2019年高二数学期中考试试卷分析报告
2018-2019学年江西省景德镇一中高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版
∵复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z| 1，即（x﹣1）2+y2≤1，又 ，
∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆（在x轴及x轴的上半部分）及其内部，
而y≥x表示直线y＝x左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积一半的比，
∴所求概率P
故选：D．
利用间接法，先求出2个人随意坐的方法有 ，再排除两左右相邻的情况，即可得到结论．
【详解】
由题意，一共可坐的位子有20个，2个人随意坐的方法数为 ，还需排除两左右相邻的情况；把可坐的20个座位排成连续一行（前后排相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有 ，但这其中包括甲、乙不在同一排情形，还应再加上2 ．∴不同排法的种数为 346．
【点睛】
本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了赋值法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 （=1,2，…，6），如表所示：
∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，
丙车间生产产品所占的比例 ，
因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的 ，
所以样本容量n=3÷ =13．
考点：分层抽样方法
9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（）
A． B．C．3D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用程序框图的功能将问题等价转化为一个数列问题即可．
8．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品பைடு நூலகம்量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）
2019-2020学年马鞍山二中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年马鞍山二中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数(i 为虚数单位)的实部是( )A. −1B. 1C.D.2. 用反证法证明命题“关于x 的方程ax 3+b =0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程ax 3+b =0至多有一个实根B. 方程ax 3+b =0至少有两个实根C. 方程ax 3+b =0至多有两个实根D. 方程ax 3+b =0没有实根3. 设平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为非零向量，则“a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件按4. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若∀x 0，x ∈I ，总有f(x)≥f(x 0)+f′(x 0)(x −x 0)成立，则称y =f(x)为区间I 上的U 函数．在下列四个函数y =x 2，y =x +1x ，y =−e x ，y =cos2x 中，在区间(−1,0)上为U 函数的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 复数z =2i−1i在复平面内所表示的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 设f(x)={x 2(0≤x <1)2−x(1<x ≤2)，则∫f 20(x)dx =( )A. 56B. 45C. 34D. 不存在7. 若a =ln44，b =ln5.35.3，c =ln66，则a 、b 、c 的大小是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c8. 如图是f(x)=x 3+bx 2+cx +d 的图象，则x 12+x 22的值是( ) A. 23 B. 43C. 83D. 1699.曲线y=lnx+x−1上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是()A. √5B. 2√5C. 3√5D. 010.复数z=t−2i1+2i，(t∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=a n+log3(1+1n)，则a9=()A. 3B. 4C. log310+3D. 512.已知f(x)=alnx−x2，在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p、q，不等式f(p)−f(q)p−q>1恒成立，则实数a的取值范围为()A. (3,5)B. (−∞,0)C. (3,5]D. [3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．14.数列{2n−1}的前n项组成集合A n={1,3，7，…，2n−1}，从集合A n中任取k(k=1,2，…，n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k(若只取一个数，则规定乘积为此数本身)，记S n=T1+ T2+⋯+T n.例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1,3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7.则S n=______．15.对于函数f(x)=√3sin(ωx−π3)+1(其中ω>0)：①若函数y=f(x)的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为π4，则ω=2；②若函数y=f(x)在(一π3，π4)上单调递增，则ω的范围为[12,103]；③若ω=2，则y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为√3x−2y−1=0；④若ω=2，x∈[0,π2]，则y=f(x)的最小值为一12；⑤若ω=2则函数y=√3sin2x+1的图象向右平移π3个单位可以得到函数y=f(x)的图象．其中正确命题的序号有______(把你认为正确的序号都填上)．16.函数f(x)=−x3+x2+x+m．(1)当m=0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数m的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）(x<0)的最大值，并求y取最大值时相应的x的值．17.求y=3x+4x18.如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，D为BC的中点．(1)求证：平面SOD⊥平面SBC；(2)若△SAB为正三角形，且BC=2AC=4，设三棱锥S−ABC的体积为V1，圆锥的体积为V2，求V2．V119.设数列{a n}：1，−2，−2，3，3，3，−4，−4，−4，−4，…，，…，即当(k∈N∗)时，a n=(−1) k −1k.记S n=a 1+a 2+⋯+a n(n∈N∗).对于l∈N∗，定义集合P l={n|S n是a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}.(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2000中元素的个数．20.已知函数f(x)=x3+2x2+x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)若对于任意x∈(0,+∞)，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．21.已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，求证：恒成立..22.(1)函数在上是减函数，求的取值范围(2)设为实数，函数在上是增函数，求的取值范围(3)已知函数()存在单调递增区间，求的取值范围【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于复数(i为虚数单位)的实部是，故可知选C．考点：复数的运用点评：解决的关键是利用复数的除法运算来得到，属于基础题。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析
2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试卷 2019.11一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）1.不等式x−3x+2<0的解集为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2}C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x>3}2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=()A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，x3>0B. ∃x∈R，使tanx=2C. ∀x∈R，2x>0D. ∃x∈R，使lgx=04.已知等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于()A. −15B. −17C. 15D. 175.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. a2<b2B. ab <1 C. 1a<1bD. 1a>1b6.“x2=4”是“x=2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥28.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=−6，a1=−11.则当S n取最小值时，n=()A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y=tanx+9tanx (π2<x<π)的最大值为()A. 6B. 9C. −6D. −910.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).下面说法正确的是()①当k=12时，数列{a n}为递减数列；②当0<k<12时，数列{a n}为递减数列；③当12<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；④当k1−k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.若m<0，n>0且m+n<0，则()A. m<−n<n<−mB. −n<m<−m<nC. m<−n<−m<nD. −n<m<n<−m12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为()A. a6>b6B. a6=b6C. a6<b6D. a6≥b613.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=()A. 4043B. 4046C. 4047D. 4049二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）14.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=______，S4S2=______．16.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于______．17.已知函数f(x)的对应关系如表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______．18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．19.已知数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，则a1+a3+a5+⋯+a2n+1=______．20.已知a>0，b>0，不等式−b<1x<a的解集是______．21.已知a>b>0，则a2−4b2−ab的最小值是______．22.有穷数列{a n}(n∈N∗,n≤12)满足|a n+1−a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式．24.已知函数f(x)=x2+ax−4．(Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围．25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(−1)=−4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足(n∈N∗)．a n+1=f(a n)，且0<a n<12(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增；(Ⅲ)记πn i=1ai =a1a2…a n，若a1=13，求πn i=1(1−2a i).27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．(Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值；(Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…，d n−1是等比数列；(Ⅲ)若d1=d2=⋯=d n−1=0，证明{a n}是常数列．2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A<0，得到(x−3)(x+2)<0【解析】解：∵x−3x+2即x−3>0且x+2<0解得：x>3且x<−2所以无解；或x−3<0且x+2>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为−2<x<3故选A本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，当n=1时，a2=a1+1=3，当n=2时，a3=a2+2=5，故选：B．直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题；对于B，由于正切函数值域为R，故∃x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题；对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x>0正确，故C为真命题；对于D，当x=1时，使lg1=0，故∃x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题．故选：A．对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明．根据含量词的命题判断方法逐一判断即可．本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，∴{a n}的前5项和为：S5=5×(−1)+5×42×2=15．故选：C．等差数列{a n}中，由a1=−1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab=2>1，故B不成立，1 a −1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．利用不等式的性质，作差法，举特例法，a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab =2>1，故B不成立，1a−1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B【解析】解：由x2=4得x=2或x=−2，则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1a +1b<ab，所以B，C错;对于D，因为ab>0，所以ba >0,ab>0，ba+ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，所以D正确，故选D．8.【答案】A【解析】a1=−11,【分析】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=−6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值．【解答】由a4+a6=2a5=−6，解得a5=−3，又a1=−11，∴a5=a1+4d=−11+4d=−3，解得d=2，则a n=−11+2(n−1)=2n−13，∴S n=n(a1+a n)2=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取最小值．故选：A．9.【答案】C【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0， 由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6， 当且仅当tanx =−3成立， 所以tanx +9tanx ≤−6， 故选：C ．函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，得出结论．考查基本不等式的应用，基础题．10.【答案】C【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=12，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0<k <12时，a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n<nn+1≤1，即a n+1<a n ，数列{a n }是递减数列，②正确；③当12<k <1时，an+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，则k <k(n+1)n<2k ，例如取k =78，则a 7=a 8且为最大项，③错误； ④a n+1a n =(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，当k1−k 为正整数时，1>k ≥12， 当k =12时，a 1=a 2>a 3>a 4>⋯…… 当12<k <1 时，令k1−k =m ，解得k =mm+1； 则a n+1a n =(n+1)k n+1nk n =k(n+1)n=(n+1)mn(m+1)，当n <m 时，a n+1a n>1，数列{a n }单调递增； 当n >m 时，a n+1a n<1，数列{a n }单调递减；当n =m 时，a n+1=a n ；所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确； 故选：C ．直接用作商比较法计算a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的单调性．本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题．11.【答案】A【解析】解：由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以m<−n<0<n<−m，故选：A．由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以由不等式的传递性得，m<−n<0<n<−m，得出结论．考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6，∴2a6>2b6，即a6>b6，故选：A．由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②，②−①得a n+2−a n=4(常数)，所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列．由于a1=2，所以a1+a2=7，解得a2=5，所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数)．所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】∃x∈R，x2−1≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是：∃x∈R，x2−1≤0．故答案为：∃x∈R，x2−1≤0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15.【答案】2 5【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2−a5=0，设首项为a1，∴a5a2=a1q4a1q=q3=8，∴q=2，∴由等比数列前n项和公式得：S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−241−22=22+1=5，故答案为：2；5．利用递推式8a2−a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16.【答案】9【解析】解：若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a +4b)≥(1+2)2=9，当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9．若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a+4b)≥(1+2)2=9，得出结论．考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2，a3=f(a2)=f(2)=1，a4=f(a3)=f(1)=3，则a4=a1，则数列{a n}的周期是3，则a2019=a672×3+3=a3=1，故答案为：3，1根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．18.【答案】−1，−2，−3【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−3．19.【答案】98−18⋅9n【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，可得n=1时，a1=4S1−3=4a1−3，即a1=1，当n≥2时，a n−1=4S n−1−3，又a n=4S n−3，两式相减可得a n−a n−1=4(S n−S n−1)=4a n，可得a n=−13a n−1，可得{a n}为首项为1，公比q为−13的等比数列，则a n=a1q n−1=(−13)n−1，可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=1−19n+11−19=98−18⋅9n ．故答案为：98−18⋅9n ．运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(−13)n−1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)【解析】解：∵−b <1x <a ， ∴1x +b >0且1x −a <0， ∵b >0，由1+bx x>0，解得x >0或x <−1b ；① 1x−a <0，得1−ax x<0⇔ax−1x>0，∵a >0，∴x >1a 或x <0；② 由①②得：x >1a 或x <−1b ；∴不等式−b <1x <a 的解集是(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)． 故答案为：(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．在a >0，b >0的条件下将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0即可求得答案． 本题考查分式不等式组的解法，将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．21.【答案】8【解析】解：令t =ab −b 2>0，则a =tb +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立， 所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t ≥4t +4t ≥8，当且仅当t =1时成立， 故答案为：8令t =ab −b 2>0，则a =t b +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t≥4t +4t≥8，当且仅当t =1时成立．考查了基本不等式的应用，还用了换元法，中档题．22.【答案】176【解析】解：根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，∵a 1，a 4，a 12成等比数列．且a 1=1，a 12=4， 则a 4=±2， 分2种情况讨论： ①、若a 4=−2，在1≤n ≤3中，a n+1−a n =−1都成立，在4≤n ≤11中，有1个a n+1−a n =−1，7个a n+1−a n =1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同数列；②、若a 4=2，在1≤n ≤3中，有1个a n+1−a n =−1成立，2个a n+1−a n =1成立，有C 31=3种情况， 在4≤n ≤11中，有3个a n+1−a n =−1，5个a n+1−a n =1成立，有C 83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同数列； 则一共有8+168=176个满足条件的不同数列． 故答案为：176．根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得a 4=±2，进而分2种情况讨论，分析由乘法原理计算可得每种情况的数列数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n }为等差数列，且a 3=6，a 6=0．∴{a 3=a 1+2d =6a 6=a 1+5d =0， 解得d =−2，a 1=10，∴a n =10+(n −1)×(−2)=−2n +12． (Ⅱ)∵等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 4+a 5=(−8+12)+(−10+12)=6，∴q=6=2，3∴{b n}的前n项和公式为：S n=3(1−2n)=3×2n−3．1−2【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出a n．(Ⅱ)求出等比数列{b n}的首项和公差，由此能求出{b n}的前n项和公式．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)<0，故不等式的解集为(−4,1)．(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，x2+ax+1>0在R上恒成立，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．【解析】(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)< 0，解出即可；(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，基础题．25.【答案】解：(Ⅰ){a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，且b2=3，b5=81，=27，即q=3，则b n=b2q n−2=3n−1；可得q3=b5b2=2，a1=b1=1，a14=b4=27，则d=a14−a114−1则a n=1+2(n−1)=2n−1：(Ⅱ)c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，可得前n项和T n=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，3T n=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，两式相减可得−2T n=1+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n−(2n−1)⋅3n，=1+2⋅3(1−3n−1)1−3化为T n =1+(n −1))⋅3n ．【解析】(Ⅰ){a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．26.【答案】解：(Ⅰ)f(−1)=a −b =−4，即b =a +4，因为f(x)=ax 2+bx ≤6x +2恒成立，即对任意x ，ax 2+(b −6)x −2≤0恒成立， 所以{a <0△=(b −6)2+8a ≤0b =a +4，整理得(a +2)2≤0，所以a =−2，b =2，则f(x)=−2x 2+2x ；(Ⅱ)证明：因为a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n ，所以a n+1−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n =−2(a n −14)2+18，因为0<a n <12(n ∈N ∗)，所以a n+1−a n ∈(0,18)，则a n+1>a n ，所以数列{a n }单调递增；(Ⅲ)因为a n+1=−2a n 2+2a n ，即a n+1−12=−2(a n −12)2，两边同时乘以−2，可得1−2a n+1=(1−2a n )2，两边取对数可得lg(1−2a n+1)=2lg(1−2a n )，则数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首项的等比数列，所以lg(1−2a n )=2n−1lg 13=lg(13)2n−1，则1−2a n =(13)2n−1，πni =1(1−2a i )=(1−2a 1)(1−2a 2)(1−2a 3)…(1−2a n )=(13)1+2+22+⋯+2n−1=(13)2n −1．【解析】(Ⅰ)根据f(−1)=−4可得a ，b 数量关系，再根据恒有f(x)≤6x +2.可求出a ，进而得f(x)解析式；(Ⅱ)利用二次函数验证a n+1−a n >0即可；(Ⅲ)先求出数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首相的等比数列，所以1−2a n =(13)2n−1，进而可求出πni =1(1−2a i )的值．本题考查数列与函数的综合运用，能判断出数列{lg(1−2a n )}是等比数列是关键，属于难题．27.【答案】解：(I)d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6；(II)证明：a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，所以a n =a 1q n−1，且数列为递增数列，所以当k =1，2，3，…，n −1时，d k =A k −B k =a k −a k+1，所以d kdk−1=a k−a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q ，所以d 1，d 2，…，d n−1是等比数列； (iii)若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，由d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，① 若k =2，则a 1=a 2，若k >2，因为d k−1=0，所以A k−1=B k−1，即max{a 1,…,a k−1}=min{a k ,…,a n }=a k ， 又a 1=a k ，所以对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，② 由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ， 故a 1=a 2=⋯=a k ，因为d k =0，所以A k =B k ，所以a k =max{a 1,…,a k }=min{a k+1,…,a n }， 所以存在k′∈{k +1,k +2,…,n}，使得a k ′=a k ， 根据以上道理，可得故a k =⋯=a k ， 依此类推，故{a n }是常数列．【解析】(I)由d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6，得出结论；(II)根据题意得，d k =A k −B k =a k −a k+1，由d kd k−1=a k −a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q 为定值，得出结论；(III)先证明d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，①再证明对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，②由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，同理得出结论．本题是一道创新型数列题，结合等比数列的性质，考查了数学的逻辑推理能力和数学运算能力，难度较大，综合性强．。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2018-2019学年辽宁省鞍山市高二第二学期期中数学(理科)试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．2xdx＝（）A．18B．9C．6D．33．命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≥x2 4．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝，则＝（）A．B．C．D．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数6．如图：在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6C．D．8．由xy＝1，y＝x，x＝3所围成的封闭区域的面积为（）A．2ln3B．2+ln3C．4﹣2ln3D．4﹣ln39．若z是复数，则“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知曲线C的方程为，给定命题p：若k∈（﹣∞，3），则曲线C为双曲线；命题q：若k∈（3，4），则曲线C是焦点在x轴上的椭圆．下列是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）11．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）＜0，若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c12．设双曲线的右焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．二、填空题13．若直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝．14．函数f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx的最小值为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．16．当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E在点A点C处的切线总是平行的，则点（b，a）的坐标为．三、解答题17．观察下面四个等式第1个：第2个：第3个：第4个：（I）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n∈N*）（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想成立18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AM；（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．19．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为4离心率e＝，（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F，倾斜角为的直线l与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．20．设函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，（Ⅰ）求f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）＝c有三个不同零点，求c取值范围．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，经过点M（1，）（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，若k2＝2k1，试判断直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由22．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣x2+ax，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2＝0（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）＝+x2﹣2x﹣（e为自然对数的底数），证明；对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）+g（x）＜0参考答案一、选择题1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．2xdx＝（）A．18B．9C．6D．3【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出定积分的值．解：2xdx＝．故选：B．3．命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≥x2【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为：∀x∈R，2x≥x2．故选：D．4．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】由于＝+，，，代入化简即可得出．解：＝+，，，∴＝+＝，故选：D．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．6．如图：在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A．B．C．D．【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA1＝AB＝AC＝2，则A（0，0，0），M（0，2，1），P（1，0，2），Q（1，1，0）．，．∴cos＜＞＝．∴直线PQ与AM所成的角是．故选：D．7．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6C．D．【分析】利用抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离，可得|PM|+|PF|＝|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离，即可得出结论．解：∵抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离，∴|PM|+|PF|＝|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离＝3+＝．∴|PM|+|PF|的最小值是，故选：D．8．由xy＝1，y＝x，x＝3所围成的封闭区域的面积为（）A．2ln3B．2+ln3C．4﹣2ln3D．4﹣ln3【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解：由曲线xy＝1，直线y＝x，解得x＝±1．由xy＝1，x＝3可得交点坐标为（3，）．∴由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成封闭的平面图形的面积是S＝（x﹣）dx＝（x2﹣lnx）＝4﹣ln3．故选：D．9．若z是复数，则“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由复数的模的定义分析可得若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，﹣1＜z＜1不一定成立，反之若﹣1＜z＜1，必有|z|＜1，据此分析可得答案．解：根据题意，若z是复数，设z＝a+bi，若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，﹣1＜z＜1不一定成立，“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的不充分条件，若﹣1＜z＜1，即z是（﹣1，1）上的实数，必有|z|＜1，即“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的必要条件，故“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的必要不充分条件；故选：B．10．已知曲线C的方程为，给定命题p：若k∈（﹣∞，3），则曲线C为双曲线；命题q：若k∈（3，4），则曲线C是焦点在x轴上的椭圆．下列是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】利用双曲线与椭圆的定义判断p，q的真假，再判断复合命题的真假即可．解：∵曲线C的方程为，∴当k＜3时，（4﹣k）（k﹣3）＜0；故曲线C为双曲线；∴命题p为真命题，￢p为假命题；∵当曲线C是焦点在x轴上的椭圆，∴；∴3；∴命题q为假命题，￢q为真命题；∴p∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题，（￢p）∧q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题；故选：B．11．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）＜0，若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c【分析】可令g（x）＝，x＞0，然后对其求导，结合导数与单调性的关系可求g （x）的单调性，进而可比较大小．解：令g（x）＝，x＞0，因为：xf′（x）﹣f（x）＜0，则＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为sin3＜，所以g（sin3）＞g（ln2）＞g（20.2）．故a＞b＞c．故选：A．12．设双曲线的右焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标，由题意可得双曲线的c值，再由渐近线的方程设双曲线的方程，由c的值求出参数，进而可得双曲线的方程．解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为（4，0），所以由题意可得双曲线的c＝4，再由双曲线的渐近线的方程可得双曲线的方程：﹣＝1，λ＞0，由题意可得λ+3λ＝c2＝16，解得λ＝4，所以双曲线的方程为：﹣＝1；故选：B．二、填空题；共4小题，每小题5分，共20分13．若直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝﹣4．【分析】利用直线与抛物线联立方程组，通过判别式为0求解即可．解：由题意可得：，可得x2﹣8x﹣4c＝0，直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，可得△＝64+16c＝0，解得c＝﹣4．故答案为：﹣4．14．函数f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx的最小值为﹣12﹣4ln4．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．解：∵f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx，函数的定义域为：{x|x＞0}，∴f′（x）＝2x﹣7﹣，令f′（x）＝0，可得x＝4，函数在（0，4）单调递减，在（4，+∞）单调递增，∴x＝4时，函数取得最小值．最小值为：16﹣28﹣4ln4＝﹣12﹣4ln4．故答案为：﹣12﹣4ln4．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则可得∠C1BO为BC1与平面BBD1B1所成角，利用正弦函数，即可求得结论．解：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2∴C1O⊥平面BDD1B1∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角∵C1O＝A1C1＝，BC1＝∴sin∠C1BO＝＝＝故答案为：16．当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E在点A点C处的切线总是平行的，则点（b，a）的坐标为（﹣1，）．【分析】由题意可知直线恒过定点（1，1），由曲线在A，C处的切线平行，可得A，C 两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，由对称性，可得a，b的方程，求出a，b的值即可．解：∵曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，又直线kx﹣y﹣k+1＝0恒过点（1，1），∴f（x）的对称中心为（1，1），即B（1，1），∴a+b+＝1．①由y＝ax3+bx2+，可得y′＝3ax2+2bx，令y′＝3ax2+2bx＝0可得﹣＝2，②由①②可得a＝，b＝﹣1．即（b，a）的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．三、解答题；共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．观察下面四个等式第1个：第2个：第3个：第4个：（I）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n∈N*）（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想成立【分析】（I）由已知等式，观察等式的左边和右边，可得猜想++…+＝，n∈N*；（Ⅱ）运用数学归纳法证明，先检验n＝1成立，假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，再证n＝k+1，注意运用假设，以及因式分解，可得证明．解：（I）由第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，可猜想，第n个等式（n∈N*）：++…+＝，n∈N*：（Ⅱ）数学归纳法证明：当n＝1时，＝，＝，等式成立；假设n＝k（k∈N*）时，++…+＝，k∈N*．当n＝k+1时，++…++＝+＝＝＝，可得n＝k+1时，++…+＝，n∈N*也成立，综上可得，对一切的n∈N*，++…+＝均成立．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AM；（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．【分析】（1）以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明A1B⊥AM．（2）求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．【解答】（1）证明：以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，，0），，M（0，0，），＝（1，﹣，﹣），＝（0，﹣，），∵＝0+3﹣3＝0，∴A1B⊥AM．（2）解：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，∴＝（1，0，0）是平面AMC的一个法向量，设＝（x，y，z）是平面BAM的法向量，＝（﹣1，，0），＝（﹣1，0，），∴，取z＝2，得＝（），∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小为45°．19．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为4离心率e＝，（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F，倾斜角为的直线l与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）有题意可得c及a，c的关系再由a，b，c自己的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F的坐标，有题意求出直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出三角形的面积解：（Ⅰ）有题意可得：2c＝4，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝2，b2＝2，所以双曲线的标准方程为：﹣＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F（2，0），有题意可得直线l的方程为：x＝y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程：，整理可得y2﹣2y﹣3＝0，y1+y2＝2，y1y2＝﹣3，所以S△AOB＝•|y1﹣y2|＝＝＝2，所以△AOB的面积为2．20．设函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，（Ⅰ）求f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）＝c有三个不同零点，求c取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），利用导函数的正负得到函数f（x）的单调性，从而求出f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的单调性即可得到函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）f（x）＝c有三个不同零点，等价于函数y＝f（x）与y＝c有三个交点，根据函数f（x）的极值和单调区间，画出函数f（x）的大致图象，即可得到c取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，x∈R，∴f'（x）＝﹣3x2﹣4x+4＝（x+2）（2﹣3x），令f'（x）＞0，解得﹣2＜x＜；令f'（x）＜0，解得x＜﹣2或x＞，∴函数f（x）在x＝处取得极大值，在x＝﹣2处取得极小值，∴极大值点为x＝，极小值点为x＝﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）在（﹣2，）上单调递增，在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣2，），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）的极小值为f（﹣2）＝0，极大值为f（）＝，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∵f（x）＝c有三个不同零点，∴函数y＝f（x）与y＝c有三个交点，由函数f（x）的图象可得：0＜c＜，∴c的取值范围为：（0，）．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，经过点M（1，）（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，若k2＝2k1，试判断直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由【分析】（Ⅰ）由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），AP的方程为y＝k1（x+2），联立椭圆方程，求得P的坐标；设Q（x2，y2），同理可得Q的坐标，讨论PQ是否垂直于x轴，结合直线的斜率公式和三点共线的性质可得所求定点．解：（Ⅰ）由题意得e＝＝，则a2＝4c2，则a2＝b2，将点（1，）代入椭圆方程+＝1，解得：b2＝3，a2＝4，∴所求的椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设P（x1，y1），由已知可得AP的方程为y＝k1（x+2）代入椭圆方程可得3x2+4k12（x+2）2﹣12＝0，解得x1＝﹣2（舍去），或x1＝，进而y1＝k1（x+2）＝，即P（，），设Q（x2，y2），同理可得Q（，），故P的坐标为（，），当PQ⊥x轴时，即＝，解得k12＝，此时PQ的方程为x＝，与x轴交于（，0），记该点为N，当PQ不垂直于x轴时，即≠，则直线PN的斜率为＝，直线NQ的斜率为kQN＝＝，可得P，N，Q三点共线，则直线PQ恒过定点（，0）．22．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣x2+ax，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2＝0（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）＝+x2﹣2x﹣（e为自然对数的底数），证明；对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）+g（x）＜0【分析】（Ⅰ）利用先将x＝1代入切线方程求出f（1），得切点坐标为（1，1），再代入y＝f（x）即可求出a；（Ⅱ）将f（x）+g（x）合并之后，先分离，容易看出前者取值在（0，1）之间，所以只需求出后者的最小值，1与后者最小值的差只要小于0即可．解：（Ⅰ）显然切点（1，f（1））在切线x+y﹣2＝0上，故f（1）＝1，由已知可得f（1）＝﹣ln1+a﹣1＝a﹣1＝1，所以a＝2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得f（x）＝﹣lnx+2x﹣x2，故f（x）+g（x）＝）＝﹣lnx﹣x2+2x++x2﹣2x﹣﹣1＝，显然，当x＞0时，恒成立，设，则，易知，当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，所以，h（x）在上是减函数，在上是增函数，所以，，故对任意的x＞0，都有f（x）+g（x）＜1﹣（ln2+1）＝﹣ln2＜0，所以对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）＜0．。
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用反证法证明命题55整除”时，其反设正确的是（）A. 5整除B. 5整除C. 5整除5整除【答案】C【解析】【分析】5整除的否定即可.55整除，选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.2.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】,，对应点为 B.【点睛】本题考查复数代数形式以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.4.a、b、c S，内切圆半径为r可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于C.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为R＝B5.）A. 60B. 64C. 160D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.，因此含项的系数为 A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A. B. 37种 C. 18种 D. 16种【答案】B【解析】【分析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级的B.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.的模等于（）A. B. D. 2【答案】D【解析】【分析】.，所以 D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】剩余的4个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数.【详解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有 D. 【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.9.()A. B. D. 【答案】A【解析】【分析】.得,所以A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】.，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11.在二项式则有理项不相邻的概率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】.有理项不相邻有种方法,因此所求概率为选A.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.，则称函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.或C.【点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是________.【解析】 试题分析：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，考点：条件概率与独立事件． 点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．14.【解析】 【分析】根据正态分布对称性求解. 【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题15.________.【解析】【分析】.,增，时，【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题16.________.【答案】【解析】【分析】利用导数求函数最值.【详解】因，对应值为时，，对应值为，【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，（Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数值．【详解】解：，即为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题18.的通项公式；【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（Ⅱ）根据和项与通项关系得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明.【详解】解：，解得．时，由（Ⅰ）可知成立，所以当时猜想也成立．【点睛】本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题19.（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1（2的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1，得（2）由（1），．令，解得，．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k20..（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续3次全部击中，则额外加10分.手射击3次后的总得分，求.【答案】（I（II 的分布列是【解析】试题分析：解：⑴3,所以所求概率为.⑵的所有可能取值为“”，，，.考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．21.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每35元，最高不超过41元．【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元.【解析】试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝.将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4<a≤5时，L′(x)>0⇔35≤x<31＋a，L′(x)<0⇔31＋a<x≤41.所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．22.【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为23）见解析.【解析】试题分析：（1（2）由（1上是增函数，由（1）可；（3）由（2）知，，，进而换元可得即可得证.试题解析：（1在上单调递增时，在上单调递增；（2）由（1）知，时，不可能成立；（3）由（2.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。
2019-2020学年第二学期数学期中线上测试质量分析
2019-2020学年第二学期数学期中线上测试质量分析“停课不停学，听课不停教”。
特别的学习和教学方式，老师宅家当主播，孩子们蜗居在家上网课。
为了摸清学生的学习效果，更好地安排下一步的教学，周五上午，学校统一组织了线上期中考试，对学生、对老师，这都是一场从未有过的特殊的“考试”，老师在钉钉这头视频监考，学生在钉钉那头认真作答。
一、学情分析分数虽然不是最重要的，但是孩子对知识的掌握程度，还得通过考试来检查。
上午考完，下午随即改卷，四（4）班现有学生55人，全部参加考试，本次考试四（7）班的平均成绩为77.69分，有44人及格，11人不及格，及格率80%，优秀人数19人，优秀率34.55%。
四（7）班，现有人数54人，全部参加考试。
平均分78.07分，及格人数46人，不及格人数7人，及格率86.79%，优秀人数25人，优秀率47.17%。
随着在线学习的逐渐适应，孩子们的在线学习状态和老师的直播教学也都悄悄地改变，作为老师，不再像以前那样讲课时的拘束、语无伦次、满头大汗了。
孩子们也不再像以前那样发表情，忙着回复答案、点赞，而是渐渐地提前准备作业本、红笔，边听边对改自己的作业。
两个班的大部分学生都能按时参与名校课堂和每天直播作业反馈课或新课，课下能按时完成作业。
学习效果有所进步，作业质量有所提高。
学习节奏勉强跟得上，但是，学习效果明显不如在校面对面授课。
而且，有部分学生的学习习惯较差，自制能力较差，拿起手机不是在线学习，而是把手机当玩具，把学习当儿戏。
自主学习能力较差，家长监督不到位，只是问问完事儿。
比如：四（7）班：XXX、XXX、XXX，学习态度不够端正，不听课、不写作业，打电话催催动动，不催不动，个别男生作业书写不够整洁；不主动参与线上交流，真是手机成就一帮孩子，也毁掉了部分不自律的孩子。
四（4)班虽然是两级分化明显，但在家长的督促下，整体学风较好，良性循环。
自律、家庭教育良好的孩子越来越优秀，他们自我要求较高，自加压力，把学习放在最重要的位置；但还有几个孩子自己不自觉，家长以上班、忙为理由，给孩子一部手机完事，对孩子学习不管不问。
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高二数学期中考试试卷分析报告
一、总体评价：
这套试卷主要考查基础，考查数学能力，以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学，区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。
二、试题分析：
1．试题结构
此试卷继续保持试卷结构和题量不变，试卷包括Ⅰ、Ⅱ两卷，总题量22小题，总分150分，第Ⅰ卷有12道选择题，共60分；第Ⅱ卷由4道填空题和6道解答题组成，共90分，试卷中各部分知识占分比例为选修《2-1》50%，之前知识50%，。
试题各部分难度适中，层次分明，区分度强，信度高，体现了试题测试功能。
2．试题特点
（1）考查全面，重点突出
试题考查了高中数学《选修2-1》以及前面章节的内容，全面考查了学生“双基”，体现了数学教学的基本要求，对重点内容《圆锥曲线》重点考查，符合考纲说明。
（2）突出了对数学思想方法的考查
数学思想方法决定着数学基批知识教学的水平，培养数学能力，优化思维素养和数学基本技能的培养、能力的发展有十分重要的
意义。
也是考纲考查的重点。
本试题考查了数形结合思想、化归转化思想、建模思想等数学思想与方法。
(3）注重双基，突出能力考查
试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。
（4）重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧
试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路。
3．答卷中存在的问题
（1）基本概念不强，灵活应用能力差
从学生答卷情况来看，部分考生对教材基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用较差。
（2）分析问题，解决问题能力较差
在答卷中对简单或明显套用公式的题，考生一般可得分，但对常规题的条件或结论稍做改变，或需探索才能得出结果的题，则有相当一部分考生被卡住，这些考生分析问题解决问题的能力较差。
如第18题第二问得分率很低。
（3）运算能力差
对于试卷中的计算题，有许多考生不能计算出准确答案，有的符号错误，有的计算错误，不该失的分失去，表明平时做题不
认真，不严谨。
（4）数学术语不准确，语言表述不规范
试卷中反映出学生对主观题的回答不规范，不能准确运用数学术语，语言欠严谨。
三、期望建议：
建议要求每个学生都准备一本错题本，把平时练习中的错题收集起来。
从现在开始学生考试、练习的次数越来越多，每次考试都相当于在捕鱼，如果发现“网”有漏洞，就要及时修补。
要求学生每次在整理错题时，及时总结出错因，订正时立足通法，尽量不使用猜想、排除等特殊方法，而要求使用直接法，以达到巩固基础知识的目的。