最新人教A版数学必修1学案：1.1集合知识导学案及答案
高中数学人教A版必修1学案1.1集合 Word版含答案
符合题意，即
（），，
即，
当时，有，则，（舍去），
当时，有，则，符合题意，
第一章集合与函数的概念（人教版新课标）
第节集合
【思维导图】
【微试题】
1.下列五个写法中① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，错误的写法个数是（）
、个、个、个、个
【答案】
.设 ， ，则∩（ ）
、 、 、 、
【答案】.已Βιβλιοθήκη 集合 ， ，若 ，则的取值范围是（）
． . . .
【答案】
.设 ， ， 。
（）若 ，求的值。
（）若 且 ，求的值。
（）若 ，求的值。
【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数问题
【分析】解出集合、
（1）根据条件可得，代入即可得的值
（2）分析和，可得，代入求得的值，还有验证所得结果；
（3）由，得，仿照（）处理即可。
【解析】解：由题可得
（）∴，是方程的两个根
即
（）且，，
即
当时，有，则，（舍去）
人教版数学高一A版必修一学案 1.1.1.1集合的含义
§1.1 集 合1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题. 3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一 集合的概念 元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示． 知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案 1是整数；12不是整数．没有．梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？答案 某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)2．0∈N但0∉N*.(√)3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(×)类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．考点集合的概念题点集合的概念解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数 考点 集合的概念 题点 集合的概念 答案 B解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合． 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N ， 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 常用的数集及表示 题点 常用的数集及表示 答案 B解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z . 考点 常用的数集及表示 题点 常用的数集及表示 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．考点 元素与集合的关系 题点 伴随元素问题 答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素为0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4 B ．a ≤－2 C ．－4<a <－2 D ．－4<a ≤－2考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值 答案 D解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4<a ≤－2. 类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x .(1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B . 考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1， 可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3， A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0,5,10}≠B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－52，54≠B .故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等． 跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值． 考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值 解 方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ②∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )A ．一切很大的数B ．好心人C ．漂亮的小女孩D ．清华大学2018年入学的全体学生 考点 集合的概念 题点 集合的概念 答案 D2．下面说法正确的是( ) A ．所有在N 中的元素都在N *中 B ．所有不在N *中的数都在Z 中 C ．所有不在Q 中的实数都在R 中 D ．方程4x ＝－8的解既在N 中又在Z 中 考点 常用的数集及表示 题点 常用的数集及表示 答案 C3．由“book ”中的字母构成的集合中元素个数为________． 考点 集合中元素的特征 题点 集合中元素的个数 答案 34．下列结论不正确的是________．(填序号) ①0∈N; ②13∈Q; ③0∉Q; ④－1∈Z .考点 元素与集合的关系 题点 判断元素与集合的关系 答案 ③5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值． 考点 元素与集合的关系题点 由元素与集合的关系求参数的值解 由元素互异性知m ≠0，m 2－3m ＋2≠0.由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3， 当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．故实数m＝2.1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．。
高中数学人教A版必修1学案：1.1集合知识导学案及答案
1.1 集合知识导学集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a ∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:A⊆B或B⊇A,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A B 或B A.子集的有关性质:①A=B⇔A⊆B且B⊆A.②A B,B⊆C⇒A C;A⊆B,B C⇒A C.③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).A⊆B⇔A⊇ Bcard(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).(card(A)表示有限集合A元素的个数)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是∅.记忆口诀:集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.图1-1-4疑难导析列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和∉,二者有且只有一种成立.对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.问题导思教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.使用描述法时,应注意六点:①写清集合中元素的代号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;⑤所有描述的内容都要写在大括号内;⑥用于描述的语句力求简明、确切.用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.典题导考绿色通道集合中的元素是确定的,某一元素a 要么a ∈A,要么a ∉A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )①方程x 2-9=0的实数根②我国近代著名的数学家③联合国常任理事国④空气中密度大的气体A.①②B.①④C.①②④D.②④答案:D黑色陷阱在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.典题变式1.下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②1,0.5,23,21组成的集合有四个元素③若集合A 是集合B 的子集,集合B 是集合C 的子集,则集合A 是集合C 的子集④若不属于集合A 的元素也一定不属于集合B,则B 是A 的子集A.①②③B.①③④C.①③D.①②③④ 答案:B2.下面六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( )A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥ 答案:C黑色陷阱在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.典题变式 用列举法表示下列集合:(1){自然数中五个最小的完全平方数};(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};(3){(x,y)|⎩⎨⎧=-=+182y x y x }. 答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.黑色陷阱对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.典题变式已知全集I=R,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值.答案:a=78,b=-712. 绿色通道集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.典题变式已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B,则满足条件的集合M 的个数为( )A.7B.8C.15D.16答案:A绿色通道此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.典题变式设集合A={A|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B.答案:p=-35,A ∪B={-1, 21,2}. 黑色陷阱本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A ∩B ≠∅,且A ∩C=∅知3∈A.把x=3代入方程x 2-ax+a 2-19=0,得9-3a+a 2-19=0.解得a=5或a=-2.这里由条件推知3∈A,进而推出a 的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.典题变式 已知A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},是否存在a,使A 、B 满足下列三个条件:①A ≠B;②A ∪B=B;③∅(A ∩B).若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 答案:不存在实数a,使得满足条件.黑色陷阱本题容易出现以下错误:由A ∩B ≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153,2x y b ax y 有解,即方程3x 2-ax+15-b=0有解.∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ①由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2.②(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)①+②,得a 2+12b-36≥a 2+b 2,即(b-6) 2≤0⇒b=6.把b=6代入①,得a 2≥108;把b=6代入②,得a 2≤108.∴a 2=108,即a=±63. 故存在实数a 、b 满足条件.典题变式 方程x 2-ax+b=0的两根为α、β,方程x 2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},P={x|x=u υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a 、b 、c.答案:b=10,a=7,c=21.。
高中数学 1.1《集合》导学案 新人教A版必修1
第一章 集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示【学习目标】(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；【预习指导】对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.阅读教材,并思考下列问题：(1)有哪些概念？(2)有哪些符号？(3)集合中元素的特性是什么？(4)如何给集合分类?【课堂探究】一、问题1：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2020年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2020年9月入学的高一学生的全体.观察上面的例子,指出这些实例的共同特征是什么？(分组讨论,得出集合的概念)问题2：你还能给出一些集合的例子吗？(学生自己举例子,得出集合元素的特性)二、1、任意给定一个对象和一个集合,它们之间有什么关系？用符合如何表示？2、常用的数集(自然数集、整数集、正整数集、有理数集、实数集)的专用符号你记住了吗？3、要表示一个集合共有几种方式?4、试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?5、如何根据问题选择适当的集合表示法?【课堂练习】1． 下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2--Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( )Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形【尝试总结】1.本节课我们学习过哪些知识内容?2.选择集合的表示法时应注意些什么?【达标检测】一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B. M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅ 5.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空： 0_______N,5______N,16______N.7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ；(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.13.(探究题)下面三个集合：①{}2|2x y x =-,②{}2|2y y x =-,③{}2(,)|2x y y x =-(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.附：集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学发展的历程中,数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.”学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而,事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 ,它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”,有人嘲讽超限数是“雾中之雾”,称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又回答了前人不曾想到的问题,他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R,则R满足R的定义,因此R 不应属于自身,即R 不属于R ；另一方面,如果R 不属于R,则R 不满足R 的定义,因此R 应属于自身,即R 属于R.这样,不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF 公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一. 注：整系数一元n 次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x 2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.1.1.2集合间的基本关系【学习目标】1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.【预习指导】1.集合间有几种基本关系？2.集合的基本关系分别用哪些符号表示？怎样用Ｖenn 图来表示？3.什么叫空集？它有什么特殊规定？4.集合之间关系的性质有哪些？【自主尝试】1.判断下列集合的关系①{}{}1,2,3,2,1,3A B ==②{}{},,,,A a b B a b c ==2.判断正误①{}0是空集 ② {}5的子集的个数为１【课堂探究】一、问题1我们知道实数有大、小或相等的关系,哪么集合间是不是也有类似的关系呢？１.{}{}1,2,3,1,2,3,4,5A B ==２.设集合Ａ为新乐一中高一(２)班全体女生组成的集合,集合Ｂ为这个班全体学生组成的集合.３.设{}{}|,|C x x D x x ==是等边三角形是三角形.４.{}{}|,|213A x x D x x =≥=-≥2.观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？问题２你还能举出有以上关系的例子吗？问题３①{}{}1,3,5,5,1,3A B ==②}|{D }|{是两条边相等的三角形，是等腰三角形x x x x C ==③{}{}1,|10A B x x ==-= ④131(,)|,(,)222x y A x y B x y ⎧+=⎫⎧⎧⎫==-⎨⎨⎬⎨⎬-=⎩⎭⎩⎩⎭ 上面的各对集合中，有没有包含关系？（归纳出集合相等的概念）问题4①{}{}2|10,|5A x x B x x =+==是身高在米以上的人观察上面给定的两个集合,归纳出空集的概念②总结以上规律,归纳集合间的基本关系：ⅰ任何集合是它本身的子集：Ａ⊆Ａⅱ对于集合Ａ,Ｂ,Ｃ,如果Ａ⊆Ｂ,且Ｂ⊆Ｃ,都有Ａ⊆Ｃ(传递性)【典型例题】：1.写出下列各集合的子集及其个数{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅2.设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤,若M ⊆N,求k 的取值范围.3.已知含有３个元素的集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2,,0B a a b =+,若Ａ＝Ｂ，求20102010a b +的值.4.已知集合{}|03A x x =<<,{}|4B x m x m =<<-,且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【课堂练习】：１.下列各式中错误的个数为( )①{}10,1,2∈ ②{}{}10,1,2∈ ③{}{}0,1,20,1,2⊆ ④{}{}0,1,22,0,1=A 1B 2C 3D 4２.集合{}{}|12,|0A x x B x x a =<<=-<若A B,则a 的取值范围是＿＿＿.３.已知集合{}{}2|560,|1A x x x B x mx =-+===,若B A 则实数m 所构成 的集合Ｍ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.４.若集合{}2|30A x x x a =++=为空集,则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.【达标检测】一、选择题１.已知{}|22,M x R x a π=∈≥=,给定下列关系：①a M ∈,②{}a M ③a M ④{}a M ∈ 其中正确的是 ( )Ａ①② Ｂ④ Ｃ③ Ｄ①②④２.若,x y R ∈,集合{}(,)|,(,)|1y A x y y x B x y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则Ａ,Ｂ的关系为( )Ａ Ａ＝Ｂ Ｂ Ａ⊆Ｂ Ｃ ＡＢ Ｄ ＢＡ３.若,A B A ⊆C,且Ａ中含有两个元素,{}{}0,1,2,3,0,2,4,5B C ==则满足上述条件的集合Ａ可能为( ).Ａ {}0,1 Ｂ {}0,3 Ｃ {}2,4 Ｄ {}0,2 ４.满足{}a M ⊆{},,,a b c d 的集合Ｍ共有( )Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个二、填空题５.已知{}{}{}A B C ===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A,则实数a 的值为＿＿. ７.已知集合{}{}|40,|12A x R x p B x x x A B =∈+≤=≤≥⊆或且,则实数p 的取值集合为＿＿＿＿＿＿＿.８.集合{}|21,A x x k k Z ==-∈,集合{}|21,B x x k k Z ==+∈,则Ａ与Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.９.已知Ａ＝{},a b ,{}|B x x A =∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三.解答题10.写出满足{},a b A ⊆{},,,a b c d 的所有集合Ａ.11.已知集合{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.12.已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ⊆,求实数a 的取值范围.1.1.3集合的基本运算(第一课时)【学习目标】1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Ｖenn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.【预习指导】阅读教材并思考下列问题：1.集合有哪些基本运算？2.各种运算如何用符号和Ｖenn 图来表示.3.集合运算与实数的运算有何区别与联系.【自主尝试】1.设全集{}|110,U x x x N =≤≤∈且,集合{}{}3,5,6,8,4,5,7,8A B ==,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.2.设全集{}{}{}|25,|12,|13U x x A x x B x x =-<<=-<<=≤<集合,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋂.3.设全集{}{}{}22|26,|450,|1U x x x Z A x x x B x x =-<<∈=--===且,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.【典型例题】1.已知全集{}|U x x =是不大于30的素数,A,B 是U 的两个子集,且满足{}{}()5,13,23,()11,19,29U U A C B B C A ⋂=⋂=,{}()()3,7U U C A C B ⋂=,求集合A,B.２.设集合{}{}22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B A ⋃=,求实数a 的取值集合.３. 已知{}{}|24,|A x x B x x a =-≤≤=< ① 若A B φ⋂=,求实数a 的取值范围； ② 若A B A ⋂≠,求实数a 的取值范围；③ 若A B A B A φ⋂≠⋂≠且,求实数a 的取值范围.4.已知全集{}22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值.【课堂练习】１.已知全集{}{}{}0,1,2,4,6,8,10,2,4,6,1U A B ===,则()U C A B ⋃=( )Ａ{}0,1,8,10 Ｂ {}1,2,4,6 Ｃ {}0,8,10Ｄ Φ２.集合{}{}21,4,,,1A x B x A B B ==⋂=且,则满足条件的实数x 的值为 ( ) Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２ 3.若{}{}{}0,1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===⋂⋃⋂则(A B)(B C)＝ ( ) Ａ {}1,2,3 Ｂ{}2,3Ｃ{}2,3,4 Ｄ {}1,2,44.设集合{}{}|91,|32A x x B x x A B =-<<=-<<⋂=则 ( ) Ａ{}|31x x -<< Ｂ{}|12x x << Ｃ{}|92x x -<< Ｄ{}|1x x < 【尝试总结】你能对本节课的内容做个总结吗？ 1.本节课我们学习过哪些知识内容? 2.集合的运算应注意些什么?【达标检测】 一、选择题1.设集合{}{}|2,,|21,M x x n n Z N x x n n N ==∈==-∈则M N ⋂是 ( ) A Φ B M C Z D {}0２.下列关系中完全正确的是 ( ) Ａ {},a a b ⊂Ｂ{}{},,a b a c a ⋂=Ｃ{}{},,b a a b ⊆ Ｄ {}{}{},,0b a a c ⋂=３.已知集合{}{}1,1,2,2,|,M N y y x x M =--==∈,则M N ⋂是 ( ) Ａ M Ｂ {}1,4 Ｃ {}1 Ｄ Φ４.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足,A B A B C C ⋂=⋃=,则Ａ与Ｃ之间的关系一定是( ) Ａ A C Ｂ C A Ｃ A C ⊆ Ｄ C A ⊆５.设全集{}{}|4,,2,1,3U x x x Z S =<∈=-,若u C P S ⊆,则这样的集合Ｐ共有( ) Ａ ５个 Ｂ ６个 Ｃ ７个 Ｄ８个二、填空题６.满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ７.若集合{}{}|2,|A x x B x x a =≤=≥,满足{}2A B ⋂=则实数a ＝＿＿＿＿＿＿＿. ８.集合{}{}{}0,2,4,6,1,3,1,3,1,0,2U U A C A C B ==--=-,则集合Ｂ＝＿＿＿＿＿. ９.已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5U A ==,则U C U =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.对于集合Ａ,Ｂ,定义{}|A B x x A -=∈∉且B ,Ａ⊙Ｂ=()()A B B A -⋃-, 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10M N ==,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题11.已知全集{}|16U x N x =∈≤≤,集合{}2|680,A x x x =-+={}3,4,5,6B = (1)求,A B A B ⋃⋂,(2)写出集合()U C A B ⋂的所有子集.12.已知全集Ｕ＝Ｒ,集合{}{}|,|12A x x a B x x =<=<<,且()U A C B R ⋃=,求实数a 的取值范围13.设集合{}{}22|350,|3100A x x px B x x x q =+-==++=,且13A B ⎧⎫⋂=-⎨⎬⎩⎭求A B ⋃.1.1.3集合的基本运算(第二课时) 【学习目标】1.进一步巩固集合的三种运算.2.灵活运用集合的运算,解决一些实际问题. 【典型例题】1.已知集合{}{}2|15500,|10A x x x B x ax =-+==-=,若A B ⋂≠Φ,求a 的值.2.已知集合{}{}|23,|15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或,若A B ⋂=Φ,求a 的取值范围.3.已知集合{}{}22|340,|220A x x x B x x ax =--==-+=若A B A ⋃=,求a 的取值集合.4.有５４名学生,其中会打篮球的有３６人,会打排球的人数比会打篮球的多４人,另外这两种球都不会的人数是都会的人数的四分之一还少１,问两种球都会打的有多少人.【课堂练习】１.设集合{}{}|32,|13M x Z x N n Z n =∈-<<=∈-≤≤,则M N ⋂= ( ) Ａ{}0,1Ｂ{}1,0,1-Ｃ{}0,1,2Ｄ{}1,0,1,2-２.设Ｕ为全集,集合,M U N U N M ⊆⊆⊆且则 ( )Ａ U U C N C M ⊆ Ｂ U M C ⊆N Ｃ U U C N C M = Ｄ ()U U C M C ⊆N ３.已知集合{}3|0,|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭,则集合{}|1x x ≥是 ( ) Ａ N M ⋂ Ｂ N M ⋃ Ｃ ()M N ⋂U C Ｄ ()M N ⋃U C 4.设{}{},A B ==菱形矩形,则A B ⋂=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.已知全集{}{}{}22,4,1,1,2,7U U a a A a C A a =-+=+==则＿＿＿＿＿＿＿. 【达标检测】 一、选择题1.满足{}{}1,31,3,5A ⋃=的所有集合Ａ的个数 ( ) Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ Ｄ ６2.已知集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或,则A B ⋂= ( ) A {}|34x x x ≤>或 B {}≤x|-1<x 3 C {}4≤<x|3x D {}1≤<-x|-2x 3.设集合{}{}|23,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+⋃=,则a 的取值范围是( ) A 31a -<<- B 31a -≤≤- C 31a a ≤-≥-或 D 31a a <->-或 4.第二十届奥运会于２００８年８月８日在北京举行,若集合{}A =参加北京奥运会比赛的运动员{}B =参加北京奥运会比赛的男运动员,{}C =参加北京奥运会比赛的女运动员,则下列关系正确的是 ( )Ａ A B ⊆ Ｂ B C ⊆ Ｃ A B C ⋂= Ｄ B C A ⋃= 5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义Ｍ与Ｎ的差{}|M N x x M x N -=∈∉且,那么 Ｍ－(Ｍ－Ｎ)总等于 ( ) Ａ Ｎ Ｂ Ｍ Ｃ M N ⋂ Ｄ M N ⋃ 二.填空题6.设集合{}{},(,)|1A B x y x y ==-=-(x,y)|x+2y=7,则A B ⋂=＿＿＿＿＿＿＿. 7.设{}{}2,|20,U A x x x N+==<∈x|x 是不大于10的正整数,则UCA =＿＿＿＿.8.全集Ｕ＝Ｒ,集合{}{}|0,|1X x x T y y =≥=≥,则U U C T C X 与的包含关系是＿＿.9.设全集{}{},|U A x ==x|x 是三角形x 是锐角三角形,{}|B x =x 是钝角三角形,则U C A B⋃（）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.已知集合{}{}|2,M N y y x x R =∈==-∈y|y=-2x+1，x R ,则⋂M N ＝＿＿＿. 三.解答题11.已知{}{}222190,|560A x ax a B x x x =-+-==-+=x|, {}2280C x x =+-=x| ①.若A B A B ⋂=⋃,求a 的值. ②.若A C C ⋂=,求a 的值.12.设U=R,M={1|≥x x },N={50|<≤x x },求U U C M C N ⋃. 13.设集合{}{}2|(2)()0,,|560A x x x m m R B x x x =--=∈=--=,求A B ⋃,A B ⋂.第一章集合与函数的概念 1.1.1集合的含义与表示 【课堂练习】1．D 2. C 3.B 4. 73,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭5. 150,1,x ±≠ 6.D 【达标检测】 选择题 1－5 BADCC填空题 6. ∈ ∉ ∈ 7. {}2,4,5 8. {}2|230x x x -+= 9.是 10. 6 解答题11.}4,2,1,0{=B 集合A 中的元素都在集合B 中。
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(145页)
§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
人教版高中数学必修一《集合》导学案(含答案)
第一章集合与函数概念§1.1集合1． 1.1集合的含义与表示第 1 课时集合的含义课时目标1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性 .2.体会元素与集合间的“从属关系” .3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把 ________统称为元素，通常用__________________ 表示．(2)把 ________________________ 叫做集合 (简称为集 )，通常用 ____________________ 表示．2．集合中元素的特性：________、 ________、 ________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与属于如果 ________的元素，a∈ A a 属于集合 A 就说 a 属于集合 A集合的如果 ________中的元素，关系不属于a?A a 不属于集合 A就说 a 不属于集合 A5.常用数集及表示符号：名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010 年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合 A 只含有元素 a，则下列各式正确的是 ()A．0∈A B ． a?AC．a∈ A D ．a＝ A3．已知 M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是() A ．直角三角形 B ．锐角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形4．由 a2,2－ a,4 组成一个集合A，A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是 () A ． 1B．－ 2C． 6D． 25．已知集合 A 是由 0，m，m2－ 3m＋ 2 三个元素组成的集合，且 2∈ A，则实数 m 为 () A ． 2 B ． 3C．0或 3 D ． 0,2,3 均可6．由实数 x、－ x、 |x|、 x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2 个元素B． 3 个元素C．4 个元素D．5 个元素题号123456答案二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______． (填序号 )①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合 A 中含有三个元素0,1， x，且 x2∈ A，则实数 x 的值为 ________．9．用符号“∈”或“ ?”填空－ 2_______R ，－ 3_______Q，－ 1_______N，πZ .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加 2010 年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；3，1组成的集合含有四个元素；(3)1,0.5，2 2(4)高一 (三 )班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合 A 是由 a－ 2,2a2＋ 5a,12 三个元素组成的，且－3∈ A，求 a.能力提升12．设 P、Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有 1,2,6 三个元素，定义集合 P＋Q 中的元素是 a＋ b，其中 a∈ P， b∈ Q，则 P＋ Q 中元素的个数是多少？13．设 A 为实数集，且满足条件：若1∈ A (a≠ 1)．a∈A，则1－a求证： (1)若 2∈ A，则 A 中必还有另外两个元素；(2)集合 A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征 (或标准 )，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素 a， b， c 与由元素 b， a， c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1 集合1． 1.1 集合的含义与表示第 1课时集合的含义知识梳理1． (1) 研究对象小写拉丁字母 a，b， c，(2) 一些元素组成的总体大写拉丁字母A ， B，C， 2.确定性互异性无序性N*或N＋ Z Q R3．一样 4.a 是集合 A a 不是集合 A 5.N作业设计1． C[ 选项 A 、 B、 D 都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C[ 由题意知 A 中只有一个元素 a ，∴ 0?A，a∈ A，元素 a 与集合 A 的关系不应用“＝”，故选 C.]3．D[ 集合 M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选 D.]4． C [ 因 A 中含有 3 个元素，即 a 2,2 － a,4 互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选 C.]5． B [ 由 2∈A 可知：若m＝ 2，则 m2－ 3m＋ 2＝ 0，这与 m2－ 3m＋ 2≠ 0 相矛盾；若 m2－ 3m＋ 2＝ 2，则 m＝ 0 或 m＝ 3，当 m＝ 0 时，与 m≠ 0 相矛盾，当 m＝ 3 时，此时集合 A＝ {0,3,2} ，符合题意． ]6．A [ 方法一 因为 |x|＝ ±x ， x 2＝ |x|，－3x 3＝－ x ，所以不论 x 取何值，最多只能写成两种形式： x 、－ x ，故集合中最多含有 2 个元素． 方法二 令 x ＝ 2，则以上实数分别为： 2，－ 2,2,2，－ 2，由元素互异性知集合最多含 2 个元素． ]7．①④.解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④8．－ 1解析 当 x ＝ 0,1，－ 1 时，都有 x 2∈ A ，但考虑到集合元素的互异性， x ≠ 0， x ≠ 1，故答案为－ 1.9．∈∈??10． 解 (1) 正确．因为参加 2010 年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．1，在这个集合中只能作(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5＝ 2为一元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11． 解 由－ 3∈ A ，可得－ 3＝ a － 2 或－ 3＝ 2a 2＋5a ，∴ a ＝－ 1 或 a ＝－32.则当 a ＝－ 1 时， a － 2＝－ 3,2a 2＋ 5a ＝－ 3，不符合集合中元素的互异性，故舍去．a ＝－ 1 应当 a ＝－ 3时， a － 2＝－ 7， 2a 2＋ 5a ＝－ 3，2 23∴ a ＝－ 2.12． 解 ∵当 a ＝ 0 时， b 依次取 1,2,6 ，得 a ＋ b 的值分别为1,2,6；当 a ＝2 时， b 依次取 1,2,6，得 a ＋b 的值分别为 3,4,8； 当 a ＝5 时， b 依次取 1,2,6，得 a ＋b 的值分别为 6,7,11. 由集合元素的互异性知 P ＋ Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个． 113． 证明 (1) 若 a ∈ A ，则 ∈ A.又∵ 2∈ A ，∴1＝－ 1∈A.1－ 21 1 ∵－ 1∈ A ，∴ 1－－1＝2∈ A. ∵ 1∈A ，∴1＝2∈ A.211－ 21∴ A 中另外两个元素为－1， .21(2)若 A 为单元素集，则a ＝ 1－a ，即 a 2－ a ＋1＝ 0，方程无解．∴ a ≠ 1，∴ A 不可能为单元素集．1－ a第 2 课时集合的表示课时目标1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________ 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式 x－ 7<3 的解集为 __________．所有偶数的集合可表示为________________ ．一、选择题1．集合 {x ∈N ＋ |x－ 3<2} 用列举法可表示为()A ． {0,1,2,3,4}B ． {1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}2．集合 {(x ， y)|y＝ 2x－ 1} 表示 ()A ．方程 y＝ 2x－ 1B．点 (x， y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数 y＝ 2x－ 1 图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A ． {2,3}B ． {(2,3)}C．{x ＝ 2， y＝ 3} D ． (2,3)4．用列举法表示集合{x|x2 － 2x＋1＝ 0} 为 ()A ． {1,1}B．{1}C．{x ＝ 1} D ． {x2 － 2x ＋1＝ 0}5．已知集合 A ＝ {x ∈ N|－3≤ x≤3} ，则有 ()A．－ 1∈A B．0∈AC. 3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为 ()A ．B．C．{1,2} D ． {(1,2)}题2356号答案二、填空题87．用列举法表示集合 A ＝ {x|x ∈ Z，6－x∈ N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝ Q 的有 ________．(填序号 )①P＝ {(1,2)} ，Q＝ {(2,1)} ；② P＝ {1,2,3} ， Q＝ {3,1,2} ；③ P＝ {(x ， y)|y ＝x－ 1， x∈ R} ，Q＝ {y|y ＝ x－1， x∈ R} ．9．下列各组中的两个集合M 和 N，表示同一集合的是________． (填序号 )①M ＝ { π}，N ＝ {3.141 59} ；② M ＝ {2,3} ， N＝ {(2,3)} ；③ M ＝ {x| － 1<x≤1， x∈N} ， N ＝{1} ；④M ＝ {1 ， 3，π}， N ＝{ π，1， |－3|} ．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程 x(x2 ＋ 2x＋ 1)＝0 的解集；②在自然数集内，小于 1 000 的奇数构成的集合；③不等式 x－ 2>6 的解的集合；④大于 0.5 且不大于 6 的自然数的全体构成的集合．11．已知集合 A ＝ {x|y ＝ x2＋ 3} ，B ＝ {y|y ＝x2 ＋ 3} ， C＝ {(x ，y)|y＝ x2＋3} ，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力 提 升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ()A ． {x|x ＝ 1}B ． {y|(y － 1)2＝ 0}C ．{x ＝ 1}D ．{1}k ＋ 1，k ∈ Z} ，N ＝ {x|x ＝ k ＋ 1，k ∈ Z} ，若 x0∈ M ，则 x0 与 N13．已知集合 M ＝ {x|x ＝ 24 4 2的关系是 ( )A ． x0∈ NB ．x0 ? NC ．x0 ∈ N 或 x0 ? ND ．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么 )，是数、还是有序实数对 (点 )、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第 2 课时集合的表示知识梳理1．一一列举2.描述法 {x|x<10}{x ∈ Z|x＝ 2k， k∈ Z}作业设计1． B[{x ∈N ＋ |x－ 3<2} ＝{x ∈ N＋ |x<5} ＝ {1,2,3,4} ． ]2． D[ 集合 {(x ， y)|y＝ 2x－ 1} 的代表元素是 (x， y)， x， y 满足的关系式为y＝ 2x－ 1，因此集合表示的是满足关系式y＝ 2x－ 1 的点组成的集合，故选 D.]3． B[ 解方程组x＋ y＝ 5，x＝ 2，得y＝ 3. 2x－ y＝ 1.所以答案为 {(2,3)}． ]4． B[ 方程 x2－ 2x ＋ 1＝0 可化简为 (x－ 1)2＝ 0，∴x1＝x2＝ 1，故方程 x2－ 2x＋ 1＝ 0 的解集为 {1} ． ]5． B6．C[方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故 C不符合． ]7． {5,4,2 ，－ 2}解析∵ x∈ Z，8∈N ，6－ x∴6－ x＝ 1,2,4,8.此时 x＝ 5,4,2，－ 2，即 A ＝ {5,4,2 ，－ 2} ．8．②解析①中 P、Q 表示的是不同的两点坐标；②中 P＝ Q；③中 P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析只有④中M 和 N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程 x(x2 ＋ 2x ＋ 1)＝ 0 的解为 0 和－ 1， ∴解集为 {0 ，－ 1} ；② {x|x ＝ 2n ＋ 1，且 x<1 000 ， n ∈ N} ； ③ {x|x>8} ；④ {1,2,3,4,5,6} ．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合． 理由如下：集合 A 中代表的元素是x ，满足条件 y ＝ x2＋ 3 中的 x ∈ R ，所以 A ＝R ；集合 B 中代表的元素是y ，满足条件 y ＝x2＋ 3 中 y 的取值范围是 y ≥3，所以 B ＝{y|y ≥3}．集合 C 中代表的元素是 (x ， y)，这是个点集，这些点在抛物线y ＝ x2＋ 3 上，所以 C ＝{P|P 是抛物线 y ＝ x2＋ 3 上的点 } ．12． C [由集合的含义知 {x|x ＝ 1} ＝ {y|(y － 1)2＝ 0} ＝ {1} ， 而集合 {x ＝ 1} 表示由方程 x ＝1 组成的集合，故选 C.]13． A [M ＝ {x|x ＝ 2k ＋ 1， k ∈ Z} ， N ＝ {x|x ＝ k ＋ 2， k ∈ Z} ，4 4∵ 2k ＋1(k ∈ Z) 是一个奇数， k ＋ 2(k ∈ Z) 是一个整数，∴ x0∈ M 时，一定有 x0∈ N ，故选 A.]。
[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总
![[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总](https://img.taocdn.com/s3/m/cac15e65856a561253d36f76.png)
§1.1.1 集合的含义与表示（1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点；③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +；⑤ 东升高中高一级全体学生；⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合.试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：①不等式30x->的解；②3的倍数；③方程2210-+=的解；x x④a，b，c，x，y，z；⑤最小的整数；⑥周长为10 cm的三角形；⑦中国古代四大发明；⑧全班每个学生的年龄；⑨地球上的四大洋；⑩地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A.试试3：设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B，0 B，－1 B.探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R.试试4：填∈或∉：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，. 探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：① 15以内质数的集合；② 方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；③ 一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x =的图象与二次函数2y x =的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※ 学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※ 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）.A ．某个村子里的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．1361,0.5,,,224 2. 给出下列关系：① 12R =；② Q ；③3N +-∉；④.Q 其中正确的个数为（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.A. {0,1}B. {(0,1)}C. 1{,0}2-D. 1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.x x1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100-=的所有实数根组成的集合.x x2. 设x∈R，集合2=-.A x x x{3,,2}（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为.其中的每个对象叫作.集合中的元素具备、、特征.集合与元素的关系有、.复习2：集合2=++的元素是，若1∈A，则x= .A x x{21}复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法① {方程210x -=的根}；② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如{|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别.（1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x =-.反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x >，{|3,}x x k k Z =∈.③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练2. 已知集合{|33,}A x x x Z =-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A ==+∈. 试用列举法分别表示集合A 、B .三、总结提升※ 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（ ）.A. 6A ∈B. 0A ∈C. 3A ∉D. 3.5A ∉2. 下列说法正确的是（ ）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（ ）.A. {1,2}-B. {1,2}x y ==-C. {(2,1)}-D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为.5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空：4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.67复习1：集合的表示方法有 、 、. 请用适当的方法表示下列集合.（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；{}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生；{|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A .当集合A 不包含于集合B 时，记作A B .② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※ 典型例题例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？变式：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.※ 动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x =-+=，B ＝{1,2}，{|8,}C x x x N =<∈，用适当符号填空：A B ，A C ，{2} C ，2 C .练 2. 已知集合{|5}A x a x =<<，{|2}B x x =≥，且满足A B ⊆，则实数a 的取值范围为 .三、总结提升※ 学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※ 知识拓展 n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列结论正确的是（ ）. A. ∅A B. {0}∅∈ C. {1,2}Z ⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆ 试用Venn 图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）学习目标1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89 复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x |x 2＋1＝0,x ∈R }； {0} {x |x <3且x >5}；{x |x >－3} {x |x >2}； {x |x >6} {x |x <－2或x >5}.复习2：已知A ={1,2,3}, S ={1,2,3,4,5}，则A S ， {x |x ∈S 且x ∉A }= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学 ※ 学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A =，{3,5,7,8}B =.（1）试用Venn 图表示集合A 、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即： {|,}.A B x x A x B =∈∈且Venn 图如右表示.② 类比说出并集的定义.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集（union set ），记作：A B ，读作：A 并B ，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B =∈∈或.Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ； （3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝ ，A ∩B ＝ . （4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝ ；A ∪A ＝ . A ∩∅＝ ；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .变式：（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B = ； （2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B = .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※ 动手试试练1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .A练 2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B 与B C 的含义.三、总结提升 ※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B C =（）（）， A B C A B C =（）（）， A A B A A A B A ==（），（）. 你能结合V enn 图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于（ ）.A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）. A. x =3, y =－1 B. (3，－1) C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（ ）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .课后作业1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点； （2）12L L =∅； （3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .§1.1.3 集合的基本运算（2）1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1011 复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ； A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学 ※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且. 补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ； （3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A = ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？ （2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .※ 动手试试练 1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合Venn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ； （2）()U U C C A = .三、总结提升 ※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =； （2）()()()U U U C A B C A C B =.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）. A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x >3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,{}0,3,4N =--，则()I M N =（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？ A B = ； A B = ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学 ※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点； （2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法. 例 3 若{}{}22430,10A x x xB x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。
人教版高中数学必修一《集合》导学案(含答案)
第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a ，b ，c 与由元素b ，a ，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义知识梳理1．(1)研究对象 小写拉丁字母a ，b ，c ，… (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母A ，B ，C ，… 2.确定性 互异性 无序性3．一样 4.a 是集合A a 不是集合A 5.N N *或N ＋ Z Q R作业设计1．C [选项A 、B 、D 都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C [由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二 令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}6二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号) ①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法{x|x<10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y)|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y)，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x1＝x2＝1，故方程x2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x(x2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x|x ＝2n ＋1，且x<1 000，n ∈N}；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x2＋3中y 的取值范围是y≥3，所以B ＝{y|y≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y)，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x2＋3上，所以C ＝{P|P 是抛物线y ＝x2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x|x ＝1}＝{y|(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x|x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，∴x0∈M 时，一定有x0∈N ，故选A.]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1 集合知识导学集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a ∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:A⊆B或B⊇A,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A B 或B A.子集的有关性质:①A=B⇔A⊆B且B⊆A.②A B,B⊆C⇒A C;A⊆B,B C⇒A C.③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).A⊆B⇔A⊇ Bcard(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).(card(A)表示有限集合A元素的个数)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是∅.记忆口诀:集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.图1-1-4疑难导析列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和∉,二者有且只有一种成立.对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.问题导思教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.使用描述法时,应注意六点:①写清集合中元素的代号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;⑤所有描述的内容都要写在大括号内;⑥用于描述的语句力求简明、确切.用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.典题导考绿色通道集合中的元素是确定的,某一元素a 要么a ∈A,要么a ∉A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )①方程x 2-9=0的实数根②我国近代著名的数学家③联合国常任理事国④空气中密度大的气体A.①②B.①④C.①②④D.②④答案:D黑色陷阱在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.典题变式1.下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②1,0.5,23,21组成的集合有四个元素③若集合A 是集合B 的子集,集合B 是集合C 的子集,则集合A 是集合C 的子集④若不属于集合A 的元素也一定不属于集合B,则B 是A 的子集A.①②③B.①③④C.①③D.①②③④ 答案:B2.下面六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( )A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥ 答案:C黑色陷阱在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.典题变式 用列举法表示下列集合:(1){自然数中五个最小的完全平方数};(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};(3){(x,y)|⎩⎨⎧=-=+182y x y x }. 答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.黑色陷阱对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.典题变式已知全集I=R,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值.答案:a=78,b=-712. 绿色通道集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.典题变式已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B,则满足条件的集合M 的个数为( )A.7B.8C.15D.16答案:A绿色通道此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.典题变式设集合A={A|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B.答案:p=-35,A ∪B={-1, 21,2}. 黑色陷阱本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A ∩B ≠∅,且A ∩C=∅知3∈A.把x=3代入方程x 2-ax+a 2-19=0,得9-3a+a 2-19=0.解得a=5或a=-2.这里由条件推知3∈A,进而推出a 的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.典题变式 已知A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},是否存在a,使A 、B 满足下列三个条件:①A ≠B;②A ∪B=B;③∅(A ∩B).若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 答案:不存在实数a,使得满足条件.黑色陷阱本题容易出现以下错误:由A ∩B ≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153,2x y b ax y 有解,即方程3x 2-ax+15-b=0有解.∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ①由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2.②(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)①+②,得a 2+12b-36≥a 2+b 2,即(b-6) 2≤0⇒b=6.把b=6代入①,得a 2≥108;把b=6代入②,得a 2≤108.∴a 2=108,即a=±63. 故存在实数a 、b 满足条件.典题变式 方程x 2-ax+b=0的两根为α、β,方程x 2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},P={x|x=u υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a 、b 、c.答案:b=10,a=7,c=21.。