高考数学10.5直线与圆锥曲线46改
高考数学圆锥曲线复习策略.docx
高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴 住占 八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占 八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率 渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：直线与圆锥曲线的位置关系课件北师大版
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法.
强基础 固本增分
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程
|AB|= 1
= 1+
+ 2 ·|x
1
2
1-x2|=
1+
2
2
(1 + 2 ) -41 2 =
1
1 + 2 ·|y1-y2|
(1 + 2 )2 -41 2 .
微点拨 1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律:联立方程求交点,
根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘.
5
( ) ·|y1-y2|=
2
2
5
2
2
· (1 + 2 ) -41 2 =
· 4-8=5,∴b=-2.
∴直线 l 的方程为 y=2x-2,即 2x-y-2=0.
5
2
· 4-8.
6.过原点的直线
2
l 与双曲线 4
−
2
=1
相交于两点,求
3
l 的斜率的取值范围.
有一个公共点.
(3)当 Δ<0,即 m<-3 2或 m>3 2时,方程没有实数根,则直线 l 与椭圆 C 没有
公共点.
规律方法 直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法
对点训练(1)过点P(4,4)且与双曲线
高考数学微专题4直线与圆锥曲线4.2直线与双曲线的位置关系 课件
12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
内容索引
【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
内容索引
由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
内容索引
同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169
高考数学《圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题》复习
高考考点
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 2. 圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 3. 直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 4. 圆锥曲线中的定点，定值问题
考点解读
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程 2.考查圆锥曲线的定义、性质
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px p 0 焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2 ) ，
则
①x1x2＝
p2 4
，
y1 y2＝
p2
；
②弦长
AB
＝x1＋x2＋p＝
2 sin
p
2
( 为弦 AB 的倾斜角)；
③ 1 1 2 ；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切． | FA | | FB | p
y=
b a
x；
焦点坐标 F1(－c,0)，F2 c,0 ．
②双曲线
y2 a2
x2 b2
=1
(a
0，b
0) 的渐近线方程为
y=
a b
x，
焦点坐标 F1(0，－c)，F2 (0，c) ．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝ 2 px p 0 的焦点坐标为 ( p ,0) ，准线方程为 x＝ p ．
3．与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时， 一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系， 再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系． 该问题主要有以下三种情况： （1）距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解； （2）若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程， 再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标， 这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上， 则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
高考数学 圆锥曲线的综合问题(学案)绝密资料
圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。
(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形，||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28yx =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)，于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. （09摸底）已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）设圆上的动点为)','('y x P 压缩后对应的点为),(y x P ，则⎩⎨⎧==yy xx 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又21=OMK , ∴直线l 的方程为m x y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. 题型2：与弦中点有关的问题[例2]（08韶关调研）已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,l 的方程为12x =,则11(),(,2222C D ,它的中点不是N ,不合题意 设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得 221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)－(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=--即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D , 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-, 将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k k k x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-,将12k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程。
高考数学《圆锥曲线》(考纲要求)
第八章圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．基本方法和数学思想1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。
其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。
间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，θ参数及多个参数)等。
2．本节解题时用到的主要数学思想方法有：（1）函数方程思想。
求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。
（2）数形结合思想。
解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。
即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。
（3）等价转化思想。
在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。
3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。
所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算。
所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则。
因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”。
热点分析高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节 直线与圆锥曲线考纲解读掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练运用函数与方程，数形结合，等 价转化和分类讨论思想解题。
命题趋势探究从内容上看，直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆 锥曲线关系中的求弦长，焦点弦长及弦中点，取值范围和最值等问题。
从形式上看，以解答题为主，难度较大从能力上看，要求考生具备数形结合，分析转化及分类讨论的能力 预测在2019年高考中：题目主要以解答题的形式出现，这类问题的综合性强，注重与一元二次方程 的判别式，韦达定理，不等式相结合，重在考查学生的基本数学素质和数学运算 能力，具有较高的区分度，关注与向量综合的探索性题目，分值基本保持在12-14 分。
知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解,方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y的形式)12AB y y k=-=≠三, 已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程(1) AB是椭圆()22221.0x ya ba b+=>的一条弦,中点()00,M x y,则AB的斜率为22b xa y- ,运用点差法求AB的斜率;设()()()112212,,A x yB x y x x≠ ,,A B都在椭圆上,所以22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得2222121222x x y ya b--+=所以()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b xx x a y y a y-+=-=--+，故22ABb xka y=-（1）运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线()22221.0x ya ba b-=>的弦，中点()00,M x y，则22ABb xka y=；若曲线是抛物线()220y px p=>，则ABpky=题型归纳及思路提示题型147 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。
例10.35已知两点551,,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列曲线方程① 4210x y +-= ② 223x y +=③ 2212x y += ④ 2212x y -= 在曲线上存在点P 满足PM PN =的所有曲线方程是 。
（写出所以正确的编号）变式1 对于抛物线2:4C y x =，我们称满足2004y x <的点()00,M x y 在抛物线的内部，若点()00,M x y 在抛物线的内部，则直线()00:2l y y x x =+与抛物线C 的位置关系是变式2 设抛物线24y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是例10.36 如图10-26所示，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点()()0,0C c c >任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条直线垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.（1）若2OA OB = ，求c 的值（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。
变式1 （2017课标II ，文20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线过C 的左焦点F.题型148 中点弦问题思路提示直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高 考的一个热点问题.这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题。
首先要考虑是点差法.即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系.除此之外，最好也记住如下结论：0)b >>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a⋅=-. 在双曲线22221(,0)x y a b a b -=>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a ⋅=.（其中0k 为原点与弦中点连线的斜率）.在抛物线22(0)y px p =>中，中点弦的斜率为k ，满足0k y p ⋅=（0y 为中点纵坐标）.例10.37已知过点M11(,)22的直线l与椭圆2212xy+=交与A,B两点，且OM＝1 2()OA OB+(O为坐标原点)，求直线l的方程.变式1已知椭圆方程为2212xy+=.（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P(2,1)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程.例10.38如图10-29所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22142x y+=，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k.求证：对任意k＞0，都有P A⊥PB.例10.39已知椭圆22143x y+=，试确定m的取值范围，使得对于直线:4l y x m=+,椭圆C上有两个不同的点关于这条直线对称.变式1如图10-30所示，已知椭圆E经过点A(,3),对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率12e=.（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由.变式2已知A,B,C是椭圆22:14xW y+=上的三个点，O是坐标原点.（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.题型149 弦长面积问题思路提示在弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式：12AB x =-=. （2）与焦点相关的弦长计算，利用定义； （3）涉及到面积的计算问题.例10.40过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点，若线段AB 的长为8，则p =_____.变式1已知椭圆22:12x C y +=，过椭圆C 的左焦点F 且倾斜角为6π的直线l 与椭圆C 交与A ,B ，求弦长AB .例10.41已知椭圆22:14xG y+=，过点(,0)m作圆221x y+=的切线l交椭圆G与A,B两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将AB表示为m的函数，并求出AB的最大值.变式1已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>经过点3(1,)2M，其离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y kx m=+(k≤12)与椭圆C相交于A,B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为原点，求OP的取值范围.变式2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A , O为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P (异于点A )为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D . 如图10-31所示，求DE AP的取值范围.例10.42已知F 1, F 2是椭圆22143x y +=的左右焦点，AB 是过点F 1的一条动弦，求△ABF 2的面积的最大值.变式1已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 交椭圆M 交与点A ，B ，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值.例10.43（2017福建三明5月质检）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点()1,0F ，椭圆Γ的左，右顶点分别为,M N ．过点F 的直线与椭圆交于,C D 两点，且MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与轴垂直,,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．最有效训练题46（限时45分钟）1. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为F 1, F 2,过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于点A ，B ，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③83AB =，正确结论的个数为（ ）.A . 3B . 2C . 1D . 02. 斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）.A .B .C .D . )+∞3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为（ ）.A . 2B . 4C . 6D . 84.过点P (0,2)的直线l 与抛物线24y x =交于点A ,B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）.A . 2220y y x --=(y ＜0或y ＞4)B . 2220y y x --=C . 2240y y x --=D . 2240y y x --=(y ＜0)5.椭圆221369x y +=的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）.A . 20x y -=B . 2100x y +-=C . 220x y --=D . 280x y +-=6.已知A ,B ,P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A , B 连线经过坐标原点，若直线P A , PB 的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为（ ）.A B C D 7.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A ,B 两点，过原点与线段AB 中点的直线ab的值为________. 8.已知抛物线24y x =，过点P (4,0)的直线与抛物线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则2212y y +的最小值是________.9.抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:l y x m =+相交于A ,B 两点，线段AB 中点的横坐标为5，又抛物线C 的焦点到直线l，则m ＝________.10（2017江苏，17）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.11.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．12. (2017课标3，理20)已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.(第10题)。