高中数学第二章参数方程一第二课时圆的参数方程练习新人教A版选修4_4
高中数学第2讲参数方程第2课时圆的参数方程课后提能训练含解析新人教A版选修4_
第二讲第2课时A．基础巩固1．点(1，2）在圆错误!的（）A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关【答案】A【解析】圆错误!化为普通方程为（x＋1)2＋y2＝64，将（1，2)代入左边可得（x＋1）2＋y2＝8＜64,故选A．2．（2017年钦州期末)直线方程为x cos φ＋y sin φ＝2（φ为常数),圆的参数方程为错误!(θ为参数）,则直线与圆的位置关系为()A．相交不过圆心B．相交且经过圆心C．相切D．相离【答案】C【解析】根据题意，圆的参数方程为错误!则圆的普通方程为x2＋y2＝4,圆心坐标为（0，0），半径为2,圆心到直线x cos φ＋y sin φ＝2的距离为d，则d＝错误!＝2,则直线与圆相切．故选C．3．圆(x－r）2＋y2＝r2（r＞0），点M在圆上，O为原点,以∠MOx＝φ为参数，则圆的参数方程为(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】设圆心为O′，M（x，y),连接O′M,∵O′为圆心，∴∠MO′x ＝2φ。
如下图，则错误!4．(2017年乌兰察布校级期中）P（x,y）是曲线错误!(0≤θ＜π,θ是参数）上的动点,则错误!的取值范围是()A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】A【解析】∵曲线错误!（0≤θ＜π，θ是参数）,∴其普通方程为（x＋2)2＋y2＝1(－3＜x≤－1，y≥0）．∴该曲线是以点C（－2,0）为圆心,半径为1的上半圆．设点P(x，y)为曲线上一动点，则yx＝k OP, 当P的坐标为错误!时，错误!有最小值为－错误!，当P的坐标为(－1，0）时，错误!有最大值为0，∴错误!的取值范围是错误!。
故选A ．5．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆错误!（θ为参数)相切,则实数m 的值是______________． 【答案】0或10 【解析】由圆的参数方程可得圆心为（1，－2)，半径为1，直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径，即错误!＝1，m ＝0或10。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程 Word版含答案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cosωt ＝x r，sinωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤25.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程高效演练新人教A版选修4-4(2021年
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第2课时 圆的参数方程[A 级 基础巩固］一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝3＋2sin θ(θ为参数）围成图形的面积等于（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案：D 2．圆x 2＋（y ＋1）2＝2的参数方程为( )A.错误!(θ为参数）B 。
错误!(θ为参数)C 。
错误!(θ为参数)D.错误!(θ为参数）解析:由x ＝错误!cos θ，y ＋1＝错误!sin θ知参数方程为错误!（θ为参数）．答案:D3．已知圆O 的参数方程是错误!（0≤θ〈2π），圆上点A 的坐标是(4,－3错误!)，则参数θ＝（ )A 。
7π6B.错误!C.错误! D 。
错误! 解析：由题意错误!（0≤θ〈2π），所以错误!（0≤θ〈2π)，解得θ＝错误!。
答案：D4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ）A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为错误!（θ为参数)，则x ＋错误!y ＝错误!sin θ＋cosθ＝2sin 错误!，故x ＋错误!y 的最大值为2.答案:B5．直线：3x－4y－9＝0与圆:错误!(θ为参数)的位置关系是( ）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0），半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝错误!〈2。
高中数学 2.1.2圆的参数方程及参数方程与普通方程的互
2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t (t 为参数)． 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t (t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)圆的参数方程与普通方程互化 圆的参数方程应用一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2] 4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)得x 2＋y 2＝4.由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0. 所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，它们的交点坐标为________． 7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________． 8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则 12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ，所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM →＝23AQ →.因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sin θ)，M (x ，y )，得 (x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)，即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ，两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49，故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t ，得到圆的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －m ＝0.(2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)． (2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝－12gt 2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x －2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t (以时间t 为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．。
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
人教新课标版数学高二选修4-4练习2-1-1参数方程的概念与圆的参数方程
第二讲 参数方程第一节 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程一、选择题1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )． A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0. ∴过点(2，0)． 答案 D2．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C3．若曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．y ＝x （x －2）（1－x ）2C ．y ＝1（1－x ）2－1 D ．y ＝x1－x 2解析 由x ＝1－1t ，得1t ＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .∴(1－x )2·(1－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2·t 2＝1.整理得y ＝x （x －2）（1－x ）2. 答案 B4．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t y ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( )． A ．|t 1|B ．2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1|解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.答案 C 二、填空题5．若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________．解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝±21－14＝±3.答案 ±36．(2012·北京高考)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为任意实数)的交点个数为________．解析 消参后，直线为x ＋y ＝1，曲线为圆x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为22，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2. 答案 27．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 圆心为(－1，2)，半径为2，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)8．将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ化成普通方程为__________．解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题9．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围． 解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.11．已知C (r,0)(r ＞0)，动点M 满足|MC |＝r ，根据下列选参数的方法，分别求动点M 的轨迹方程．(1)以x 轴正方向到CM 所成角θ为参数； (2)以x 轴正方向到OM 所成角α为参数．解 (1)如图所示，依题意动点M 的轨迹是以C (r,0)为圆心，r 为半径的圆，设圆和x 轴的正半轴交于A ，OA 为直径．设M (x ，y )，作MN ⊥Ox 于N ， 在Rt △MCN 中，|CM |＝r ，∠ACM ＝θ， ∴x ＝ON ＝OC ＋CN ＝r ＋r cos θ，y ＝MN ＝r sin θ.∴动点M 轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝r (1＋cos θ)y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)设点M 的坐标为M (x ，y )，OA ＝2r ， 则ON ＝OA cos α·cos α＝2r cos 2 α， NM ＝OA cos α·sin α＝2r sin α·cos α＝r sin 2α. ∴点M 的轨迹方程是⎩⎨⎧x ＝2r cos 2 αy ＝r sin 2α(α为参数)．。
新人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.1椭圆的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．平面上点P 到定点F 1、F 2距离之和等于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是____________；到定点F 1、F 2距离之和大于|F 1F 2|，则点P 的轨迹是__________；到定点F 1、F 2距离之和小于|F 1F 2|，则点P 的轨迹________．2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为________________________(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在________、焦点在________上的椭圆参数方程．►预习思考椭圆x 29＋y 24＝1的参数方程为______________________________．, 预习梳理1．线段F 1F 2 椭圆 不存在2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ 原点O x 轴预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)一层练习1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2π D.3π21．A2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．229 2.B3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π23.B4．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的左焦点的坐标是________．4．(－4，0)5．点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 5. 5 － 5 二层练习6．点(2，33)对应曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k ∈Z)B ．k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π＋π6(k ∈Z)D ．2k π＋π3(k ∈Z)6．D7．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33 B. 3 C.332 D.2397.D8．椭圆x 29＋y 24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55 B. 5 C.655D ．08.A9．曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________．9．8三层练习10．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．10.311．直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ (θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．11.3212．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．12.6313．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 3 cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．13．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．14．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1．对椭圆的普通方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)在解题时可利用参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)来寻求解决方案． 2．可利用椭圆的参数方程来解决最值、有关轨迹等问题． 3．要针对解题时的不同情况合理选择椭圆的方程形式．。
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一 第二课时 圆的参数方程
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝cos θ－1，y ＝sin θ＋1
(θ为参数)的普通方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝1 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1 C ．(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1 D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝1
解析：由已知条件可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos θ＝x ＋1，
sin θ＝y －1，两式平方再相加，可得(x ＋1)2＋(y －1)2
＝1，
故选C.
答案：C
2．参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos φ＋4sin φ，
y ＝4cos φ－3sin φ
表示的图形是( )
A ．直线
B ．点
C ．圆
D ．椭圆
解析：将参数方程化为普通方程为x 2
＋y 2
＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．
答案：C
3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ
(θ为参数)相切，则实数m 的值是
( )
A ．0
B ．10
C ．0或10
D ．无解
解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r ＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d ＝|m －5|
5
＝1，解得m ＝0或m ＝10.
答案：C
4．P (x ，y )是曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)
2
的最大值为( )
A ．36
B ．6
C ．26
D ．25
解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2
＋(sin α＋4)2
＝25＋sin 2
α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A
5．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)有唯一的公共点，则斜
率k ＝( )
A.
3
3 B ．－3
3
C ．±
33
D. 3
解析：曲线C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)的普通方程为(x －2)2＋y 2
＝1，所以曲
线C 是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C 与直线l 有唯一的公共点，即圆C 与直线l 相切，则圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝
|2k －0|
k 2＋ －1 2
＝1，解得k ＝±3
3.
答案：C
6．x ＝1与圆x 2
＋y 2
＝4的交点坐标是________．
解析：圆x 2
＋y 2＝4的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ，
令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±3
2.
∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3) 7．若直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝t cos θ，y ＝t sin θ
(t 为参数)与圆⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α
(α为参数)相切，则
θ＝________.
解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2
＋y 2
＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±
33，所以θ＝π6或θ＝5π
6
. 答案：π6或5π
6
8．圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3sin θ＋4cos θ，
y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为
________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，
得x 2
＋y 2
＝(3sin θ＋4cos θ)2
＋(4sin θ－3cos θ)2
＝25(sin 2
θ＋cos 2
θ)＝25， 所以圆的半径为5. 答案：5
9．圆M 的参数方程为x 2
＋y 2
－4Rx cos α－4Ry sin α＋3R 2
＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹． 解析：(1)依题意，得圆M 的方程为 (x －2R cos α)2
＋(y －2R sin α)2
＝R 2
，
故圆心坐标为M (2R cos α，2R sin α)，半径为R . (2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2R cos α，
y ＝2R sin α(其中α为参数)，
两式平方相加，得x 2
＋y 2
＝4R 2
.
所以，圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆． 10．若x ，y 满足(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝4，求S ＝2x ＋y 的最值．
解析：由(x －1)2
＋(y ＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 设x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ， ∴S ＝2x ＋y ＝2＋4cos θ－2＋2sin θ ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤S ≤2 5.
∴S 的最大值为25，最小值为－2 5.
[B 组 能力提升]
1．设曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，
y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y
＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为710
10
的点的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：∵曲线C 的方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，
y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，
∴(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝9，而l 的方程为x －3y ＋2＝0，。