3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念
§导数的概念【运用课时】：1课时【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程》一、课前打算(预习教材月J月6,找出怀疑之处)复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。
与起跳后的时间，的关系为：∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当____________ 时平均速度的极限，即1. ∆5V=Iun—= _________________ - .As。
Δ/Ac问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是八"。
+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆xA"→o∆r为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在..(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆xy=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AV Uo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x的函数y=/(x)在点/处改变的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热.假如在第Xh时，原油的温度(单位：0C)⅜∕(X)=X2-7X+15(0≤X≤8).计算第2h和第6h.时，原油温度的瞬时改变率，并说明它们的意义.总结：函数平均改变率的符号刻画的是函数值的增减；它的肯定值反映函数值改变的快慢.例2已知质点材按规律所2y+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当Q2,Δ户O.O1时，求a.NNs⑵当Q2,4户0.001时，求——.∖t(3)求质点"在片2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Ay=/(X t)+∆x)-f(%)；其次步：求平均改变率丝=∕α°+Aγ);∆x Ax第三步：取极限得导数/'(Λ0)=R%之.当堂检测1.在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时改变率,并说明它们的意义.2.已知函数y=f(x),下列说法错误的是()A、Ay=/(Xo+∆x)-f(Xo)叫函数增量B、包一/(/,A0一/一°)叫函数在［%,4+Ar］上的平均改变率∆x∆xC、f(x)在点X0处的导数记为y,D、/(X)在点/处的导数记为广(XO)3.求函数y=Vx在X=1处的导数4.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是S(Z)=J(位移单位：m,时间单位：s),求小球在/=5时的瞬时速度. 学习小结①导数即为函数片/U)在下M处的瞬时改变率；与上一节的平均改变率不同/.⑴尸Ii m旦二Ii m/(戈。
2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.1.2导数概念
4、如图，函数 的图象在点Ｐ处的切线方程是 ， ______，
【合作探究】
例题１．已知 = +2.
（1）求 在x=1处的导数。
（2）求 在x=a处的导数。
变式１ 求下列函数在已知点处的导数：
（１） 在 处的导数；（２） 在 处的导数；
3.已知曲线 在点M处的切线与x轴平行，则点ห้องสมุดไป่ตู้的坐标是
4.过点P（－1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线垂直的直线方程是
5.根据函数 图象，估计 ．
6.已知抛物线 过点（1，1），且在点（2，—1）处与直线 相切，求a、b、c的值。
课题：3.1.2导数的概念
姓名_____________班级日期：
【学习任务】
1．了解导数的概念．
2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．
3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．
【课前预习】
1、函数 在 时的导数为，在 时的导数为
2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度即为v(t)=
3.设 若 =2，则a=.
4.若 =__________
5已知曲线 在点x0处的切线互相平行，则x0=
６过点P（—1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线平行的直线方程。
3.1.2导数的概念课后巩固姓名________
1.质点运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ）则当 时速度分别为，
2求曲线 在点 处的切线的斜率
（３） 在 处的导数．
例题２ 已知曲线 上一点 ．求：（1）点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程．
【数学】3.1.2《导数的概念》
在物体运动过程中,平均速度不一定能反映 物体在某一时刻的运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态。我们把物体在某一时 刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
设一质点沿直线运动，经过的路程s是关于时间t的函数：s=s(t)．
为研究质点在时刻t的瞬时速度，先考虑在时刻t到t+t这 段时间内质点的平均速度 ． 时间间隔t越小， 质点运动的速度变化越小，平均速度 就越接近时刻t的瞬时速度，于是该瞬时速度v(t)就是平均速 度的极限,即:
注意:瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
例 : 求 函 数 y = x 在 x 2时 的 瞬 时 变 化 率 .
2
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数(瞬时变化率) 的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f ( x0 x) f ( x0 );
2. 求平均变化率
x 0
lim
f (x0 Δx) f ( x0 ) x
lim
y x
x 0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
y | x x , 即 f ( x ) lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) . 或 0 0 x 0 x
y x y f ( x0 ) lim . x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) x ;
3. 求值
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬Байду номын сангаас变化率就是 f ( 2)和 f (6). 根据导数的定义,
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以用来描述函数在某一点的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法讲解导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。
示例讲解：计算常见函数在某一点的导数，如f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = ln(x)。
第二章：线性函数和多项式函数的导数2.1 线性函数的导数引入线性函数的导数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其导数为f'(x) = a。
强调线性函数导数的简洁性：线性函数的导数恒为一个常数。
2.2 多项式函数的导数引入多项式函数的导数：多项式函数的一般形式为f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + + a_1x + a_0，其导数为f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + + a_1。
示例讲解：计算多项式函数在某一点的导数，如f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4。
第三章：指数函数和对数函数的导数3.1 指数函数的导数引入指数函数的导数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
强调指数函数导数的性质：指数函数的导数恒为一个正数。
3.2 对数函数的导数引入对数函数的导数：对数函数的一般形式为f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
强调对数函数导数的性质：对数函数的导数在定义域内为正数。
第四章：三角函数的导数4.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数：正弦函数的一般形式为f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数。
4.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数：余弦函数的一般形式为f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
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所以
s4 0.295g v4 2.95g (m / s) t4 0.1
设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则
s5 0.02995 g v5 2.995g (m / s) t5 0.01
设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则
s6 0.0029995 g v6 2.9995g (m / s) t6 0.001
f f ( 2 x ) f ( 2 ) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x 4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x
上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数 记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
s3 0.0030005 g v3 3.0005g (m / s) t3 0.001
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则 △t1=3-2.9=0.1(s) △s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92 =0.295g(m)
第三章 导数及其应用
3.1.2 导数的概念
平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。 自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
例1、自由落体运动的运动方程为s=
1 2 2 gt ，
计算t从3s到3.1s， 3.01s ， 3.001s 各段时间
内的平均速度（位移的单位为m）。 解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
例２、
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
y f ( x)
y
Q Q Q P
再来一次
x x2x 3
T
o
1
x
上面我们研究了切线的斜率问题,
可以将以上的过程概括如下： 设曲线C是函数 y=f(x) 的图象， 在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点 Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
△t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
s1 0.305g 3.05g (m / s) 所以 v1 t1 0.1
s2 0.03005g v2 3.005g (m / s) 同理 t2 0.01
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品，需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0x 8).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
1 2 运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t-2 gt ,
求物体在时刻t0时的瞬时速度。
则直线PQ的斜率为
( y0 y) y0 y k PQ xQ xP ( x0 x) x0 x yQ yP
当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x 变小
当△x→0时，PQ无限靠近PT 因此：
k PT lim k PQ
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
各种情况的平均速度 △t>0 v △ t <0 0.1 3.05g -0.1
v 2.95g
0.01
0.001
3.005g
-0.01
2.995g
2.9995g
3.0005g -0.001
当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
f ( x0 x) f ( x0 ) y k PT lim k PQ lim lim x 0 x 0 x x 0 x
s s t t s t v lim lim t 0 t t 0 t
一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
当△t→0的极限， s g v lim lim 6 t 3g 29.4m / s t 0 t t 0 2
一般结论 设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0 y f x0 x f x0 (2)求平均f x 0 lim x 0 x
1 1 2 2 h v0 (t0 t ) g (t0 t ) v0t0 gt 0 2 2
1 2 (v0 gt 0 )t gt 2
h 1 v0 gt 0 gt t 2
h 当t 0时， v0 gt 0 t
所以 物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.