2017年江苏省南京市鼓楼区高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B=．2．数据2，3，4，7，9的平均数为．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）55．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}2．数据2，3，4，7，9的平均数为5．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数的定义直接求解．【解答】解：数据2，3，4，7，9的平均数为：=（2+3+4+7+9）=5．故答案为：5．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是12．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论．【解答】解：总体的个数是75人，要抽一个20人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，女员工应选取的人数（75﹣30）×=12人，故答案为：12．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为0.6．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）5【考点】B7：频率分布表．【分析】根据频率的定义即可求出．【解答】解：样本数据落在区间[69，85]的频数为25+11=36，样本容量为5+14+25+11+5=60则样本数据落在区间[69，85）的频率为=0.6，故答案为：0.65．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为 2.8．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，由先进可能事件概率计算公式得，由此能求出估计阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为S，∵矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，∴，解得S=2.8．∴估计阴影部分的面积为2.8．故答案为：2.8．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．即可判断出关系．【解答】解：由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．∴a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为{﹣5，5} ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，讨论x的取值，根据函数解析式求出对应x的取值集合．【解答】解：根据流程图的作用知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=﹣x=5，解得：x=﹣5；当x≥0时，y=x2﹣4x=5，解得：x=5或x=﹣1（舍去）综上，输入的x值为﹣5或5，即{﹣5，5}．故答案为：{﹣5，5}．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为6．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=126时满足条件，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，n=2，S=2+4=6不满足条件S≥100，执行循环体，n=3，S=6+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，n=4，S=14+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，n=5，S=30+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，n=6，S=62+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是②④（请把所有真命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例即可；②通过等价命题逆否命题判断；③不等式的性质判断即可；④由充分条件，必要条件的定义判断．【解答】解：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数，显然错误：比如﹣和；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，其逆否命题为：；a，b都小于1，则a+b＜2，显然成立，故正确；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；只有当a＞0时成立，故错误；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”能推出“a+b+c=0”，反之也可以，故是充要条件，故正确．故答案为②④．12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，解出即可．【解答】解：把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，所以a=，b=1，2=4，解得，m=，符合题意．故答案为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为（（e+），+∞）．【考点】3T：函数的值；2I：特称命题．【分析】通过构造函数f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），并求导可知f（x）min=f（1）=e+﹣2k，进而问题转化为解不等式e+﹣2k＜0，计算即得结论．【解答】解：由题意，记f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），则f′（x）=e x﹣e﹣x+3k（x2﹣1），当x≥1时f′（x）＞0，即函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）min=f（1）=e+﹣2k，由于存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，所以e+﹣2k＜0，解得：k＞（e+），故答案为：（（e+），+∞）．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为4．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于m（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=x﹣2，x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，亦即m＜=+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为m＜+2对任意x＞1恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）==x0﹣1+2∈（4，5），所以m＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数m的最大值是4．故答案为：4．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）由频率分布直方图求出质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率，由此能求出在抽查的样本中一级产品共有多少件．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（a+2.5a+4a+0.525+0.35）×0.5=1，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（4×0.15+0.525）×0.5=0.5625，∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×80=45件．16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数N=6×6=36，由关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，得△=m2﹣4n2＞0，由此利用列举法能求出关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率．（2）利用列举法求出实数不是整数包含的基本事件的个数，由此能求出实数不是整数的概率．【解答】解：（1）m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数，基本事件总数N=6×6=36，∵关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，∴△=m2﹣4n2＞0，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根包含的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6个，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率=．（2）实数不是整数包含的基本事件（m，n）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，4），（6，5），共22个，∴实数不是整数的概率p2=．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．【解答】解：命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，是真命题．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，∴￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．∴，或k=0，1＞0；且△=4k2﹣4≥0，解得k≥1．∴实数k的取值范围是[1，+∞）．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），运用半圆的面积和矩形的面积，即可所求透光面积S的解析式，由二次函数的最值求法，即可得到所求r；（2）由r=1，分别求出窗子的半圆部分的造价和窗子的矩形部分的造价，求和，即可判断是否够用．【解答】解：（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），窗子的透光面积为S=πr2+（10﹣2r﹣πr）•2r=（﹣2﹣π）r2+10r，（0＜r＜），当r=﹣=（米），S有最大值；（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为π•12•300=150π（元），窗子的矩形部分的造价为2•（10﹣2﹣π）•100=800﹣100π（元），可得总造价为150π+800﹣100π=800+50π＞900，则r=1时，900元的造价不够用．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求得x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，根据单调性，即可求得A和B的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）由2x1+x2=3b，代入椭圆方程，由0＜x2＜b，即可求得3c2＜2a2，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程：mx2+ny2=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：点M坐标为（3，0），则=（x2﹣3，y2），=（x1﹣3，y1），由，则=﹣2，则x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，由等腰梯形与椭圆的对称性，则y2﹣y1=3，x2=1，∴x1=4，y1=﹣1，y2=2，∴A（4，﹣1），B（1，2），，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由2x1+x2=3b，，，消去y1，4x12﹣x22=3a2，∴2x1﹣x2=，2x2=3b﹣，由0＜x2＜b，则0＜3b2﹣a2＜2b2，∴a2＜2a2，3c2＜2a2，∴e=，则0＜e＜，∴椭圆的离心率e的取值范围（0，）．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出a的值，从而求出函数h（x）的表达式，求出h（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣2x﹣1=，令f′（x）＞0，即（2x﹣1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）的最大值是f（）=﹣ln2﹣；（2）g（x）=af（x）+ax2﹣3=alnx﹣ax﹣3，g′（x）=﹣a，g′（2）==1⇔a=﹣2，∴g（x）=﹣2lnx+2x﹣3，g′（x）=2﹣，故h（x）=x3+（2+）x2﹣2x，∴h′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，∵函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数，∴函数h（x）在区间（t，4）上总存在零点，又∵函数h′（x）是开口向上的二次函数，且h′（0）=﹣2＜0，∴，由h′（t）＜0⇔m＜﹣3t﹣4，令H（t）=﹣3t﹣4，则H′（t）=﹣﹣3＜0，所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）min=H（2）=﹣9；由h′（4）=48+4（4+m）﹣2＞0，解得：m＞﹣；综上得：﹣＜m＜﹣9，所以当m在（﹣，﹣9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数．2017年6月15日。
江苏省南京市鼓楼区2017-2018学年高二上学期期中数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．3．双曲线﹣=1的实轴长为．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有条公切线．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是6π．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，圆的半径为：3．圆的周长为：6π．故答案为：6π【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线方程﹣=1中，∵a2=9，∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+．故答案为：x+．【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|=，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，∴公切线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为y2=﹣4x或x2=y ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，解得m=﹣4或n=，则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．故答案为：y2=﹣4x或x2=y．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是1＜k＜3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的范围得答案．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴5﹣k＞k﹣1＞0，∴1＜k＜3．故答案为：1＜k＜3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，圆心坐标（，）在直线x+y=0上，∴m=﹣1，即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），则z==，即﹣1≤≤，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得： ++2≥0，为任意实数；由②得： +3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是x2﹣y2=1 ．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B的坐标，进而可得线段AB的中点M的坐标，消去a，即可得到结论．【解答】解：设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B（，﹣﹣1），设M（x，y），则x=（a+），y=（a﹣），消去a，可得x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B的坐标是关键．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l 的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，r=2，∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1当l的斜率不存在时，l：x=3成立，若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，得=1，解得k=﹣，∴l：12x+5y﹣31=0．综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max=7×20+12×24=428（万元）．【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1•x2，带入弦长公式得到关于a得函数．求此函数的最值．【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1•x2=﹣．∴|AB|===．∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．∴≤|AB|＜．【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k==﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，可得=•，化简可得，x2+（y+5）2=12，即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，则实数a的取值范围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．【解答】解：（1）由题意得，，解得，a=4，c=2，故b=2；故椭圆的方程为+=1；（2）证明：由题意作图象右图，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，联立方程得，，化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，故x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），则=，即，d=+x1=+x1====2；故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．。
南京市高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
南京市高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）已知、、是两两不等的实数，点，，点，，则直线的倾斜角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 135°2. （1分）“”是“直线与直线垂直”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （1分） (2018高一下·毕节期末) 若实数，满足，则目标函数的最大值是（）A .B .C .D .4. （1分） (2017高二上·莆田月考) 设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （1分） (2018高一下·包头期末) 直线关于直线对称的直线方程是（）A .B .C .D .6. （1分）在三棱柱中，各侧面均为正方形，侧面的对角线相交于点，则与平面所成角的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 907. （1分）在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为（）A . 1B .C .D .8. （1分） (2016高一上·万州期中) 设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f （x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A . 1个B . 3个C . 2个D . 0个9. （1分） y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是（）A .B .C .D . π10. （1分）已知正四棱柱中为的中点，则直线与平面的距离为（）A . 2B .C .D . 1二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高一下·南通期中) 点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是________．12. （1分）(2017·长沙模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为________．13. （1分） (2018高二上·福建期中) 若变量满足约束条件则的最小值为________.14. （1分） (2016高二下·韶关期末) 已知圆C1：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y﹣1）2=1，M，N分别是圆C1 ， C2上的动点，P为直线x﹣y﹣2=0上的动点，则||PM|﹣|PN||的最大值为________．15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为________．16. （1分）(2017·上海模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC= ， =2 ，则•的值为________．17. （1分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________三、解答题 (共4题；共9分)18. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）．（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；19. （2分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．证明：D1E⊥CE20. （2分）已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1=0．（1）求的最值；（2）求y﹣x的最值；（3）求x2+y2的最值．21. （3分） (2017高二下·南昌期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共4题；共9分) 18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。
江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=R2，由圆经过点（2，2）得R2=2，从而所求方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，b=4，c==3，∴准线方程为：y=±．∴点P到下准线的距离=﹣4=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】点在直线上方，点的坐标代入方程，有﹣4﹣3t+6＜0，求出t的取值范围．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞【点评】本题考查点与直线的位置关系，是基础题．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合充分必要条件的定义，分别对充分性，必要性进行判断即可．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】F1F2是PF1和PF2的等差中项，可得2F1F2=PF1+PF2，再利用椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2015•河南一模）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先画出不等式组（a为常数）表示的平面区域，再由三角形面积公式即可解得．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．【点评】本题主要考查如何画出二元一次不等式组表示的平面区域．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【考点】双曲线的简单性质．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的焦点在x轴时，由渐近线方程可得b=2a，离心率e===，当双曲线的焦点在y轴时，可得a=2b，同理即可求得焦点在y上的双曲线的离心率．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，和分类讨论的思想，属中档题．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d﹣r求出最小值，可得不等式，即可得出结论．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d+r为距离的最大值，d﹣r为距离的最小值是解本题的关键．12．（2009•天心区校级模拟）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．13．（2016•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．【点评】本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得t2+at+b+++b=﹣3，t+=m，|m|≥2，得到﹣2b=m2+am+1，代入到a2+4b2，构造函数f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，利用二次函数的性质得到f（a）min=（m2+1）（4m2+1），再令m2=n≥4，构造函数f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，根据函数的单调性即可求出最小值．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=m，∴f（a）min=（1+m2）m2+2m2（m2+1）+（m2+1）2=（m2+1）（4m2+1），设m2=n≥4，则f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，当n≥4时，函数f（n）为增函数，∴f（n）min=4×4+4×5+1=37∴a2+4b2≤37故答案为：37【点评】本题考查了“换元法”、基本不等式的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，解得实数k的取值范围；（2）若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，求两个命题为真时k的范围的交集，可得答案．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈[﹣2，2]，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈[﹣2，0）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，双曲线的定义，复合命题等知识点，难度中档．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用中点公式求得AB的中点的坐标，即为圆心坐标，半径为的值，可得圆的标准方程．（2）圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据CA=CB 求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．【解答】解：（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的圆心为（2，﹣3）、半径为=，故它的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=40．（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，∴a=3，圆心为（3，﹣3）、半径为CA==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（﹣1，2）且与圆C相切的直线l的方程；（2）通过弦长|AB|=2，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．【解答】解：（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x+1），…（1分）则=2 …（2分）解得，k1=0，k2=，…（3分）故所求的切线方程为y=2或4x﹣3y﹣10=0．…（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=﹣1，l与圆的两个交点坐标为（﹣1，）和（﹣1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；…（7分）当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x+1），…（8分）即kx﹣y+k+2=0，设圆心到此直线的距离为d，则2=2，∴d=1，…（9分）∴1=，∴k=﹣，…（10分）此时直线方程为3x+4y+5=0，…（11分）综上所述，所求直线方程为3x﹣+y+5=0或x=﹣1．…（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用双曲线的定义进行判断；（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）为巨响为生点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意能求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，数形结合效果很好．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意列关于a，c的方程组，求解得a，c的值，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．设出直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k，则直线l的方程可求；（2）求出圆N的方程，设出P的坐标，由PB=3PA求得P的轨迹，联立两圆的方程可得P的坐标．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．【点评】本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线AC的方程易求，从而可得P点坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，从而△ABP的面积可求；（2）设P（m，﹣2）（m≠0），求得PM的斜率，联立直线PM和椭圆方程，可得M的坐标，利用直线PB与BM斜率之积为﹣1可证；（3）点B关于直线y=﹣2的对称点B′可求，连AB′与y=﹣2的交点即为P，求得AB'的长，即为PA+PB 的长，由椭圆定义和离心率公式，可得最大值．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即PC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，=BA•d=•2•2=2；即有S△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M（﹣，），k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2，|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆联立，以及点关于直线对称的求法，两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学2017.01满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上 1．命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ． 2．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程是 ．3．已知复数a ＋2i1－i为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值是 ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ．6．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ≤0，y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ． 9．观察下列等式：(sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；…… 依此规律，当n ∈N *时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π 2n ＋1)－2＝ ．10．若“∃x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．若在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ． 12．有下列命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件． 其中所有真命题的序号是 ．13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为(－2c ，0)．若椭圆E上存在点P ，使得PM ＝2PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －t )2，x ≤t ，14x ，x ＞t ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)，C (2，－4)． (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．（本题满分14分）已知复数z 1＝m －2i ，复数z 2＝1－n i ，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数．(1)若m ＝1，n ＝－1，求|z 1＋z 2|的值； (2)若z 1＝(z 2)2，求m ，n 的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．A BC FD E（第18题图）Oθ19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 32，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3AM →＝MB →，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且点C 在x 轴上方． (1)求椭圆E 的方程； (2)若BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线BC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f (x )＝ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)已知e 为自然对数的底数，存在x ∈[1e ，e]，使得f (x )＝1成立，求a 的取值范围；(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x )成立，求a 的取值范围．xAB y CM O (第19题图)D南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a |≠|b |，则a ≠b 2．y ＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．4n (n ＋1)3 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④13．[33，22] 14．(3，4) 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）解：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0）， ………………2分所以AD 的斜率为k ＝8－07－6＝8， ……………… 5分所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，即8x －y －48＝0． ……………… 7分 （2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝4－(－4)10－2＝1，…… 9分所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－(x －7)，即x ＋y －15＝0． ………………………… 14分 16．（本题满分14分） 解：（1） 当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， ………………4分 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝5． ………………6分 （2）若z 1＝(z 2)2，则m －2i ＝(1－n i)2，所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ， ……………10分所以⎩⎨⎧m ＝1－n 2，－2＝－2n ， ………………12分解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1． ………………14分17．（本题满分14分） 解：（1）过点(2，－1)且与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －3＝0，……2分由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x －y －3＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．所以圆心M 的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M 的半径为r ＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2， ………………6分 所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2． ………………7分 （2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为6， 所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝2－(62)2＝22， ……………9分 若直线l 的斜率不存在，则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由d ＝|k ＋2|k 2＋(－1)2＝22， ………………11分整理得k 2＋8k ＋7＝0，解得k ＝－1或－7， ………………13分 所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分 18．（本题满分16分） 解：（1）作AH ⊥CF 于H ，则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×12(AB ＋CF )×AH ＝(2cos θ＋2)sin θ＝2(cos θ＋1)sin θ，θ∈(0，π2)． ………………6分（2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋(cos θ＋1)cos θ]＝2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝2(2cos θ－1)(cos θ＋1)． ………………10分 令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cos θ＝12，即θ＝π3， ……………………12分当θ∈(0，π3)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(π3，π2)上单调递减， …………14分所以当θ＝π3时，f (θ)取最大值f (π3)＝2(cos π3＋1)sin π3＝323． …………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）因为3AM →＝MB →，所以3(－1＋a ，0)＝(a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分又因为c a ＝ 32，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………4分（2）方法1设点C 的坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0,则CM →＝(－1－x 0，－y 0)，CB →＝(2－x 0，－y 0)．因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0)＋y 02＝0． ① ……………6分 又因为x 024＋y 02＝1， ②联立①②，解得x 0＝－23，y 0＝223， ………………8分所以k ＝223－23＋1＝22． ………………10分方法2因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，且BC ⊥CD ，所以BC 的方程为y ＝－1k (x －2)， ………………6分联立方程组，可得点C 的坐标为(2－k 21＋k 2，3k1＋k 2)， ………………8分 代入椭圆方程，得(2－k 21＋k 2)24＋(3k 1＋k 2)2＝1，解得k ＝±22．又因为点C 在x 轴上方，所以3k1＋k 2＞0，所以k ＞0，所以k ＝2 2 ………………10分 （3）方法1因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2， …………………12分所以k 1k 2＝k 2(x 1＋1) (x 2＋1) (x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1)x 1 x 2－2 (x 1＋x 2)＋4 …………………14分＝k 2(4k 2－4 1＋4k 2－8k 2 1＋4k 2＋1) 4k 2－4 1＋4k 2＋2×8k21＋4k 2＋4＝－3k 236k 2＝－112， 所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法2因为直线BC 的方程为y ＝k 1(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得C (8k 12－2 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， ………………12分 同理D (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 21＋4k 22)， 由于C ，M ，D 三点共线，故MC →，MD →共线，又MC →＝(8k 12－2 1＋4k 12＋1，－4k 1 1＋4k 12)＝(12k 12－1 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， MD →＝(8k 22－2 1＋4k 22＋1，－4k 2 1＋4k 22)＝(12k 22－1 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)， 所以12k 12－1 1＋4k 12×－4k 2 1＋4k 22＝－4k 1 1＋4k 12×12k 22－1 1＋4k 22， ……………14分化简得12k 12k 2－k 2＝12k 1k 22－k 1，即(12k 1k 2＋1)(k 1－k 2)＝0，由于k 1≠k 2，否则C ，D 两点重合，于是12k 1k 2＋1＝0，即k 1k 2＝－112，所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法3设C (x 0,y 0)，则CD ：y ＝y 0x 0+1(x +1)(－2＜x 0＜2且x 0≠－1)，由⎩⎨⎧y ＝y 0x 0+1(x +1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得[(x 0＋1)2＋4y 02]x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1)2＝0. ………………12分 又因为x 024＋y 02＝1，所以得D (－8－5x 05＋2x 0，－3y 05＋2x 0)， ………………14分所以k 1k 2＝y 0x 0－2·－3y 05＋2x 0－8－5x 05＋2x 0－2＝－3y 02(x 0－2)(－9x 0－18)＝y 023(x 02－4)＝1－x 0243(x 02－4)＝－112， 所以k 1k 2为定值． ………………16分 20．（本题满分16分） 解：（1）a ＝1时，f (x )＝x －ln x , 则f '(x )＝1－1x ＝x －1x，令f '(x )＝0，则x ＝1． ……………………2分当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x ＝1时，f (x )取到最小值，最小值为1． …………………4分 （2）因为 f (x )＝1，所以ax －ln x ＝1，即a ＝1x ＋ln xx ， ………………6分设g (x )＝1x ＋ln x x ，x ∈[1e，e]，则g '(x )＝－ln x x 2，令g '(x )＝0，得x ＝1．当1e ＜x ＜1时，g '(x )＞0，所以g (x )在(1e，1)上单调递增； 当1＜x ＜e 时，g '(x )＜0，所以g (x )在(1，e)上单调递减； ………………8分 因为g (1)＝1，g (1e)＝0，g (e)＝2e ，所以函数g (x )的值域是[0，1]，所以a 的取值范围是[0，1]． ……………………10分 （3）对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x )成立，则ax －ln x ≥a x ＋ln x ，即a (x －1x)－2ln x ≥0．令h (x )＝a (x －1x )－2ln x ，则h '(x )＝a (1＋1x 2)－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2，①当a ≥1时，ax 2－2x ＋a ＝a (x －1a )2＋a 2－1a≥0，所以h '(x )≥0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以x ∈[1，＋∞)时，恒有h (x )≥h (1)＝0成立，所以a ≥1满足条件． ………………12分 ②当0＜a ＜1时，有1a ＞1，若x ∈[1，1a ]，则ax 2－2x ＋a ＜0，此时h '(x )＝ax 2－2x ＋ax 2＜0，所以h (x )在[1，1a ]上单调递减，所以h (1a)＜h (1)＝0，即存在x ＝1a＞1，使得h (x )＜0，所以0＜a ＜1不满足条件．……………14分③当a ≤0时，因为x ≥1，所以h '(x )＝ax 2－2x ＋ax 2＜0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，所以a ≤0不满足条件．综上， a 的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
江苏南京市2016-2017高二数学上学期期末试题文附答案
江苏南京市2016-2017高二数学上学期期末试题（文附答案）南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）2017.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆否命题是▲．2．双曲线x2－y24＝1的渐近线方程是▲．3．已知复数a＋2i1－i为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．6．已知实数x，y满足条件x＋y－2≥0，x－y≤0，y≤3，则z＝2x＋y的最大值是▲．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则r的取值范围是▲．9．观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……依此规律，当n∈N*时，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝▲．10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是▲．11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是▲．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．13．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为(－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝2PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．14．已知t＞0，函数f(x)＝x(x－t)2，x≤t，14x，x＞t．若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．16．（本题满分14分）已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b ＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM→＝MB→，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．(1)求椭圆E的方程；(2)若BC⊥CD，求k的值；(3)记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)已知e为自然对数的底数，存在x∈[1e，e]，使得f(x)＝1成立，求a的取值范围；(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，求a的取值范围．南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a|≠|b|，则a≠b2．y＝±2x3．24．±55．－36．97．48．(3，7)9．4n(n＋1)310．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．－112．②④13．[33，22]14．(3，4)二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0），………………2分所以AD的斜率为k＝8－07－6＝8，………………5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．………………7分（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝4－(－4)10－2＝1，……9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，…………………12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．…………………………14分16．（本题满分14分）解：（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i， (4)分所以|z1＋z2|＝22＋(－1)2＝5．………………6分（2）若z1＝(z2)2，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，……………10分所以m＝1－n2，－2＝－2n，………………12分解得m＝0，n＝1．………………14分17．（本题满分14分）解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由y＝－2x，x－y－3＝0，解得x＝1，y＝－2．所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分（2）因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d＝2－(62)2＝22，……………9分若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx －y＝0，由d＝|k＋2|k2＋(－1)2＝22，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f(θ)＝2×12(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，π2)． (6)分（2）f′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令f′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cosθ＝12，即θ＝π3，……………………12分当θ∈(0，π3)时，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f′(θ)＜0，所以f(θ)在(π3，π2)上单调递减，…………14分所以当θ＝π3时，f(θ)取最大值f(π3)＝2(cosπ3＋1)sinπ3＝323．…………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）因为3AM→＝MB→，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为ca＝32，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1．………………4分（2）方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则CM→＝(－1－x0，－y0)，CB→＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)(2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为x024＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－23，y0＝223，………………8分所以k＝223－23＋1＝22．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－1k(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(2－k21＋k2，3k1＋k2)，………………8分代入椭圆方程，得(2－k21＋k2)24＋(3k1＋k2)2＝1，解得k＝±22．又因为点C在x轴上方，所以3k1＋k2＞0，所以k＞0，所以k＝22………………10分（3）方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由y＝k(x＋1)，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k21＋4k2，x1x2＝4k2－41＋4k2，…………………12分所以k1k2＝k2(x1＋1)(x2＋1)(x1－2)(x2－2)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)x1x2－2(x1＋x2)＋4…………………14分＝k2(4k2－41＋4k2－8k21＋4k2＋1)4k2－41＋4k2＋2×8k21＋4k2＋4＝－3k236k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法2因为直线BC的方程为y＝k1(x－2)，由y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得C(8k12－21＋4k12，－4k11＋4k12)，………………12分同理D(8k22－21＋4k22，－4k21＋4k22)，由于C，M，D三点共线，故MC→，MD→共线，又MC→＝(8k12－21＋4k12＋1，－4k11＋4k12)＝(12k12－11＋4k12，－4k11＋4k12)，MD→＝(8k22－21＋4k22＋1，－4k21＋4k22)＝(12k22－11＋4k22，－4k21＋4k22)，所以12k12－11＋4k12×－4k21＋4k22＝－4k11＋4k12×12k22－11＋4k22，……………14分化简得12k12k2－k2＝12k1k22－k1，即(12k1k2＋1)(k1－k2)＝0，由于k1≠k2，否则C，D两点重合，于是12k1k2＋1＝0，即k1k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝y0x0+1(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由y＝y0x0+1(x+1)，x24＋y2＝1，消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0.………………12分又因为x024＋y02＝1，所以得D(－8－5x05＋2x0，－3y05＋2x0)，………………14分所以k1k2＝y0x0－2－3y05＋2x0－8－5x05＋2x0－2＝－3y02(x0－2)(－9x0－18)＝y023(x02－4)＝1－x0243(x02－4)＝－112，所以k1k2为定值．………………16分20．（本题满分16分）解：（1）a＝1时，f(x)＝x－lnx,则f'(x)＝1－1x＝x －1x，令f'(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f(x)取到最小值，最小值为1．…………………4分（2）因为f(x)＝1，所以ax－lnx＝1，即a＝1x＋lnxx，………………6分设g(x)＝1x＋lnxx，x∈[1e，e]，则g'(x)＝－lnxx2，令g'(x)＝0，得x＝1．当1e＜x＜1时，g'(x)＞0，所以g(x)在(1e，1)上单调递增；当1＜x＜e时，g'(x)＜0，所以g(x)在(1，e)上单调递减；………………8分因为g(1)＝1，g(1e)＝0，g(e)＝2e，所以函数g(x)的值域是[0，1]，所以a的取值范围是[0，1]．……………………10分（3）对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，则ax－lnx≥ax＋lnx，即a(x－1x)－2lnx≥0．令h(x)＝a(x－1x)－2lnx，则h'(x)＝a(1＋1x2)－2x＝ax2－2x＋ax2，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－1a)2＋a2－1a≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有1a＞1，若x∈[1，1a]，则ax2－2x ＋a＜0，此时h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，1a]上单调递减，所以h(1a)＜h(1)＝0，即存在x＝1a＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞).………………16分。
高二数学期中试题(含答案)
班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案
高二(上)期中试题数学(文科)注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)1．过点(2，－2)，(－2，6)的直线方程是．2．命题“∃x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是．3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是．4．直线x＋2y－2＝0与2x＋a y－2a＝0垂直，则a的值是．5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是．6．若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．8．椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是．9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为23，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为．10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是．11．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．12．直线y＝x＋b与曲线x＋1－y2＝0恰有一个公共点，则b的取值范围是．13．曲线(x－1)2＋y2＝22(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－2393)在C上，则C的方程是．14．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，则a＋b的最大值是．二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)写出命题“若直线l 的斜率为－1，则直线l 在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16．(本小题满分9分)某企业计划生产A ，B 两种产品．已知生产每吨A 产品需3名工人，耗电4 kW ，可获利润7万元；生产每吨B 产品需10名工人，耗电5 kW ，可获利润12万元，设分别生产A ，B 两种产品x 吨，y 吨时，获得的利润为z 万元．(1)用x ，y 表示z 的关系式是 ；(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW ，求x ，y 分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？17．(本小题满分10分)已知直线l ：2x ＋y ＋4＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0．(1)直线m 与直线l 平行，且与圆C 相切，求m 的方程；(2)设直线l 和圆C 的两个交点分别为A ，B ，求过A ，B 的圆中面积最小的圆的方程．18．(本小题满分10分)设直线l 的方程是x ＋my ＋23＝0，圆O 的方程是x 2 ＋y 2＝r 2 (r >0)．(1)当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围；(2)r ＝4时，求直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围．19．(本小题满分10分)已知双曲线C 1：x 2a 2－8y 2＝1(a ＞0)的离心率是2，抛物线C 2：y 2＝2px 的准线过C 1的左焦点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，4)是C 2上三点，且CA ⊥CB ，证明：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．20．(本小题满分11分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心是O ，左，右顶点分别是A ，B ，点A 到右焦点的距离为3，离心率为12，P 是椭圆上与A ，B 不重合的任意一点．(1) 求椭圆方程；(2)设Q (0，－m )(m ＞0)是y 轴上定点，若当P 点在椭圆上运动时PQ 最大值是 5 ，求m 的值．高二(上)期中试题数 学(文科)参考答案一、填空题(每小题3分，共42分)1．2x ＋y －2＝02．∀x ∈[－1，1]，x 2－3x ＋1≥03．相交4．－15．y 2＝2x 或x 2＝－2y6．(23，＋∞)7．充分不必要8．249．y ＝±33 x10．x 2＋(y ＋1)2=13 11． 1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．{b |－1≤b <1，或b = 2 }13．3x 2－32 y 2＝114．2 2二、解答题(本大题有6小题，共58分)15．逆命题若直线l 在两坐标轴上截距相等，则直线l 的斜率为－1；该命题是假命题；……3分否命题若直线l 的斜率不为－1，则直线l 在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题； (6)分逆否命题若直线l分(说明，对一个得3分，对两个得16．(1)z ＝7x ＋12 y ；……2分(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ≤300，4 x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ＝300，4 x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24．记点A (20，24)．(作出可行域)如右图，当斜率为－ 712的直线经过点A (20，24)时，在y 轴上的截距最大． ……8分此时，z 取得最大值，为428(万元)．所以，x ，y 分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．……………………………9分17．(1)易得直线l 的斜率为－2，圆C 的圆心为点(－1，2)，半径为2． (2)分设直线m 的方程为2x ＋y ＋k ＝0，由|k |5＝2，解得k ＝±25．所以m 的方程为2x ＋y ±25＝0．………………………………………5分 (2)由⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可得两交点的坐标分别为(－115，25)， (－3，2)．……………7分过A ，B 且面积最小的圆即以线段AB 为直径的圆，其方程为(x ＋135) 2＋(y －65) 2＝45．…………10分18．(1)直线l 过定点(－2 3 ，０)，当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点等价于点(－2 3 ，０)在圆O 内或在圆O 上， (2)分所以r 的取值范围是[2 3 ，＋∞)；………………………………………………………………………5分(其他解法，类比赋分，如231＋m 2 ≤r 恒成立，等) (2)设坐标为(－2 3 ，０) 的点为点A ，分) 分分设AC 的斜率为k ，则直线AC 的方程是y －4＝k (x －8)，x ＝y 22代入并整理，得ky 2－2y ＋8－8k ＝0，方程的两根是4和2k －4，所以y 1＝2k －4，x 1＝2(2k －1)2k 2， A 点的坐标是（2(2k －1)2k 2，2k －4）， 同理可得B 点的坐标（2(2＋k )2，－2k －4）， ………………………………………………7分直线AB 的斜率K AB ＝（2k －4）－（－2k －4） 2(2k －1)2k 2－2(2＋k )2＝－k k 2＋4k －1， 直线AB 的方程是y －(－2k －4)＝－k k 2＋4k －1[x －2(2＋k )2]， 即y ＝－k k 2＋4k －1(x －10)－4， ......................................................9分 直线AB 过定点，定点坐标是（10，－4）． (10)分(第二类解法)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 2上，所以x 1＝y 122，x 2＝y 222．显然，y 1≠4， y 2≠4，y 1＋y 2≠0．因为CA ⊥CB ，所以(y 122－所以(y 1＋4)(y 2＋4)＝－4分直线AB 的方程是y －y 1解法一 直线AB－4， ………………………………………………9分 (10，－4)． ………………………………10分y 12(－y －4)＋y 1(2x －10)＋8 x ＋20 y ＝0．............8． 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分解法三 由(*)式得y 2＝－4y 1＋20y 1＋4． 可得⎩⎨⎧y 1＝－6，y 2＝－2． 进而得A (18，－6)，B (2，－2)，进而得直线AB ：x ＋4y ＋6＝0．(其它方程类比赋分) (7)分由(*)式得还可得⎩⎨⎧y 1＝－3，y 2＝－8．进而得A (92，－3) ，B (32，－8) ，进而得另一直线AB ：2x ＋11y ＋24＝0． (8)分由⎩⎨⎧x ＋4y ＋6＝0，2x ＋11y ＋24＝0， 得⎩⎨⎧x =10，y ＝－4．因为⎩⎨⎧x =10，y ＝－4 适合直线AB 的方程(y ＋y 1y 2y 1＋y 2)， ..........................................9分 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分20．(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3， c a ＝12， 解得 ⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1． 所以，所求方程为x 2 ＋ y 2=1．………………………………………………………………………4分)2＋4m 2＋4，………………………………………………………6分，令2m 2＋1 = 5 ，得m =12 ； (8)m ＋ 3 = 5 ，得m = 5 － 3 (舍去)；…………………1分。
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2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为．2．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．（5分）已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m 的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=R2，由圆经过点（2，2）得R2=2，从而所求方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．2．（5分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．4．（5分）过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．5．（5分）已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，b=4，c==3，∴准线方程为：y=±．∴点P到下准线的距离=﹣4=．故答案为：．6．（5分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．（5分）已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．8．（5分）已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．10．（5分）双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．11．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．12．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．14．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=﹣m，∴f（a）min=（1+m2）m2﹣2m2（m2+1）+（m2+1）2=m2+1，∵|m|≥2，∴f（a）min≥4+1=5∴a2+4b2≥5，故答案为：5二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈[﹣2，2]，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈[﹣2，0）16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．【解答】解：（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的圆心为（2，﹣3）、半径为=，故它的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=20．（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，∴a=3，圆心为（3，﹣3）、半径为CA==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m 的方程．【解答】解：（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x+1），…（1分）则=2 …（2分）解得，k1=0，k2=，…（3分）故所求的切线方程为y=2或4x﹣3y﹣10=0．…（5分）（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=﹣1，l与圆的两个交点坐标为（﹣1，）和（﹣1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；…（7分）当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x+1），…（8分）即kx﹣y+k+2=0，设圆心到此直线的距离为d，则2=2，∴d=1，…（9分）∴1=，∴k=﹣，…（10分）此时直线方程为3x+4y+5=0，…（11分）综上所述，所求直线方程为3x﹣+y+5=0或x=﹣1．…（12分）18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．已知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即PC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，即有S=BA•d=•2•2=2；△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M（﹣，），k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2，|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。