湖北八校高三第一次联考——理数word

4•设 6B)I2,2). p: 2x 1 1 , q: (x a)[x(a 1)]q 是p 的必要而不充分条件，则实数黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中鄂南高中2010届高三第一次联考 理科数学试题（含答案）考试时间：2009年12月24日下午15 : 00 — 17 : 30本试卷分为第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷包括第一、二、三大题为选择题，第n 卷包括第四、五、六、七大题为非选择题，全卷共 8页。

满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1 •答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3 •非选择题的作答：用 0 • 5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域 内。

答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.0.3.2.若 a b0, 则下列不等式中不一定. 成立的是(B)1 A •—1B •1 1C •a ■- bD • 1 a I > ba babb提示：B 中ab 0,b 0, (a b)b0,2b a ，而a b 0时2b a 不-疋成立3 •已知集合 A y| y2x 2x 1,x R , By|y x1—,x xR 且 x 0 ，则(gB)l A( D )A • ( 2,2]B •[2,2) C.•[ 2,) D •(2,2)提示：Q Ay|y 2,By| y 2或 y 2，$By| 2 y 2 ,八校1.某一随机变量的概率分布如下表，且 E 1.5，则m n的值为（ A • 0.3; C . 0.3;D .0.1提示: Q0.2n 0.3 1,0 0.2 1 m 2 3 0.3 1.5 ,m 0.4, n 0.1,a 的取值范围是(A )11 1 1 A -[0,2]B -(0,—)C. (,0]u 〔2, ) D-(,0)u(—,)1提示：由p 得：2 x 1,由q 得：a x a 1，又q 是p 的必要而不充分条件，所以 1 1 a ,且 a 1 1， 0 a —.2 25•已知函数f(x) log 1 (4x 2x1 1)的值域是[0,)，则它的定义域可以是(A )2A • (0,1]B • (0,1)C • ( ,1]D • ( ,0]提示：由函数f(x)的值域为[0,)可得：0 4x 2x 1 1 1 ,0 (2x 1)2 1 ,的周期为，故选B • &已知函数f (x) ax 1 b21 x 2，其中 a 0,1 ,b1,2，则使得f(x) 0在x ［ 1,0］上有解的概率为(A )11 1A • -BC •D • 02341 1提示：任取a,b 的值有C 2 C 24，而由图象可知当a 0 a 1 ,时不满足条件，当b 1b 1定义域不关于原点对称，函数f (x)既不是奇函数又不是偶函数，又函数y |si n2x|的周期为一，去掉的点的周期为 ，所以函数f (x)0 2x 1 1 或 1 2x 1 0,即 0 x 1 或 x 0 •6.已知函数f(x) 2sinx 在区间［§ ,二］上的最小值是 2，贝U 的取值范围为 提示：若7•函数9],2]3C • (, 2]U[?, ］,由图象知:9 )D • (, -] U [6,—或—，所以2 4 236，即 2 ；0 ,同理可得:故选C .f(x)2、2 |sin x cosx| sin(x ) 人是sin x cosx周期为 -的偶函数2B •周期为 的非奇非偶函数C •周期为 的偶函数D •周期为一的非奇非偶函数2提示：Q f (x) | sin 2x |, x k4a 0a 1 1 ,时满足条件，所以概率为丄.b 2b 222与 1(a 0,b 0)的右顶点为 A , P 为双曲线上的一个动点(不是顶b|OP |2与|OQ | I OR I 的大小关系为(A . (0,0)|OP |2 |OQ||OR| B . |OP|2 |OQ||OR||OP |2 |OQ||OR|D .不确定提示: 取特殊点 P(c, )，则直线 aOP 的方程为b 2—x ，又直线AQ 的方程为 acby (x a)，直线 a (虽，卫)，易得 c b c b 10.平面向量的集合 r u AR 的方程为2|OP| |OQ|A 到A 的映射r u r ub-(x a), a解得Q, R 的坐标为| OR |.(若设任意点也可得此结果) 射 f 满足 f (x) f(y) x y 对 x,yf 由f (x) x 2(x a)a 确定，其中rA 恒成立，则a 的坐标不可能 是ac b 2(c b ' c b> 'a 为常向量.若映u 提示：令y x ，则 f(x) f(x) x [x2(x a)a]2r 2 r r 2 x 4(x a)2 4[(x a)a]2 2 2即 4[(x a)a] 4(x a) 0 ,2 2 (x a) (a 1) 0, a 0或|a | 1，故选B . 、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分. 11.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况, 将所得的数据整理后， 画出了频 率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为 1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 —48 提示：由图可知前 3组的频率为0.75，所以第2组 2 的频率为 0.75，学生人数为12 0.25 48 .6 12 .如图，在 ABC 中，AH uuuu uuu uuur AM AB AC ，则 BC 于H , M 为AH 的中点，若2 _■0.0375 0.01259•设双曲线2x ~~2 a点)，从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线 OP 分别交于Q,R 两点，其中O 为坐标原点，则 C .提示：uur juj uurQ B,H ,C 三 点共线，AH t 1 AB t2AC ，且 t 1 t 2 1 ，又UUL U 1 unr t -AH 丄UJ U t ujur 空AC , 1(t t ?)1AM AB2 22r2 •13•将抛物线a(x 3)2y 4 0(a 0)按向量v ( 3,4)平移后所得抛物线的焦点坐标r提示：抛物线a(x 3)2 y 40(a 0)按v(3,4)平移后得抛物线的方程为：2y xa所以其焦点坐标为 1 _(0, ) •4a14.右等差数列a n 的前n 项和为S n ，且a n 310( n 7) , S 714, S n 72，则n12提示：由S 7 14得：a 1 a 7 4 2a 4 ,a 42，又 S n (aia n ) n @ a n 3) n2 272，所以 n 12 •1115.给出定义：若 m x m (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记2 2作x ，即x m .在此基础上给出下列关于函数f (x) x x 的四个命题：1 1① y f (x)的定义域是R ，值域是(1,丄］；2 2② 点(k,0)( k Z)是y f (x)的图像的对称中心； ③ 函数y f (x)的最小正周期为1 ；1 3④ 函数y f (x)在(一，］上是增函数;2 2则其中真命题是__①③•11 “x,x ,(m 0)2 1 2 3提示：依题意知f (x)x 1- x —,(m 1)，画图可知①③正确2 2L三、解答题：本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步16.(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效 )已知等比数列a n中，a1 a,a2 b@ c, a,b,c分别为ABC的三内角A,B,C3的对边，且cosB -.4(1)求数列a n的公比q ；(2)设集合A x N |x22|x|，且a, A，求数列a n的通项公式. 解：(1)依题意知：b ac，由余弦定理得:2 2 , 2 a c bcosB2ac a)(2)q2，代入上式得2或q2-，又在三角形中2a,b,cQ x22|x|, x4 4x20, 2 2x (x 4) 0,N，所以A an(迈)n 1或a n 10分17.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效.)uuu uuu已知O为坐标原点，向量OA(sin ,1),OB (cos ,0), OOC ( sin ,2)，点P 是uuu直线AB上的一点，且点B分有向线段AP的比为1.mu urn (1)记函数f ( ) PB CA，uuu (2)若O, P,C三点共线，求|OA (,)，讨论函数f()的单调性，并求其值域;8 2uuuOB |的值.，设点P的坐标为(x, y)，则:cos sin x 1 y IH v ein,0? "1 少、1 1 1 1(2cos sin ,1)……2分uuu(1) Q PB (sin cos ,1),CA(2sin , 1)2si n cos 1(sin 2cos2)-2s in(2由2(0,5-)可知函数 f ()的单调递增区间为4 41，点P的坐标为uuu uuu 2 PB CA 2sin,0),C( sin ,2),y单调递减区间为(6分f()解：依题意知：A(sin ,1), B(cos8,8)12分12分18. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效 ）2若关于x 的实系数方程x ax b 0有两个根，一个根在区间（0,1）内，另一根在区间（1,3）内，记点（a,b ）对应的区域为S . （1 ）设z 2a b ，求z 的取值范围；（2）过点（5,1）的一束光线，射到 x 轴被反射后经过区域 S ，求反射光线所在直线 I 经过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线 I 的方程.解：方程x 2 ax b 0的两根在区间（0,1）和（1,3）上的几何意义是：函数y f （x ） x 2又A,B,C 三点的值没有取到，所以11 z（2）过点（5,1）的光线经x 轴反射后的光线必过点 （5, 1），由图可知可能满足条件的整点为 （3,1）,（ 3,2）,（ 2,2）,（ 2,1），再结合不等式知点所以此时直线方程为： y 11 （° （x 5）,即y x 43 （ 5）19.（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效 ）所以sin （2-） （,1］，其值域为［.2,1）；（2）由O, P,C 三点共线的 1 ( sin ) 2 (2cos sin ),tan *，310分sin cos sin2sin cos2ta n 1 tan 24 uun 5，|OAOB | 、、 cos )2 1ax b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（0,1）和（1,3）内，由此可得不等式组f(0) f(1) f(3)0 0，即 0b 0a b 10 ，则在坐标平面 3a b 9aOb 内，点（a,b ）对应的区域S 如图阴影部分所示, 易得图中 代B,C 三点的坐标分别为(4,3),( 3,0),( 1,0),(1 )令 z 2ab ，则直线b 2a z 经过点z 取得最小值，经过点 C 时z 取得最大值，即zmin", z max2,（3,1）符合条件,，3)已知函数y f(x)的反函数为y f tx)，定义：若对给定的实数 a(a 0)，函数y f (x a)与y f 1(x a)互为反函数，则称 y f (x)满足“ a 和性质”.(1 )判断函数g(x) (x 1)2 1,x ［ 2, 1］是否满足“ 1和性质”，并说明理由；(2)若F(x) kx b ，其中k 0,x R 满足“ 2和性质”，则是否存在实数 a ,使得2F(9) F cos asinF(1)对任意的 (0,)恒成立？若存在，求出a 的范围；若不存 在，请说明理由.解：(1)函数g(x)(x 1)21,x [ 2, 11］的反函数是g (x).x 1 1 , x [1,2]g 1(x 1) :1,x[0,1]而 g(x1) (x 2)2 1,x [ 3, 2］其反函数为y 2x 1, x [1,2] ,故函数g(x) (x 1)21,x [ 2, 1］不满足“ 1和性质”；..... 6分'' k .................................................................................. ‘ kx 2 b x b 2 k由“ 2和性质”定义可知x 2 b =x b 2k对x R 恒成立，k 1,b R, kk即函数F(x) x b , x R ，在(，)上递减， ................... 9分 所以假设存在实数 a 满足F(9) F (cos 2asin ) F (1)，即1 cos 2 a sin 9对任意t 2 at 8的 0, 恒成立，它等价于2在t 0,1上恒成立.t 2 at 80 ,t 2 at 08 2t 0,1 a t 丁易得a 9.而t 2 at 0知a t 所以a 1•综合以上有当1 a 9使得f cos 2 asin 3对任意的 0, 恒成立 ................... 13分20.(本小题满分14分)(注意：在试题卷上作答无效.)x 2 y 2 222已知椭圆 — 2 1(a b c 0,a b c )的左、右焦点分别为 F 1, F ?，若以a bF 2为圆心，b c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T ,且|PT|的最x b(2)设函数 F(x) kx b 满足“ 2 和性质”，k 0. F1(x)- b,x R, kx 2 b x b 2 k(314小值不小于为(a c).2(1 )求椭圆的离心率 e 的取值范围；(2)设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k(k 0)的直线I 与椭圆相交于 A, B 两点，若OA OB ，求直线I 被圆F 2截得的弦长s 的最大值.解：(1 )依题意设切线长|PT| PF 2I 2 (b c)2 •••当且仅当|PF 2|取得最小值时|PT|取得最小值, 而 | PF 2 |min a c , a c)2 (b 2 .3 be c)尹 c)，0 ；3 从而解得35 子，故离心率e 的取值范围是 (2)依题意Q 点的坐标为 (1,0)，则直线的方程为 k(x 1),联立方程组y 2x~~2ak(x 1)y 2 1 2 2 2 2 2 得(a k 1)x 2a k xa 2k 2 a0 ,设 A(x 1, yj B(x 2, y 2),则有 xX 22a 2k 2 k 2 1 '2. 2 a 2^2 2x 1x 2a k2a，代入直线方程得a k 12yy k [X 1X 2 (花 X 2) 1]a 2) k 2(1 a 2k 2 12 2k a人 X 2 yr—— a kuur umrOB , OA OB 0, %x 2 y 1y 20, k10分直线的方程为 ax y a0,圆心F 2 (c,0)至煩线I 的距离d竽 a|，由图V a 2 1象可知 2d 2|c彳化2;12 I 1----- ，：2c 12c 1 2Q31,- 2c 13, 2S (0宵]，所以S max 呻4141321.（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知曲线C ： y 4X ,C n ： y 4X n （ n N ），从C 上的点Q n （X n ，Y n ）作X 轴的垂线，交C n 于点P n ， 再从点P n 作y 轴的垂线，交C 于点Q n i （X n i , Y n i ），设人 1,a n X n 1X n ,b n y n 1 y n(1) 求数列 X n 的通项公式; (2) 记C n4 37，数列C n 的前n 项和为S n ,试比较S n 与的大小 a n b n 32(n N )；(3) 记d n 3 5n 尹一丁，数列d n 的前n 项和为T n ， 试证明: (2n 1) d n T 2n解:（ 1 ）依题意点 P 的坐标为（X n , Y n 1）， Y n 1 4Xn4X mX n 1 X nn，xnx1Ln1-S1由37_3237一321- \7-29-丄3632(3) Qd n_5^_(4n 1) ，所以易证:d n5dn,当n 2时，d n5 8dn15 2(8)d n 2 5 n 1 (8)d i 5 n Q ，T2n 1 d1d2L d2n 18 (5)2L(|) 2n 1 i[1 A1】，（当n 1时取11分另一方面，当n 2,k 1,2丄2n 1时，有:d k3 5kd2n k 4 [2k (4k 1)2n k5_2n k :~2FT2 (45k2k(4k1) 22n k2n k5(42n k1)3 2 5n4 2n1\ (4k1)(42n k1) 5n2 ■ 4 4142n又Q4k 42n4n, 42n4k,2n k4 2n n n4 2 4 1 (4 1)2,d k d2n 2d n ，T2n 1(2n 1) 2d n (2n2 1) d n .所以对任意的n N，都有（2 n 1) d n T2n 1 i [1(5)2n i 14分。