2.2.2对数函数及其性质(第三课时——习题讲解)
必修1课件2.2.2-3对数函数及其性质(三)
又
t =x 2 x
2
∴所求单调递减区间为（4，+∞）
例3.解下列关于x的不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x) (2) log2(x+3) < 0
思考？
解不等式logax>loga(1-x)（a＞０且a≠１)时，你
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1, log a m log a n m n 0
x O 1 定义域：(0，+∞)
0<a<1 y y=logax
O
1
x
值域：R 性 过点（1，0） 质 当x (0,1)时y 0 即当x=1时，y=0
当x (0,1)时y 0
当x (1， )时y 0
在(0,+∞)上是增函数
当x (1， )时y 0
在(0,+∞)上是减函数
即是f ( x1 ) f ( x2 )
函数f ( x) log 2 ( x 2 1)在(0, )上是增函数
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (， 上是减函数还是 增函数？ ⑵解：是减函数，证明如下：
设x1 , x2 (0, )且x1 x2
(2)若0 a 1, log a m log a n 0 m n
例4.已知函数
1 x f ( x) log 2 1 x
, 求函
数f(x)的定义域，并确定其奇偶性、单调性.
二、新授内容： 例1 ⑴证明函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (0,) 上是增 函数.
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (， 上是减函数还是 增函数？
对数函数的图象及性质-课时作业(含解析) (3)
第二章 2.2 2.2.2 第二课时一、选择题1．下列函数在其定义域内为偶函数的是导学号 22840774( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x C ．y ＝log 2x D ．y ＝x 2[答案] D2．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是导学号 22840775( )[答案] A[解析] 函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象过点(0,0)，且函数值非负，故选A. 3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则导学号 22840776( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c[答案] D[解析] a ＝log 54<1，log 53<log 54<1， b ＝(log 53)2<log 53，c ＝log 45>1，故b <a <c .4．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是导学号 22840777( )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[答案] B[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则导学号 22840778( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a[答案] A[解析] ∵a ＝log 3π>log 33＝1，0<b <log 76<log 77＝1，c ＝log 20.8<log 21＝0. 故a >b >c .6．设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝(12)0.3，则导学号 22840779( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c [答案] A[解析] ∵log 13 2＜log 13 1＝0，log 12 13＞log 12 12＝1，0＜(12)0.3＜(12)0＝1，∴a ＜c ＜b ，故选A.二、填空题7．求下列各式中a 的取值范围：导学号 22840780 (1)log a 3<log a π，则a ∈________； (2)log 5π<log 5a ，则a ∈________. [答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)8．函数f (x )＝lg x 2的单调减区间为________.导学号 22840781 [答案] (－∞，0)[解析] 设f (x )＝lg t ，t ＝x 2，由复合函数性质得f (x )＝lg x 2减区间即为t ＝x 2的减区间(－∞，0)．三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1).导学号 22840782 (1)求函数f (x )的定义域，值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，∴定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]． ∴f (t )＝log a t ，t ∈(0,4]．当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4， 值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，值域为(－∞，log a 4]． (2)y min ＝－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 4＝－2，得a ＝12.10．已知函数f (x )＝log 2(2＋x 2).导学号 22840783 (1)判断f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为2＋x 2＞0对任意x ∈R 都成立， 所以函数f (x )＝log 2(2＋x 2)的定义域是R . 因为f (－x )＝log 2[2＋(－x )2]＝log 2(2＋x 2)＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数． (2)由x ∈R 得2＋x 2≥2， ∴log 2(2＋x 2)≥log 22＝1，即函数y ＝log 2(2＋x 2)的值域为[1，＋∞).一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是导学号 22840784( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)∪(－∞－3)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] ∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数． 又∵y ＝log a u (a ＞1)在(1，＋∞)上也为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D. 2．函数f (x )＝lg(1x 2＋1＋x)的奇偶性是导学号 22840785( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇又是偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A[解析] f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg(1x 2＋1－x)＋lg(1x 2＋1＋x )＝lg 1(x 2＋1)－x 2＝lg1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则导学号 22840786( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a[答案] A[解析] a ＝log 3π＞1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，所以a ＞b ＞c ，故选A.4．若函数f (x )＝log 12(x 2＋ax ＋6)在(3，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是导学号 22840787( )A ．[－5，＋∞)B ．[－6，＋∞)C ．(－∞，－6]D ．(－∞，－5][答案] A[解析] ∵f (x )在(3，＋∞)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤3，32＋3a ＋6≥0，∴a ≥－5.二、填空题5．(2015·吉林高一检测)已知函数f (x )满足当x ≥4时f (x )＝(12)x ；当x <4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.导学号 22840788[答案]124[解析] f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (log 224)＝(12)log 224＝12log 224＝124.6．已知函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y ＞1，则a 的取值范围为________.导学号 22840789[答案] 1＜a ＜2[解析] 若0＜a ＜1，则在[2，＋∞)上不会恒有log a x ＞1，∴a ＞1，∴y ＝log a x 为增函数． 当x ∈[2，＋∞)时，log a x ≥log a 2.∵y ＞1恒成立，∴log a 2＞1，∴a ＜2，∴1＜a ＜2. 三、解答题7．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .导学号 22840790(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12 x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－log 12 (－x )≤2， 解得x ≥14或－4≤x <0.8．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1).导学号 22840791 (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x }－32＜x ＜32}．(2)由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]，∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )． 当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－32，0)．。
高中数学课时教案 对数函数及其性质(第三课时)
云南省昆明市第三中学课时教案§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）一．教学目标：1．知识与技能 （1）知识与技能（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. 2．过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观（1）体会指数函数与指数;（2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教学过程：1．复习（1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log xy y x ==与的函数图象.`2．讲授新知2x y =2log y x =图象如下：探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数2x y =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R 上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y=的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数.从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图象.3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野） 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y x x =∈+∞是指数函数3()x y x R =∈的反函数.以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞.同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠. 课堂练习：求下列函数的反函数 （1）5xy = （2）0.5log y x = 归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？2log y x =x2．你怎样理解反函数？课后思考：（供学有余力的学生练习）我们知道(xy a a =＞01)a ≠且与对数函数(a y x a =log ＞0且1)a ≠互为反函数，探索下列问题.1．在同一平面直角坐标系中，画出2log xy y x ==2与的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？2．取2xy =图象上的几个点，写出它们关于直线y x =的对称点坐标，并判断它们 是否在2log y x =的图象上吗？为什么？3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log (xa y a y xa ==与＞01)a ≠且成立吗？。
一同步训练2.2.2_对数函数及其性质(第三课时)
对数函数及其性质（第三课时）1、若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，12)2、若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( )A ．0<a<b<1B ．0<b<a<1C ．a>b>1D ．b>a>13、已知函数f(x)＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( )A ．[22，2]B ．[－1,1]C ．[12，2] D ．(－∞，22]∪[2，＋∞)4、若函数f(x)＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为() A.14 B.12 C ．2 D ．45、函数f(x)＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增6、设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a7、已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a logb(x －3)＜1，则x 的取值范围是________．8、f(x)＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________．9、函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y|＞1，则a 取值范围是________．10、已知f(x)＝⎩⎨⎧6－a x －4a x<1log a x x≥1是R 上的增函数，求a 的取值范围．11、解下列不等式．(1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)；(2)log x 12＞1.12、函数f(x)＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．13、求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x +1；（2）y=log a （4－x ）.14、 已知函数y=log a （1－a x ）（a ＞0，a ≠1）.（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x 对称.15、 已知函数f （x ）=（21）x （x ＞0）和定义在R 上的奇函数g （x ）.当x ＞0时，g （x ）=f （x ），试求g （x ）的反函数.16、 探究函数y=log 3（x+2）的图象与函数y=log 3x 的图象间的关系.17、函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值.18、 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.。
人教A版必修1第二章2.2.2对数函数及其性质重难点题型(举一反三)(含解析版)
2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（）A．y＝log3（x+1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 3（x +1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【分析】根据对数函数的定义即可得出．【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝log x+1x的底数为x+1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用．【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对数函数的定义，y＝log a x（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论．【答案】解：①y＝log x2不是对数函数；②y＝log a x（a∈R）不是对数函数；③y＝log8x是对数函数；④y＝lnx是对数函数；⑤y＝log x（x+2）不是对数函数；⑥y＝2log4x不是对数函数；⑦y＝log2（x+1）不是对数函数；综上所述，对数函数有2个，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．【答案】解：①y＝log a x2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数；②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数④y＝log x a（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数；⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，故是对数函数的有⑤⑥，共有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：，，，且log54＞log53＞0，∴，∴2＝log416＜log420＜log315，∴a＜c＜b．故选：C．【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质．【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log a2＝2，log3b＝，c6＝7，∴∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，∴c＜a＜b故选：C．【点睛】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log30.3＜log31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1∴a＜c＜b．故选：B．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log34＞log33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log0.310＜log0.31＝0，∴．故选：A．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．【答案】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．【点睛】此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y＝log a x，而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，即可得出图象．【答案】解：∵当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象：红颜色的图象．而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，其图象如黑颜色的图象．故选：B．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化规律，由这些规律得出函数y＝|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．【答案】解：y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）＝log a（x2﹣1），令x2﹣1＝1，解得：x＝±，而x﹣1＞0，解得：x＞1，故x＝，故函数的图象过（，0），故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查特殊值问题，是一道基础题．【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【答案】解：令2x+3＝1，可得x＝﹣1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【分析】根据log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1是解题的关键．【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣2，故f（﹣2）＝log a1＝0恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣2，0），故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．【答案】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），y＝100﹣x2在（0，10）递减，y＝lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道基础题．【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【分析】把（4，0）和（7，1）代入f（x）列出方程组解出a，m，根据对数函数的性质判断．【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴，解得．∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【答案】解：由＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，而f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【分析】首先令h（x）＝f（x）+g（x），求出h（x）的定义域，而后用函数奇偶性定义求证．【答案】解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）由得：﹣＜x＜，h（x）定义域为（﹣，），∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x），所以，h（x）为偶函数．故选：B．【点睛】本题主要考查了奇偶函数的定义域要求，以及函数奇偶性定义，属基础题．【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【答案】解：要使函数有意义则解得x＞1且x≠2∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）故选：C．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．【答案】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y＝log4x为（0，+∞）上的增函数，∴当u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，即y max＝log4u（x）max＝log44＝1，因此，函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【分析】先将原函数y＝log0.5（x2+x+）转化为两个基本函数令t＝x2+x+＝（x+）2+，y＝log0.5t 的，再用复合函数的单调性求解．【答案】解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[，+∞]，∵函数y＝log0.5t的在定义域上是减函数，∴y∈（﹣∞，2]；故答案为（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域，本题关键是求出二次函数的值域，属于基础题．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【分析】利用换元法，令t＝由2≤x≤4 可得﹣1≤t≤﹣，由题意可得y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域．【答案】解：令t＝，因为2≤x≤4，所以﹣1≤t≤﹣，则y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t＝﹣是函数有最小值，当t＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y|}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【分析】由函数的解析式可得，当x＜1时，f（x）＞；当x≥1时，f（x）≥0，综上可得f（x）的值域．【答案】解：由于函数，故当x＜1时，f（x）＝＞．当x≥1时，f（x）＝log2x≥log21＝0．综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【分析】由已知中x≥0，y≥0且x+2y＝，可得y∈[0，]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．【答案】解：∵x+2y＝，∴x＝﹣2y，由x≥0，y≥0，可得y∈[0，]，则8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，令t＝﹣12y2+8y+1，当y∈[0，]时，t∈[1，]，又由u＝log0.5t为减函数，故当t＝1时函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，利用函数的单调性即可．【答案】解：若a＞1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递增，∴f（x）max＝log a4＝2log a2，f（x）min＝log a1＝0，∵f（x）max﹣f（x）min＝2，∴2log a2﹣0＝2，∴log a2＝1，故a＝2；若0＜a＜1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递减，同理可得a＝．故答案为：2或．【点睛】本题考查对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，△＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【答案】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【点睛】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【分析】根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3的最大值．【答案】解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x＝3时，g（x）有最大值13．故答案为：13【点睛】根据f（x）的定义域，先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【答案】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）＝log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）＝f（1）＝log a2．【点睛】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）＝0，再由f（﹣x）＝﹣f（x），m≠﹣1，可得实数m的值；（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；（3）由f（）＞0，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，即+＝＝log a1＝0，故m2＝1，又∵m≠﹣1，故m＝1，（2）由（1）得f（x）＝＝，令t＝，则t在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a＜1时，y＝log a t为减函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a＞1时，y＝log a t为增函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f（）＝＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，若f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，则f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），则f（b﹣2）＞f（2﹣2b），则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，解得：b∈（，）【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）解不等式得出x的范围，从而得出函数f（x）的定义域；（2）将﹣x代入函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出答案；（3）在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，作差f（x1）﹣f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的单调性得出差值f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得出函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，再利用同样的方法可得出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．【答案】解：（1），零和负数无对数，，可得x＜﹣1或x＞1，则定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，＝，因此，函数f（x）为奇函数；（3）函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数，下面利用定义来证明．先利用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．任取x1＞x2＞1，则＝＝，∵x1＞x2＞1，则x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1，此时，g a1＝0，即f（x1）＜f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，同理可证函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上也为减函数．【点睛】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣1，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量x1，x2，且设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
高中数学2.2.2对数函数及其性质(3)学案新人教A版必修1
2. 2. 2 （3）对数函数及其性质（学生学案）（内容：指数函数与对数函数的关系）表例1 ：在同一坐标系中，作出函数 y 2与y log 2 x 的图象,并观察两图象之间有何关系。
例2 :求下列函数的反函数：（1）y=3X ； （ 2）y=lnx ； （ 3）y= - ； （ 4） y xx小结：求函数的反函数的步骤：（1）求定义；（2）反解；（3）互换 性质：反函数的定义域就是原函数的值域。
变式训练1 ：在同一坐标系中，作出函数y G )x 与 y2log 2 X 的图象，并观察两图象之间有何关系。
变式训练2 :求下列函数的反函数：(1) y=x+1; (2) y= e x ； (3)y= log 2(x 1) 例3 :作出下列函数的图象： (1) y=|lgx| ; (2) y=lg|x| 变式训练3 :作出下列函数的图象： (1)y =| log 1 x | ; (2) y=ln|x| ; (3)y= 2M 2例4 :解下列不等式： 2(1)log 1(2x 1)0； (2) log,2x 1) 0 ； (3)log 1(2x 1) 0 ； (4)log 2(x x) 12 2 2 2(5) log 2(x x) 1 变式训练：解下列不等式： 2 2 2(1) log 2(x 2x)3 ； (2) log 2(x 4x) 5 ； (3) log 1 (x 2x) 13布置作业： A 组： 1、在同一坐标系中，作出函数 y=lgx 与y 10x 的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。
2、求下列函数的反函数 V1 (1) y=2x+3 ； (2) y=ln(x+1) ； (3) y=10 - 3、解下列不等式: (1) lg(x2 3x) 1 ； (2) log 1 (x 28x) 3 2； (3) logN 1)1；2x4、判断下列函数的奇偶性 1 x (1) y log 3 ； (2) y=log a |x| ； (3) y=2|x| 1 x B 组： 3 1、(tb0218719)若a>0且a 1，且log a <1，则实数 a 的取值范围是( 43 (A ) 0<a<1 (B)0<a< (C) a> 4 2、函数 y l°g 2(x x 1)(x 3 3 或 0<a< (D)0<a< 4 4 R)的奇偶性为[ ] 3 或 a>14 A.奇函数而非偶函数 B •偶函数而非奇函数 C •非奇非偶函数 D •既奇且偶函数。
对数函数的性质及其应用.习题课2.2
2
5
如图所示，在(1,+∞)内，前者在后者的下方，
∴ log 1 3 log 1 3 .
2
5
（3）由对数函数的性质知，log 1 0.3 >0, log20.8 <0,
3
∴ log 1 0.3 > log2 0.8 .
3
【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：
（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比 较；
• 2．对数函数的图象与底数大小的比较 • 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函 数图象交点的横坐标为相应的底数． • 故 0<c<d<1<a<b. • 由此我们可得到以下规律： • 在第一象限内从左到右底数逐渐增大． • 底大图低
学点一 比较大小
比较大小：
（1）log 1
2
4
5 ，log 1 2
当0<x<1时，y>0； 当x>1时，_y_<_0_
在(0，＋∞)上为增__函__数__ 在(0，＋∞)上为_减__函__数__
【常用结论】 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝log1ba； (2)logambn＝mn logab. 其中 a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1，m，n∈R.
6 7
；
（2）log 1 3,
log 3; 1
2
5
（3）log 1 0.3, log 2 0.8 .
3
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
【解析】（1）∵函数y= log 1 x
在(0,+∞)上递减，又∵ 4 6
2
,
57
∴
log 1
人教版高中数学2 对数函数及其性质(第3课时) 教育课件
必须满足11≤ ≤xx2≤≤99，， 即 1≤x≤3.
∴0≤log3x≤1.∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13. 当 log3x＝1，即 x＝3 时，y＝13. ∴当 x＝3 时，函数 y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值 13.
换底公式：logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0) 【对数运算性质】P84 11.设函数 f(x)＝ logax(a＞0 且 a≠1)，若 f(x1x2…x2016)＝8，则 f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 016)的值等于________.
【解析】∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 016) ＝logax21＋logax22＋logax23＋…＋logax22016
2
提 示 ： f ( x ) log 1 x，
4
故
f
(x0)
lo g
1 4
x0=
1， 2
x0=(
1 4
1
) 2=2
三、例题讲解
例9、溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为 pH= - lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单 位是摩尔/升。
(1)根据对数函数的性质及上述pH的计算公式， 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化 关系；
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
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2.若lg2=a，lg3=b，则log512=_______。
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2009年下学期
三、有关对数不等式与对数方程 3、解不等式与方程
(1) lg x lg( x 3) 1
(2)log2 ( x 1) 2 log2 ( x 1)
湖南长郡卫星远程学校 制作 06 2009年下学期
对数函数及其性质 —— 习题课
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2009年下学期
1.有关对数函数图象的平移变换
x3 [例1]为了得到函数y= lg 10
的图象，
只需把函数y=lgx的图象 (
)
A. 向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B. 向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C. 向左平移3个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移3个单位，再向下平移1个单位
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2.有关分段函数中已知函数 值求自变量的值
[例2]
已知函数 若
f ( x) 2, 则 x ____ .
制作 06有关对数函数的分段函数中已知自变 量值求函数值
[例3]
已知
则
f ( f (2)) _____.
作业：
1、精讲精练：
借题发挥 1、4、[ 2 、5（1）]。
2、若 用
3 2,则 log3 8 2log3 6
a
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a 的代数式了表示为_____.
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习题讲解
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一、有关对数运算
1.化简与求值：
1 2 2(lg 2) lg 2 lg 5 (lg 2) lg 2 1 2
2
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二、有关换底公式