广东省六校2019届高三第一次联考(理数)

广东省六校2019届高三第一次联考数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B =A ．[1,0)-B ．(1,0)-C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞-2．若复数z 满足i 12i z =+，则z 的共轭复数的虚部为A ．2iB ．iC ．1D ．23．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若542S S =，248a a +=，则5a =A ．6B ．7C ．8D ．104．在区间[π,π]-上随机取两个实数,a b ，记向量(,4)OA a b =，(4,)OB a b =，则24πOA OB ≥的 概率为 A ．π18-B ．π14-C ．π12-D ．3π14-5．已知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1MF 、2NF 都垂直于x 轴（其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A B C 1D 6．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足4EB EC =，则ED = A ．5463AB AC - B ．4536AB AC -C ．5463AB AC +D ．4536AB AC +7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是 A3B ．39cm 2C3D ．327cm 28．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =， 则1(2019)2f =A ．94B ．14C ．94-D ．14-10．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为A ．118B ．54C ．32D ．111．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB =，BC =，PA PB ==，且二面角 P A B C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π12．已知数列}{n a 满足12323(21)3n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n ∈N ，则λ的最小值是 A ．32B ．94C ．3112 D ．3118二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若,x y 满足约束条件250,350,250.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22z x y =+的最大值为 ．14．若0(2sin cos )a x x dx =-⎰π，则6(a x-的展开式中常数项为 ．15．已知点(1,2)P -及圆22(3)(4)4x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则||||PQ QT +的值为 ．16．已知函数32()f x x ax bx =++满足(1)(1)220f x f x ++-+=，则()f x 的单调递减区间是．33324三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222cos cos a c b ab A a B +-=+． （1）求角B ； （2）若b =tan C =，求△ABC 的面积．18．（12分）如图甲，设正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且满足2AE EB =，2CF FD =．如图乙，将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置，使得点1A 在平面BEFC 上的射影G 恰好在BC 上． （1）证明：1A E平面1CD F ；（2）求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值．A BD E F1A 1D CG EF图甲图乙(公里)某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题： （1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩； 方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）．已知圆22:(1)36C x y ++=与定点(1,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切． （1）求动圆圆心I 的轨迹E 的方程；（2）若过定点(0,2)N 的直线l 交轨迹E 于不同的两点A 、B ，求弦长||AB 的最大值．21．（12分）已知函数ln 2()x f x x+=． （1）求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；（2）若x ∀∈[1,)+∞，ln (ln 4)24x x ax +≤+恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为4cos ρα=．（1）求曲线2C 的参数方程；（2）已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线2C 的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（10分） 已知()|2||2|f x x a x a =-++，()23g x x =+．（1）当1a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）若03a <<，且当[,1)2ax ∈-时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．D 12．C二、填空题 13．25 14．24015．16．(1,3)-（注意：写闭区间也给分）三、解答题17．解析：（1）因为2222cos cos a c b ab A a B +-=+，由余弦定理，得22cos cos cos ac B ab A a B =+，所以 …………………………………………………… 2分 2cos cos cos c B b A a B =+，由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B B A A B A B C =+=+=， …………………………… 4分 又(0,)C ∈π，sin 0C >，所以1cos 2B =，(0,)B ∈π， …………………………………………………… 5分所以3B =π． …………………………………………………… 6分（2）由tan 2C =，(0,)C ∈π，得sin 7C =，cos 7C = …………………… 7分所以1sin sin()sin cos cos sin2A B C B C B C =+=+， ……… 8分 由正弦定理sin sin a bAB=，得sin 6sin 14b A a B ===， …………………………… 10分 所以△ABC 的面积为11sin 6227ab C =⋅⋅= …………………………… 12分18．解析：（1）在图甲中，易知//AE DF ，从而在图乙中有11//A E D F ，1A E ⊄平面1CD F ，1D F ⊂平面1CD F ，∴1AE 平面1CDF ．…………………………………………………… 4分（2）法一：（传统几何法）略解如下： 过点G 作GH EF ⊥于H ，连接1A H ，易证（略），1A HG ∠即为所求二面角的平面角， 易求得：1BG AG ==，，AH =， GH AG AH =-=在1Rt AGH ∆中，12cos 3A HG ∠=． …………………………………………………… 12分 法二：（向量法）如图，在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1AG ⊥平面EBCF ，则1AG EF ⊥, EF ∴⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥，图甲中有EF AH ⊥， 又EF GH ⊥，则A 、G 、H 三点共线．设CF 的中点为M ,则1M F =,可证ABG EMF ∆≅∆，丙图ABGAHE ∆，得，AG AH =-则(0,0,0)G ,1,1,0)- , (2,2,0)F , 1(0,0,A 则(1,3,0)EF =,(1,1,EA =-,1GA 是平面的一个法向量(3,1,2n =-设平面BEFC 与平面1A EFD 所成二面角为θ2,|n GA <>=，BEFC 与平面19．解析：（1分纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元)．…………………………………………………… 4分（23010049006600⨯+⨯=(辆）； …………………………………………………… 6分()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0(元）；…………………………… 8分 若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=(辆）； …………………………………………………… 10分2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元)．……………… 12分20．解析：（1）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足：||6IC r =-，||IM r =，所以，||||6IC IM +=， …………………………………………………… 3分由椭圆定义知点M 的轨迹为以,C A 为焦点的椭圆，且3,1a c ==进而b =，故轨迹E 方程为：2219x y +=． …………………………………………… 5分 （2）当直线l 斜率不存在时，(0,1)A ，(0,1)B -或(0,1)A -，(0,1)B ，此时弦长||2AB =． …………………………………………… 6分 当直线l 斜率存在时，设l 的方程为：2y kx =+，由22219y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：22(19)36270k x kx +++=， 由△22(36)108(19)0k k =-+> 得213k >， 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，可得：1223619k x x k +=-+，1222712x x=+， (7)分12|||AB x x =-==，………9分 令219k t +=，则4t >，||AB ===110,4t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 当1116t =时，此时k =，max ||2AB = ………………………………………… 11分综上，弦长||AB 的最大值为2…………………………………………………… 12分21．解析：（1）易知21ln ()0 (1)xf x x x --'=<≥，………………………………………… 1分 ()f x ∴在[1,)+∞上单调递减，max ()2f x =， ………………………………………… 3分 1x ≥时，()0f x >， ………………………………………… 4分 ()f x ∴在[1,)+∞上的值域为(0,2]． ………………………………………… 5分（2）令()()ln ln 424g x x x ax =+--，则ln 2()2x g x a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，…………………… 6分①若0a ≤，则由（1）可知，()0g x '>，()g x 在[1,)+∞上单调递增，(e)12e>0g a =-，与题设矛盾，0a ∴≤不符合要求； ……………… 7分②若2a ≥，则由（1）可知，()0g x '≤，()g x 在[1,)+∞上单调递减，()()1240g x g a ≤=--<，2a ∴≥符合要求； ………………………………… 8分③若02a <<，则0(1,)x ∃∈+∞，使得00ln 2x a x +=， 且()g x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，()()()0000max ln ln 424g x g x x x ax ∴==+--，………………………………………… 9分00ln 2x ax =-，()()()()()()000000max =222424g x g x ax ax ax ax ax ∴=-+--=+-．由题：()max 0g x ≤，即()()00240ax ax +-≤，024ax -≤≤，即2002ln 2 4 1e x x -≤+≤⇒<≤． ………………………………………… 10分00ln 2x a x +=，且由（1）可知ln 2x y x+=在(1,)+∞上单调递减， 242e a ∴≤<． ………………………………………… 11分 综上，24ea ≥． ………………………………………… 12分22．解析：（1）4cos ρα=的普通方程为22(2)4x y -+=，………………………………… 2分经过变换后的方程为 2214x y +=，此即为曲线2C 的普通方程，…………………………… 4分 ∴曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数). …………………………………………5分（2）设四边形MNPQ 的周长为l ，设点(2cos ,sin )02M πθθθ≤≤（）， 8cos 4sinl θθ=+=)θθ+)θϕ=+，……………………… 6分 且cosϕ=，sin ϕ=， ………………………………………………… 7分 02πθ≤≤++2πϕθϕϕ∴≤≤sin()sin()12πϕθϕ∴+≤+≤， maxl ∴=．………………………………………… 9分且当2πθϕ+=时，l 取最大值，此时2πθϕ=-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==M . …………… 10分23．解析：（1）当1a =时，不等式()4f x <即为|2||21|4x x -++<， ……………1分①当12x <-时，不等式化为(2)(21)4x x ---+<，解得112x -<<-； ……………2分②当122x -≤≤时，不等式化为(2)(21)4x x --++<，解得112x -≤<； …………3分③当2x >时，不等式化为(2)(21)4x x -++<，无解； ……………………4分 综上，不等式()4f x <的解集为{|11}x x -<<． ……………………………………5分（2）当[,1)2ax ∈-时，()|2|2f x x a x a =-++， ……………………………………………6分()()f x g x <即为|2|3x a a -<-， …………………………………………………… 7分而30a ->，所以323a x a a -<-<-在[,1)2ax ∈-上恒成立，即333a x a -<<+，所以，只需 …………………………………………………… 8分332a a -<-，解得67a <， …………………………………………………… 9分所以a 的取值范围为6(0,)7． ……………………………………………………10分。