等差数列前n项和公式及性质
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
等差数列前n项和公式及性质
2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】题号知识点、方法易中等差数列前n项和公式应用1、3、9 7、8等差数列前n项和性质的应用2、4等差数列性质的综合应用5、6基础达标1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B )(A)40 (B)42 (C)43 (D)45解析:∵a1=2,a2+a3=13,∴3d=13-4=9,∴d=3,a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B )(A)28 (B)29 (C)30 (D)31解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1,S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1,∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B.3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D )(A)27 (B)36 (C)45 (D)54解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,∴S9===9a5=54.故选D.4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B )(A)63 (B)45 (C)36 (D)27解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:由已知得2a n-=0,又a n≠0,∴a n=2,∴S2n-1===2(2n-1),∴S2n-1-4n=-2.故选A.6.等差数列{a n}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31= .解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.答案:7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则= .解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,∴==×=×=-.答案:-能力提升8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{a n}中,S n 是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和是.解析:设{a n}的公差为d,则S n=2n+d,∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,解之,得d=2,∴S n=2n+×2=n2+n,于是===-.∴数列﹛﹜的前n项和++…+=+++…+=1-=.答案:9.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.解:(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+d,S n=242,得方程12n+×2=242,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).所以n=11.。
等差数列前n项和公式及性质(一)
若
a1＜0，d＞0，则满足
am≤0， am＋1≥0
的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
课外作业
1.已知数列an 的各项均为正数，记Sn为an 的前n项和， 从下面123中选取两个作为条件，证明另一个成立.
1数列an是等差数列；2数列 Sn 是等差数列；3a2 3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则第一个解答记分.
3.等差数列an 的前n项和公式：
Sn
na1 an
2
na1
nn 1 d
2
nN
4.等差数列an中：若正整数m，n，s，t满足m n s t，
a a 则am an
s
t
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和，
则Sk，S2k Sk，S3k S2k，是以Sk为首项k 2d为公差的等差数列.
课堂探究
探究二：
设Sn为等差数列{an}的前n项和，且an 2n 8，
求数列
Sn n
的前n项的和Tn
.
达标检测
1.一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，
则前2n项的和为
A.18
B.12
C.10
D.6
2 (2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{ an }的前n项和
已知 a1 7, S3 15
2、课时规范练：3 、7、B组3、4
课题
学习目标
1、通过对等差数列的前n项和Sn的研究发现它的一些性质。
2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等 差数列的相关知识解答相应问题。
必备知识
1.等差数列的定义：an1 an d 常数 .
2.等差数列an 的通项公式：
an a1 n 1d ak n k d n N 且k N ，k n
等差数列性质公式总结
等差数列性质公式总结等差数列，是指数列中的每一项都与它的前一项之差保持相等的数列。
等差数列具有许多性质和公式，本文将对这些性质和公式进行总结。
以下是对等差数列性质公式的详细总结：一、基本概念与公式1. 等差数列：数列中的每一项都与它的前一项之差相等，这个差值称为公差d。
记作a1, a2, a3, ...，其中a1为首项，d为公差，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2 或Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
3. 首项与末项的关系：an = a1 + (n-1)d。
4. 公差与项数的关系：d = (an - a1) / (n-1)。
5. 首项与末项的平均值：(a1 + an) / 2 = a[(n+1) / 2]，其中a是中项的下标。
6. 首项与末项的乘积：a1 * an = a[m + (n-m)/2] * a[m - (n-m)/2]，其中m为项数之和。
7. 通项求和：已知a1，an和n，求等差数列的每一项之和Sn。
Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、相邻项间的关系8. 任意两项的平均值：(an + a(n+1)) / 2 = a[(n+2) / 2]。
9. 任意三项的关系：a(n-1) + a(n+1) = 2an。
10. 任意四项的关系：a(n-2) + a(n-1) + a(n+1) + a(n+2) = 2(an + an+1)。
11. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a3 + a1 =(n+1)a[(n+1)/2]。
12. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a4 + a2 = na[n/2]。
13. 间隔和公式：a1 + a3 + a5 + ... + a(2n-1) = n^2。
14. 间隔和公式：a2 + a4 + a6 + ... + a(2n) = n(n+1)。
等差数列前n项和性质
等差数列前n项和性质等差数列是数学中经常遇到的一类数列，它的每一项与前一项之差相等。
在研究等差数列时，我们经常关注它的前n项和性质。
本文将探讨等差数列前n项和的计算方法，以及相关的重要性质。
首先，我们来介绍等差数列前n项和的计算公式。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，前n项的和为S_n。
根据数列的性质，我们可以得到如下计算公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)其中，n表示数列的项数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们知道等差数列的第一项是a_1，最后一项是a_n= a_1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们可以将S_n分为两部分：前n-1项和加上最后一项。
根据等差数列的求和公式，前n-1项的和为n/2 * [2a_1 + (n-2)d]，最后一项为a_n。
将两部分相加，得到公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等差数列前n项的和。
接下来，我们来研究一些关于等差数列前n项和的重要性质。
首先，等差数列前n项和的性质之一是与项数n的关系。
从等差数列前n项和的计算公式中可以看出，当项数n增加时，前n项的和也会随之增加。
特别地，当n为正整数时，前n项和是一个关于n的递增函数。
这说明等差数列的前n项和是随着项数的增加而增加的。
其次，等差数列前n项和的性质之二是与首项a_1和公差d的关系。
从公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)可以看出，首项a_1和公差d都会对前n项和产生影响。
首项a_1的大小决定了等差数列的起点，而公差d的大小则决定了等差数列的增量。
当首项a_1增加或者公差d增加时，前n项和也会相应地增加。
这说明等差数列前n项和与首项和公差之间存在着一定的关系。
此外，等差数列前n项和的性质之三是与项数n的奇偶性相关。
当项数n为奇数时，前n项和的计算公式中的2a_1 + (n-1)d中的n-1是一个偶数，所以前n项的和是一个关于n的奇数倍。
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
等差数列前N项和及性质
等差数列前N 项和及性质1、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）当11a s =也符合n ≥2时那么n a 不需要分类2 ①当项数为偶数n 2时，则 ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）3{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。
4等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+ 5若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列6m p =则0m p +=例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn 取最大值例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为例3一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为例4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9={)1()2(11=≥--=n S n S S n n n a一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( ) A．12 B．10 C．8 D．62．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )A．24 B．27 C．29 D．483．在等差数列{a n}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )A．12 B．24 C．36 D．484．已知等差数列{a n}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( ) A．99 B．66 C．33 D．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10 C．11 D．127．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A．360 B．370 C．380 D．3908．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )A．25 B．26 C．27 D．289、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1019、等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260二、填空题1．设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. 2．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________. 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.5．在等差数列{a n}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.三、解答题10．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知数列{a n}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n＝20，S2n＝38，求S3n.。
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
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=
7 22 1 31 = = . 22 3 5 31 答案: 5
解本题的关键是什么?应用了什 么基本思想?（解题关键根据等差数列的性质化
n 1
n(n-1)d,在具体应用时,应
采取哪种形式运算比较合理? (在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
n( a1 an ) 项 a ,用公式 S = 2
n n n 1
较好,若已知首项 a1
n n 1 及公差 d,用公式 S =na + d 较好) 2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量 a1,an,n,d,Sn 之间的关系? (由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和 前 n 项和公式
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、 公差 以及项数.
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 * 列的项 n=2k(k∈N ),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
解:法一
*
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为
2k(k∈N ), 由已知得
S奇 24 S偶 30， ………………………2 分 21 a2 k a1 , 2
S偶 S奇 6, 21 …………………………4 分 a2 k a1 ， 2 kd 6, 21 ………………………6 分 2k 1 d ， 2
1099 110 109 11 =110× + × 2 100 50
1099 109 11 =110 =-110. 100
故此数列的前 110 项之和为-110. 法二 数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差 数列, 设其公差为 d,前 10 项和
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该 数列的前 9 项和 S9 等于( C ) (A)18 (B)27 (C)36 (D)45 (2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+… +a17= .
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
9(a1 a9 ) 9 8 ∴S = = =36.故选 C. 2 2
n n 1 m na1 d, 2 (2)由已知得 n ma m m 1 d , 1 2
m n 1 两式相减得 a + d=-1. 2 n(n 1) 再由 S =na + d 可得 2
1 n 1
Sm+n=(m+n)a1+
m n m n 1
n n 1
10 9 10a1 d 100 ① 2 由已知得 100a 100 99 d 10 ② 1 2
11 ①×10-②,整理得 d=, 50 1099 代入①,得 a = . 100 110 109 ∴S =110a + d 2
1 110 1
k 4, 解得 3 …………………………8 分 d ， 2
因为 S2k
1 =2ka + 2
1
×2k(2k-1)d=8a1+42.
所以 8a1+42=54…………………………10 分
3 故a= 2
1
,
3 所以数列的首项是 2
3 ,公差是 2
,
项数是 8.………12 分
法二
2a11 2a12 a11 a12 = = 2b11 2b12 b11 b12 a11 a12 (2)求 b11 b12
）
的值需转化为什么量? （转
S 22 化为求 的值） T22
a2 a5 a17 a22 解析: b8 b10 b12 b16
a2 a22 a5 a17 a11 a12 = = b8 b16 b10 b12 b11 b12
n(n 1) d. S = na1 2
n
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
S n a1 a2 an S n an an 1 a1
3 所以此数列首项为 2 3 ,公差为 2
,
项数为 8.…………………………………12 分
跟踪训练 2-1:一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和. 解:法一 设等差数列{an}的首项为 a1,公差
n(n 1) 为 d,前 n 项和为 S ,则 S =na + d. 2
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N ),
*
根据题意,得
1 2 k a1 a2 k 1 24, S奇 24 1 即 S偶 30， k a2 a2 k 30, ……6 分 2 21 a2 k a1 , 21 2 2k 1 d 2 ,
2
d
m n 1 =(m+n)(a + d)=-(m+n). 2
1
a1 2 n 1 11, (3)由已知得 na n n 1 35, 1
a1 3, a1 1, 解得 或 n 5 n 7.
等差数列前 n 项和性质的 应用
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
n( a1 an ) 为 d,第 n 项为 a ,则前 n 项和 S = , 2
n n
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n 1
n(n-1)d,可以看
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知 其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 2 等差数列,公差为 n d)
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N ,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
*
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32) ∴604.5= ,解得 n=26. 2
k a1 k 1 d 24, k a1 kd 30, ……………………8 分 即 21 2k 1 d , 2
3 a , 1 2 3 解得 d , ………………………10 分 2 k 4.
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
n( a1 an ) +(a +a )=n(a +a ),故 S = .这是一 2
n 1 1 n n
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n n
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
.
a2 a5 a17 a22 名师导引:(1) b8 b10 b12 b16
化简吗? （
能进一步
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
a2 a22 a5 a17 b8 b16 b10 b12
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
思想）
S 22 为 ;体现了转化与化归 T22
跟踪训练 3-1:(2013 即墨实验高中质检)两等差数 列{an}和{bn},前 n 项和分别为 Sn,Tn,且
S n 5n 2 a2 a20 = ,则 Tn 4n 1 b7 b15
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项 和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、 高产、 创造力不衰、 数学王子等称赞高斯是 “人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.