2011期末模拟卷解答

杭州电子科技大学信息工程学院《线性代数甲》期末B 卷 第1页共8页2011期末线性代数模拟试卷答案一、 填空题 （每小题4分，共20分） 1. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=12，则|2A |= 4 ；2. 设三元线性方程组b Ax =的两个特解为12[1,2,3],[1,1,1]T T ηη==，且2)(=A R , 则b Ax =的通解为[1,2,3][0,1,2](TTk k +为任意数）； 3. 二次型222123123121332(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++的标准形是2221235f y y y =--+4. 设三阶方阵A 的特征值为0,-1,1, 且2B A A E =-+,则B= 3 .5. 设二次型2221231323242f x x x x x x x =+--+，则二次型f 的矩阵为 102011212-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦二、单项选择题（每小题5分，共20分）1.设,A B 都是n 阶方阵，下列命题正确的是 （ D ） （A ）222()2A B A AB B +=++ （B ） 222()AB A B =(C) 22()()A B A B A B +-=- （D ） ()T T T AB B A =2. 设A 是35⨯矩阵，B 是3维列向量，()3R A =.则方程组AXB = （ A ）（A ）必定有解 (B)未必有解 （C ）必定无解 （D ）必有唯一解3.矩阵110021003A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于 （ C ）（A ） 123-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B ）110010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D ）222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4. 设二次型222123122322f x x x x x x x λ=++-+，则f 为正定的充要条件是λ满足（ B ）（A ）4λ> （B ） 2λ> （C ） 1λ>- （D ）0λ>三、下列各题（本题共6小题，每小题6分，共36分）1． 计算行列式1124205111262323-----;解：原式=11242051200105049----=122511(1)2010549+-⨯---（4分）=251059210521055490416---=--（1分） =59288416---= （1分）2.求矩阵122233134A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵； 解：用初等变换法122100[]233010134001A E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21312122100011210012101r r r r --⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（2分）23123222(1)100320100320011210010521001311001311r r r r r r r +++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→---−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以1320521311A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（4分） 3. 求齐次线性方程组123412341234122223233x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的通解（用特解和基础解系的形式表示）；111111212223233A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ →111110*********⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦101000101100000⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2分） 与原方程组同解方程13241x x x x =-⎧⎨=-⎩，得特解0[0,1,0,0]TX =，对应的齐次线性方程组的基础解系[]11,0,1,0Tξ=-，[]20,1,0,1Tξ=-（3分）方程组的通解为0112212(,X k k k k ξξ++为任意数）（1分） 4.已知矩阵方程AX B X +=，求矩阵X 。

其中010111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦， 112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解 由AXB X +=得()E A X B -=因为11111013012102EA ---=-==≠，所以E A -可逆于是1()X E A B -=-（2分）由于[]1232110110111110120101201025300333r r r r E A B -------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦311312231(1)301022100311003101022011100111r r r r r r r r --↔+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此 312211X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（4分）5.已知矩阵20022221A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似， 求x 与y 的值 .解：因为A 与B 相似，||trA trBA B =⎧⎨=⎩（2分），于是有2121282x y x y ++=+-⎧⎨-=-⎩ ，化简得24x y x y -=-⎧⎨+=⎩（2分）解得：13x y =⎧⎨=⎩（2分） 6. 已知方阵A 的属于特征值2λ=的特征向量是1[1,0,2]Tξ=和2[2,1,2]T ξ=，又向量122αξξ=+，求A α。

解 已知11222,2A A ξξξξ==，所以121212(2)242A A A A αξξξξξξ=+=+=+ （3分）=4[1,0,2]T +2[2,1,2]T =6[8,2,12]2[4,1,6]TT = （3分）四、[本题10分] 已知矩阵460350361A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. （1）求A 的特征值和相应的特征向量；（2）若A 与对角矩阵相似,试求可逆矩阵P , 使1P AP -=Λ为对角矩阵,并求对角矩阵Λ.解 （1）因为A 的特征多项式为2460350(1)(2),361E A λλλλλλ---=+=-+- 故A 的特征值为11λ=（二重）, 2 2.λ=- （2分）将11λ=代入特征方程组()0E A X λ-=得3603600360X --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其基础解系为12201,0.01ξξ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故矩阵A 的属于特征值11λ=的所有特征向量为1122k k ξξ+ (12,k k 不全为0).（2分）将22λ=-代入特征方程组()0E A X λ-=得6603300363X --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其基础解系为311.1ξ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故矩阵A 的属于特征值22λ=-的所有特征向量为33k ξ (30k ≠).（2分）（2）因A 有3个线性无关的特征向量123,,,ξξξ, 故A 可相似对角化. （1分）令123201[]101011P ξξξ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则P 为可逆矩阵, 且1P AP -=Λ为对角矩阵. （3分）五、[本题10分] 设二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--，用正交变换X UY =把f 化成标准型，并判断它是否是正定二次型？解：（1）二次型对应的矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1分） 220||212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ--=-=+--=解得A 的特征值1232,1,4λλλ=-== （1分）将12λ=-代入特征方程得(2)0A X --=11042004401122232232201011022022000000E A ⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=--→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组132312x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 基础解系1[1,2,2]Tξ=单位化得11[1,2,2]3T η=（1分） 将21λ=代入特征方程得()0E A X -=1011201201011202042000012021021021000E A ⎡⎤----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得方程组132312x x x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩基础解系为2[2,1,2],T ξ=-单位化21[2,1,2]3T η=- （1分）将34λ=代入特征方程得(4)0E A X -=2202201024232012012024024000E A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组132322x x x x =⎧⎨=-⎩ 基础解系3[2,2,1]T ξ=-，单位化31[2,2,1]3T η=-（1分）令1231221[]2123221U ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得正交变换X UY =（2分）f 的标准型22212324T T T f X AX Y U AUY y y y ===-++（1分）由于A 有特征值120λ=-<，所以二次型f不是正定二次型。

（2分）六、证明题(本题4分) 已知二阶正交矩阵A 满足 ||0A >且|2|0E A -=，计算行列式|2|E A +。

解 因为|2|0E A -=，所以A 有特征值2。

（1分）又知A 是正交矩阵且||0A >，所以A 的另一个特征值为12，（1分） 因此A 的特征值分别是1212,2λλ==。

设()2f A A E =+，则(2)4f =，115()2222f =+=，（1分）所以5|2|4102E A +=⨯= （1分）。