湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案
2017届湖南省长沙市高三上学期第12次周测数学(文)试题8
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B = ð（ ） A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,42.若复数z 满足71i i z+=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -3.已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x R ∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数4.已知向量(,2)a m = ，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅= ，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A ．34B ．6C ．42D ．325.一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643D ．3236.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，6b =，6A π∠=，则B ∠=（ ）A ．4πB ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π7.函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）8.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120B ．110C ．10D ．209.执行如图所示的程序框图，输出的n 值是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．210.已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和a 两数间插入2015个数，使之与1，a 构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ）A ．20152B ．20153C ．201523 D ．20152211.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A -，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ） A ．(52):5-B ．2:5C ．1:25D ．5:(15)+12.已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,22)-∞B ．(,22]-∞C ．(0,22]D ．(22,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．14.已知实数x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则12()4y x ⋅的最大值是 ．15.设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16.已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2224S a b c +=+，则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，111a b ==，且3336b S =，228b S =（*n N ∈）．（1）求n a 和n b ；（2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点．（1）证明：直线//MN 平面ABCD ；（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，3PA =，1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．19.某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童非留守儿童总计（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：20()P K k ≥0.050 0.010 0k3.8416.63520.在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求证：12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由． 21.已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．22.已知曲线21()f x e x ax=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=． （1）讨论()y f x =的单调性；（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．高三周考卷（十二）数学（文）试题答案一、选择题题号 123456789101112答案 A A A A B B A C DC D B二、填空题13.17(62)3- 14.64 15.1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦16.4π三、解答题17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++…． 18.解：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ，∵//MR AD ，//NC AD ，12MR NC AD ==， ∴//MR NC ，MR AC =，∴四边形MNCR 为平行四边形，∴//MN RC ，又∵RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴//MN 平面PCD ．（2）由已知条件得1AC AD CD ===，所以34ACD S ∆=， 所以111328A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=．19.解：（1）列联表如下：幸福感强 幸福感弱总计 留守儿童 6915非留守儿童 18 7 25总计24 16 40∴2240(67918)4 3.84115252416K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯． ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，3b ．“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共10个．事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个．故63()105P A ==． 20.解：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,4,my x y x =-⎧⎨=⎩得2480y my --=，∴128y y =-， 因此有128y y =-为定值．（2）设存在直线l ：x a =满足条件，则AC 的中点112(,)22x y E +，2211(2)AC x y =-+， 因此以AC 为直径圆的半径221111(2)22r AC x y ==-+21142x =+，E 点到直线x a =的距离12||2x d a +=-， 所以所截弦长为2222112122(4)()42x r d x a +-=+--22114(22)x x a =+-+- 214(1)84a x a a =--+-．当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =． 21.解：（1）()(1)x f x x k e =-+，由'()0f x =，得1x k =-； 当1x k <-时，()0f x <；当1x k >-时，()0f x >；∴()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值．（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增，∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．（3）()(221)x g x x k e =-+，∴'()(223)x g x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-， 当32x k <-时，'()0g x <； 当32x k >-时，'()0g x >， ∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x eλ-=-≥最小值；又32()2k g x eλ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k ek --≥，故2e λ≤-．- 11 - 22.解：（1）由条件可得221'(1)1f e e a=-=-，∴1a =， 由21()f x e x x =+，可得2222211'()e x f x e x x -=-=， 由'()0f x >，可得2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1x e <-； 由'()0f x <，可得2210,0,e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或10x e <<． 所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e上单调递减． （2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>， 由()ln kf s t t ≥，可得ln ()t t k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立， 即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值． 由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，故()f s 的最小值为1()2f e e =，由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立，所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==， 所以只需122e k e ≥=， 所以实数k 的取值范围是1[,)2+∞．。
湖南省高二12月联考数学(文)试卷Word版含答案
浏阳一中醴陵一中南方中学 2017下学期高二年级联考文科数学总分：150分时量：120分钟考试时间：2017年12月12日命题人：审题人：一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（）A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题C．“⌝p”为真命题 D．“⌝q”为假命题2．椭圆的离心率为（）A．B． C．2 D．43．下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则⌝p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．4．在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．365．已知函数f（x）=xe x，则f′（2）等于（）A．e2 B．2e2 C．3e2 D．2ln26．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B． C． D．2x±y=07．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b| C． D．8．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A．11万件 B．9万件 C．6 万件 D．7万件9．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B． C． D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）二．填空题（共4小题，每题5分）13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为．14．已知 m＞0，n＞0且n+2m=4，则+的最小值是．15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．16．f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是．三．解答题（共6小题，总共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣12x．（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．18．在等差数列{a n}中，a1=﹣2，a12=20．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．19．某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的方程．21．已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为抛物线C上第一象限的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．（Ⅰ）求抛物线的C的方程；（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为y A、y B、y E，求的值；（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考文科数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）12.【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．二．填空题（共4小题）13．914．15．16．[﹣2，+∞）16.【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，故g（x）在（0，1]递增，g（x）max=g（1）=0，若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），只需f（x）min≥g（x）max即可；故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，故h（x）max=h（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．三．解答题（共6小题）17.【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．18.【解答】解：（Ⅰ）因为a n=﹣2+（n﹣1）d，所以a12=﹣2+11d=20．于是d=2，所以a n=2n﹣4．（Ⅱ）因为a n=2n﹣4，所以．于是，令，则．显然数列{c n}是等比数列，且，公比q=3，所以数列的前n项和．19【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，（2）这5组的人数比为0.02：0.08：0.09：0.03：0.03=2：8：9：3：3，故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．20【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，则：①椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1 ②由①②得：a2=4 b2=3椭圆C的方程：③（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④联立③④得：3（x+b）2+4x2=12整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0∴∵|AB|===解方程得：b=±2 ∴直线l的方程为：y=x±2故答案为：（1）（2）直线l的方程为：y=x±221.【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），即有抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）设，，∵|AF|=|DF|∴，∴，∴直线AD 的方程为，1）当()()()则时，6921212-=,B ,-,E ,,A t 2=--EA BA y y y y2）当时，2≠t 直线AE 的方程为，由，可得∵y A =t ，∴，由，可得∵y A =t ∴∴；综上所得2=--EA BA y y y y （Ⅲ）直线l 1方程为y=﹣x ﹣， 令x=﹣1，可得Q （﹣1，﹣），y E =，取AE 的中点G ，QG ∥x 轴，则S △AQE =|QG |•|y A ﹣y E |， |QG |=（++2）=（+）2，即有S △AQE =（t +）3≥•（2）3=4，则S △AQE 的最小值为4，当且仅当t=2取等号．22.【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），，若a ≤0，则f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 若a ＞0，则由f′（x ）=0，得x=， 当x ∈（0，）时，f′（x ）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[）．。
湖南省湘中名校教研教改联合体2017届高三12月联考数学(文)试题
+ n 的取值范围是
.
的最大值为
n+1 , 优值 Hn =2 记数列 { 的前n 项和为Sn , 若S 则实数k a k n} S nnɤ 5 对任意的n 恒成立 ,
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本卷包括必考题和选考题两部分 . 第1 每个试题考生都必须作答 . 第2 3~2 1 题为必考题 , 2
第Ⅱ卷( 非选择题 , 共9 0分)
.
ì yɤx-1 ï ï , , 已知实数 满足 则x 的最小值是 1 4 . xy xɤ3 . í y ï ï x+5 î yȡ4 2 2 , , ) ) 则m 1 5 . 已知 m>0 n>0 若直线 ( m+1 x+ ( n+1 x-1) +( y-2=0 与圆 ( y-1)=1 相切 ,
请考生在第 2 如果多做 , 则按所 做 的 第 一 题 记 分 . 答时用2 2㊁ 2 3 两题中任选一题做答 , B铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 . ʌ 本小题满分 1 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ɔ 2 2 .( 0 分) 1 , ì ï x=1+ t ï 2 x=c o s θ, : ( , ( 已知直线l 曲线 C t 为参数 ) θ 为参数 ) . í 1: i n θ, y=s 3, ï = t y ï 2 î ( ) 设l 与C1 相交于 A, 求| 1 B 两点 , A B |;
【湖南省长沙市】2017届高三年级统一模拟考试文科数学试卷及答案解析
故 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增；
而 ，
故 ， 或 ，
所以 ．（12分）
22．解：（1）由 知 ，
故曲线 的直角坐标方程为： ．
将 ， 代入 知
曲线 的直角坐标方程为 （5分）
（2）曲线 是圆心为 ，半径为1的圆，
故P点坐标为 ，代入 求得
．（10分）
23．解：（1）当 时， ，
故 的最小值为2，当且仅当 时取到最小值．（5分）
8．某同学为实现“给定正整数 ，求最小的正整数 ，使得 ”，设计程序框图如下，则判断框中可填入（）
A． B． C． D．
9．若 ， ，则 的最大值与最小值之和是（）
A．0B． C．2D．6
10．函数 的图像大致为（）
A．B．Байду номын сангаас．D．
11． 中， ， ，则 的周长为（）
A． B．
C． D．
12． 、 分别是双曲线 （ ， ）的左顶点和右焦点， 、 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 、 ， 为坐标原点， 与 的面积之比为 ，则该双曲线的离心率为（）
因为 是直径，所以 ，或 、 均在坐标原点．
因此 ，而 ，
故有 ，即 ，（3分）
另一方面，设 是曲线 上一点，
则有 ，
中点纵坐标为 ，
故以 为直径的圆与 轴相切．
综上可知 点轨迹 的方程为 ．（5分）
（2）设直线 的方程为 ，
由 得：
设 ， ，则有 ．（8分）
由 对 求导知 ，
从而曲线E在P处的切线斜率 ，
湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试文科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(全优试卷)湖南省长沙市高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
湖南省长沙市2017届高三12月联考数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{|A x x =≥2}，1{|0}4x B x x -=>-，则A B =（ ） A ．∅ B ．[2,4)C ．[2,)+∞D ．(4,)+∞（2）已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ） A ．1BC ． 2D．（3）已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分且不必要条件（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）AB ．C1 D1（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）正视图侧视图俯视图A BCD PA ．272π B ． 27π C．D（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．A ．4B ．6C ．8D ．12（7）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） AB ．2C．1D．2（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 （9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i <（10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m 时，n S 与n a 的大小关系是（ ）A ．n S ＜n aB ．n S ≤n aC ．n S ＞n aD ．大小不能确定（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ．0 C ．12D ．1（12）已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．⎛-∞ ⎝ B．(-∞C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知直线:0l mx y ++=与圆22(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________． （14）在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）． （15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，6π 512π 1-1到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c --= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，2AD =，求ABC ∆的面积．（18）（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（I ）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进ABD行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．（I ）求证：AB PC ⊥；（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．PBCDMA（20）（本小题满分12分）如图，设点,A B的坐标分别为(0)，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．（21）（本小题满分12分），函数31()||3f x x x a =+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，则1a Aq B =+，22a Aq Aq =-，323a Aq Aq =-，由3221a a a a =，得A B =-．选B ．4．命题依据：几何概型．答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB ，易得121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB1．5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为2，从而计算得表面积为24()272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．答案：C ．由已知22b c a=，即2220c ac a --=，得2210e e --=，解得1e =故选C ．8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120． 9．命题依据：算法，程序框图． 答案：D ．ABD P CP 1 P 210．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++，显然n n S a >．故选C ．11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()sin(2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．答案：B ．由题意得即方程()221ln 2x x e x x a -+-=++有正根，即()1ln 2x e x a --=+有正根， 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象，则可知0x =时，()1ln 2x a +<故a <B ．13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．答案：3m =．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =，所以212+=，解得3m =． 14．命题依据：二项式定理的应用．答案：223355(1)2(1)10C C -+-=-．15．命题依据：线线角，面面垂直．答案：14． 16．命题依据：数学应用，数学建模．答案：(1L +．思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故22()2t v v v L ''-=，可得222()2t v v v tL ''-=．即22()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=+，传令兵所走的路程为(1L ． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为Lv v '+，则易得 L L Lv v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v'=，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L +．17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c --= ，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分（II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==．……12分18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知， 3()5P A =．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．……6分（II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用． 【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD ==BC =可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ． 过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则M G N ∠是二面角M AC D --的平面角．因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，A DBCAN =在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -∆=⋅，则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得h =．……10分 在Rt BMN ∆中，可得BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A，C，(0,D ，(0,0,2)P，B，(0,2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M的坐标为(0,,22)t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n mn ⋅<>===解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,n =-，(BM =-．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin |cos ,|n BM θ=<>=．……12分20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。
【数学】湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题数学文Word版含答案
【关键字】数学六校联盟高三年级联考试卷文科数学试题时量：120分钟分值：150分命题人：周流金（醴陵一中）张先祥（浏阳一中）彭小飞（株洲二中）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A．1 B．C．D．2．已知集合，，则( )A． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（）A．4 B．．D．4．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（）A．0 B. ．2 D．36．已知等比数列为递加数列．若a1>0，且2(an＋an＋2) ＝5an＋1，则数列的公比q＝（）A．2或 B. ．D．-27．若,则,则的值为（）A．B．C．D．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．B．C．D．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（）A．B．C．D．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（）A．B．C．D．11．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届湖南省长沙市长郡中学高三入学考试数学(文)试题(答案详解版)
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤2.设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i - 3.已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B ．62 C ．3 D ．1024.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．255.在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 6.将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）7.某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm8.已知点(1,2)-和33在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ9.若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ） A ．114 B ．10 C ．150 D ．5010.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 21B 2C 21D 3111.已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 12.若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .14.若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .15.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .16.若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x xe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知31,2,()2a b f A ===，求角C . 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =. （1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,23).（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.详细答案1.A【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知,,故选A.2.B【解析】本题主要考查复数的基本运算.=,故选B.3.C【解析】本题主要考查平面向量的线性运算和向量的模. ,=====,故选C.4.A【解析】本题主要考查几何概型.根据题意,,所以点所在的平面区域是一个面积为15的长方形,而满足的点所在的平面区域是一个面积为的直角梯形,所以的概率为,故选A.5.B【解析】本题主要考查流程图.由流程图可知,,故选B.6.D【解析】本题主要考查余弦函数的图象. 将函数的图象向左平移个单位后得到,故选D.7.B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由三视图可知,该几何体为四棱锥,其底面是边长为5的正方形,高为,所以体积为,故选B.8.D【解析】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点和在直线的同侧,所以,解得,所以直线斜率,所以直线倾斜角的取值范围是,故选D.【解析】本题主要考查几何概型. 不等式组表示的区域是一个三角形,其面积为,不等式表示的区域的面积即为圆的面积,等于,区域和区域的相交部分是一个整圆去掉一个弓形,其面积为,所以落入区域中的概率为,所以向区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域中芝麻约为,故选A.10.A【解析】本题主要考查双曲线和抛物线的性质.根据题意,,设双曲线的另一个焦点为,则,因为为直角三角形,所以,根据双曲线的定义,,所以,所以双曲线的离心率为=,故选A.11.A【解析】本题主要考查数列求和.由条件可知,当时,,当时,,所以===,故选A.12.D【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意知,因为函数的导函数在区间上有零点,所以令则,又,所以,令,解得,即函数的单调递增区间为,因为所以与题意相符,故选D.13.2【解析】本题主要考查导数运算.,所以,故答案为2.【解析】本题主要考查简单的线性规划.先画出不等式组所表示的平面区域,由图象可知,当直线过的交点时取得最大值,代入可得最大值为4,所故答案为4.15.【解析】本题主要考查抛物线和双曲线的方程和性质.设与轴的交点为D,则=, ,所以点的坐标为,又点在双曲线上,所以,解得,故答案为.16.①④⑤【解析】本题主要考查函数的性质.对于①,显然存在对,使得恒成立,所以①是有界的;对于②,该函数为奇函数,定义域为,当时,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;对于③,由于其值域为,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;对于④,设,则,故存在对,使得恒成立,所以④是有界的;对于⑤,其中,由于函数是闭区间上的连续函数,故必存在,对,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案为①④⑤.17.(Ⅰ)f(x)=2sin x·+cos xsin φ-sin x=sin x+sin xcosφ+cos xsin φ-sin x=sin xcosφ+cos xsin φ=sin(x+φ).因为f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,故sin φ=1.又0<φ<π,所以φ=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=sin(x+)=cos x.因为f(A)=cos A=,且A为△ABC的内角,所以A=.由正弦定理得sin B==,所以B=或B=.当B=时,C=π-A-B=π--=,当B=时,C=π-A-B=π--=.综上所述,C=或C=.【解析】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查考生的运算求解能力,考查分类与整合的数学思想.第一问实际上就是通过三角恒等变换把函数转化为一个角的三角函数,然后根据三角函数的性质即可解决;第二问在第一问的基础上根据给出的条件可以求出角A或角A的一个三角函数值,这样就把问题转化为在三角形中已知两边及一边的对角,解这个三角形.18.(1)过点作,由平面平面可知,即点到面的距离,在正中,,即点到平面的距离为.(2)∵,所以点到平面的距离即点到平面的距离,而,所以.【解析】本题主要考查空间中垂直的证明和距离的求解. (1) 过点作,由平面平面可知,即点到面的距离;(2)确定点到平面的距离即点到平面的距离,利用的范围即可求出的取值范围.19.(1)因,所以,所以,,.中位数位于区间,设中位数为,则,所以,所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次.(2)由题意知样本服务次数在有20人,样本服务次数在有4人,如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人,则抽取的服务次数在和的人数分别为:和.记服务次数在为,在的为.从已抽取的6人任选两人的所有可能为:,,,共15种,设“2人服务次数都在”为事件,则事件包括共10种,所有.【解析】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型. (1)先根据频率分布表的第一行求出的值,接着就可以依次求出的值,再根据频率分布直方图中中位数两边的面积相等就可求出中位数;(2)根据分层抽样的原则,先求出样本服务次数在和的人数,再求出从这6人中选2人的方法总数和2人服务次数都在的方法数,进而就可求出从这6人中选2人,2人服务次数都在的概率.20.(1)由已知可得,又,解得,故所求椭圆的方程为.(2)由(1)知,,设,所以,因为在椭圆上,所以,即,所以.又因为,所以.()由已知点在圆上,为圆的直径,所以,所以)由()()可得,因为直线有共同点,所以三点共线.【解析】本题主要考查直线和圆锥曲线. (1)由椭圆性质和求得,即可得到椭圆的方程;(2)要证三点共线,只需证直线斜率相等.设,求得,根据的关系证明结论即可.21.(1)因为,令,即,所以,同理,令,可得,所以的单调递增区间为,单调减区间为.(2),Ⅰ．当时,在上单调递增,,所以,舍去. Ⅱ．当时,在上单调递减,在上单调递增,①若在上单调递增,,所以,舍去,②若在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.③若在上单调递减,,所以,舍去,综上所述,.(3)由题意得:对任意恒成立,即对任意恒成立.令,则,令,则,所以函数在上单调递增,因为方程在上存在唯一的实根,且,当时,,即,当时,,即.所以函数在上递减,在上单调递增.所以所以,又因为,故整数的最大值为3.【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. (1)先求出函数的导函数,令求出增区间,令求出减区间,进而就可得到函数的最小值;(2)求出函数的导函数,通过对和分别讨论得到函数的单调性从而求出函数在上的最小值,然后令其等于即可求出的值;(3)先将不等式变形为,令,对其求导,得到其单调性,求出其最小值,从而就可求出的取值范围,进而得到的最大值.22.(1)∵的平分线与圆交于点∴,∵,∴,∴,∴.(2)因为四点共圆,所以,由(1)知,,所以.设,因为,所以,所以,在等腰三角形中,,则,所以.【解析】本题主要考查直线和直线平行的证明、圆内接四边形的性质. (1)通过证明内错角相等得到;(2)由四点共圆可得,然后利用三角形内角和为计算出的值.23.(1)直线的普通方程为的普通方程为,联立方程组,解得与的交点为,则.(2)曲线为为参数),故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【解析】本题主要考查参数方程. (1)将直线和曲线的参数方程都化为普通方程,并联立两个方程,求出交点坐标,利用两点间的距离公式便可求出;(2)根据坐标变换得出曲线的方程,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的最值便可得到点到直线的距离的最小值.24.(1),∴,∴,.(2)由(1)知,,的图象如图:要使解集非空,或,∴.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法. (1)由解得,结合不等式的解集即可得到的值; (2)不等式整理可得,令画出的图象,结合图象,要使解集非空,需满足或,解之得到的取值范围.参考答案一、选择题 ABCAB ABDAA AD 二、填空题13. 2 14. 4 15. 23 16.①④⑤ 三、解答题17.（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+（2）因为3()2f A =，所以3cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=. 又因为1,2a b ==，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=， 也就是sin 12sin 222b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 18．（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，3BF =B 到平面DCP 3（2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而[2,MP ∈，所以sin BF MP α=∈. 19．（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==.20．（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.21.（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.（2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去， ②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立.令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 22.（1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因此,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=，所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.23.（1）直线l 的普通方程为3(1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为13(1,0),(,2A B ，则||1AB =.（2）曲线2C 为1cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是13(cos ,sin )22θθ，从而点P 到直线l 的距离是33|cos sin 3|322[2sin()2]244d θθπθ--==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d 取得最小值，且最小值为6(21)4-. 24.（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-， ∴{|330}k k k k ><=或或.。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第12次周测文数试题解析(解析版)含解斩
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集为R ,集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =（）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,4 【答案】A考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 2。
若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．D ．i - 【答案】A 【解析】 试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足71i i z+=,所以()1,1i i i i z i z+=-∴=-，所以复数的虚部为，故选A.考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算。
3.已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x R ∈，则()f x 是（ )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】A 【解析】 试题分析:()()(cos2cos sin 2sin )sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x x x x =+=-==1sin 22x ,由周期公式可得T π=,且()()11sin 2sin 222f x x x -=-=-,即函数()f x 奇函数，故选A.考点：1、正弦函数的奇偶性及周期性；2、两角差的余弦公式及正弦的二倍角公式。
14.已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=,点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ )A ．34B ．C ．42D ．32【答案】A考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系。
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湖南省长沙市2017届高三12月联考数学（文科）时量：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|124}x P x =≤<，{1,2,3}Q =，则P Q ⋂=（ ） A ．{1}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．“0a =”是“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若向量数量积a ·0b <则向量a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ） A ．(0,)2πB ．[0,)2πC ．(,]2ππD ．(,)2ππ4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n m -的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（ ） A ．72 B ．88 C ．92D ．986．执行右图所示的程序框图，则输出的a 值为( ) A ．3-B ．13C ． 12-D ．27．已知函数(4)2()22()2x f x x f x e x f x x ->⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2017)f -= ( )A ．1B ．eC ．1eD ．2e8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（ ）A ．96+B ．6)96π+C ．4)64π+D ．4)96π+9．已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ）A B ． C ．4 D ．810．函数2(2)(1)x x e y x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．A ． 102r L << B ．112rL≤< C ． 02r L <<D ．1rL≤<12．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ）A ．13[,]44B ．1[,1]4C ．[1,3]D ．1[,]3+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13．数列11111,3,5,7,24816的前n 项和n S 为 ．14．已知x 为三角形中的最小角，则函数sin 1y x x =+的值域为 ． 15．某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为 元．16．设1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的面积为S ，且BA CA S ⋅=． （1）求tan A 的值； （2）若4B π=，6c =，求△ABC 的面积S ．18．（本小题满分12分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润． （1）求y 关于x 的表达式； （2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与ADEF 是边长均为a 的正方形，四边形ABGF 是直角梯形，AB AF ⊥，且24FA FG FH ==。
（1）求证：平面BCG ⊥面EHG ；（2）若4a =，求四棱锥G －BCEF 的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的离心率为35，过.左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点(,0)P m 为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，证明：22||||PA PB +为定值．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，R a ∈. （1）当0=a 时，求函数）x f (在))1(,1(f 处的切线方程； （2）令)1()()(--=ax x f x g ，求函数)(x g 的极值；（3）若2-=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明：21521-≥+x x ．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 6sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q ． （1）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （2）若弦长4PQ =，求直线l 的斜率． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．2112nn+-14．1,3]15．21000161三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)解：（1）由BA CA S⋅=得AB AC S⋅=．设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为,,a b c．则有1cos sin2bc A bc A=1cos sin2A A⇒=，故tan2A=．…………………………4分（2）由（1）中tan20A=>知2Aπ<<，则sin cosA A==． (6)分可得sin sin()sin cos cos sin22C A B A B A B=+=+==……………8分由sin sinc bA B=可得sinsin210cb BC=⋅===10分故11sin61222S bc A==⨯=．………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（1）(83)5(19),(83)19(43)(19)76(19).x xx y x xx -=≤⎧=⎨-⨯+-⨯-=+>⎩……………………6分（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天．………………………………………………8分 销量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，销量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(,)a b ，(,)a c ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c A ，(,)c B ，(,)A B ，共10种情况．………………………………………………………………10分其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为110．……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）连接BH ，由3,4AH a AB a ==可知54HB a ==；HG ==；2GB ==，可得222HB HG GB =+，从而HG GB ⊥．………………………………………3分 ∵,DA AF DA AB ⊥⊥， ∴DA ABGH ⊥面，又∵//CB DA ，∴CB ABGF ⊥面，∴CB HG ⊥，∴HG BCG ⊥面，∵HG EHG ⊂面，∴EHG BCG ⊥面面．…………………………………………6分 （2）过B 作AF 的平行线交于FG 的延长线于点P ，连接AP ，FB 交于点O ．过G 作GK FB ⊥，则1122GK PO ⨯＝＝8分可得四边形BCEF 的面积4S ⨯＝10分故13233G BCEF V ⨯－＝＝．…………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由2222355232453c e a a bb ac a b c ⎧==⎪=⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎩，可得椭圆方程2212516x y +=．…………………4分 （2）设l 的方程为54x y m =+，代入2212516x y +=并整理得： 2225208(25)0y my m ++-=．………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211141||()16PA x m y y =-+=， 同理22241||16PB y =．……………………………………………………………………8分 则22221241||||()16PA PB y y +=+2121241[()2]16y y y y =+- 2241416(25)[()]4116525m m -=--= 所以，|P A |2＋|PB |2是定值．……………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）当0=a 时，x x x f +=ln )(，则1)1(=f ，所以切点为)1,1(，又11('+=xx f ），则切线斜率21('==）f k ， 故切线方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x .………………………………………3分 （2）1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x a ax x ax x f x g ， 则xx a ax a ax x x g 1)1()1(1)('2+-+-=-+-=，……………………………………4分当0≤a 时，∵0>x ，∴0)('>x g .∴)(x g 在),0(+∞上是递增函数，函数)(x g 无极值点，………………………………5分当0>a 时，xx a x a x x a ax x g )1)(1(1)1()('2+--=+-+-=，令0)('=x g 得ax 1=. ∴当)1,0(ax ∈时，0)('>x g ；当),1(+∞∈ax 时，0)('<x g .因此)(x g 在)1,0(a 上是增函数，在),1(+∞a上是减函数. ……………………………7分 ∴a x 1=时，)(x g 有极大值a aa a a a a a g ln 2111)1(121ln )1(2-=+⋅-+⨯-=. 综上，当0≤a 时，函数)(x g 无极值；当0>a 时，函数)(x g 有极大值a aln 21-.……………………………………8分 （3）证明：当2-=a 时，x x x x f ++=2ln )(，0>x .由0)()(2121=++x x x f x f ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x ，从而)ln()()(212121221x x x x x x x x -=+++ 令21x x t =，则由t t t ln )(-=ϕ得：tt t t 111)('-=-=ϕ， 可知，)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增. ∴1)1()(=≥ϕϕt ，∴1)()(21221≥+++x x x x ， ∵01>x ，02>x ，∴21521-≥+x x 成立. ………………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）由4cos 6sin ρθθ=-，得.24cos 6sin ρρθρθ=-将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，代入可得22460x y x y +-+=，配方，得：22(2)(3)13x y -++=，所以圆心为(2,3)-，…………………………5分（2）由直线l 的参数方程知直线过定点(4,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为l 的方程为(4)y k x =-．因为4PQ =3=，解得0k =或125k =-.………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：(1) ∵1,()1|1|2|1|1a f x x x =>⇔--+>，111112(1)112(1)112(1)1x x x x x x x x x ≤-<≤->⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎩⎩⎩－或或 22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或， 故解集为2(2,)3--．……………………………………………………………………5分 （2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立， ()()max min 5132152422x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<- 故a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分。