高考数学一轮复习 第六章 等差数列及其前n项和学案29 文(含解析)

学案29 等差数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__________，其中A 叫做a ，b 的__________． 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝________，a n ＝a m ＋________ (m ，n ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝__________＝____________. 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝__________. 4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，______________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为____________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为________．自我检测1．(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为 ( )A ．130B ．260C ．156D ．168 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．33．(2010·泰安一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.124．(2010·湖南师大附中)若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于 ( )A ．12B ．13C ．14D ．15 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ； (2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 (2011·厦门月考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n . (1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值． (2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·重庆)在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为 ( )A ．5B ．6C ．8D ．102．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( )A ．14B ．21C ．28D ．353．(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．175．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( )A ．S 30是S n 中的最大值B ．S 30是S n 中的最小值 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．(2009·海南，宁夏)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·莆田模拟)设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．(12分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .11．(14分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．答案 自主梳理1．(1)2 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b2等差中项2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d(a 1＋a n )n 23.An 2＋Bn 4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列自我检测1．A 2.C 3.A 4.B 5.24 课堂活动区例1 解题导引 (1)等差数列{a n }中，a 1和d 是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n 项和公式，列方程组解a 1和d ，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a 1，d ，n ，a n ，S n 这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． 变式迁移1 解 由题意，知 ⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)，第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n＋1＋a n －1 (n ≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．(1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1； 当n ＝4时，a n 取得最大值3.变式迁移2 解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a 1＋n －12d 看作整体)．解 方法一 设此等差数列为{a n }共n 项， 依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n .将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二 设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝n ⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360， 得18n ＝360，∴n ＝20.所以该数列的项数为20项．变式迁移3 解 (1)依题意，知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.∴a 1＋a n ＝884＝22.∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，∴n ＝26.(2)∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(3)设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n 2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4 解题导引 若{a n }是等差数列， 求前n 项和的最值时， (1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n ∈N *.解 方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4.∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312.∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小． 可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二 同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.变式迁移4 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60， 令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21， ∴S 20＝S 21＝－630，∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).课后练习区1．A 2.C 3.B 4.C 5.D 6．15 7.10 8.279．(1)证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d .…………………………(6分)(2)解 由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110， 故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.…………………………………………(12分)10．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.…………………………………………………………………………(4分)由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．…………………………………………………………(6分)(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.………………………………………………………(8分)故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).…………………………………………………(12分)11．(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………(4分)(2)解 由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.……………………………………………………………………………(7分)(3)解 若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)………………………………………………………………(9分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).………………………(11分)因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]．……………………………………………………(14分)。