等差数列前n项和公式推导
等差数列三个基本公式推导
等差数列三个基本公式推导好的，让我们来推导等差数列的三个基本公式。
首先，等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，通项公式为An=a+(n-1)d，其中n为项数。
1. 求和公式的推导：我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn=n/2(a+L)，其中L 为等差数列的最后一项。
现在我们来推导这个公式。
首先，我们知道等差数列的最后一项L可以表示为a+(n-1)d，其中a为首项，d为公差。
将L代入前n项和的公式中得到Sn=n/2(a+a+(n-1)d)，化简得到Sn=n/2(2a+(n-1)d)，再次化简得到Sn=n/2(a+L)，即前n项和的公式。
2. 第n项公式的推导：我们已经知道等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。
现在我们来推导这个公式。
我们知道等差数列的第n项An可以表示为a+(n-1)d，其中a 为首项，d为公差。
这个公式可以通过数学归纳法来进行证明。
3. 通项公式的推导：已知等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d，现在我们来推导这个公式。
我们可以通过数学归纳法来证明这个公式。
首先，当n=1时，An=a，公式成立。
假设当n=k时公式成立，即Ak=a+(k-1)d。
那么当n=k+1时，Ak+1=a+kd。
根据等差数列的性质，可以得到Ak+1= Ak+d，即Ak+1=a+(k-1)d+d=a+kd，所以公式对于n=k+1也成立。
综上所述，我们通过数学归纳法和代入法推导出了等差数列的求和公式、第n项公式和通项公式。
这些公式在等差数列的求解和运用中起着非常重要的作用。
等差数列前n项和的推导公式
等差数列前n项和的推导公式等差数列前n项和的推导公式，听起来是不是有点复杂？这个东西就像我们生活中的许多事情，简单却又充满了乐趣。
想象一下，咱们去超市买东西，每次都能找到一些折扣。
假如你要买一堆苹果，第一天买了一个，第二天又买了一个，再加上还有其他的。
嘿，等差数列就这么来了！说白了，它就是每次加上一个固定的数字，像是你每天都要喝的那杯咖啡，始终是那么多。
前n项和又是什么呢？简单来说，就是把这些数字加起来，比如说，你第一天买了一个苹果，第二天又加了一个，第三天又来了一个……你知道的，时间长了，苹果就越来越多。
数数看，你每天加的这一个，算下来就成了一个小山堆。
我们想要知道这些苹果加起来到底有多少，这时候，前n项和就派上用场了。
我们先来看看公式。
等差数列的前n项和，通常是用S_n来表示。
你可能会问，这个S_n到底是什么呢？它的公式是这样的：S_n = n/2 × (a_1 + a_n)。
这里的n是你加了多少天，a_1是第一天的苹果数量，而a_n就是第n天的苹果数量。
咋样？听起来是不是不那么复杂？举个例子，假如第一天你买了1个苹果，第二天买了2个，第三天买了3个……一直往下加。
那你就会发现，你买的苹果越来越多，像是人气不断飙升的网红一样。
每一天都在增加，真的是“天天向上”。
现在，我们来算算前n项和吧。
假设你想知道前5天的苹果总数。
第一天是1个，第二天是2个，第三天是3个，第四天是4个，第五天是5个。
把它们加起来，1 + 2 + 3 + 4 + 5，这个和就是15。
哦，天哪，真的是一大堆苹果！你看，这个过程就是等差数列的魅力所在。
再回到公式，S_n = n/2 × (a_1 + a_n)。
把数据代进去，n是5，a_1是1，a_n是5。
所以你就可以算出S_5 = 5/2 × (1 + 5)，结果出来是15。
是不是特别简单？等差数列的魅力还不止于此，想想看，生活中我们总是喜欢把事情做得简单明了。
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
高中数学等差数列前n项和公式
高中数学等差数列前n项和公式
等差数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前n项和可以用如下公式表示：Sn=n(a1+an)/2。
这个公式可以用来求解等差数列的前n项和，其中n是所求项数，a1是首项，an是第n项。
这个公式的推导过程比较简单，可以通过数学归纳法进行证明。
在使用这个公式时，需要注意等差数列的首项和公差的取值。
如果首项和公差不正确，那么计算出来的结果就是错误的。
另外，在计算过程中，也需要注意精度问题，避免出现四舍五入等误差。
除了前n项和公式，还有一些其他的等差数列公式也非常重要，例如通项公式、公差公式等。
这些公式在数学中应用非常广泛，涉及到许多重要的问题，例如金融、物理、工程等。
在学习等差数列的过程中，我们还需要了解等比数列、级数等数学概念，这些概念都有着广泛的应用，是数学学习的重要基础。
等差数列前n项和公式是数学中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列的前n项和。
在学习数学时，我们需要掌握这个公式的推导过程和使用方法，同时还需要了解其他与等差数列相关的数学概念。
等差数列求和公式的推导过程
等差数列求和公式的推导过程
等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差相等的数列，这个差值称为公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
在数学中，我们经常需要求解等差数列的和，这时就需要用到等差数列求和公式。
等差数列求和公式是指求解等差数列前n项和的公式，它的一般形式为：
Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]
其中，Sn表示等差数列前n项和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
下面，我们来推导一下等差数列求和公式。
我们可以将等差数列的前n项和表示为：
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + [a1 + (n-1)d]
将等差数列的首项a1提取出来，得到：
Sn = [a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)] + a1
将等差数列的末项an表示出来，得到：
an = a1 + (n-1)d
将an代入上式，得到：
Sn = [a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)] + [a1 + (n-1)d] - (n-1)d
化简得：
Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]
这就是等差数列求和公式的推导过程。
需要注意的是，等差数列求和公式只适用于公差为常数的等差数列。
如果公差不是常数，就不能使用这个公式。
此外，如果要求解的是等比数列的和，就需要使用等比数列求和公式。
前n项和公式的推导
前n项和公式的推导1. 等差数列前n项和公式的推导。
- 方法一：倒序相加法。
- 设等差数列{ a_n}的首项为a_1，公差为d，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_2+·s +a_n。
- 即S_n=a_1+(a_1 + d)+(a_1+2d)+·s+[a_1+(n - 1)d]。
- 把上式倒过来写，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。
- 也就是S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+·s+[a_n-(n - 1)d]。
- +得：2S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+·s+(a_1+a_n)（共n个(a_1+a_n)）。
- 所以2S_n=n(a_1+a_n)，则S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
- 又因为a_n=a_1+(n - 1)d，所以S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n -1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
- 方法二：利用通项公式的推导。
- 由等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
- S_n=a_1+a_2+·s+a_n- =a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+·s+[a_1+(n - 1)d]- 这是一个首项为a_1，末项为a_1+(n - 1)d，项数为n的数列求和。
- 根据等差数列求和公式S_n=frac{n<=ft(a_1+a_n)}{2}（这里a_n=a_1+(n -1)d），同样可以得到S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
2. 等比数列前n项和公式的推导。
- 方法一：错位相减法（q≠1时）- 设等比数列{ a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1。
- 两边同乘以q得：qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+·s+a_1q^n④。
等差数列前n项和公式大全
等差数列前n项和公式大全为了更好地理解等差数列前$n$项和公式，我们首先来了解等差数列的定义和性质。
等差数列的定义：如果一个数列满足任意相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$是数列中的第$n$项，$a_1$是数列中的第一项，$d$是公差。
等差数列的前$n$项和公式：等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。
现在让我们来证明等差数列前$n$项和公式。
我们从等差数列的通项公式出发，再利用数列中第一项与最后一项的关系来推导出前$n$项和公式：设等差数列的第$n$项为$a_n$，而第一项为$a_1$，公差为$d$。
根据通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的最后一项可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的前$n$项和可以表示为：$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)$。
将等差数列的最后一项代入前$n$项和公式，得到：$S_n=a_1+a_n+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)$。
由于等差数列具有对称性，可以对以上等式进行变形，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_n-d)+(a_1+2d+a_n-2d)+...+(a_1+(n-1)d+a_n-(n-1)d)$。
将等差数列的前$n$项和重新表示，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)$。
一共有$n$项，所以：$S_n=n(a_1+a_n)$。
将$a_1$和$a_n$用$a_1 + (n-1)d$来表示，即：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
根据等差数列的前$n$项和公式，我们得到了等差数列前$n$项和的公式。
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（2）
公式（2）又可化为
S n=
d 2 d n (a1 2 )n 2
当d ≠0时，这是一个常数项为零的关 于n的二项式.
三、讲解例题：
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这 个V型架上共放多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:
解之得：n1=9, n2=-3（舍）所以等 差数列-10，-6，-2，2，…前9项和 是54.
四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N ＋且m ＜100}的元 素个数，并求这些元素的和。 2、已知一个等差数列的前100项和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和公式.
五、课后作业 已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和。
１０１×５０＝５０５０．
这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就 是我们要介绍的“倒序相加”法。
二、等差数列前ｎ项和公式１：
对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和，
得
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，
Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，
上面两式相加得：
２Ｓｎ＝（ａ１＋ａｎ）＋（ａ２＋ａｎ－１） ＋（ａ３＋ａｎ－２）＋．．．＋（ａｎ＋ａｎ）
等差数列前n项和
数学与统计学院 090901210 李雪娟
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、复习：
１、等差数列：
ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≧２，ｎ∈Ｎ＋）
２、等差数列通项式：
ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ
小故事：
高斯是伟大的数学家，天文学家。１０岁时 一次老师说：现在给大家出道题： １＋２＋…＋１００＝？ 过了两分钟，正当大家在：１＋２＝３；３＋３ ＝６…算的不亦乐乎时，高斯站起来回答说： １ ＋２＋…＋１００＝５０５０．老师问他怎样计 算的，他回答说：1+100=101；2+99=101；… ５０＋５１＝１０１，所以
120 (1 120) =7260（支） S120= 2
答：V型架上共有7260支铅笔。
例2、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项 的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为S n， 则：
a1=-10, d=(-6)-(-10)=4, S n=54,
有公式（2）可得：
n(n 1) 10n 4 54 2
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…，所以2Sn=n(a1+an)
n(ａ１＋ａｎ) S n= 2
（1）
2 、等差数列前n项和公式2 用上述公式（1）要求S n 必备三个条件： n,a1,an,但an=a1+(n-1)d，带入公式（1） 即得
n(n 1)d S n = na1 2