湖南省长沙市长郡中学2014届高三模拟卷(一)数学(文)试题(扫描版)
2014年湖南省长沙市一中高考数学一模试卷(文科)
2014年湖南省长沙市一中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={y|y=，x＞}，B={y|y=2x，x＜0}，则A∩B=（）A.{y=|1＜y＜2}B.{y|0＜y＜}C.{y|0＜y＜1}D.∅【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，分别求解分式函数和指数函数的值域求出集合A，B，然后直接利用交集运算得答案．【解答】解：由y=，x＞，得0＜y＜2，∴A={y|y=，x＞}={y|0＜y＜2}；又B={y|y=2x，x＜0}={y|0＜y＜1}．∴A∩B={y|0＜y＜1}．故选C．2.复数1-i与1+bi的积是实数，则实数b的值是（）A.0B.1C.-1D.±1【答案】B【解析】解：复数（1-i）（1+bi）=1+b+（b-1）i是实数，∴b-1=0，解得b=1．故选：B．利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3.表提供了某厂节能降低技术改造后产生甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．根据表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程的值为（）A.0.35B.0.3C.0.4D.0.5【答案】A【解析】解：设x，y的样本平均值分别为：，，则==4.5，==3.5．∴样本中心点为（4.5，3.5），代人线性回归直线方程，得3.5=0.7×4.5+a，∴a=0.35，故选：A．首先，设x，y的样本平均值分别为：，，求解得到==4.5，==3.5．得到样本中心点为（4.5，3.5），然后，将此代人方程，求解即可．本题重点考查了平均值的计算、线性回归直线方程及其求解等知识，属于中档题．4.如图，改程序框图的作用是输入x的值，输出相应的y值．若输入的x的值与输出的y值相等，则这样的x的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，＜该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，当x＜0时，令-x2=x，得x=-1；当0≤x时，令=x，得x=0或者1；故只有3个值符合题意．故选：C．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.已知向量a=（1，1），b=（-2，2），则向量a与a-b的夹角余弦值为（）A. B.- C.- D.【答案】D【解析】解：∵=（1，1），=（-2，2）∴=（3，-1）∴=1×3+1×（-1）=2=，||=设向量与的夹角为θ由向量的夹角公式可得，cosθ===故选D由已知向量的坐标可求出的坐标，结合向量数量积的定义及性质可求，，||，然后结合向量的夹角公式可得，cosθ=可求本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，解题的关键是熟练应用基本公式6.双曲线C的离心率为，且与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-x2=1【答案】B【解析】解：∵椭圆+=1的焦点是F1（-，0），，，双曲线C的离心率为，且与椭圆+=1有公共焦点，∴设双曲线方程为，且，解得a=2，c=，b==1，∴双曲线方程为．故选：B．由已知条件，先求出椭圆的焦点，于是得到双曲线的焦点，再由双曲线的离心率，能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆和双曲线简单性质．7.下列命题正确的是（）A.若a＞b＞1，c＜0，则a e＞b eB.若|a|＞b，则a2＞b2C.∃x0∈R，x0+=1D.若a＞0，b＞0且a+b=1，则+的最小值为4【答案】D【解析】解：若a＞b＞1，c＜0，由幂函数在幂指数小于0时在第一象限为减函数得a c＜b c，A 错误；若|a|＞b，则a2＞b2错误，如a=0，b=-2满足|0|＞-2，但02＜（-2）2，B错误；∵（x＞0）或（x＜0），∴∃x0∈R，x0+=1错误；若a＞0，b＞0且a+b=1，则+=（a+b）（+）=2+（）≥4，当且仅当a=b时等号成立，D正确．故选：D．利用不等式的性质逐一核对四个选项得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．8.函数f（x）=x3-2cx2+c2x在x=2处有极大值，则常数c的值为（）A.2B.-2C.6D.2或6【答案】C【解析】解：f′（x）=3x2-4cx+c2，∵函数f（x）=x3-2cx2+c2x在x=2处有极大值，∴f′（2）=3×22-4c×2+c2=0，解得c=2或6．当c=2时，f′（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去；当c=6时，f′（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），在x=2处取得极大值，符合题意，因此c=6．故选C．由题意可得f′（2）=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．熟练掌握函数在某一点取得极大值的充分条件是解题的关键．9.设α为锐角，且cos（α+）=，则sin（α-）的值为（）A.-B.-C.D.【答案】D【解析】解：由已知，sin（α-）=sin[-（α+）]=cos（α+）=．故选D．利用（α-）=-（α+），则sin（α-）=sin[-（α+）]=cos（α+）=．本题考查了三角函数诱导公式的运用求三角函数值，关键是角的等价变换．10.已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A.（21，25）B.（21，24）C.（20，24）D.（20，25）【答案】B【解析】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴-log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10-c）=-c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：-32+10×3＜-c2+10c＜-42+10×4，即21＜-c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长为______ ．【答案】2【解析】解：根据直线l的参数方程：（t为参数），得x+y-4=0，根据圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，得x2+y2-4y=0，∴x2+（y-2）2=4，∴圆心为（0，2），半径为2，圆心到直线的距离为d==，弦长为2=2．故答案为：2．首先，将给定的直线参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据直线被圆截得的弦长公式进行求解．本题重点考查了直线参数方程，圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．12.从{1，2，3，4}中随机选一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是______ ．【答案】【解析】解：从{1，2，3，4}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有4×3=12种方法，若b＞a，则b=3时，a=1或2，b=2时，a=1，共有3种，则则b＞a的概率是，故答案为：．根据古典概型的概率公式进行计算即可得到结论．本题主要考查古典概型的概率的计算，求出满足条件的个数是解决本题的关键．13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】16【解析】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥侧面ABCD，侧面ABCD是边长为4正方形，PA=PD，OA=OD，PO=3．∴该几何体的体积V===16．故答案为：16．如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥侧面ABCD，侧面ABCD是边长为4正方形，PA=PD，OA=OD，PO=3．利用四棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了四棱锥的三视图、四棱锥的体积计算公式，属于基础题．14.已知数列{a n}满足a n=n•sin（），（n∈N*），则a1+a2+…+a250= ______ ．【答案】125【解析】解：由a n=n•sin（），得，，，，∴a1+a2+a3+a4=-2，则a1+a2+…+a250=62（a1+a2+a3+a4）+a249+a250=62×（-2）+249=125．故答案为：125．由数列的通项公式求得数列的前4项的和为-2，且每一个4项的和均为-2，由此求得答案．本题考查了数列的求和，关键是对数列规律的发现，是中档题．15.定义函数f（k）表示k的最大奇因数，例如：f（1）=1，f（2）=1，f（3）=3，f （4）=1．（1）f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）= ______ ．（2）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）= ______ ．【答案】n2；4n+【解析】解（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n2，（2）记S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），则S n-1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n-1）；S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）=f（1）+f（3）+…+f（2n-1）+[f（2）+f（4）+…+f（2n）]=1+3+5+…+2n-1+[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n-1）]=4n-1+S n-1，故S n-S n-1=4n-1；则S n=（S n-S n-1）+（S n-1-S n-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+4n-3+…+4+2=4n+．故答案为：n2，4n+．（1）由题意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n2，（2）记S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），从而可推出S n=4n-1+S n-1，从而求出S n-S n-1=4n-1；从而可得S n=（S n-S n-1）+（S n-1-S n-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+4n-3+…+4+2=4n+．本题考查了合情推理的应用及等差、等比数列的应用，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表的列联表：（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生多少人？（2）根据以上列联表，问：有多大把握认为是否喜欢打篮球与性别有关．附：k2=临界值表：【答案】解：（1）由题意得，用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生×6=2；故应抽取女生2人；（2）k=≈8.333；P（K2≥7.879）=0.005；故有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关．【解析】（1）由题意得，用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽6人，其中应抽取女生×6=2；（2）利用公式k2=求k，查表可得．本题考查了分层抽样的应用及独立性检验的应用，属于基础题．17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•sin A+a•cos C=0．（1）求角C的大小；（2）若a=8，b=5，D为AB的中点，求CD的长度．【答案】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：sin C sin A+sin A cos C=0，∵sin A≠0，∴sin C+cos C=0，即tan C=-，∵C为三角形内角，∴C=120°；（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，∵CD为△ABC的中线，∴AD=BD，∵∠ADE=∠BDC，∴△BCD≌△AED，∴AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，CD=ED，∴∠AED+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=120°，∴∠CAE=180°-（∠AED+∠ACD）=180°-120°=60°，在△ACE中，由余弦定理得：CE2=AC2+BC2-2AC•BC•cos∠CAE=25+64-40=49，解得：CE=7，则CD=CE=3.5．【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，由sin A不为0，求出tan C的值，即可确定出C的度数；（2）延长CD到E，使DE=CD，则CE=2CD，连接AE，再由CD为中线，得到AD=BD，以及对顶角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形EAD全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AE=BC=a=8，∠AED=∠BCD，进而求出∠CAE的度数，在三角形ACE中，利用余弦定理求出CE的长，即可求出CD的长．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于点A，B的点，边长为4的正方形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面．（1）求证：EB⊥ED；（2）若平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．（Ⅰ）证明：EF∥AB；（Ⅱ）若EF=2，求三棱锥E-BFC的体积．【答案】（1）证明：∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥BE，又∵平面ABCD⊥平面ABE，且AD⊥AB，由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，∵AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，又DE⊂平面ADE，∴EB⊥ED．（4分）（2）（Ⅰ）证明：∵CD∥AB，且CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD∥平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE=EF，∴根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，∴EF∥AB．（8分）（Ⅱ）解：∵EF=2，取AB中点O，EF的中点O′，∴在R t△OO′F中，OF=2，O′F=1，∴OO′=，∵BC⊥面ABE，AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E-ADF=V D-AEF=S△AEF•AD=וEFEF•OO′•AD==．∴三棱锥E-BEC的体积为．（12分）【解析】（1）由圆的性质得AE⊥BE，由面面垂直性质定理得AD⊥平面ABE，从而AD⊥BE，进而BE⊥平面ADE，由此能证明EB⊥ED．（2）（Ⅰ）由CD∥AB，得CD∥平面ABE，根据线面平行的性质定理得CD∥EF，又CD∥AB，由此能证明EF∥AB．（Ⅱ）取AB中点O，EF的中点O′，由V E-ADF=V D-AEF，利用等积法能求出三棱锥E-BEC 的体积．本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.已知等差数列{a n}的前9项和为153．（1）数列{a n}中是否存在确定的项？若存在，求出该确定的项，若不存在，请说明理由．（2）若a2=8，从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺序构成新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n，并求使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m．【答案】解：（1）∵等差数列{a n}的前9项和为153，∴=9a5=153，解得a5=17．∴数列{a n}中存在确定的项a5=17．（2）∵a2=8，a5=17，∴=3，a n=8+（n-2）×3=3n+2，∴=3×2n+2，T n=a2+a4+a8+…+a=3（2+4+8+…+2n）+2n=3×+2n=3•2n+1+2n-6．∵m•（a n-2）＜T n+6，∴m＜-．∴当n=1或n=2时，m＜4-=，∴使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m=3．【解析】（1）=9a5=153，由此能求出数列{a n}中存在确定的项．（2）由a2=8，a5=17，得a n=3n+2，利用分组求和法能求出T n=3•2n+1+2n-6，由此能求出使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m．本题考查数列中是否存在确定的项的判断与求法，考查使m•（a n-2）＜T n+6恒成立的最大正整数m的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20.已知函数f（x）=ax-e x，（a＞0）（1）若a=1，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求证：对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．【答案】解：（1）当a=1，则f（x）=x-e x，则f′（x）=x-e x，f′（1）=1-e，f（1）=1-e，故函数x=1处的切线方程为y-（1-e）=（1-e）（x-1），即y=（1-e）x．（2）若f（x）≤x恒成立，即ax-e x≤x恒成立，即证ax-x-e x≤0即可，设g（a）=ax-x-e x，若x=0，则g（a）=-1≤0成立，若x≥0，则当a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调递增，此时函数的最大值g（e+1）=（e+1）x-x-e x=ex-e x，设h（x）=ex-e x，则h′（x）=e-e x，由h′（x）＜0，解得x＞1，由h′（x）＞0，解得0≤x＜1，即当x=1时，函数h（x）取得极大值，h（1）=e-e=0，故当x≥0时，h（x）≤h（1）=e-e=0，g（e+1）=ex-e x≤0成立，若x＜0，则a∈[1，e+1]时，函数g（a）单调d递减，此时函数的最大值g（1）=x-x-e x=-e x ＜0，综上（a）=ax-x-e x≤0成立，即任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．【解析】（1）若a=1，求函数的导数利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）对任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．转化为以a为参数的函数，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数的切线求解，综合考查导数是几何意义的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．21.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（1，）且离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上一点P 向圆O ：x 2+y 2=r 2，（r ＞0）引两条切线，切点分别为A ，B （Ⅰ）若存在点P 使∠APB=60°，求r 的最大值；（Ⅱ）在Ⅰ的条件下，过x 轴上一点（m ，0）做圆O 的切线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（1，）且离心率为．∴，解得a =2，b =1，c = ． ∴椭圆C 的标准方程为=1．（2）（I ）设P （2cos θ，sin θ）． 如图所示，连接OA ，OB ，OP ．∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．∠APB=60°， ∴∠AOP=60°，∠APO=30°．∴r =|OP|===1， ∴r 的最大值是1．（II ）当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1．代入椭圆方程可得，此时|MN|= ．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k （x -m ），（k ≠0，|m |＞1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则r = =1．可得1+k 2=k 2m 2． 联立，化为（1+4k 2）x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0． △=64k 4m 2-4（1+4k 2）（4k 2m 2-4）=16（1+4k 2-k 2m 2）＞0． ∴x 1+x 2=，．∴|MN|=====．设k2=t＞0，令f（t）=，f′（t）==，可知：当t=时，f（t）取得最大值4，∴|MN|取得最大值2．当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→．综上可得：|MN|的最小值为．【解析】（1）由于椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．可得，解得即可．（2）（I）设P（2cosθ，sinθ）．如图所示，连接OA，OB，OP．由于OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，可得r=|OP|==，即可得出．（II）当直线l的斜率不存在时，切线l的方程为：x=±1．代入椭圆方程可得|MN|=．当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x1，y1），N（x2，y2）．利用直线与圆的相切性质可得r==1.1+k2=k2m2．直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0．△=16（1+4k2-k2m2）＞0．利用根与系数的关系可得|MN|==．设k2=t＞0，令f（t）=，利用导数研究其单调性可得：当t=时，f（t）取得最大值4，|MN|取得最大值2．当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→．即可得出．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交相切转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、弦长公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考(一)语文试题含答案
大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共四道大题，23道小题。
时量150分钟，满分150分。
得分：一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
不管是要找出第二次世界大战的原因，还是查明天花板上水印的来由，我们通常都要考察可能的解释。
比如说天花板上的水印，是屋顶漏水了？还是管子漏水了？我们可能会这样推理：“这个水印在厨房天花板上，正好是在浴室的下面，所以很可能是管子漏水。
”现在到楼上去检查一下，如果发现了漏水的管子，那么就可以合理地得出结论，对于水印的最佳解释是管子漏水，当然，也可能屋顶和管子同时漏水。
这个简单而实际的例子展示了科学研究的推理过程：提出各种假说，一个一个地排除，直到得出最佳解释。
地质学的历史为科学研究如何运用这样的推理过程提供了一个清楚的例子。
地球已经有上亿年的历史、大陆在漂移，这些都是非常惊人的发现。
它们被接受的过程是漫长而复杂的，要求仔细的观察、改良的技术、大量的集体努力以及在很多学科中共享知识。
地质学最近的发展历史就展现了这样的过程。
1912年，德国科学家阿尔弗雷德·魏格纳提出了板块漂移理论来解释这个明显的事实——非洲大陆和南美洲大陆看上去好像很吻合。
但是在他之前的理论家，通过观察过去的地图，也推测这些太陆原本是连在一起的。
魏格纳对这一理论的补充是，在两个大陆相对应的边缘，岩石的形成和动植物化石都非常相似。
因为他不能提出一个解释或者模型来说明像板块这样巨大的东西是如何“漂移”的，他的理论遭到了普遍的拒绝，甚至被嘲笑。
虽然他的理论解释了一些观察到的现象，但是并没有被采信，因为它与当时人们所相信的关于大洋和大陆的物理结构方面的观点不一致。
拥有可接受的解释模型是科学断言能被接受的重要标准。
魏格纳的理论在20世纪60年代被美国地质学家哈雷·赫斯复兴。
赫斯提出，最近发现洋中脊在延伸，而大陆居于板块之上，因此板块应是由底层的地慢缓慢运动的“环流”所推动的。
湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(文)试题 含解析
湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷文科数学 第Ⅰ卷（共45分)一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi +-的值是( ）.2A.2B i - .4C -.2D i2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}AB =-的集合B 个数是（ ）.2A.3B .4C.8D3。
1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ ）.A 充分不必要条件B.必要不充分条件 .C 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线1:0l ax y +=,易知其斜率为a -。
直线2:20lx ay ++=，若0a ≠,则其斜率为1a-.当1a =-时，11a a-=-=,所以两直线平行。
此外当1a =时,11a a-=-=-，两直线也平行.故1a =-可推出直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行，但直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行不一定能推出1a =-。
所以1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的充分不必要条件.考点:充分条件与必要条件、直线平行的判定4。
若非零向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=,则a b c +⋅=（）( ) .4A .3B .2C .0D 【答案】D【解析】试题分析：非零向量a //b ，若所以存在实数λ使得a b λ=.又 0b c ⋅=，所以()(1)0a b c b c λ+⋅=+⋅=.考点：共线向量基本定理、向量的数量积 5。
函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x xf += ( ） 1.2A2.2B3.2C.1D6.已知下列四个命题，其中真命题的序号是（）①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；④若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；.A①②.B②③.C②④.D③④7。
湖南省长沙市2014届高三高考模拟试卷(二模)数学(文)试题_
绝密★启用前湖南省长沙市2014届高三高考模拟试卷（二模）数学（文）试题长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,1},{|124}x A B x =-=≤<,则AB 等于A ．{-1,0,1}B ．{1}C ．{-1,1}D ．{0,1}2．复数1012ii-= A ．-4+ 2i B ．4- 2i C ．2- 4iD ．2+4i3．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b4．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是A ．12 cm 3B. 36cm 3 C．cm 3 D ．108πcm 35．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），891011,,,∏∏∏∏中值最大的是 A ．8∏ B ．9∏C ．10∏D ．11∏6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．15 B ．16 C ．124 D ．11207．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>，离心率e =右焦点(,0)F c ．方程20ax bx c --= 的两个实数根分别为12,x x ，则点12(,)P x x 与圆228x y +=的位置关系A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定9．在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13-B. 23C.1D.210．已知)sin()(ϕω+=x x f 0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()()f x f x π=-+，21)0(=f ，则)cos(2)(ϕω+=x x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为A ． 13-B ．23- C．1 D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．极坐标方程为2sin ρθ=的圆与参数方程1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩的直线的位置关系是 . 12．一组样本数据的茎叶图如右：3216433104，则这组数据的平均数等于 .13．若x ，y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为 . 14．已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取两点A 、B ，使32≤AB 的概率为 .15．巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014湖南师大附中高考模拟卷数学文试题和答案.
湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）数学（文）试题命题：朱海棠 舒玻 洪利民 审题：高三文科数学备课组（考试范围：高中文科数学全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z=1a ii+-（a ∈R, i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a=（ ） A ． -1B ．0C ． 1D ．22．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3}，B={3，4}，设集合M={a ，b}，若(U M A B ⊆U ð，则a+b 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．已知直线l 1：2(1)(3)750m x m y m ++-+-=和l 2：(3)250m x y -+-=，若l 1⊥l 2，则（ ） A ．m= -2 B ．m=3 C ．m=-1或3 D ．m=3或-24．已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83 B ．8C D ．5．设命题p ：∃x 0>0，使20x +2x 0+a=0（a 为实常数），则p ⌝为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a <0 B ．a ≤-1 C ．a<l D ．a>-2 6．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150]，样本数据分组为[50, 70），[70,90) ,[90,110)，[110 ,130)，[130,150]．已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是 A ．60 B ．66 C ．90 D ．135 7．已知函数f （x ）=Asin （x ωϕ+）（A>0，ω>0，2πϕ≤）在一个周期内的图象如图所示，则()6f π的值为A ．2B CD ．18．已知函数f （x ）=2x，设g （x ）=(),()22,()2f x y x f x ≥⎧⎨<⎩，则函数g （x ）的单调递减区间是 （ ）A ．[0,+∞）B ．[1,+∞）C ．（-∞，0]D ．（-∞，-1]9．设点P 是椭圆222516x y +=1上的动点，F 1为椭圆的左焦点，M （6，4）为定点，则|PM|+|PF 1|的最大值是（ ） A ．15B ．C ．10D ．10．设A ，B ，C 为圆O 上三点，且AB=3，AC=5，则AO uuu r ·BC =u u ur （ ）A ． -8B ．-1C ．1D ．8二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
长郡中学2014届高三第1次月考理数试卷
炎德英才大联考理科数学! 长郡版" !& !
! 本小题满分" # $ ! '分" 从社会效益和经济效益出发$ 某地投入资金进行生态环境建设$ 并以此 根据规划$ 本年度投入 ( 以后每年投入将比上年 发展旅游产业$ $ $ 万元 $ 减少 " $ 本年度当地旅游业收入估计为 % 由于该项建设对旅游 $ $ 万元$ & 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 " ! 业的促进作用$ % ! " 设 年内 ! 本年度为第一年 " 总投入为 万元 $ 旅游业总收入为 " ( $ ' ( ( 万 元$ 写出$ ' ($ ( 的表达式 / " 至少经过几年$ 旅游业的总收入才能超过总投入0 ! #
学!校!
抛物线* ) / ! % & 与直线*) &! (所围成图形的面积为 *+ ( % 已知 +$ $ $ $ $ $ 0 ! ,$ - 三点的坐标分别是+! ' $" ,! $ '" -! 4 5 6 6 7 8" $ & ' 2 9 : 8 )$ ) $ 的值为 (' (' 若+ $ 则 " --, -)! " ! # #" # 6 7 8 2 6 7 8#
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2014年湖南省十三校联考高考数学一模试卷(文科)
2014年湖南省十三校联考高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.下列四个命题中，正确的是( )A.{0}∈RB.2⊂{x|x≤3}C.2∉{x|x≤3}D.{2}⊊{x|x≤3}【答案】D【解析】试题分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系是“∈”、“∉”和“⊆”、“⊈”，进行正确判定．A中，集合{0}与R之间的关系是“⊆”，∴选项A错误；B中，元素2与集合{x|x≤3}之间的关系是“∈”或“∉”，∴选项B错误；C中，2=，3=，∴2＜3，即2∈{x|x≤3}，∴选项C错误；D中，∵2＜3，∴集合{2}⊊{x|x≤3}；∴选项D正确；故选：D．2.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43C.1，2，3，4，5D.2，4，8，16，32【答案】B【解析】试题分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．3.设全集为R，集合，则∁R A=()A.{x|0≤x＜1}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1或x＜0}【答案】A【解析】试题分析：由集合，解分式不等式，即可求出集合A，求出集合A的补集即可．集合={x|x＜0或x≥1}，∵全集为R，∴C R A={x|0≤x＜1}故选A．4.“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=-1，此时两直线垂直．当2m-1=0，即m=时，两直线为x=-4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为．两直线的斜率为，所以由得m=-1，所以m=-1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A．5.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B.命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1＞0”C.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题【答案】D【解析】试题分析：根据原命题与否命题的关系，可得A选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到B选项是不正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知C选项不正确；对于D，得到复合命题p或q的真值表，可得D选项正确．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”所以A错误．命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1≥0”，所以B错误．命题“若x=y，则sinx=siny”正确，则命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题也正确，所以C错误．若“p或q”为真命题，根据复合命题p或q的真值表，则p，q至少有一个为真命题，故D为真．故选D．6.已知集合，在区间(-3，3)上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：分布求解二次不等式及分式不等式可求集合A，B，进而可求A∩B，由几何概率的求解公式即可求解∵，所以A∩B={x|-1＜x＜1}，所以在区间(-3，3)上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为，故选C．7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是()A.64B.48C.D.16【答案】C【解析】试题分析：三视图对应的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直底面，画出图形，根据三视图的数据，求出四棱锥的体积．几何体的直观图如图，所以四棱锥的体积为：v=S底•h=×4×4×4=．故选：C．8.已知A，B是单位圆上的动点，且，单位圆的圆心为O，则=()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：解三角形可得∠OAB，由数量积的等腰可得答案．(如图)，在等腰三角形OAB中，OA=OB=1，AB=，由余弦定理可得，∴∠OAB=30°∴向量的夹角为180°-30°=150°∴=1××cos150°=故选：C9.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=2sinx，动直线x=t与f(x)、g(x)的图象分别交于点P、Q，|PQ|的取值范围是()A.[0，1]B.[0，2]C.[0，]D.[1，]【答案】C【解析】试题分析：先根据题意得到|PQ|=|f(t)-g(t)|然后将函数f(x)、g(x)的解析式代入根据辅角公式进行化简，从而可确定|PQ|的取值范围．由题意可知|PQ|=|f(t)-g(t)|=|sint+cost-2sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|∴0≤|PQ|≤故选C．10.已知函数f(x)=，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A.(-∞，0]B.(-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]【答案】D【解析】试题分析：由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．由题意可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x，求其导数可得y′=2x-2，因为x≤0，故y′≤-2，故直线l的斜率为-2，故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可，即a∈[-2，0]故选D二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.= ．【答案】-1【解析】试题分析：先求的值，然后求解表达式的值．∵，∵==(-1)1007=-1．故答案为：-1．12.极坐标系是以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴．已知直线L的参数方程为：，(t为参数)，圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，若直线L经过圆C的圆心，则常数a的值为11．【答案】1【解析】试题分析：先把直线L的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，再由直线L经过圆C的圆心，求出a的值．∵直线L的参数方程为，(t为参数)，化为普通方程是x-y-a=0；又∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1；又直线L经过圆C的圆心(1，0)，∴1-0-a=0，∴a=1．故答案为：1．13.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为．【答案】2【解析】试题分析：第一次进入循环时，x←2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x←2×x+1=23，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值．模拟程序的执行情况如下：x←2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×(2x+1)+1，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×(4x+3)+1=23，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，由2×(4x+3)+1=23即可得x=2．则输入的x值为：2故答案为：2．14.设双曲线的-个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为．【答案】【解析】试题分析：由题意可得•=-1，c2-a2-ac=0，e2-e-1=0，解方程求得e的值．由题意可得•=-1，∴ac=b2，∴c2-a2-ac=0，∴e2-e-1=0，∴e=，或e=(舍去)，故答案为：．15.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的x∈M(M⊆D)，有x+T∈D，且f(x+T)≥f(x)，则称函数f(x)为M上的T高调函数．(1)现给出下列命题：①函数f(x)=x为(0，+∞)上的T高调函数；②函数f(x)=sinx为R上的2π高调函数；③如果定义域为[-1，+∞)的函数f(x)=x2为[-1，+∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞)．其中正确命题的序号是；(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0 时，f(x)=|x2-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是．【答案】②③;[-1，1]【解析】试题分析：(1)①利用函数的单调性，直接判断正误即可．②由正弦函数知函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数；③函数f(x)=x2为[-1，+∞)上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．(2)定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，画出函数图象，可得4≥3a2-(-a2)⇒-1≤a≤1．(1)对于①，∵f(x)=log x为减函数，函数f(x)=log x不是(0，+∞)上的高调函数，∴①不正确；对于②，∵sin(x+2π)≥sinx∴函数f(x)=sinx为R上的2π高调函数，故②正确；对于③，在[-1，+∞)上的任意x(设x=x+m)有y≥-1恒成立，则x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．对于x∈[-1，+∞)，当x=-1时-1-x最大为0，∴m≥0．又∵f(x+m)≥f(x)，即(x+m)2≥x2在x∈[-1，+∞)上恒成立，化简得m2+2mx≥0，又∵m≥0，故m+2x≥0即m≥-2x恒成立，当x=-1时-2x最大为2，∴m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞)，故③正确；(2)f(x)=|x-a2|-a2的图象如图，∴4≥3a2-(-a2)⇒-1≤a≤1．实数a的取值范围是[-1，1]．故答案为：(1)②③；(2)[-1，1]．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某矿产品按纯度含量分成五个等级，纯度X依次为A、B、C、D、E．现从一批该矿产品中随机抽取20件，对其纯度进行统计分析，得到频率分布表如下：(Ⅰ)若所抽取的20件矿产品中，纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，求a、b、c的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件(每件矿产品被取出的可能性相同)，求这两件矿产品的纯度恰好相等的概率．【答案】(Ⅰ)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35，∵纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，∴，∴a=0.35-0.15-0.1=0.1．∴a=0.1，b=0.15，c=0.1；(Ⅱ)设纯度为D的三件产品分别为D1，D2，D3，纯度为E的两件产品为E1，E2，所有可能的结果为：D1D2，D1D3，D1E1，D1E2，D2D3，D2E1，D2E2，D3E1，D3E2，E1E2，∴所有可能的结果共10个．设事件A表示“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”，则A包含的事件为：D1D2，D1D3，D2D3，E1E2，共4个，所以所求的概率P(A)=．【解析】(Ⅰ)通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a；(Ⅱ)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”的事件数，求解即可．17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．(Ⅱ)解：设AC∩BD=O，连接OE，由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在R t△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【解析】(Ⅰ)欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；(Ⅱ)设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在R t△AOE中求出此角即可．18.已知向量(λ≠0)，，，其中O 为坐标原点．(1)若λ=2，，β∈(0，π)，且，求β；(2)若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．【答案】【解析】(1)根据给出的λ和α的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；(2)把向量和的模代入后得到关于λ的不等式λ2+1+2λsin(β-α)≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．19.设等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n=2n-1，数列{b n}满足：b1=3，b n-b n-1=a n+1(n≥2)，求数列的前n项和T n．【答案】(1)∵等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=2n-1．(2)∵a n=2n-1，数列{b n}满足：b1=3，b n-b n-1=a n+1(n≥2)，∴当n≥2时，b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)+b1=a n+1+a n+…+a4+a3+b1=n2+2n，当n=1时，也成立，∴b n=n2+2n，∴==，∴T n=[(1-)+()+…+()+()]=(1+--)=-．【解析】(1)由题设条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．(2)由已知条件，利用累加求和法能求出b n=n2+2n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和T n．20.已知椭圆与双曲线有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．(1)求椭圆m的方程；(2)过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与圆O：x2+y2=a2+b2相交于点A，C，l2与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】解：(1)若a＞2，则椭圆m与双曲线n有四个公共点；若0＜a＜2，则椭圆m与双曲线n没有公共点；若a=2，则椭圆m与双曲线n有公共点(±2，0)．由题意，可得a=2．…(3分)又双曲线n的离心率为，则椭圆m的离心率．所以椭圆m的方程为．…(6分)(2)圆O的方程为x2+y2=7．若，则，即椭圆m落在圆O内．如图，设点P(x0，y0)到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则，…(7分)由l1⊥l2，得d12+d22=OP2=x02+y02．四边形ABCD的面积…(9分)由点P(x0，y0)在椭圆m上，则．又，得．…(11分)当且仅当d1d2=0且y0=0，即P的坐标为(-2，0)，直线l1，l2的方程为y=0，x=-2或P的坐标为(2，0)，直线l1，l2的方程为y=0，x=2时，．…(13分)所以四边形ABCD的面积的最小值为．…(14分)【解析】(1)由题设条件得a=2，再由双曲线n的离心率为，知椭圆m的离心率．由此能求出椭圆m的方程．(2)圆O的方程为x2+y2=7．若，则，椭圆m落在圆O内．设点P(x0，y0)到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则．由此入手能够求出四边形ABCD的面积的最小值．21.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数)．(Ⅰ)当a=5时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在区间[t，t+2](t＞0)上的最小值；(Ⅲ)若存在两不等实根x1，x2∈[，e]，使方程g(x)=2e x f(x)成立，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a=5时，g(x)=(-x2+5x-3)-e x，g(1)=e．g′(x)=(-x2+3x+2)-e x，故切线的斜率为g′(1)=4e∴切线方程为：y-e=4e(x-1)，即y=4ex-3e；(Ⅱ)f′(x)=lnx+1，①当时，在区间(t，t+2)上f(x)为增函数，∴f(x)min=f(t)=tlnt；②当时，在区间上f(x)为减函数，在区间上f(x)为增函数，∴；(Ⅲ) 由g(x)=2e x f(x)，可得：2xlnx=-x2+ax-3，，令，′．，h(1)=4，h(e)=．．∴使方程g(x)=2e x f(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为．【解析】(Ⅰ)把a=5代入函数g(x)的解析式，求出导数，得到g(1)和g′(1)，由直线方程的点斜式得切线方程；(Ⅱ)利用导数求出函数f(x)在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f(x)在区间[t，t+2](t＞0)上的最小值；(Ⅲ)把f(x)和g(x)的解析式代入g(x)=2e x f(x)，分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．。
湖南省长沙县实验中学2014届高三下学期第一次模拟数学(文)试题
湖南省长沙县实验中学2014届高三下学期第一次模拟数学（文）试题时量120分钟 满分 150分一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 复数13ii-(i 为虚数单位)的共轭复数．．．．是( ) A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -2. “y x lg lg >”是“yx1010>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3. 函数1lg |1|y x =+的大致图象为( )4.小王从学校到家往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）2a b + D.v=2a b+ 5. 已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 的值为( )A ．5 D ．13 6. 若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是( ) A ．2sin()36x y π=+B ．2sin()36x y π=-C ．2sin()26x y π=+D ．2sin()23x y π=+ 7. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为( )A ．9>iB ．7≥iC ． 9≥iD ． 5>i8.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为( )A ．14B ．23C ．12 D ．139. 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin (0)g x x x π=<<， ()ln (0),h x x x => 2()(0)xx e x x ϕ=-≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b >> B ．c b a >>C ．b c a >>D ． b a c >>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ=﹣2cos θ与曲线C 2：ρ=2sin θ的图象的交点个数为 ．11. 设不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线l ：(1)y k x =+上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是 ．12. 一个几何体的三视图如右图示，根据图中的数据，可得该几何体的表面积为 ．根据上表可得回归直线方程是：ˆ 3.2,yx a =-+则=a __________. 14. 已知双曲线12222=-by ax )0,0(>>b a 的右焦点为F ,过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，OAF ∆的面积为223a （O 为原点），则此双曲线的离心率是____ ______. 15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。