03-计算几何基础

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地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
10
(3,10) (1,7) 3,8 (4,6) (3,5) (3,3)
0 1 2 3 4 5
(7,10) (6,9) (10,7) (9,5)
8
6
4
(5,5) (5,3) (6,1)
2
0 6 7 8 9 10 11
3. 空间关系
在对象模型中，空间实体的空间位置、关系和度量 的描述是非常重要的。
拓扑属性
非拓扑属性
一个点在一个弧段的端点 一个弧段是一个简单弧段 （自身不相交） 一个点在一个区域的边界上 一个点在一个区域的内部 一个点在一个区域的外部 一个点在一个环的内部 一个面是一个简单面 （面上没有岛） 一个面的连接性 （给定面上任意两点，从一点可以完 全在面的内部沿任意路径走向另一点） 两点之间的距离 一个点指向另一个点的方向 弧段的长度 一个区域的周长 一个区域的面积
A在B的哪个方位?
3. 空间关系
3)度量空间关系
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基本度量空间关系指的是空间实体之间的距离，在此基 础上，还可以构造出实体群之间的度量关系。距离度量 有不同的计算方式：大地测量距离、曼哈顿距离（经度 差加上纬度差）、时间距离等。 此外，还有其他的一些空间量算的指标：
3. 空间关系
现实世界中的两个实体A和B：用B(X)表示实体X的 边界，I(X)表示实体X的内部，用E(X)表示实体X的 外部。基于上述概念，Egenhofer在1993年为空间 实体间的拓扑关系描述构造了“9交空间关系模型” （9-Intersection Model，9-IM）： 矩阵中每个元素的取值可为“空”和“非空”，9个元素 共可以产生29 ＝ 512种情形，即可描述512种空间 关系。
P1
判断Q是否在以P1 和P2为对角线的矩 形内的伪代码
3. 判断两线段是否相交 1) 算法1-叉积判断法，分两步：
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A.快速排斥 B.跨立测试
3. 判断两线段是否相交
跨立测试
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条件A: 判断P1P2是否跨立Q1Q2？若P1P2跨 立Q1Q2，则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于 (Q2-Q1)的两侧，即： (P1-Q1)×(Q2-Q1)×(P2-Q1)×(Q2-Q1)<0
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空间实体的空间关系可以抽象为点、线、多边形之 间的六种关系：
点—点：重合；分离；一点为其他诸点的集合中心；— 点为其他诸点的地理中心，等等。 点—线：点在线上；线的端点（起点或终点）；线的交 点；点与线的分离（可计算点到线的距离），等等。 点—多边形：点在多边形内（可计数和统计）；点为多 边形的几何（地理）中心；点在多边形边界上；点在多 边形外部，等等。
p2
p1
2. 矢量运算 矢量加减法
Q 地 理 信 息 系 统 算 法 基 础 P-Q P
Q
P+Q P Q Q-P P
2. 矢量运算 矢量加减法
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矢量A: (1, 3) 矢量B: (4, 7) A+B = (1,3)+(4,7) = (5, 10) A-B = (1,3)-(4,7) = (-3, -4)
P×Q
Q P
叉乘的几何意义：
1)叉乘结果为一个矢量； 2)该矢量的模的大小等于P,Q两矢量构成的平行四边形的 面积。
2. 矢量运算
矢量叉乘
两个矢量叉积的运算规则
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础 a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3] b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3]
线—点 线—线 线—面
镇 乘车线路 这条线路过镇上吗？
河流 小路 小路穿过河流吗？ 河流在区域内吗？
3. 空间关系 上述空间关系又可以分成三类：
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1)拓扑空间关系 2)方位空间关系 3)度量空间关系
3. 空间关系 1)拓扑空间关系
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几何指标：位置、距离、面积、体积形状、方位等 自然地理参数：坡度、坡向、地表辐射度、地形起伏度、 通达度等 人文地理指标：交通便利程度、吸引范围、人口密度等
2. 矢量的概念
1. 矢量概念 线段的两端点有次序之分，称为“有向线 段”； 有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，称之 为矢量p2。
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第3章 计算几何基础
陈仁喜
Renxi_chen@ 河海大学地球科学与工程学院
主要内容 空间关系
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矢量概念 点线面基本算法
1. 空间关系
1. 空间数据模型
对象模型和场模型的比较
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两种模型相互
现实世界 对象模型 选择实体 场模型 选择一个位置
A(xA,yA) D(xD,yD)
之间并不排 斥，各有特 点，各有应用 长处。通常需 要有机地综合 应用这两种方 法来建模。
它2.对象模型
矢量数据模型是对象模型的一种具体化建模方法，它以 坐标的方式来表达空间实体。对于一个空间现象而言，观 察的尺度和概括的程度将决定它的类型：城市（点 多边 形 更多的空间实体）。
3. 空间关系
线—线：重合；相接（首尾相接和顺序相接）；相交； 相切；并行，等等。
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线—多边形：多边形包含线（可计算多边形内线的密 度）；线穿过多边形；线环绕多边形；线与多边形分 离，等等。 多边形—多边形：包含；重合；相交（可以划分子多边 形，进行逻辑与、或、非和异或等计算）；相邻；分离 （计算距离、引力等）等等
2. 矢量运算
矢量点乘
定义
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两个向量 a = [a1, a2,…, an] b = [b1, b2,…, bn] 的点积定义为:
2. 矢量运算
矢量点乘
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
P ⋅ Q =| P | ⋅ | Q | cos(θ )
Q
θ
P
点积的几何意义
Q1 P2
P1
Q2
3. 判断两线段是否相交
跨立测试
条件B: 同样，判断Q1Q2是否跨立P1P2？即：
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(Q1-P1)×(P2-P1)×(Q2-P1)×(P2-P1)<0
Q1 P2
P1
Q2
同时满足条件A和B，说明线段P1P2,Q1Q2相交
3. 判断两线段是否相交 2) 算法2-直线方程法
B(A)ПI(B) I(A)ПI(B) E(A)ПI(B)
B(A)ПE(B) I(A)ПE(B) E(A)ПE(B)
3. 空间关系
2)方位空间关系
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空间实体之间的上下、前后、左右、东西南北等 顺序关系。 根据实体类型分为：
多边形－多边形 、多边形－线、多边形－点 线－线、线－点、点－点
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3. 点线面基本算法
1. 折线拐向判断
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
如何判断多边形 的凸凹性？
2. 判断点是否在线段上
P2 地 理 信 息 系 统 算 法 基 础 Q
满足两个条件： 1)(Q-P1)×(P2-P1)=0 2)Q在以P1和P2为对角线的矩形内 则点Q在线段P1P2上
之间的方位空间关系。
3. 空间关系
点－点方位空间关系最好确定，只需计算两点连线与某 一基准方向的夹角即可。多边形－点、线－点方位空间 关系也可以在一定程度上简化为点－点方位空间关系。 其余方位空间关系的计算就相对复杂得多了，目前尚未 有很好的解决办法。
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
B
A
南京在合肥东边
F 2( x, y ) = ( y B − y A )( x − x A ) − ( y − y A )( xB − x A )
只有在直线AB上的点，满足方程F2(x,y)=0 若C,D两点在直线AB的异侧,必有：
C(xC,yC) B(xB,yB)
F 2( xC , yC ) * F 2( xD , y D ) < 0
叉积的长度 |a × b| 可以解释成以a和b为边的平行四边形 的面积。
2. 矢量运算
矢量叉乘
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P×Q
Q P P
Q× P
Q
二维平面上 P×Q>0, P在Q的顺时针方向 P×Q<0, P在Q的逆时针方向 P×Q=0, P,Q共线 右手法则
2. 矢量运算
矢量叉乘
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1]
2. 矢量运算
矢量叉乘
示例
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矢量A: (1, 3) 矢量B: (4, 7)
i j k A × B = 1 3 0 = 7 k − 12k = −5k = (0,0,−5) 4 7 0
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
//定义三维点 typedef struct tagSPoint3D { double x; double y; double z; }SPoint3D; //定义三维矢量 typedef SPoint3D SVec3D;
矢量运算c++代码