高考数学精讲精练20不等式综合应用

式： ||a|－|b ||≤|a± b|≤ |a|+|b|；而证法三则是整体处理 g(x)与 f(x)的关系 .
(1) 证明：由条件当 =1≤ x≤ 1 时， |f( x)|≤ 1，取 x=0 得： |c|=|f(0)|≤ 1，即 |c|≤ 1. (2) 证法一：依题设 |f(0)|≤ 1 而 f(0)= c，所以 |c|≤ 1.当 a＞ 0 时， g(x)=ax+b 在［－ 1， 1］上 是增函数，于是
供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用
等方面的问题 .
●难点磁场 (★★★★★ )设二次函数 f(x)= ax2+bx+c(a＞ 0)，方程 f(x)－ x=0 的两个根 x1、x2 满足 0＜ x1
＜ x2＜ 1 . a
(1) 当 x∈［ 0， x1 ) 时，证明 x＜ f(x) ＜x1；
(3) 设 a＞ 0，有－ 1≤ x≤ 1 时， g(x) 的最大值为 2，求 f(x).
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命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数
学知识分析问题和解决问题的能力 .属★★★★★级题目 .
知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运
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第 20 讲 不等式的综合应用
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综
合运用的特点比较突出 .不等式的应用大致可分为两类： 一类是建立不等式求参数的取值范围
或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提
5
6
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因为当－ 1≤x≤1 时， f(x)≥－ 1，即 f(x)≥ f(0) ，
根据二次函数的性质，直线 x=0 为 f( x)的图象的对称轴，
由此得－ b ＜ 0 ，即 b=0. 2a
由①得 a=2，所以 f(x)=2x2－ 1.
●锦囊妙计
1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非
用是本题的灵魂 .
错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数
f(x)的单调性的深刻理解，以及对
条件“－ 1≤ x≤1 时|f (x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，
缺乏严密，从而使题目陷于僵局 .
技巧与方法：本题 (2)问有三种证法，证法一利用 g( x)的单调性；证法二利用绝对值不等
|a－ b|=|(a－ b+c)－c|≤ |a－ b+c|+|c|≤2， |a+b|=|(a+b+c)－c|≤ |a+b+c|+|c|≤ 2， ∵g(x)=ax+b，∴ |g(± 1)|=|± a+b|=|a± b|≤ 2， 函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线，因此 |g(x)|在［－ 1， 1］上的最大值只能在区间的端 点 x=－1 或 x=1 处取得，于是由 |g(± 1)|≤ 2 得|g(x)|≤ 2， (－ 1＜ x＜ 1 ) .
不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性
.
2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事 物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然 后利用不等式的知识求出题中的问题 .
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★ )定义在 R 上的奇函数 f (x) 为增函数，偶函数 g(x)在区间［ 0， +∞ )的图象 与 f(x)的图象重合，设 a＞ b＞ 0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是 ( )
z倍.
(1) 设 y=ax，其中 a 是满足 1 ≤ a＜ 1 的常数，用 a 来表示当售货金额最大时的 3
2 (2) 若 y= x，求使售货金额比原来有所增加的
3
x 的取值范围 .
x 的值；
6.(★★★★★ )设函数 f (x)定义在 R 上，对任意 m、 n 恒有 f (m+n)=f (m)· f(n)，且当 x＞0
??ìa 2 +
1 4× h￠a = 2
2
í ???a 2 +
1a2 4
= h 12
消去 h ￠.解得 : a =
1 (a > 0) h2 + 1
②由
V
=
Hale Waihona Puke 1 a2h 3=h 3( h2 + 1)
(h＞ 0)
得： V =
1
1 而 h + = 2
h
1 × =
2
3( h + 1 )
h
h
h
所以 V≤ 1 ，当且仅当 h= 1 即 h=1 时取等号
证法三 :Q x = ( x + 1) 2 - ( x - 1) 2 = ( x + 1)2 - ( x - 1) 2 ,
4
2
2
\
g(x)
=
ax +
b
=
a [(
x + 1)2
-
(
x-
1)2 ]
+
b(
x
+1 -
x- 1 )
2
2
2
2
= [ a( x +1) 2 + b( x + 1) + c] - [ a( x - 1) 2 + b( x - 1) + c]
V 的最大值 (求解本题时，不计容器厚度 ) 命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积
的计算及用均值定论求函数的最值 .
知识依托：本题求得体积 V 的关系式后，应用均值定理可求得最值 .
错解分析：在求得 a 的函数关系式时易漏 h＞ 0.
技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理 .
解：①设 h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：
为 x1， x2.
(1) 如果 x1＜ 2＜x2＜ 4，设函数 f(x )的对称轴为 x =x0，求证 x0＞－ 1； (2) 如果 |x1|＜2， |x2－ x1|=2，求 b 的取值范围 .
5.(★★★★ )某种商品原来定价每件 p 元，每月将卖出 n 件，假若定价上涨 x 成 (这里 x
成即 x ， 0＜ x≤ 10 ) .每月卖出数量将减少 y 成，而售货金额变成原来的 10
x +1 x - 1
( ) |+|f(
)|≤ 2.
2
2
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(3) 解：因为 a＞ 0，g(x)在［－ 1， 1］上是增函数，当 x=1 时取得最大值 2，即
g(1)= a+b=f(1)－ f(0)=2.
①
∵－ 1≤ f(0)= f(1)－ 2≤ 1－2=－ 1，∴ c=f (0)= －1.
①f (b)－ f(－ a)＞ g(a)－g(－ b) ② f(b)－f (－ a)＜g(a)－ g(－ b)
③f (a)－ f(－ b)＞ g(b)－g(－ a) ④ f(a)－f (－ b)＜g(b)－ g(－ a)
A. ①③ 二、填空题
B.②④
C.①④
D.②③
2.(★★★★★ )下列四个命题中：① a+b≥ 2 ab
求 a 的取值范围 .
2 x2 + bx + c
7.( ★★★★★ )已知函数 f(x)= x2 + 1
(b＜ 0)的值域是［ 1， 3］，
(1) 求 b、 c 的值；
(2) 判断函数 F (x)=lg f( x)，当 x∈［－ 1， 1］时的单调性，并证明你的结论；
(3) 若 t∈ R，求证： lg 7 ≤ F(|t － 1 |－ |t+ 1 |)≤lg 13 .
6
h
故当 h=1 米时， V 有最大值， V 的最大值为 1 立方米 . 6
［例 2］已知 a，b， c 是实数，函数 f(x)= ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－ 1≤x≤ 1 时 |f(x)|≤1.
(1) 证明： |c|≤ 1；
(2) 证明：当－ 1 ≤x≤ 1 时， |g(x)|≤ 2；
(2) 设函数 f (x)的图象关于直线 ●案例探究
x=x 0 对称，证明： x 0＜ x1 . 2
［例 1 ］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为
2 平方米
的正四棱锥形有盖容器 (如右图 ) 设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米，
(1) 求 a 关于 h 的解析式； (2) 设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时， V 最大？求出
每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费
用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
__________ 公里处 .
三、解答题 4.( ★★★★★ )已知二次函数 f (x)=ax2+bx+1(a， b∈R， a＞ 0)，设方程 f(x)=x 的两实数根
② sin2x+
4 sin 2
x
≥4
③设 x， y 都是正
数，若
19 + =1，则
x +y
的最小值是
12
④若 |x－2|＜ ε ， |y－ 2|＜ ε，则 |x－y|＜ 2ε，其中
xy
所有真命题的序号是 __________.
3.(★★★★★ )某公司租地建仓库，每月土地占用费