2017年春季学期新版新人教版九年级数学下学期第28章、锐角三角函数单元复习课件26
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)综合复习题(含解析)
第二十八章 锐角三角函数 综合复习题一、单选题1．（重庆梁平·九年级期末）点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．12⎛- ⎝B ．1,2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝D ．2．（重庆梁平·九年级期末）式子2cos30tan 45︒-︒的值是（ ）A ．0B ．C ．2D ．2-3．（重庆潼南·九年级期末）如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（重庆万州·九年级期末）在Rt ABC 中，9054C AB BC ∠=︒==,,，那么下列各式中不正确的是（ ）A ．3cos 5A =B ．4sin 5A =C ．4tan 3A =D ．cosB 35=5．（重庆市育才中学九年级期末）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值为（ ）A B C ．23D ．136．（重庆南岸·九年级期末） sin30°的值为（ ）A ．12BC ．1D 7．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）小华同学在数学实验活动中是测量自己学校门口前路灯的高度，如图，校门E 处，有一斜坡EB ，斜坡EB 的坡度i =1∶2.4；从E 点沿斜坡行走了4.16米到达斜坡顶的B处．在B 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米在D 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（ ）tan35°≈0.7，tan65°≈2.1A ．5.5米B ．4.8米C ．4.0米D ．3.2米8．（重庆沙坪坝·九年级期末）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为i ＝1∶2.4，通讯塔AB 垂直于水平地面，在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°，斜坡路段CD 长26米，则通讯塔AB 的高度为（ ）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈，4tan533︒≈）A ．774米B ．772米C ．56米D ．66米9．（重庆·西南大学附中九年级期末）在矩形ABCD 中，连接AC ，过点B 作BH AC ⊥于点H 交AD 于点I ，AE 平分BAC ∠分别交BH 、BC 于点P 、E ，BF 平分IBC ∠分别交AC 、DC 于点G 、F ，已知4AB =，1tan 2BAE ∠=，对下列说法中，①ABP ≌AGP ；②四边形BPGE 的面积是165；③4sin 5HPG ∠=；④2FC FD =．⑤连接FH ，则//FH BC ，正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．510．（重庆南岸·九年级期末）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB ＝BC ＝6m ，AB 部分的坡角为45°，BC 部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm ，那么这一阶梯的台阶数最少为（ ）（最后一个台阶的高度不足20cm ≈1.41）A ．36B ．37C ．47D ．4811．（重庆市育才中学九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3π-B 3πC 23πD ．23π12．（重庆黔江·九年级期末）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()20mB ．()10mC ．D ．40m二、填空题13．（重庆荣昌·九年级期末）在边长为OABC 中，D 为边BC 上一点，且2CD =，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为 _____．14．（重庆八中九年级期末）如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15．（重庆南开中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，30BAC ∠=︒，AB =B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边AB 于点E ，交对角线AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为______．16．（重庆·西南大学附中九年级期末）计算：()022tan 45π1-+︒--=______．17．（重庆云阳·九年级期末）如图，在平行四边形ABNM 中，30MAB ∠=︒，8AB =，以AB 为直径作O ，点M 恰好在O 上，则图中阴影部分的面积为__________．18．（重庆忠县·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题19．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，A B C A →→→是湿地公园里的一条环形跑道，B 在A 的正南方．一天，李老师从起点A 出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C 在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB 方向跑了15分钟后到达健身跑道的B 处，此时他发现公园中心塔C 在他的南偏东75°方向．（A ，B ，C 1.414= 1.732=）(1)求BC 的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB 段继续向正南方向延伸至D 处，再将DC 连接起来组成新的环形跑道．若在D 处测得C 在D 的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．20．（重庆巴南·九年级期末）在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长；(2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．21．（重庆荣昌·九年级期末）在△ABC 与△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，且AB ＝AC ，DE DF =．(1)如图1，若点D 与A 重合，AC 与EF 交于P ，30CAE ∠=︒，CE ＝EP 的长；(2)如图2，若点D 与C 重合，EF 与BC 交于点M ，且点M 是线段BC 的中点，连接AE ，且∠CAE ＝∠MCE ，求证：C MF E E +=；(3)如图3，若点D 与A 重合，连接BE ，且BE 平分ABC ∠，连接BF ，CE ，当BF CE +最小时，直接写出的2·BE BF CE值．22．（重庆一中九年级期末）ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，AB AC =，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若1sin 3MCD ∠=，4CD =，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转(045)<αα︒︒︒︒<，连接CM 、DM 、CN ，若DM CN ∥，求证：2224DM CN CM +=；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将DPM ∆沿PM 翻折得到D PM '∆，将EQN ∆沿QN 翻折得到E QN '∆，若3AM DM =，8BC =，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD FE ''+的最小值．23．（重庆南开中学九年级期末）如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B 处，已知AB 坡度i ＝3：4，且80AB =米，BC ＝50米，CD ⊥BF 于点C （A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一平面内，AE ∥BF ）．(1)求平台上点B 到山体底部地面AE 的距离；(2)求摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）24．（重庆黔江·九年级期末）如图，在ABC 中，cos A =45B ∠=︒，AC =(1)用尺规作图法作出AB 边的高CD ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求AB 的长．25．（重庆万州·九年级期末）如图，等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==，延长CB 至E ，使得14BE BC =，以BE 为直角边作Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒．(1)若DEB 以每秒1个单位的速度沿BC 向右运动，当点E 到达点C 时停止运动，直接写出在运动过程中DEB 与ACB △重叠部分面积S 与运动时间t （单位：秒）的函数关系式；(2)点M 为线段AB 的中点，当（1）中DEB 的顶点E 运动到点C 后，将DEB 绕着点C 继续顺时针旋转90︒得到'' D EB ，点P 是直线B D ''上一动点，连接MP ，求12'+MP D P 的最小值．26．（重庆八中九年级期末）如图1，在等腰Rt ABC △中，AB BC =，D 是BC 的中点，E 为边AC 上任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，交AB 于点G ．(1)若6AB =，AE =ED 的长；(2)如图2，点G 恰好是EF 的中点，连接BF ，求证：CD =；(3)如图3，将BDF V 沿DF 翻折，使得点B 落在点P 处，连接AP 、EP ，若6AB =，当AP DP +最小时，直接写出AEP △的面积．27．（重庆实验外国语学校九年级期末）如图，ABC 为等腰直角三角形，90CBA ∠=︒，以斜边AC 为腰作等腰CAD ，使AC AD =，点E 为CD 边中点，连接AE ．(1)如图1，当A 、B 、D 三点共线时，若AE 与BC 相交于点F ，求证：BF BD =．(2)如图2，射线BM 是ABC ∠的外角CBG ∠的角平分线，当点D 恰好落在射线BM 上时，请求出CAE ∠的度数．(3)如图3，连接BD ，以BD 为斜边做Rt BQD △，连接EQ ，若AC =EQ 的最大值．28．（重庆南岸·九年级期末）为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度为2m 的标杆．(1)如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；）(2)如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．29．（重庆梁平·九年级期末）如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B 出发先沿水平方向向左行走37米到达点C ，再经过一段坡度为1:2.4i =，坡长为26米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E ．在E 处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得点D 处的俯角为58︒，摩天轮最高处A 的仰角为24︒．AB 所在的直线垂直于地面，垂足为O ，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内，求AB 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 240.40︒≈，cos 240.91︒≈，tan 240.45︒≈）10参考答案：1．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．【详解】解：∵sin60°，cos30°∴y轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=11)---11-=0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．3．C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK=3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH ∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．4．D【分析】利用勾股定理求出AC =3，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A 的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴3AC === ，∴cos A =35，故A 正确，不符合题意；sin A =45，故B 正确，不符合题意；tan A =43，故C 正确，不符合题意；cos B =45，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．A【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，由勾股定理，得ABcosB ＝BC AB =故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．A【分析】根据特殊锐角三角函数值求解即可．【详解】解：sin30°=12，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数的值是前提．7．B【分析】过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，根据勾股定理可得，AB =1.6，AE =3.84，然后根据锐角三角函数即可求出DG 和OG 的长，进而可得路灯顶端O 到地面的距离．【详解】解：如图，过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，即AB ：AE =1：2.4，∴AE =2.4AB ，根据勾股定理可得：222AE AB BE +=，解得AB =1.6，AE =3.84，根据题意可知：AC =BD =3，FG =CD =AB =1.6，在Rt △BOG 中，tan ∠OBG =3OG OG BG DG =+，即tan35°≈0.7= 3OG DG+，在Rt △ODG 中，tan ∠ODG =OG DG ，即tan65°≈2.1=OG DG ，∴OG =2.1DG ，∴0.7= 2.13DG DG+，解得DG =1.5∴OG =2.1DG ≈3.15，∴OF =OG +GF =3.15+1.6≈4.75≈4.8（米）．所以路灯顶端O 到地面的距离约为4.8米．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．8．B【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，13CD =，由勾股定理可求出DM 的长，设出DE 的长，根据坡度表示BE ，进而表示出CF ，由于ACF ∆是等腰直角三角形，可表示BE ，在ADE ∆中由锐角三角函数可列方程求出DE ，进而求出AB ．【详解】解：如图，延长AB 与水平线交于F ，过D 作DM CF ⊥，M 为垂足，过D 作DE AF ⊥，E 为垂足，连接AC ，AD ，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，∴152.412DM CM ==，设5DM k =米，则12CM k =米，在Rt CDM ∆中，26CD =米，由勾股定理得，222CM DM CD +=，即222(5)(12)26k k +=，解得2k =，10DM ∴=（米)，24CM =（米)，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，设12DE a =米，则5BE a =米，45ACF ∠=︒ ，(2412)AF CF CM MF a ∴==+=+米，241210(1412)AE AF EF a a ∴=-=+-=+米，在Rt ADE ∆中，12DE a =米，(1412)AE a =+米，4tan tan 533AE ADE DE ∠==︒≈ ，∴14124123a a +=，解得72a =，1242DE a ∴==（米)，141256AE a =+=（米)，3552BE a ==（米)，35775622AB AE BE ∴=-=-=（米)，答：基站塔AB 的高为772米．故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．9．C【分析】先证△ABF ≌△AGF （ASA ），再证△ABP ≌△AGP （SAS ），可判断①正确；求出 PE =2MEBG =2BM ，利用菱形面积公式求S 四边形BPGE =11625BG PE ⋅==可判断②正确；根据∠PBF =∠EBF ，1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，可得2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+， 求出85GH =，利用三角函数定义845sin 25GH HPG PG ∠===，可判断③正确；证明△GEC ∽△HBC ，EC GE BC BH =，求出EC =103，BC =1016233BE EC +=+=，CF =83，再求DF=CD-CF=4-8433=，可判断④正确；根据勾股定理CH6415==，AC=203==，AH=AC-CH=20643631515-=，可求CH:AH=6436:16:92:11515=≠，可判断⑤不正确；【详解】解：∵4AB=，1tan2BAE∠=∴1tan422BE AB BAE=∠=⨯=，∵AE平分BAC∠，BF平分IBC∠，∴∠BAE=∠CAE，∠PBF=∠EBF，∵BH AC⊥，∴∠ABH+2∠BAE=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABH+2∠EBM=90°∴∠BAE=∠EBM，∵∠BAE+∠BEM=90°，∴∠EBM+∠BEM=90°，∴∠BME=90°，∴在△ABM和△AGM中，BAM GAMAM AMBMA GMA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△AGF（ASA），∴AB=AG，BM=GM，∴在△ABP和△AGP中，AB AGBAP GAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AGP（SAS），故①正确；∵△ABP≌△AGP，∵BF =GM ，AE ⊥BG ，∴BE =GE ，在△PBM 和△EBM 中PBM EBM BM BMBMP BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBM ≌△EBM （ASA ），∴PB =EB =PG =EG ，∴四边形BEGP 为菱形，在Rt △ABE 中，AE==∵1122AB BE AE BM ⋅=⋅，∴BM=AB BE AE ⋅==∵∠BAE =∠EBM ，∴1tan tan 2EM EBM BAE BM∠=∠==，∴EM=12BM =∴PE =2MEBG =2BM，∴S 四边形BPGE=11625BG PE ⋅==，故②正确；∵∠PBF =∠EBF ，∴1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，∴2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，即()2222GH GH =+，解得85GH =，∴845sin 25GH HPG PG ∠===，∴1625BH GH ==，∵四边形PBEG 为菱形，∴EG ∥BH ，∴△GEC ∽△HBC ，∴EC GE BC BH =，即21625EC EC =+，∴EC =103，∴BC =1016233BE EC +=+=，∴1tan ==tan 1623CF CF CBF BAE BC ∠∠==，∴CF =83，∴DF =CD -CF =4-8433=，∴2FC FD =，故④正确；在Rt △BCH 中，根据勾股定理CH6415==，AC203==，∴AH =AC -CH =20643631515-=，∴CH :AH =6436:16:92:11515=≠，∴FH 与AD 不平行，∴HF 与BC 不平行，故⑤不正确；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线性质，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定，掌握矩形的性质，角平分线性质，性的平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定是解题关键．10．B【分析】先解直角三角形求得,CE BD 的长，进而根据CE BD +的长除以0.2即可求解【详解】解：依题意，sin BD AB A AB =⋅==1sin 32CE BC CBE BC =⋅∠==37.23BD CE ∴+=≈7.230.236÷≈又因为最后一个台阶的高度不足20cm ，则至少需要37个台阶故选B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．11．A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD =30°，利用在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯，11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯=∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°，∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．12．A【分析】过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，得到DH BF =，BH DF =，设DF x =m ，CF =m，根据勾股定理得到220()CD x m ==，求得10BH DF m ==，CF =，30)(10)AH m =+=+，于是得到结论．【详解】解：过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，DH BF ∴=，BH DF =，斜坡的斜面坡度i =∴DF CF=设DF x =m ，CF =m ，220()CD x m ∴===，10x ∴=，10BH DF m ∴==，CF =，30)DH BF m ∴==，30ADH ∠=︒ ，30)(10)AH m ∴=+=+，(20AB AH BH m ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．4123π-【分析】设圆与AB 边交于点G ，先利用正切三角函数可得30COD ∠=︒，再根据三角形全等的判定定理证出Rt COD Rt AOG ≅ ，根据全等三角形的性质可得30COD AOG ∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，然后根据阴影部分的面积等于OABC Rt COD Rt AOG ODG S S S S --- 扇形即可得出答案．【详解】解：如图，设圆与AB 边交于点G ，则OD OG =，四边形OABC 是边长为90OA OC OCB AOC OAB ∴==∠=∠=∠=︒，2CD = ，∴在Rt COD 中，tan 4CD COD OD OC ∠====，30COD ∴∠=︒，在Rt COD 和Rt AOG 中，OC OA OD OG =⎧⎨=⎩，()Rt COD Rt AOG HL ∴≅ ，30COD AOG ∴∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，30DOG ∴∠=︒，则阴影部分的面积为OABC Rt COD Rt AOG ODGS S S S --- 扇形21304222360π⨯=⨯⨯⨯-4123π=-，故答案为：4123π-．【点睛】本题考查了正切三角函数、正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式和正确找出两个全等三角形是解题关键．14．27π65-##2765π-+【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC =∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形，∴1tan 2BC CAB AC ∠==，∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==，∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABD S AB DE =⨯⨯= ，245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，2455936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形，9927662105ABD ABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=- 阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．15．512π【分析】连接BF 如下图，把阴影部分的面积转化2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，先得出BCF △为等边三角形，依次求出转化中涉及的部分面积，再计算即可．【详解】解：连接BF 如下图，30BAC ∠=︒，tan BC BAC AB ∴∠==解得：BC =，30BAC ∠=︒9060ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒BC BF = ，60CFB ∴∠=︒，BCF ∴ 为等边三角形，根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，12ABC S == ，∴21544EBC S ππ=⨯⨯=扇形，215=1212EBF S ππ⨯⨯=扇形，1=2BFC S ∴根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，552(412ππ=+-，5546ππ=+-5546ππ=+-512π=，故答案是：512π．【点睛】本题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、扇形面积的求法，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．16．14##0.25【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()22tan 45π1-+︒--1114=+-14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题．17．83π-【分析】连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，根据圆周角定理得出∠MOB =2∠MAB =60°，由8AB =得出OA =OB =OM =4，根据扇形面积公式求得26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，利用三角函数求得MC =OM sin ∠MOC =4=，利用割补法求阴影部分面积即可．【详解】解：连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，∴∠MOB =2∠MAB =60°，∵8AB =，∴OA =OB =OM =4，26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，MC =OM sin ∠MOC =4=，∴S 平行四边形ABNM =AB·MC =8×=S △MAO =11422AO MC ⋅=⨯⨯=∴S 阴影部分= S 平行四边形ABNM - S △MAO -8833OMB S ππ-=扇形，故答案为：83π-．【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键．1832π【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒==平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯=图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯--=32π-，32π-．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．19．(1)跑道BC 的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作BH AC ⊥构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：45BAC ∠=︒，754530ACB DBC ︒︒︒∠=∠=-=，15801200AB =⨯=米过点B 作BH AC ⊥于点H ，∴90AHB CHB ∠=∠=︒，在Rt ABH △中，45A ∠=︒，∴·sin 45BH AB AB ︒===在Rt CBH △中，30ACB ∠=︒，∴21697CB BH ==≈（米）答：跑道BC 的长为1697米．（2）如图，过点B 作BG DC ⊥于点G ，∴90DGB CGB ∠=∠=︒，∵60BDC ︒∠=，∴30DBG ︒∠=∴在Rt CGB △中，45CBG ∠=︒，∴45BCG ︒∠=∴cos 45·1200CG BC BC ︒===，1200BG CG ==．在Rt BDG △中，60BDG ∠=︒，∴tan 60BG DG ︒===2BD DG ==，∴总道路长为1200BD CD +=+∴总共花费：(120060************+⨯≈<．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．20．(1)(2)见解析(3)2【分析】（1）如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，解直角三角形求出AQ ，QE 即可解决问题．（2）如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠，再证明290DBH ∠=︒即可解决问题．（3）如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．解直角三角形求出DF ，FA '，判断出当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小于是得到结论．(1)解：如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，BD QE ∴=，在Rt BQE ∆中，30QBE ∠=︒，2BE BD ∴==3BQ =，在Rt ABC ∆中，2AB BC ===，5AQ ∴=，在Rt AQE ∆中，AE ==(2)如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．在BAD ∆和CBM ∆中，AB BC BAD CBM AD BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CBM SAS ∴∆≅∆，BD CM ∴=，ABD BCM ∠=∠，F 是CD 的中点，DF CF ∴=，在DFH ∆和CFM ∆中，MF HF MFC HFD DF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DFH CFM SAS ∴∆≅∆，DH CM ∴=，H FMC ∠=∠，DH BD ∴=，H FMC DBH ∠=∠=∠，又FMC ∠ 是BMC ∆的外角，FMC BCM MBC ABD MBC ∴∠=∠+∠=∠+∠，90ABD MBC DBF ∠+∠+∠=︒ ，290DBF ∴∠=︒，45DBF ∴∠=︒；(3)如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．AB BC = ，90ABC ∠=︒，4AC =，AB BC AC ∴===，45BAC ∠=︒，2AF FC == ，FT AB ⊥，AT FT AF ∴==AB BA ='=BT AT ∴==，A T '=A F ∴'==90ADC ∠=︒ ，AF CF =，122DF AC ∴==，DA A F DF ''- …，2DA ∴'-…，∴当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小，此时2DA '=，故线段A D '的长最小值是2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）如图1，作PM EC ⊥，垂足为M ，3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，，∵tan 60PM EM MC =︒⨯=，EM MC +=EM 的值，由2sin 30EM EP EM ==︒即可求出EP 的值．（2）如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC ∠=∠=∠=︒，由MAC MEC ∠=∠可知A M C E 、、、四点共圆，有90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒，45EAN ENA ∠=∠=︒，可知AN =；由NAC NCA ∠=∠，知AN CN =，由CAE CM MCE E ∠=∠=∠，可得EM EC CF ==，AME MCF ∠=∠，然后证明AME MCF ≌，得到AE MF EN ==，从而可证明CE MF =+．（3）如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM △，由旋转可知CE FM =，BF CE BF FM +=+，90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒，故当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上，此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a ，有AE ME AF a ===，CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=，在Rt ABE 中，由勾股定理知222BE AB AE =+，将,,BE BF CE 均用含a 的式子表示，然后求比值即可．(1)解：如图1，作PM EC ⊥，垂足为M由题意得45B C AEF F ∠=∠=∠=∠=︒∴75EPC AEP CAE ∠=∠+∠=︒∴18060PEC EPC C ∠=︒-∠-∠=︒∴3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，∵tan 60PM EM MC =︒⨯==，EM MC +=∴EM =解得)1EM ===∵2sin 30EM EP EM ===︒∴EP 的长为-．(2)解：证明：如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC F ∠=∠=∠=∠=︒∵MAC MEC∠=∠∴A M C E 、、、四点共圆∴45AEM ACM ∠=∠=︒∴90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒∴45EAN ENA ∠=∠=︒∴sin 45AE AN ==︒∵CAE MCE ∠=∠，NAC CAE EAN NCA MCE ACM∠=∠-∠∠=∠-∠，∴NAC NCA∠=∠∴AN CN=又∵CAE CME∠=∠∴CME MCE∠=∠∴EM EC CF==∵90AME EMC MCF MCE∠+∠=︒=∠+∠∴AME MCF∠=∠在AME △和MCF △中45AME MCF AEM MFC EM CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AME MCF AAS ≌∴AE MF EN==∴CE CN EN MF=+=+∴CE MF =+得证．(3)解：如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM△由旋转可知CE FM=∴BF CE BF FM+=+∵90MAF CAE EAF BAC ∠=∠∠=∠=︒，，,BAC BAE CAE EAF CAE CAF∠=∠+∠∠=∠+∠∴BAE CAF∠=∠∴90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒∴当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上∴此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得AE ME AF a===由题意可知△CME 、△BAC 均为等腰直角三角形∴CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=在Rt ABE 中，由勾股定理知()22222BE AB AE a a =+=+∴2BE BF CE ==⋅∴2BE BF CE⋅．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，四点共圆，三角形全等，旋转，角平分线的性质，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．22．(1)2MN=(2)见解析(3)min()1FD FE''+=【分析】（1）设MD a=，3MC a=，根据勾股定理求出MD的长，再利用解直角三角形得出结果；（2）延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，先证AMB ANC∆≅∆，得出BM CN=，ABM ACN∠=∠，进而得出90KBM︒∠=，再根据勾股定理得出结果；（3）过点D¢作D''关于BC对称，得出当点D''，F，E'共线时，D F E F D F E F D E''''''''+=+=最小，最后利用勾股定理得出结果．(1)AB AC=，90BAC︒∠=，点D为BC的中点，AD BC∴⊥，4AD BD DC===在Rt CDM∆中，90CDM︒∠=，1sin3MDMCDMC∴∠==，4DC∴===，a=MD∴=4AM AD DM∴=-=在等腰直角三角形AMN中，45AMN︒∠=，2cos45AMMN︒∴===(2)如图，延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，AB AC=，90BAC︒∠=且AM AN=，90MAN︒∠=，∵∠BAM=90°-∠MAC，∠NAC=90°-∠MAC，BAM NAC∠∠∴=，在AMB∆和ANC∆中AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AMB ANC∆≅∆，BM CN∴=，ABM ACN∠=∠，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC=45MBD ABM ︒-∠∴∠=，45A B N N C C ︒∠∠=+，CM MK = ，CD DB =，∴DM 是△CBK 的中位线，2DM KB ∴=，DM KB ∥，∵MD CN∥KB MD CN ∴∥∥，180KBD NCB ︒∴+∠=∠，即180KBM DBM NCB ︒∠+∠+∠=，∵45A D M M B B ︒∠∠=-，45A B NN C C ︒∠∠=+90KBM ︒=∴∠，在Rt KBM ∆中，90KBM ︒∠=，222KB BM KM ∴+=，∵2DM KB =，BM CN =，CM MK =，∴2224DM CN CM +=；(3)过点D ¢作D ''关于BC 对称，∵点D ¢是以M 为圆心，1为半径的圆上运动，∴点D ''是以T 为圆心，1为半径的圆上运动，∵E '以N ∴连接NT ，当点D ''，F ，E '共线时，D F E F D F E F D E ''''''''+=+=最小，在Rt △ANT 中，NT =∴1E D '''=1∴min ()1FD FE ''+．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质及最小值的问题，正确作出辅助线是解题的关键．23．(1)48米(2)100米【分析】（1）过点B 作BG AE ⊥，根据AB 坡度3:4i =，且80AB =米，设3BG k =，则4AG k =，进而求得5AB k =，即可求得k ，进而求得BG ；（2）延长DC 交AE 于点H ，解直角三角形AHD ,进而即可求得HD ,DC（1）解：如图，过点B 作BG AE ⊥， AB 坡度3:4i =，且80AB =米，34BG AG ∴=设3BG k =，则4AG k =，5AB k ∴=80165k ∴==41664AG ∴=⨯=米，31648BG =⨯=米48BG ∴=米即平台上点B 到山体底部底面AE 的距离为48米；（2）解：如图，延长DC 交AE 于点H ， CD BF ⊥,BG AE ⊥，AE BF ∥∴四边形CBGH 是矩形则48CH BG ==米，50GH BC ==米，6450114AH AG GH ∴=+=+= 在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，即52DAE ∠=︒，∴在Rt ADH 中，tan 114 1.3148DH AH DAE =⋅∠=⨯≈米∴14848100BC BH BG =-=-=米即摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长为100米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．24．(1)见解析(2)3+【分析】（1）以C 为圆心，一定长度为半径画弧，与AB 有交点，作这两个交点确定的线段的垂直平分线即可；（2）过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，根据90ADC ∠=︒，cos A AC =3AD =，利用勾股定理CD =BCD ∆中，BD CD =，即可求解．(1)解：如图所示：(2)解：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，90ADC ∠=︒，cos A =AC =cos 3AD AC A ∴=⋅==，CD ==．在BCD ∆中，=90BDC ∠︒ ，45B ∠=︒，BD CD ∴==，3AB AD BD ∴=+=【点睛】本题考查了作高，锐角三角函数求边长，解题的关键是掌握锐角三角函数解直角三角形．25．(1)()())2220111121445t t t S t t <≤+-<≤+=+<≤⎪+<<⎪⎩52+【分析】（1）根据运动重合部分不同情况分四种情况讨论，①当01t <≤时，②当11t <≤③当14t <≤时，④当45t <<时，根据三角形的面积公式求函数解析式即可．（2）作E 关于B D ''的对称点E '，连接D E ''，过点P 作PR D E ''⊥于点R ，过点M 作MT BC ⊥于点T ，设MN 交BD '于点S ,交B D ''于点Q ，则12'+MP D P 的最小值即为MN 的长，进而解直角三角形,,SD N MTS BMT ' ,即可求得MN 的长，即12'+MP D P 的最小值（1）等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==， 14BE BC =，45,1ABC EB ∴∠=︒=在Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒。
人教版九年级数学下册 第28章《锐角三角函数》单元核心考点归纳
★第28章《锐角三角函数》单元核心考点归纳核心考点1三个概念 （一）正弦1·在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°,AC ＝12,BC ＝5,则sin A 为( ) A ．512B ．125C ．1213D ．513【答案】D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AC ＝9,sin B ＝35，则AB 的长等于（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】A（二）余弦3．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ：CA ：AB ＝5：12：13，则cos B ＝( ) A ．512B ．1252C ．513D ．1213【答案】D4．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那∠cos α的值是( ) A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】D第4题图第6题图第7题图C D（三）正切5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( ) A ．13B ．3CD ．【答案】D6．如图，在网格中，小正方形的边长均为l ，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2BC ．D ．12【答案】D7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ，D 是AC 的中点，设∠ABD 为α，那∠tan α的值为( ) A ．2 B ．2 C ．12 D ．13 【答案】D8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，B ，∠C 的对边，a ：c ＝2：3，求sin A ，tan B 的值．ABC解∵a ：c ＝2：3．设a ＝2k 走，c ＝3k （k ≠0），∴．b ＝ 225c a k -=，∴sin A ＝23a c = ,tan B ＝55k =核心考点2一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算9．计算：( 1) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45° 解：34(2)tan 245°＋21sin 30⎛⎫ ⎪⎝⎭－3cos 230°－(2－l )0.解：14＋4－94－1＝1核心考点3 四个应用应用l 解直角三角形10.如图，在△ABC 中，已知BC ＝13B ＝60°，∠C ＝45°，求AB ，AC 的长．A B C D CB A【答案】 解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴AD ＝CD ，AD，∴BD ＋CD ＝BC , ∴BD＝1BD ＝1，∴AB ＝2BD ＝2，ADAC应用2利用仰角、俯角解直角三角形11.如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ．C 在同一条直线上，小明在地面，）处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E 处，又测得旗杆顶端I 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC ＝12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．1.73≈1.41．EC解：∠DBE ＝30°．BE ＝DE ＝20m ，在Rt △BEC 中，BC ＝BE ．sin 60°＝20＝AB ＝BC －AC ＝12≈5.3 答：AB 大约是5.3米，应用3 利用方位角解直角三角形12. 如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A 地到B 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C 处有一大型油库．现测得油库C 在A 地的北偏东60°方向上，在B 地的西北方向上，AB 的距离为250＋1）米．已知在以油库C 为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C 是否会受到影响？请说明理由．C BAA BCD解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴BD ＝CD ,AD．∴BD ＋AD ＝AB ，∴CDCD ＝250l ），CD ＝250＞200；∴油库C 是不套爱到影响的．应用4利用坡角解直角三角形13．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，离坡底10米处有一建筑物HQ ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（最后计算结果保留一位小数）． (1. 4141.732)H FED B A解：AH ＝10,BC ＝10,∠CAB ＝45°,在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°．∴DB＝tan CD BCB=∠DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB )＝10－10＝20－3米，∴该建筑物要拆除． 核心考点4 四种数学思想 思想1 数形结合的思想 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝2BC ，则sin A 的值是________ ．21CA【答案】根据题意，作出如下图形，已知AC ＝2BC ，可得到三角形的三边之比为1：2，再由正弦定义sin A ＝BC AB思想2 分类讨论的思想15．如果方程x 2－4 x ＋3＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tan A 的值为________ ．【答案】解：∵x 2－4 x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝3，即Rt △ABC 的两条边长分别为1和3，①当1和3分别为两直角边时，∴tan A ＝13；②当1和3分别为直角边和斜边时，∴tan A ；思想3 转化的思想16．如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN ＝ 70°，求河流的宽度CE （结果取整数）. （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）PN【答案】过点C 作CH ∥DA ，则∠CHB ＝∠DAB ＝35°，∴∠BCH ＝∠CBE －∠CHB ＝35°，∴BC ＝BH ，∵CD ∥AD ，∴AH ＝CD ＝50，∴BC ＝BH ＝AB －AH ＝70，∴sin ∠CBE ＝70×sin70°＝70×0.94＝65.8≈66，所以河流的宽度CE 约为66米.PN思想4 方程的思想17．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值.DA【答案】解：设EC ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x ，在Rt △BCE 中，62＋x 2＝（8－x ）2， 解得x ＝74，tan ∠CBE ＝CE ：BC ＝74÷6＝724. 18．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm, BC ＝10cm,求tan ∠EAF 的值.ED BC【答案】由折叠知AF ＝AD ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出BF ＝6，∴FC ＝4，设EE ＝x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理有42＋（8－x ）2＝x 2，∴x ＝5，tan ∠EAF ＝EF AF ＝EF AD ＝510＝12.。
九年级数学下册 第28章锐角三角函数复习教案 人教新课标版 教案
第28章 锐角三角函数复习教案锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。
4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)004530cos sia +ta60°-tan30°三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba(2)三边之间关系a 2+b 2=c 2(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数 全章测试含答案
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。
2017年春季学期新版新人教版九年级数学下学期第28章、锐角三角函数单元复习课件24
10．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D，OP 与弧 AC 相交于点 E，连接 BC. (1)求证：∠PAC＝∠B 且 PA· BC＝AB· CD； 3 (2)若 PA＝10，sinP＝5，求 PE 的长．
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠PAO＝90°，∠C＝90°， ∴∠ PAC ＋∠BAC ＝ 90 ° ， ∠ B ＋∠ BAC ＝ 90 ° ， ∴∠ PAC ＝∠B. 又 ∵OP⊥AC，∴∠ADP＝∠C＝90°，∴△PAD∽△ABC，∴AP∶AB＝ AD∶BC，∵在⊙O 中，AC⊥OD，∴AD＝CD，∴AP∶AB＝CD∶BC， 3 AD 3 ∴PA·BC＝AB· CD (2)∵sinP＝5且 PA＝10，∴ AP ＝5，∴AD＝6，∴ AC ＝ 2AD ＝ 12 ， 在 Rt △ ADP 中 ， PD ＝ AP2－AD2 ＝ 8 ， 又
260 米．(结果精确 得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，则直径 AD＝_______
到 1 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
5．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，⊙P 分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2， 1 0)，B(1，2)，则∠FDE的正切值为____． 2
9．如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于 D， DE⊥AC 于 E，连接 OE. (1)求证：DE 为⊙O 的切线； 5 (2)若 cos∠ABD＝ 5 ，求 tan∠AEO 的值．
解：(1)连接 OD，证 OD∥AC，再证 DE⊥OD 即可 (2)连接 AD，∵ 5 cosC＝ 5 ，∴可设 CD＝ 5，AC＝5，CE＝x，CD2＝CE· CA，( 5)2 1 5 ＝5x，∴x＝1，∴DE＝ CD2－CE2＝2，OD＝2AC＝2，∴tan∠AEO DE 4 ＝tan∠DOE＝DO＝5
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元复习卷(含解析)
人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数 单元复习卷一、单选题1．如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是()A ．74cmB ．64cmC ．54cmD ．44cm2．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA 的值是( )A B C D 3．如图所示，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥．若4PC =，则PD 的值为( )A ．1.5B ．4C ．2D ．14．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）A ．1813B ．139C ．32D ．25．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（ ）A ．35B ．53C ．45D ．346．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（ ）．A ．15B ．13C D 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果1sin 3A =，那么sinB 的值是( )A B ．C D ．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝kx 交于点C （4，n ），则tan ∠OCB 的值为（ ）A ．13B C D ．389．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<10．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝_____．13．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，则AC 的长为_______．16．在Rt ABC 中，190,cos 2C A ︒∠==，那么A ∠的度数是___________.17．取一张边长为4的正方形纸折五角星．操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD 对角线的交点O ，将纸片折叠，使得点H 与点O 重合，折痕为EF ，再将四边形EFOG 折叠，使得EF 与FO 重合；③最后再将∠CFO 沿着FO 折叠，得到图5，沿图中虚线PM 剪一刀．展开得图6．（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°．小黄同学提出了质疑！若已知．请求出sin ∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的．18．如图一，矩形纸片ABCD 中，已知:5:3AB BC =，先按图二操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则的余弦值________．HAF19．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝__．三、解答题20．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y ⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．22．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．24．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．25．如图，甲船在A处发现乙船在北偏东的60 的B处，如果此时乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．26．苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：a________，b=________；（1）统计表=（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，A 、B 是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问A 、B 同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．区域频数频率宿迁4a 连云港70.175淮安b0.2徐州100.25盐城120.27527．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1．6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0．8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）28．当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．（1）如图1，墙角O ∠=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB 的长度．（2）如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．（3）如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．答案第1页，共26页参考答案：1．B 【解析】【分析】首先过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N ，再利用三角函数计算AM 和BN ，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N54AC BD cm ＝＝30ACP BDQ ︒∠=∠=MC ND =∴ AMC BDN∆≅∆1sin 3054272AM BN AC ︒∴===⨯= 所以2271064MN =⨯+= 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM 的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.2．D 【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC 的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图：，由勾股定理，得由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA=AD AC 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．3．C【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得15OPC AOP ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得30OP C BO E C P P ∠+∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质可得122PE PC ==，最后根据角平分线的性质即可得．【详解】如图，过点P 作PE OB ⊥于点E ，,15//AOP BO PC O P A ∠︒∠== ，15OPC AOP ∠∴∠==︒，30OPC BO PCE P ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CEP △中，114222PE PC ==⨯=，又15AOP BOP ∠︒∠== ，PE OB ⊥，PD OA ⊥，2PD PE ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=23x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=23 x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（23x）2，解得：x=1813或0（舍），则该菱形的宽是18 13，故选A．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．A【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.6．D【解析】【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC =BC ＝2，AB =∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sin A=13，∴cos A，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.8．A【解析】【分析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为（4，-4），过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【详解】过B 作BE ⊥直线OC 交于点E由题意可得，点A 坐标为（2,0）点B 坐标为（0,4）把C 点横坐标代入直线y=-2x+4，可得y=-4故点C 坐标为（4，-4）∴直线OC ：y=-x∴∠EOB=45°，即△OEB 是等腰直角三角形∵在△OEB 中，OB=4，∴同理可得∴∴tan ∠OCB=BE EC 13故正确答案为A【点睛】此题主要考查两点距离和三角函数，三角函数一定要构造出直角三角形，找出对应边的长度是解题关键9．C【解析】【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45︒∴0<sin α,选项A 正确，不合题意；B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，D ．sin 45︒cos 45︒cos αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．10．A【解析】【详解】试题分析：仔细分析各选项中格点三角形的特征即可作出判断.仔细分析图形特征可得A 不是直角三角形，B 、C 、D 均为直角三角形，故选A.考点：格点三角形的特征点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握格点中互相垂直的线段的特征，即可完成.11．513【解析】【分析】根据三角函数的定义解答．【详解】如图作PA ⊥x 轴，垂足为A ．OP 13=，cos ∠POA =513．故答案为513．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．12．1517【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，∴AC 15==，∴sin B ＝1517AC AB =．故答案为：1517．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．+【解析】【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒ ，30AB =，AE BE ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒ ，CE ∴=∴=+=AC AE CE∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．14．135【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=，所以在Rt△ACD中，CD= ．考点：解直角三角形的应用．15【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．∵∠C=90°，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16．60【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵∠C=90°，cos A12=，∴∠A=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．17．18 3 5【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得到∠ABC=2∠MPN，即可求解；（2）过点O作OM⊥BC于点M，设OF=FH=x，BM=k，则MH=3k，利用勾股定理求得x=53k，求得∠OFC的正弦函数即可比较得出结论．【详解】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，∴∠MPN=36°÷2=18°；（2）过点O作OM⊥BC于点M，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB ．设OF=FH=x ，BM=k ，则MH=3k ，在Rt △OFM 中，OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x ，∴222OM MF OF +=，即()2223k x k x +-=，整理得：6kx=10k 2，∴x=53k ，∴3553OM k sin OFC OF k ∠===，∵，35≠，∴∠OFC≠36°．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，正弦函数等，作出常用辅助线构建直角三角形是解题的关键．18【解析】【分析】设AB =5，BC =3，根据折叠的性质，结合勾股定理求出AH ，过H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，解直角三角形AHF ，求出AM ，最后根据余弦的定义计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ：BC =5：3，设AB =5，BC =3，由折叠可知：AD =AE =BC =DF =3，FH =FC =2，则EH =EF -HF =3-2=1，∴AH又AF =H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，设AM =x ，则MF =x ，则2222AH AM HF MF -=-，即()22222x x -=-，解得：x =AM =∴cos ∠HAF =AM AH ，．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．19【解析】【分析】过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，根据正方形的性质可得CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，从而得到AD ＝4，BE ＝6，再由勾股定理可得AB ＝10，AF ＝BF ＝，然后设BG ＝x ，再由勾股定理FG ＝2，即可求解．【详解】解：过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，∵四边形CDFE 是边长为2的正方形，∴CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AD ＝4，BE ＝6，∴AB 10，AF ＝BF ，设BG ＝x ，∵FG 2＝AF 2﹣AG 2＝BF 2﹣BG 2，∴（2﹣（10﹣x ）2＝（）2﹣x 2，解得：x ＝6，∴FG 2，∴sin ∠FBA ＝FG BF【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．20．6.2．【解析】【分析】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，可得四边形ABDM 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为23°，在△ACM 中求出CM 的长度，然后在Rt △CDE 中求出CE 的长度．【详解】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，则四边形ABDM 为矩形，AM=BD=6米，在Rt △ACM 中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan ∠，∴CD=（米），在Rt △CDE 中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴≈6.2（米）．21．（1）① 90&#ξΦ0B0;，60&#ξΦ0B0;；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3）113C x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P 关于⊙O 的“视角”是指从点P 引出两条射线，当两条射线和⊙O 相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P 关于⊙O 的“视角”；直线l 关于⊙O 的“视角”是指当直线l 与⊙O 相离时，直线l 上的点Q 距离圆心O 最近时，点Q 关于⊙O 的“视角”就是直线l 关于⊙O 的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°，则说明在直线l 上存在一点P 距离点C 最近，且点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则此时点P 是l 与以点C 为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，PE ⊥x 轴于点E ，由已知分析可得DP=DH=∠PDE=60°，在△PDE 中可求得DE 和PE 的长，得到点P 的坐标，把P 、D 的坐标代入直线l 的解析式可求得k 的值；②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC 的长，可得点C 的坐标；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，由已知条件可求得OC 的长，可得此时点C 的坐标；综合起来可得C x 的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），-+=.∴()1k b0∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.设点P在直线l上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥x轴于点H，PE⊥x轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D 的坐标为(1 0)，-，∴DH =．∴tan ∠CDH=CH DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PD ⋅PE= PD ⋅sin60°=3，∴1，∴点P 的坐标（13）．把点P 的坐标代入l : y kx k =+-，解得： k ．②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=1=cos30 =AC=4cos303PC = ，∴OC=AC-OA=13，∴此时C x =13；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，连接CP ，∵在△ABO 中，AO=1，，∴tan ∠BAO=BO AO=∴∠BAO=60°，∴AC=sin 60PC∴1，∴此时C x 1，综上所述，C x 的取值范围为：113c x -<<.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.22．23米【解析】【分析】根据锐角三角函数求得线段AE ，从而求得旗杆AB 的高度．【详解】解：在Rt △ADE 中，∵ tan ∠ADE ＝AE DE，∠ADE ＝54°，∴ tan 15 1.3820.7AE DE ADE ≈=⨯⋅∠=又∵ 1.8BE CD ＝＝，∴ 20.7 1.822.523AB AE BE =+=+=≈答：旗杆AB 的高度约为23 m ．【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键．23．（1）∠CBD 与∠CEB 相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠． 【解析】【详解】试题分析：（1）由AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD ，结合∠A=∠CEB 即可得到∠CBD=∠CEB ；（2）由∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，可得∠EBC=∠BDC ，从而可得△EBC ∽△BDC ，再由相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=2x ，结合BC=32AB ，AB 是直径，可得BC=3x ，OB=OD=x ，再结合∠ABC=90°，可得x ，CD=-1）x ；由AO=DO ，可得∠CDF=∠A=∠DBF ，从而可得△DCF ∽△BCD ，由此可得：CD DF BC BD =，这样即可得到tan ∠CDF=tan ∠DBF=DF BD .试题解析：（1）∠CBD 与∠CEB 相等，理由如下：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠CBD=∠BAD ，∵∠BAD=∠CEB ，∴∠CEB=∠CBD ，（2）∵∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，∴∠EBC=∠BDC ，∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD BE BC=；（3）设AB=2x ，∵BC=32AB ，AB 是直径，∴BC=3x ，OB=OD=x ，∵∠ABC=90°，∴x ，∴CD=）x ，∵AO=DO ，∴∠CDF=∠A=∠DBF ，∴△DCF ∽△BCD ，∴CD DF BC BD =∵tan ∠DBF=DF BD∴tan ∠点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF ，把求tan ∠CDF 转化为求tan ∠DBF=DF BD；（2）通过证△DCF ∽△BCD ，得到DF CD BD BC =.24．（1）（2）60-海里．【解析】【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD ∆中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD 30=︒，BC=120则DC=60故60cos30DC AC AC ︒===解得：AC=答：此时点A 到军港C 的距离为（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N可得∠1=30︒，∠BA ＇A=45︒则∠2=15︒，即A ＇B 平分∠CBA设AA ＇=x ，则A ＇故CA ＇=2A ＇N=2x =x +=∴x 60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．25．北偏东30【解析】【分析】构建两个直角三角形后，令BD=x ，则AB=2x ，；BC=a ，则．在RT △ACD 中运用勾股定理可求出a 和x 之间的关系，从而得到AB=BC ，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．【详解】设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，∴∠ADB=90 ，∠BAD=30∴AB=2BD，由勾股定理得：AD，∵乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船的速度是/小时，∴设BC=a,则AC a，又在Rt△ABD中,令BD=x,则AB=2x,AD，又∵在Rt△ADC中,2AC=22AD DCa (舍负)，∴x=2又在Rt△ABD中，AB=2x，∴AB=a，∴AB=BC，∴∠C=∠CAB，∴∠ABD=∠C+∠CAB，∴∠ABD=2∠C.∵∠ABD=60∴∠C=30∴∠CAD =60∴这时甲船应朝北偏东30 方向行驶，才能最快追上乙船．【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题．26．（1）0.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）16【解析】【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a 的频数、b 的频率利用公式即可求出答案；（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为0．175，∴数据总数为70.17540÷=，∴4400.1a =÷=，400.28b =⨯=．故答案为0.1，8；（2）∵0.10.1750.20.250.2751++++=，∴各组频率正确，∵400.2751112⨯=≠，∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表如下：AB C D ABA CA DA B ABCB DB C AC BC DCD AD BD CD∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：16．【点睛】此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.27．1．1m．【解析】【详解】试题分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC•sin∠CAF 求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CG=CD•sin∠CDE求出CG的长，然后根据FG=FC+CG计算即可．试题解析：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0．744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0．336m，∴FG=FC+CG≈1．1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1．1m．考点：解直角三角形的应用．28．（1）（2）3；（3）1 4【解析】【分析】（1）过A 点作OB 的垂线AE ，证明E 点与B 点重合即可求得OB 的长；（2）在点A 运动过程中，AB 长不变，∠AOB=30°不变，考虑到同弧所对的圆周角不变，所以构造半径为3且过AB 两点的圆O ＇，易知O O ＇=3，C O ＇=O 、O ＇、C 三点共线时，得最值；（3）过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，根据sin O =35，不妨设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)，证明FGE ∆∽EHD ∆，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）如图1，过A 点作AE ⊥OB ，∵∠O=30°，OA=6∴AE=132OA = 又AB=3，AE ⊥OB∴B 点与E 点重合∴OB =（2）如图2，在C 点的另一侧作等边三角形ABO ＇，连接O O ＇，连接O ＇C 交AB 于点，则∠A O ＇B=60°，以O ＇为圆心，以3为半径作圆，则A 、B 点在圆上，又因为∠AOB=30°=12∠A O ＇B ，故O 点在圆上，当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的距离最大．∵△ABC 、△AB O ＇为等边三角形∴四边形AO ＇BC 为菱形∴O ＇C 与AB 互相垂直平分，AD=1322AB =，∠CAD=60°∴CD=tan AD CAD ⋅∠∴O ＇C=2CD=∴当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的最大距离为当OO ＇+O ＇C 3=+ （3）如图：过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，∴∠DHE=∠FGE=90°∵sin O =35，设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)∵DEF ∠=90°∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°∴∠DEH=∠EFG=∴FGE ∆∽EHD ∆ ∴FG GE EH DH= ∴••FG DH GE EH=即9(44)ab GE b a GE =--∴24()90GE b a GE ab --+=∵0∆≥∴216)360b a ab --≥（化简后得到：4(4)0b a b a --≥（）∵b a ≥，∴40b a -≥，∴40b a -≥∴4b a≥∵FG//DH ，∴OF OD =OG OH =44a b ≤4a a =14【点睛】本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
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解：根据题意可得，在△ABC 中，AB＝99 海里，∠ABC＝53°，∠BAC ＝27°，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，设 BD＝x 海里，则 AD＝(99 4 －x)海里， 在 Rt△BCD 中， CD＝x· tan53°≈3x(海里)， 在 Rt△ACD 中， 1 4 1 则 CD＝AD· tan27°≈2(99－x)，则3x＝2(99－x)，解得 x＝27，即 BD＝ BD 27 27，在 Rt△BCD 中，BC＝ ≈ ＝45，45÷2＝22.5(海里/时)，则 cos53° 3 5 该可疑船只的航行速度为 22.5 海里/时
10．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为 南偏东30°.在M的南偏东60°方向上，有一点A，以A为圆心、500 m 为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南 偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水 路线是否会穿过居民区？
解： 依题意得∠AMN＝30°， 过点 A 作 AC⊥MN 于点 C，在 Rt△ABC 中，∠ABN＝75°－30°＝ 45°，∴BC＝AC，由 MB＝MC－BC，得 3AC －AC＝400，∴AC＝200( 3＋1)≈546＞500，∴ 不改变方向，输水路线不会穿过居民区
3．一渔船在海岛 A 南偏东 20°方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的 距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80 °方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10°方向 匀速航行.20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航 行的速度为( D ) A．10 3海里/时 B．30 海里/时 C．20 3海里/时 D．30 3海里/时
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 CD＝x，在 Rt△ACD 中， ∠CAD＝30°， 则 AD＝ 3CD＝ 3 x，在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°，则 BD＝CD ＝x，ห้องสมุดไป่ตู้题意得 3x－x＝4，∴x＝ 4 ＝2( 3＋ 3－1
1)≈5.5，即生命所在点 C 的深度为 5.5 m
7．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡度为 3∶1，坡长 AB＝20 3 m， 为加强水坝强度， 将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处， 使新的背水坡 BF 的坡度为 1∶1，求 AF 的长度．(结果精确到 1 米， 参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
9．(2015·包头)为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场 树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已 知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A 点和底端B点的仰角分别是60°和45°. (1)求公益广告牌的高度AB； (2)求加固钢缆AD和BD的长．
解：(1)在 Rt△ADC 中，AC＝CD· tan∠ADC＝3·tan60°＝3 3，在 Rt△BDC 中，BC＝CD＝3，∴AB＝AC－BC＝(3 3－3)米 (2)Rt△ ADC 中，AD＝ CD 3 ＝ ＝6(米)，在 Rt△BDC 中，BD＝ cos∠ADC cos60°
CD 3 ＝ ＝3 2(米) cos∠BDC cos45°
11．(2015· 盐城)如图，一幢楼房 AB 背后有一台阶 CD，台阶每层高 0.2 米，且 AC＝17.2 米，设太阳光线与水平地面的夹角为 α，当 α＝60° 时，测得楼房在地面上的影长 AE＝10 米，现有一只小猫睡在台阶的 MN 这层上晒太阳．( 3取 1.73) (1)求楼房的高度约为多少米？ (2)过了一会儿，当 α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．
5．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图，在教学楼一 楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的 仰角为30°，旗杆底部与教学楼在同一水平线上，已知每层楼的高度 9 m. 为3 m，则旗杆AB的高度为____
6．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，如图， 救援队利用生命探测仪在地面 A，B 两个探测点探测到 C 处有生命迹 象，已知 A，B 两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30°和 45 °， 试确定生命所在点 C 的深度． (精确到 0.1 米， 参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
BE 解：过 B 作 BE⊥AD 于 E，在 Rt△ABE 中，tan∠BAE＝AE＝ 3， BE 则∠BAE＝60°，∴AE＝10 3，BE＝30，又 tan∠BFE＝ EF ＝1， ∴BE＝EF＝30，∴AF＝EF－AE＝30－10 3≈13(m)，即 AF 的长度 为 13 m
8．如图，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘船只， 测得 A，B 两处距离为 99 海里，可疑船只正沿南偏东 53°方向航行． 我 渔政船迅速沿北偏东 27°方向前去拦截，2 小时后刚好在 C 处将可疑船 9 9 只拦截， 求该可疑船只航行的速度． (参考数据： sin27°≈20， cos27° ≈10， 1 3 4 tan27°≈2，cos53°≈5，tan53°≈3)
综合训练
锐角三角函数的应用
1．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交成的锐角为 α，若 AC＝a， BD＝b，则▱ABCD 的面积是( A ) 1 A.2absin α C．abcos α B．absin α 1 D.2abcos α
2．(2015· 济宁)如图，斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 1∶2，AC＝ 3 5米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连．若 AB＝10 米，则旗杆 BC 的高度为( A ) A．5 米 B．6 米 C．8 米 D．(3＋ 5)米
4．如图，在某段国道改造工程中，需沿AC方向开山修路，为了加 快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取 ∠ABD＝140°，BD＝1000 m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线 642.8 m．(参考数据：sin50°≈0.766 0， AC上，那么DE＝________ cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.192 0)