2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
2022版高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2
第六章 数 列第二讲 等差数列及其前n 项和1。
［2021嘉兴市高三测试］数列{a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n +a ，n ∈N *，则“a =0”是“数列｛a 2n }为等差数列”的 ( ) A .充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件2。
[2021南昌市高三测试］已知S n 为等差数列｛a n }的前n 项和,3a 3=5a 2,S 10 =100,则a 1= ( )A.1 B 。
2 C .3 D.43.[2021洛阳市统考］已知等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，S 4=7a 1，则a 5a 2=（ ）A .2B .3C .32D .534。
[2021江西红色七校联考]在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=36，a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9= （ )A 。
30B 。
35C 。
40 D.455。
[2021湖北省四地七校联考］在等差数列{a n ｝中，已知a 7>0，a 3+a 9<0,则数列{a n ｝的前n 项和S n 的最小值为 ( ）A 。
S 4B 。
S 5C 。
S 6D .S 76.［2021陕西省部分学校摸底检测］数列{2a n +1}是等差数列，且a 1=1,a 3=-13，那么a 5=（ ）A 。
35B 。
—35C 。
5D .—57.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466～485年间。
其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺，则该女子织布每日增加的尺数为（)A。
47B.1629C。
815D。
16318.［2020湖北部分重点中学高三测试］已知等差数列{a n｝满足4a3=3a2,则{a n｝中一定为零的项是(）A.a6B。
等差数列及其前n项和-高考数学复习
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
__________,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
同一个常数
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
的_______,通常用字母d表示.定义表达式为____________________
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1尺,小寒日晷长为a2尺,以此类推芒种日晷长为a12
尺,
因此a1=13.5,a12=2.5.设相邻两个节气晷长的变化量为d,所以有
2.5=13.5+(12-1)d⇒d=-1.立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5(尺),
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b
(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且
解得
101 + 45 = 40,
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
②由已知得
(1 + )
Sn=
2
=
(13+15-2)
2022高三总复习数学 等差数列及其前n项和(含解析)
等差数列及其前n项和A级——基础达标1．(2021·陕西教学质量检测)在公差不为0的等差数列{a n}中，a1＝1，a23＝a4a6，则a2＝()A.711B．511C.311D．111解析：选A设数列{a n}的公差为d(d≠0)，则a n＝1＋(n－1)d，∴a2＝1＋d，a3＝1＋2d，a4＝1＋3d，a6＝1＋5d，∵a23＝a4a6，∴(1＋2d)2＝(1＋3d)(1＋5d)，解得d＝－411(d＝0舍去)，∴a2＝1＋d＝711，故选A.2．(2021·武汉市学习质量检测)已知数列{a n}满足a1＝1，(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1，且a n＋1>a n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝()A．2n B．n2C．n＋2 D．3n－2解析：选B因为a1＝1，a n＋1>a n，所以a n＋1>a n.由(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1得a n ＋1＋a n－1＝2a n a n＋1，所以( a n＋1－a n)2＝1，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n＝n，即a n＝n2，故选B.3．(2021·北京市适应性测试)设{a n}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为S n.则“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由∀n∈N*，S n＋1>S n得a n＋1＝S n＋1－S n>0，又数列{a n}是公差不为零的等差数列，因此公差d>0(若d<0，等差数列{a n}中从某项起以后各项均为负，这与a n＋1>0矛盾)，数列{a n}是递增数列，所以“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的充分条件；反过来，由“{a n}为递增数列”不能得知“∀n∈N*，S n＋1>S n”，如取a n＝n－3，此时数列{a n}为递增数列，但a2＝－1<0，即有S2<S1，因此“∀n∈N*，S n＋1>S n”不是“{a n}为递增数列”的必要条件．综上所述，“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的充分而不必要条件，故选A.4．在等差数列{a n}中，若a10a9<－1，且它的前n项和S n有最大值，则使S n>0成立的正整数n的最大值是()A．15 B．16C．17 D．18解析：选C∵等差数列{a n}的前n项和有最大值，∴等差数列{a n}为递减数列，又a10a9<－1，∴a9>0，a10<0，∴a9＋a10<0，又S18＝18(a1＋a18)2＝9(a9＋a10)<0，S17＝17(a1＋a17)2＝17a9>0，∴S n>0成立的正整数n的最大值是17.故选C.5．(多选)(2021·长沙市长郡中学高三模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)，则()A．a9＝17 B．a10＝18C．S9＝81 D．S10＝91解析：选BD∵对于任意n>1，n∈N*，满足S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)，∴S n＋1－S n＝S n－S n－1＋2，∴a n＋1－a n＝2.∴数列{a n}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B 、D.6．(多选)(2021·石家庄二中高三一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( )A ．a n ＝－12n －1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 050 解析：选BCD S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1， 则S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n .所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n (首项不符合通项)， 故a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误；所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D 正确．7．若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则a 3＝ ，通项公式a n ＝ . 解析：因为数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝a n ＋1－a n ＝3的等差数列， 所以a 3＝a 1＋2d ＝3＋6＝9， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .答案：9 3n8．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝ .解析：设a n ＝2＋(n －1)d ， 则a 2nn ＝[2＋(n －1)d ]2n＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n， 由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2. 所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40. 答案：409．若数列{a n }为等差数列，a n >0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n，则a 9的值是 ．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以(a 1＋a 2n －1)×(2n －1)2＝2n －12n ＋1a 2n ，即2a n ×(2n －1)2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n ＝12n ＋1a 2n ，又a n >0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19. 答案：1910．(2021·武汉市高三测试)等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则a n ＝ ，S 10＝ .解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11， S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.答案：2n －11 011．(2021·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1. 又a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)． (2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为 10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180， 解得m ＝5.12．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．B 级——综合应用13．(2021·湖北襄阳四中联考)已知数列{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝165，a 2＋a 3＋a 4＝156，{a n }的前n 项和为S n ，则使S n 达到最大值时n 的值是( )A ．19B ．20C ．21D ．22解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 3＋a 4)－(a 1＋a 2＋a 3)＝3d ＝156－165＝－9，所以d ＝－3.因为a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝3a 1－9＝165，所以a 1＝58.所以a n ＝a 1＋(n－1)d ＝58＋(n －1)·(－3)＝61－3n .令a n ＝61－3n >0，得n <613.因为n ∈N *，所以当n ＝20时，S n 达到最大值．故选B.14．(多选)(2021·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( )A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短解析：选ABC 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n }，其中a 1＝15寸，a 13＝135寸，公差为d 寸，则135＝15＋12d ，解得d ＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n }，首项b 1＝135，末项b 13＝15，公差d ＝－10(单位都为寸)．故A 正确；∵春分的晷长为b 7，∴b 7＝b 1＋6d ＝135－60＝75∵秋分的晷长为a 7，∴a 7＝a 1＋6d ＝15＋60＝75，故B 正确；∵立冬的晷长为a 10，∴a 10＝a 1＋9d ＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C 正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b 4，a 4，∴a 4＝a 1＋3d ＝15＋30＝45，b 4＝b 1＋3d ＝135－30＝105，∴b 4>a 4，故D 错误．故选A 、B 、C.15．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n ，若{d n }是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{d n }是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解：由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a nn ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时，a 1＝2，符合上式， 所以a n ＝22n －1(n ∈N *)． 又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b nn ， 所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时，b 1＝3，符合上式， 所以b n ＝32－n (n ∈N *)．因为c n ＝2a n＋k log 3b n ，所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1.因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114.C 级——迁移创新16．若函数f (x )＝log 2(x －1)＋2，数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，则f (a n )＋f (a n ＋1)2与f ⎝⎛⎭⎫a n ＋a n ＋12的大小关系是( )A ．f (a n )＋f (a n ＋1)2>f⎝⎛⎭⎫a n ＋a n ＋12B ．f (a n )＋f (a n ＋1)2<f⎝⎛⎭⎫a n ＋a n ＋12 C ．f (a n )＋f (a n ＋1)2＝f ⎝⎛⎭⎫a n ＋a n ＋12D ．不确定解析：选B 易知a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.作出函数f (x )＝log 2(x －1)＋2的图象，如图．由图象并结合函数的性质可知f (a n )＋f (a n ＋1)2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a n ＋12.故选B.。
等差数列及其前n项和-高考数学复习
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第六章 数列
高考一轮总复习 • 数学
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4．(2023·全国乙理，10,5 分)已知等差数列{an}的公差为23π，集合 S
＝{cos an|n∈N*}.若 S＝{a，b}，则 ab＝( B )
A.－1
B．－12
C．0
D．12
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[解析] 由题意，得 an＝a1＋(n－1)·23π，又 S＝{cos an|n∈N*}＝{a， b}，∴cos a1≠cos a2，但 cos a1＝cos a3，即 cos a1＝cosa1＋43π，∴a1＋ a1＋43π＝2kπ(k∈Z)，∴a1＝－23π＋kπ(k∈Z).不妨取 k＝1，则 a1＝π3，a2＝ π3＋23π，则 S＝12，－1＝{a，b}，∴ab＝－1×12＝－12.故选 B.
即 aa11＋＋d2＝d＝－－3，2，
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解得ad1＝＝1－，4， ∴a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋nn－2 1d＝－4n＋n2－2 n＝12(n2－9n)＝12 n－922－881， ∵n∈N*，∴n＝4或5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
第六章 数列
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5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
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双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
2022届高考数学一轮复习讲义__62_等差数列及其前n项和
2022届高考数学一轮复习讲义__62_等差数列及其前n项和一轮复习讲义要点梳理忆一忆知识要点1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项a+b如果A=2,那么A叫做a与b的等差中项.d表示.要点梳理忆一忆知识要点4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(n,m∈N 某).(2)若{an}为等差数列，且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N某),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,m∈N某)是公差为md 的等差数列.要点梳理忆一忆知识要点5.等差数列的前n项和公式na1+an设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或2nn-1Sn=na1+2d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系dd2Sn=n+a1-2n.2数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn,(A、B为常数).7.等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.要点梳理[难点正本疑点清源]1.等差数列的判定忆一忆知识要点(1)定义法：an-an-1=d(n≥2);(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(3)S2n-1=(2n-1)an.n(4)若n为偶数，则S偶-S奇=d.2若n为奇数，则S奇-S 偶=a中(中间项).等差数列的判定或证明31例1已知数列{an}中，a1=,an=2-(n≥2,n∈N某),数5an-11列{bn}满足bn=(n∈N某).an-1(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.(1)可利用定义证明bn-bn-1(n≥2)为常数来证明数列{bn}是等差数列.(2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点解决数列的最大项和最小项的问题.1(1)证明∵an=2-(n≥2,n∈N),bn=.an-1an-111∴n≥2时，bn-bn-1=-an-1an-1-111=-1an-1-12-a-1某n-1an-11=-=1.an-1-1an-1-115又b1==-.2a1-15∴数列{bn}是以-为首项，1为公差的等差数列.2712(2)解由(1)知，bn=n-,则an=1+b=1+,22n-7n2设函数f(某)=1+,2某-777易知f(某)在区间-∞,2和2,+∞内为减函数.∴当n=3时，an取得最小值-1;当n=4时，an取得最大值3.探究提高证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an+1-an=d;(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.变式训练1Sn-1已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(n≥2),a12Sn-1+1=2.1(1)求证：S是等差数列；n(2)求an的表达式.Sn-1(1)证明方法一由Sn=,2Sn-1+112Sn-1+11得S==+2,Sn-1Sn-1n11∴S-=2,Sn-1n2为公差的等差数列.111∴S是以即为首项，以S12n方法二2Sn-1+1111∵当n≥2时，S-=-Sn-1Sn-1Sn-1n2Sn-1==2,Sn-1111∴S是以即为首项，以2为公差的等差数列.S12n113(2)解由(1)知S=+(n-1)某2=2n-,22n1∴Sn=,32n-211∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-372n-2n-22-2=;372n-2n-22当n=1时，a1=2不适合an,2-2故an=372n-2n-22n=1n≥2.等差数列的基本量的计算例2设a1,d为实数，首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.(1)由S5S6+15=0与S5=5可构建关于a1,d的方程组.(2)由S5S6+15=0可化为关于a1的一元二次方程，因为{an}存在，所以关于a1的一元二次方程有解.-15解(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8.S55a1+10d=5,所以a1+5d=-8.解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)方法一∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2即2a1+9da1+10d2+1=0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-22或d≥22.方法二∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2即2a1+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-22或d≥22.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练2(2022·福建)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)某(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,n[1+3-2n]所以Sn==2n-n2.2由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N某,故k=7.等差数列的前n项和及综合应用例3(1)在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.(1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解方法一∵a1=20,S10=S15,10某915某145∴10某20+d=15某20+d,∴d=-.2235565∴an=20+(n-1)某-3=-n+.33∴a13=0,即当n≤12时，an>0,n≥14时，an<0,∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13=S12=12某2012某115+某-3=130.25方法二同方法一求得d=-.3nn-152523125521255-=-n+n-+∴Sn=20n+·n=-.22666243∵n∈N某,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.方法三5同方法一得d=-.3又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12=S13=130.(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,∴an+1-an=4=d,又a1=4某1-25=-21.所以数列{an}是以-21为首项，以4为公差的递增的等差数列.①an=4n-25<0,令②an+1=4n+1-25≥0,11由①得n<6;由②得n≥5,所以n=6.44即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为-4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|=a7=4某7-24=3.设{|an|}的前n项和为Tn,则21n+nn-1某-4n≤62Tn=n-6n-766+3n-6+某4n≥722-2n+23nn≤6,=22n-23n+132n≥7.。
2024年高考数学总复习第六章数列真题分类23等差数列及其前n项和
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真题分类23 等差数列及其前n项和
C2.等差数列中的单调性问题
高考·数学
命题者说：深入探究公差d与等差数列单调性之间的关系，并能判断所给数列的单调性．
第1题 第2题
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
1．(2022·北京，6，4 分)设{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”
答案：16 由 S9＝27⇒9（a12＋a9） ＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋ 8d＝6 且 a5＝3.
又 a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，解得 a1＝－5，d＝2. 故 S8＝8a1＋8×（82－1） d＝16.
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
A．64 B．128 C．256 D．512
答案：B 由已知条件可得ab11 ＝ab55 ，则 b5＝aa5b11 ＝962×81892 ＝64，因此 b3＝ b1＋b5 192＋64
2 ＝ 2 ＝128. 故选 B.
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真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
2．(2019·课标全国Ⅰ(理)，9，5 分)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5
真题分类23 等差数列及其前n项和
高考·数学
第六章 数列
§6.2 等差数列 真题分类23 等差数列及其前n项和
C1.等差数列中基本量的求解 C2.等差数列中的单调性问题 C3.等差数列的证明与判定技巧 C4.等差数列中的设项技巧
C5.等差数列的性质及其应用 C6.等差数列前n项和公式的应用 C7.等差数列前n项和的性质及其应用 C8.求等差数列前n项和最值的方法
2022版高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编
著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古
代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现
的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不
知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数
要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
A [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0， a5＝a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－，3， ∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A.]
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋
1234
4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有 60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公 差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1 ＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a12＋a20＝ 20×222＋60＝820.]
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用 a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过 程．
1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，
a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得nan＋n1－n＋n＋1 1an＝2，即na＋n＋11－ann＝2， 所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列． 则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
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第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .
3．等差中项
由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．
5．等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2
d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．
7．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．
(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．
(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．
(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．。