次方程的根；（2）一元二次函数 x 轴上方的部分对应元二次不等式大于 0，下方的部分对应一元二次不等式小于 0；（3）一元二次不等式解集的两个端点恰好为一元二次方程的根．【知识点】二次不等式的解法。
2020-2021年秋黄冈市高一年级期末调考数学试卷答案
若选③，由题得 2a b 7, （3 分）解得 b 3. （5 分）
将 a 2 代入不等式整理得 x 22x 1 0 (7 分)，
解得 x 2 或 x 1 （9 分），故原不等式的解集为： (, 1) (2, ) .（10 分）
2
2
18、（1）
f (x) 1 2
1 cos 2x 2
2
2
若选②，因为不等式1
ax
b
3的解集为x
|
3
x
4
，所以
3a 4a
b b
1, 3,
(3
分)
解得
a b
2, 5.
（5
分）将
a
2
代入不等式整理得
x
2
2
x
1
0
(7
分)，
解得 x 2 或 x 1 （9 分），故原不等式的解集为： (, 1) (2, ) .（10 分）
2
2
a b 1,
a 2,
分）
证明：任取 x1，x2 R，且 x1 < x2 ，则 f
x1 - f
x2
1
2 ex1 1
1
2 ex2 1
=
2(ex1 (ex1 1)
ex2 ) ex2 1
，（6 分）
∴y= ex 为増函数， x1 < x2 ，∴0 ex1 ex2 .
∴ ex1 1>0， ex2 1>0，ex1 ex2 <0.
分）又
h(
x)
在区间
[2,
)
的最小值为
2
log3
10
1
，
m 0 ，且 m 2 ，此时， n 2
高一数学必修模块1综合考试卷(人教A版)附答案.doc
一、 选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A 二{3的倍数}, B 二{2的倍数}・则AUB 是（ ）.A. {偶数}B. {被2或3整除的数}C. {6的倍数}D. {2和3的公倍 数}2•若 U 二 R,集合 A 二{x I xNl,或 x<-l},B 二{x I xW-l}・则 BQ （C L A ）为（ ）.A. 0B. {x | x<-l}C. {x | —lWx 〈l}D. {-1}3.已知集合A={x | aTWxWa+2}, B={x | 3<x<5}.则能使AoB 成立的实数a p 二 07. 若集合A 二{x | kx?+4x+4二0, XGR}只有一个元素.则集合A 中实系数k 的值为 （ ）・A. 1B. 0C. 0或1D.以上答案 都不对8. 已知集合A={x | -2<x<4） ,B={x | x^a}，若AGB 二0,且AUB 中不含元素6•则 下列值中a 可能是（ ）.A. 4B. 5C. 6D. 7 9•已知集合A, B, C 满足A 尝古则下列各式中错误的是( ).A. (AUB^ CB. AAC $C. A (BPC) 隅(AUC) B的取值范圉是（A. {a I 3<aW4} 4. 满足条件MU {2, 3} = {1, 2, 3}的集合M 的个数是（A. 1B. 25. 下列集合中，只有一个子集的集合是（ A. {x | x'WO} B. {x I x'WO}6•已知集合A 、B 、C 为非空集合，M 二AQC, A. 一定有 c n p=c B . 一定有 c n P =P)・ B. {a I C ・{a I 3<a<4}C. 3 )・C. {x | x 2<0} N=BAC, P=MU Nc. 一定有 cnp=cup )・ D. 0 D. 4 D. {x | x 3<0} ( )・ D.—定有CQ 10.设全集I 二{（x, y) I x, yWR},集合 M 二{(x, y) N 二{(x, y) | y Hx+1}・那么Ci (M UN)等于(A. 0B. {(2, 3)}D. {(x, y) | y 二x+1} ). C. (2, 3)11.已知1］二匕 A={x | x>3 V2 }, a=—— ・贝lj (2-V3 ).A. a c Ci AB. Ci AC. {a} G A C.A12 •设A,B非空集合，且A QB二0,若M二{A的子集},W二{x | x 15}・则（).A.MPW= 0B. APB^MUW c.Mnw={ 0 } D. AUB^MnW二、填空题(每小题4分，共16分)13•方程x2-3ax + 2a2=0 (aHO)的解集为______________________________ 。
2022-2023学年黄冈市重点中学高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析
2、B
【解析】长方体的一个顶点上的三条棱分别为 ，且它的八个顶点都在同一个球面上，则长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为
球的半径为
则这个球的表面积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ故选
点睛：本题考查的是球的体积和表面积以及球内接多面体的知识点．由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积即可
13．若角 的终边与角 的终边相同，则在 内与角 的终边相同的角是______
14．在 中， ， ， ，若将 绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________
15．若函数 是定义在 上的严格增函数，且对一切x， 满足 ，则不等式 的解集为___________.
16．给出下列五个论断：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
1．若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 可以是
A B.
C. D.
2．已知三棱锥 的三条棱 , , 长分别是3、4、5，三条棱 , , 两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A B.
C. D.都不对
3．如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，则下列结论中不正确的是
所以OA= ，OB=1
所以旋转体的体积:
故答案为 ．
15、
【解析】根据题意，将问题转化为 ， ，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数 对一切x， 满足 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，即 ，
所以 等价于 ，
因为函数 是定义在 上的严格增函数，
2021年新人教版黄冈市秋高一期末数学试题及答案
黄冈市2021年秋高一期末模块修习考试数学试题一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x <1}，则()R AB = ( )A ．{x ∣x >1}B 。
{x ∣x ≥ 1}C 。
{x ∣12x <≤ }D 。
{x ∣12x ≤≤} 2．若2a =，14b =，a 与b 的夹角为60，则a b ⋅等于( ) A ．32B ．34 C ．14D ．243．如果偶函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]3,7[--上是( ) A. 减函数且最小值是2 B.. 减函数且最大值是2 C. 增函数且最小值是2 D. 增函数且最大值是2．4．若非零实数m 、n 满足tan sin m αα-=，tan sin n αα+=，则cos α等于( ) A ．n mm n-+ B ．2m n- C ．2m n+ D ．m nn m-+ 5．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且OC OB OA ++2=0，那么 A ．= B.2= C.3= D.2AO OD = 6．函数sin()y A x ωϕ=+(ω＞0,|ϕ|＜ 2π，x R ∈)的部分图象如图所示，则此函数表达式为 ( ) A ．4sin()84y x ππ=-- B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=-D ．4sin()84y x ππ=+7．已知1A ，2A ，…，n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形是( )A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形6xyO4-4-28．若函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()3f x f x π+=-，则()6f π=( ) A ．3或0B ．－3或3C ．0D ．－3或09．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数()y f x =的图象恰好经过k 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 ( ) A ．sin y x = B ．cos()6y x π=+ C ．lg y x = D ．2y x =10．如图，,,O A B 是平面上的三点，向量OAa ， OBb ,设P为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量OPp ．若|a |=4，|b |=2，则p (a b )等于 ( )A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.函数y =的定义域是 . 12．已知()2cos6f x x π=,则(0)(1)(2)(2010)f f f f +++⋅⋅⋅+=__________．13．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______． 14．设O 、A 、B 、C 为平面内四点，OA a =，OB b =，OC c =，且0a b c ++=，1a b b c c a ===-，则222||||||a b c ++=______．15．如图，在平面斜坐标系xoy 中，060xoy ∠=，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP =x e 1+y e 2(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴方向相同的单位向量)，则P 点的斜坐标为(x ，y ). 若P 点的斜坐标为(3，－4)， 则点P 到原点O 的距离|PO |=________．三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省黄冈中学高一数学上学期期末考试试题新人教A版【会员独享】
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. °sin 600的值为（ ）A.12 B. 12-3 D. 32. 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是（ ） A. AB CD = B. AB AD BD -=C. AD AB AC +=D. 0AD BC +=3．下列函数中，在区间(0,)2π上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A. sin2xy = B. sin y x = C. tan y x =- D. cos 2y x =- 4. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A. sin(2)12y x π=++ B. sin(2)12y x π=-+ C. sin(2)14y x π=++ D. sin(2)14y x π=-+ 5．如图， 非零向量,OA a OB b ==且,BC OA ⊥C 为垂足，若OC a λ=，则λ=（ ）A.2a b a⋅ B.a b a b⋅⋅C.2a b b⋅ D.a b a b⋅6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（ ）A ．（-2，4） B.（-30，25） C.（10，-5） D.（5，-10）BDC A7. 函数sin3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是（ ） A. 113x π= B. 53x π=C. 53x π=-D. 3x π=-8. 若2cos(),410x π-=3(,)24x ππ∈，则sin x 的值为（ ） A. 35- B.45 C. 35 D. 45- 9. sin()(y x x ωϕ=+∈R ,0,02)ωϕπ>≤<的部分图象如图，则（ ）A. 4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==10．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．化简°°°°sin13cos32sin32cos13+=____________________．12. 已知e 为单位向量，4,a =a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为_________． 13．已知1sin ,23,3απαπ=<<那么sin cos 22αα+= ． 14. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+=__________________．15. 定义运算a b *，a b * =,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩，例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题共12分）化简求值：（1）22212sin cos 12sin cos cos sin 12sin ααααααα-+⋅--. （2）已知3tan 2α=，求222sin 3sin cos 5cos αααα--的值.17．（本小题满分12分）已知向量,a b 满足2,3,a b ==a 与b 的夹角为°120.求(1) a b ⋅ ； (2) 3a b + ； (3) 3a b +与a 的夹角.18.（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=.（1）若a ∥b ，求tan θ的值； （2）,0,a b θπ=<<求θ的值.19.（本小题满分12分） 如图△OAB ，设,OA a OB b ==，若4,7OM a=58ON b =，设AN 与BM 交于P ，用,a b 来表示向量OP .NO20．（本题满分13分）已知向量).0,1(),cos ,cos (),sin ,(cos -=-==c x x b x x a（1）若c a x,,6求向量π=的夹角； （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f的最小值．21. （本小题满分14分）定义在R 上的函数()f x 满足①()()2()cos f x y f x y f x y ++-=②(0)0,()12f f π==.（1） 判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2） 求()f x ；（3） 求()cos ()cos f x x f x x ++⋅的最大值.高一期末数学参考答案一、选择题 DCDAA CCBCB 二、填空题11.2 12 .-2 13. 3- 14. 49- 15.1⎡-⎢⎣⎦三、解答题 16．解：（1）原式=cos sin cos sin 1cos sin cos sin αααααααα-+=+-（2）原式=2222222sin 3sin cos 5cos 2tan 3tan 520cos sin 1tan 13ααααααααα----==-++ 17.(1) 3a b ⋅=-(2) 2223963618927a b a a b b +=+⋅+=-+= 333a b ∴+= (3)2(3)39a b a a a b +⋅=+⋅=,设,a b 的夹角为θ[]θπ∈（0,）则(3)cos 333a b a a b aθ+⋅===⋅+⋅6πθ= 18. 解：（1）a ∥b ，2sin cos 2sin θθθ∴=- 12sin cos ,tan 4θθθ∴==（2）22sin (cos 2sin )5a b θθθ=∴+-=得212sin 24sin 5θθ-+=降次，sin 2cos21θθ∴+=-,sin(2)42πθ+=-由90,2,444πππθπθ<<<+<5244ππθ∴+=或74π， 2πθ∴=或34π.19．解：设,,NP xNA BP yBM ==则5()()8NP xNA x OA ON x a b ==-=- 4()()7BP yBM y OM OB y a b ==-=-NP BP NP PB NB -=+=38b =两式相减：5()8x a b -4()7y a b --38b =4075388x y x y -=-+=⎧⎨⎩ 17,312x y ∴== 5183OP ON NP b NA ∴=+=+51515()838312b a b a b =+-=+ 20. 解：（1）当6π=x 时，NO22220)1(sin cos cos ||||,cos +-⨯+-=⋅⋅>=<x x xc a c a c a.65cos6coscos ππ=-=-=x ,,0π>≤≤<c a.65,π>=∴<c a（2）1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x b a x f )1cos 2(cos sin 22--=x x x)42sin(22cos 2sin π-=-=x x x],89,2[ππ∈x]2,43[42πππ∈-∴x故],22.1[)42sin(-∈-πx∴当32,42x ππ-=即78x π=时，()f x =21. 解：（1）令0,x =得()()0f y f y +-=()f x ∴是奇函数.（2）令,2y π=得()()2()cos 0222f x f x f x πππ++-== 令,2x y x π==，得()()2()cos 2cos 222f x f x f x x πππ++-== 由（1），()f x 是奇函数，()()022f x f x ππ-+-=两式相加：2()2cos 2f x x π+=()cos()sin 2f x x x π∴=-=（3）即求sin cos sin cos y αααα=++⋅的最大值设sin cos )4t x παα+==+，则t ⎡∈⎣， 且22(sin cos )12sin cos t αααα=+=+⋅，即21sin cos 2t αα-⋅=22111,222t y t t t -∴=+=+-t ⎡∈⎣t ∴=max 12y =。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作黄冈市2010年秋高一期末模块修习考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x <1}，则()R AB ð= （ ）A ．{x ∣x >1}B 。
{x ∣x ≥ 1}C 。
{x ∣12x <≤ }D 。
{x ∣12x ≤≤} 2．若2a =，14b =，a 与b 的夹角为60，则a b ⋅等于（ ） A ．32B ．34 C ．14D ．243．如果偶函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A. 减函数且最小值是2 B.. 减函数且最大值是2 C. 增函数且最小值是2 D. 增函数且最大值是2．4．若非零实数m 、n 满足tan sin m αα-=，tan sin n αα+=，则cos α等于（ ） A ．n mm n-+ B ．2m n- C ．2m n+ D ．m nn m-+ 5．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且OC OB OA ++2=0，那么 A ．OD AO = B.OD AO 2= C.OD AO 3= D.2AO OD = 6．函数sin()y A x ωϕ=+(ω＞0,|ϕ|＜ 2π，x R ∈）的部分图象如图所示，则此函数表达式为 （ ） A ．4sin()84y x ππ=-- 6xyO4-4-2B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=- D ．4sin()84y x ππ=+7．已知1A ，2A ，…，n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形是（ ）A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形 8．若函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()3f x f x π+=-，则()6f π=（ ） A ．3或0B ．－3或3C ．0D ．－3或09．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数()y f x =的图象恰好经过k 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 （ ） A ．sin y x = B ．cos()6y x π=+ C ．lg y x = D ．2y x =10．如图，,,O A B 是平面上的三点，向量OA =a ， OB =b ,设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量OP =p ．若|a |=4，|b |=2，则p （a -b ）等于 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数sin cos y x x =+的定义域是 . 12．已知()2cos6f x x π=,则(0)(1)(2)(2010)f f f f +++⋅⋅⋅+=__________．13．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______． 14．设O 、A 、B 、C 为平面内四点，OA a =，OB b =，OC c =，且0a b c ++=，1a b b c c a ===-，则222||||||a b c ++=______．15．如图，在平面斜坐标系xoy 中，060xoy ∠=，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴方向相同的单位向量），则P 点的斜坐标为（x ，y ）. 若P 点的斜坐标为（3，－4），xy060OBA PC则点P 到原点O 的距离|PO |=________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知2{|280}A x x x =+-=,22{|log (58)1}B x x x =-+=,22{|190}C x x ax a =-+-=；若,A C B C =∅≠∅，求a 的值.18．（本小题满分12分）已知222cos 3cos sin 3sin 1αααα+-=， 求：（Ⅰ）tan α；（Ⅱ）2sin 3cos 4sin 9cos αααα--．19．（本小题满分12分）如图示，(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，其中0x > （1）若//BC AD ,试求x 与y 之间的表达式； （2）在（1）的条件下，若又有AC BD ⊥， 试求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积。
20．（本小题满分13分）沿海地区某农村在2010年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万，从2011年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a 人，设从2011年起的第x 年（2011年为第一年）该村人均产值为y 万元． （Ⅰ）写出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）为使该村的人均产值10年内每年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足12.33OC OA OB =+（Ⅰ）求证：A 、B 、C 三点共线；A BCD（Ⅱ）求||||CB AC 的值；（Ⅲ）已知A (1，cos x )、B (1+cos x ，cos x )，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,0π，f (x )= 2(2)||3OA OC m AB ⋅-+的最小值为23-，求实数m 的值.黄冈市2010年秋高一期末模块修习考试数学参考答案一、选择题 DCABA CCBAD 二、11．0 12．2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 13． 1 14． 53 15．32 三、16．解：（1）sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα-==- ………………………6分（2）3c o s ()s i n2παα-=- 1s i n ,5αα∴=-又是第三象限的角21221sin 16,()62555f αθα∴-=--=-∴=cos =-……………12分17．解：{2,4}A =-，{2,3}B =， ………………………4分 由,A C =∅知2,4C C ∉-∉， 又由,BC ≠∅知3C ∈，2233190a a ∴-+-=，解得2a =-或5a = ………………………8分当2a =-时，{3,5},C =-满足,A C =∅当5a =时，{3,2}C =，{2}A C =≠∅舍去， 2a ∴=- ………………………12分18．解：（Ⅰ）由原条件得2222222cos 3cos sin 3sin 23tan 3tan 11sin cos 1tan ααααααααα+-+-=⇒=++ ………………………2分24tan 3tan 10αα⇒--=得1tan 4α=-或tan 1α=； ………………………6分（Ⅱ）原式=2tan 34tan 9αα-- ………………………8分171tan ,;1,4205αα=-===当时原式当tan 时原式．………………………12分19．解：(1)由(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-， …………………………2分//(2)(4)0BC AD x y y x ⇒--+=20x y ⇒+= ① …………………………5分(2) (6,1)AC x y =++，(2,3)BD x y =-- …………………………6分AC BD ⊥(6)(2)(1)(3)0x x y y ⇒+-++-=2242150x y x y ⇒++--= ②…8分解①②得21x y =⎧⎨=-⎩或63x y =-⎧⎨=⎩（舍），(8,0),(0,4)AC BD ∴==-，………………………10分由AC BD ⊥知：1||||162ABCD S AC BD =⋅=。
………………………12分20．（Ⅰ）解：依题意得第x 年该村的工农业生产总值为（3180+60x ）万元，而该村第x 年的人口总数为（1480+ax ）人，∴y =axx++1480603180（1≤x ≤10）． ………………………6分（Ⅱ）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x ≤10内，y =f （x ）为增函数．设1≤x 1＜x 2≤10，则 f （x 1）－f （x 2）=111480603180ax x ++－221480603180ax x ++=)1480)(1480()(3180)(148060211221ax ax x x a x x ++-+-⨯=)1480)(1480())(318088800(2121ax ax x x a ++--．∵1≤x 1＜x 2≤10，a ＞0，∴由f （x 1）＜f （x 2），得88800－3180a ＞0．∴a ＜318088800≈27．9．又∵a ∈N *，∴a =27． 所以该村每年人口的净增不能超过27人． ……………………13分解法二：∵y =a 60（xax ++148053）=a 60［1+a x a 1480148053+-］，依题意得53－a 1480＜0，∴a ＜531480≈27．9． ∵a ∈N *，∴a =27． 所以该村每年人口的净增不能超过27人． ……………13分21．解：（Ⅰ）由已知)(32OA OB OA OC -=-，即AB AC 32=， ∴AC ∥AB . 又∵AC 、AB 有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线. ……………3分 （Ⅱ）∵)(3232CB AC AB AC +==，∴31AC =23CB ， ∴CB AC 2=，∴.2||||=CB AC ……………8分（Ⅲ）∵C 为AB 的定比分点，λ=2，∴)cos ,cos 321(x x C +，AB =(cos x ，0)， ∴f (x )= 2222(2)||1cos cos (2)cos 333OA OC m AB x x m x ⋅-+⋅=++-+=(cos x -m )2+1-m 2. ……………10分∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴cos x ∈［0，1］.当m <1时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值1与已知相矛盾； 当0≤m ≤1时, 当且仅当cos x =m 时, f (x )取得最小值1-m 2，由1-m 2=,23-得m =±210(舍去)； 当m >1时，当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值2-2m ，由2-2m =,23-得m =147>. 综上所述，m=47为所求. ……………14分。